La finanza comportamentale applicata al pricing delle opzioni

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1 Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Economia La finanza comportamentale applicata al pricing delle opzioni di Luca Grimaldi Relatore: Prof.ssa Giovanna Zanotti A. A

2 RIASSUNTO Prezzare opzioni è uno degli argomenti più studiati e affascinanti della finanza. L'oggetto di questa tesi è stato quello di esaminare alcuni modelli per la determinazione del prezzo di strumenti finanziari derivati, in particolare le opzioni, mettendo in rilievo l influenza che hanno i principi di finanza comportamentale. In particolare ho dato una semplice spiegazione del concetto di opzione e descritto il modello più utilizzato per il loro calcolo (Black Scholes 1973). Dopo di che ho focalizzato la mia attenzione su un modello a volatilità stocastica (Heston 1993), più attendibile, ma di più difficile attuazione dal punto di vista matematico. Sulla base del lavoro di Wolff et al (2007) ho analizzato come la teoria prospettica (Kahneman e Tversky, 1979) può essere integrata nel modello di Black e Scholes per il calcolo del prezzo delle opzioni. Ho quindi utilizzato la versione comportamentale dell equazione di Black Scholes per calcolare i prezzi delle opzioni quotate sul mercato. Grazie al lavoro di Pena et al (2010) sono state considerate le opzioni con durata di tre mesi quotate sullo Standard & Poor's 500 (SPX) raccolte grazie al Chicago Board of Options Exchange (CBOE) durante il periodo gennaio-dicembre Il modello di Heston e quello di Black Scholes comportamentale sono stati calibrati per poter effettuare il test empirico. I risultati mostrano che, durante il periodo di studio, i prezzi di mercato sono stati approssimati meglio dalla versione comportamentale dell'equazione di Black Scholes rispetto che con il modello stocastico volatilità Heston. 3

3 Ulteriori lavori futuri potrebbero dedicarsi ad esaminare se i risultati ottenuti in questo lavoro possano essere allo stesso modo replicati per altri tipi di opzioni e in condizioni di mercato differenti. 4

4 CAPITOLO 1: INTRODUZIONE Prezzare opzioni è uno degli argomenti più studiati e affascinanti della finanza. La formula di Black Scholes, creata nel 1973, è ancora oggi il punto di riferimento per gli operatori, i market maker e i venditori, che usano e prezzano opzioni europee. Anche se ampiamente utilizzata, la formula di Black Scholes è basata sull'esistenza di una serie di "condizioni ideali" del mercato, tra cui: i tassi di interesse a breve termine sono noti e costanti nel tempo, la distribuzione dei possibili prezzi delle azioni è lognormale, la varianza è costante, non ci sono i costi di transazione per l'acquisto e la vendita di azioni e opzioni, è possibile dare e prendere a prestito illimitatamente ed allo stesso tasso d interesse a breve termine, non ci sono limitazioni sulla vendita allo scoperto. Inoltre, gli investitori sono considerati capaci di aggiornare il loro credo in base alle nuove informazioni che ricevono e di fare delle scelte che massimizzino la loro utilità attesa. Il modello Black Scholes è largamente utilizzato perché è facilmente utilizzabile e fornisce il prezzo delle opzioni e dei coefficienti di calcolo di rischio e sensibilità. Tuttavia le condizioni "ideali" del modello sono lontane dalla realtà. I risultati osservati mostrano code più spesse e picchi più alti rispetto a quelli che si dovrebbero ottenere in maniera coerente con l'ipotesi di 5

5 rendimenti distribuiti in modo normale. Inoltre l'evidenza empirica ha dimostrato l'esistenza di anomalie per quanto riguarda la teoria dell'utilità attesa. In queste circostanze, era naturale che la letteratura che si occupa di finanza ha iniziato a riesplorare il problema dell option pricing cercando di sviluppare nuovi modelli, in grado di dare una descrizione più accurata della realtà, e nello stesso tempo di mantenere la semplicità del modello di Black Scholes. Uno dei modelli più diffusi che considera la volatilità stocastica è oggi il modello di Henston (1993). In questo modello, non sono solo i prezzi delle azioni, ma anche la volatilità a seguire un moto Browniano geometrico (BM). I due moti browniani, quello delle azioni e quello della volatilità, sono correlati e si presume che la volatilità ritorni a livello nel lungo termine. Il modello di Heston è coerente con le distribuzioni dei rendimenti diversi e consente di incorporare l asimmetria. Il modello computazionale è conveniente nel momento in cui fornisce una soluzione in forma chiusa per le opzioni europee. In generale il modello di Heston è il più famoso e diffuso dei modelli che cercano di mitigare le ipotesi su cui si basa Black Scholes. Tuttavia, le ipotesi sulla razionalità non sono provate da osservazioni di mercato ed esperimenti. Negli ultimi anni si è sviluppato un altro filone di ricerca per migliorare il modello Black Scholes: incorporare l'idea che gli investitori non sono razionali e neutrali ai rischi. Black Scholes si basa sulla possibilità di costruire un portafoglio di replica privo di rischio. Se questo non è vero, allora una possibile spiegazione per la deviazione dei prezzi delle opzioni osservati rispetto a 6

6 quanto sottinteso da Black Scholes potrebbe essere legato agli aspetti della finanza comportamentale. La maggior parte della letteratura sulla finanza comportamentale è stata concentrata sui mercati azionari e l'evidenza empirica in merito alle anomalie comportamentali dei prezzi delle azioni è enorme. La finanza comportamentale è stata applicata ai prezzi dei derivati in misura molto minore. L attenzione di molti ricercatori è stata richiamata dalle possibili spiegazioni comportamentali delle peculiarità nell'indice dei prezzi delle opzioni, proprio per la pendenza della volatilità. Tra questi Gemmill e Schackleton (2005) che rappresentano le anomalie dei prezzi delle opzioni attraverso l'uso della teoria prospettica. In uno studio molto recente Wolff (2007) ha studiato i prezzi delle opzioni in un'economia in cui gli investitori valutano le opzioni call secondo la teoria cumulativa prospettica di Kahneman e Tversky. Sono stati presi in esame due modelli per prezzare opzioni prospettiche, a seconda se i flussi di cassa sono considerati separatamente o in forma aggregata nel corso del tempo. Hanno confrontato questi modelli con il modello Black Scholes e il modello stocastico della volatilità di Heston su una analisi empirica di opzioni call europee sull'indice S & P 500. I risultati mostrano che i modelli per prezzare opzioni prospettiche migliorano in modo significativo le misurazioni delle prestazioni, in confronto con il modello Black Scholes e che in particolare la versione aggregata dei flussi di cassa è almeno equivalente al modello di Heston. 7

7 Nella mia tesi analizzo le prestazioni del modello Black Scholes comportamentale modificato e del modello di Heston in termini di misurazione dei prezzi delle opzioni reali. Mi concentro su opzioni con durata di tre mesi. Il mio obiettivo è quello di analizzare se il modello comportamentale Black Scholes dia risultati migliori rispetto al modello Heston in materia di prezzi. Infine, dimostrare che una formula di Black Scholes comportamentale per i prezzi delle opzioni, veloce e facile da calcolare, può essere usata con successo per descrivere i contratti di opzione realmente negoziati. 8