Metodi Stocastici per la Finanza

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1 Metodi Stocastici per la Finanza Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Anno Accademico Lezione 4

2 Indice 1 Convergenza in legge di processi stocastici 2 Da Cox-Ross-Rubinstein a Black-Scholes 3 Schema di Eulero 4 Opzioni asiatiche

3 Indice 1 Convergenza in legge di processi stocastici 2 Da Cox-Ross-Rubinstein a Black-Scholes 3 Schema di Eulero 4 Opzioni asiatiche

4 Indice 1 Convergenza in legge di processi stocastici 2 Da Cox-Ross-Rubinstein a Black-Scholes 3 Schema di Eulero 4 Opzioni asiatiche

5 Indice 1 Convergenza in legge di processi stocastici 2 Da Cox-Ross-Rubinstein a Black-Scholes 3 Schema di Eulero 4 Opzioni asiatiche

6 Convergenza in legge Uno strumento dei metodi numerici probabilistici è quello di approssimare la distribuzione di un processo X a valori in R d, che generalmente è soluzione di un equazione differenziale stocastica del tipo dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) dw t (1) con processi stocastici X n della forma Xt n := Y[nt] n, dove, per ogni n 1, Y n è una catena di Markov omogenea con nucleo di transizione µ n. Come scegliere µ n in modo opportuno?

7 Convergenza in legge Uno strumento dei metodi numerici probabilistici è quello di approssimare la distribuzione di un processo X a valori in R d, che generalmente è soluzione di un equazione differenziale stocastica del tipo dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) dw t (1) con processi stocastici X n della forma Xt n := Y[nt] n, dove, per ogni n 1, Y n è una catena di Markov omogenea con nucleo di transizione µ n. Come scegliere µ n in modo opportuno?

8 Convergenza in legge Uno strumento dei metodi numerici probabilistici è quello di approssimare la distribuzione di un processo X a valori in R d, che generalmente è soluzione di un equazione differenziale stocastica del tipo dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) dw t (1) con processi stocastici X n della forma Xt n := Y[nt] n, dove, per ogni n 1, Y n è una catena di Markov omogenea con nucleo di transizione µ n. Come scegliere µ n in modo opportuno?

9 Richiami sulle catene di Markov Ricordiamo che un processo a tempi discreti Y = (Y n ) n a valori nello spazio misurabile (E, E) si dice catena di Markov (omogenea) con nucleo di transizione µ se per ogni h : E R misurabile e limitata abbiamo E[h(Y k+1 ) Y 0,..., Y k ] = E[h(Y k+1 ) Y k ] = h(y)µ(x, dy) dove µ : E E [0, 1] ha le seguenti proprietà: E x=yk 1 per ogni x E, l applicazione µ(x, ) : E [0, 1] è una misura di probabilità; 2 per ogni Γ E, l applicazione µ(, Γ) : E [0, 1] è misurabile. In questa definizione, il significato qualitativo è che la legge dell immediato futuro (Y k+1 ) condizionata al passato (Y 0,..., Y k ) è uguale alla legge dell immediato futuro condizionata al presente (Y k ).

10 Richiami sulle catene di Markov Ricordiamo che un processo a tempi discreti Y = (Y n ) n a valori nello spazio misurabile (E, E) si dice catena di Markov (omogenea) con nucleo di transizione µ se per ogni h : E R misurabile e limitata abbiamo E[h(Y k+1 ) Y 0,..., Y k ] = E[h(Y k+1 ) Y k ] = h(y)µ(x, dy) dove µ : E E [0, 1] ha le seguenti proprietà: E x=yk 1 per ogni x E, l applicazione µ(x, ) : E [0, 1] è una misura di probabilità; 2 per ogni Γ E, l applicazione µ(, Γ) : E [0, 1] è misurabile. In questa definizione, il significato qualitativo è che la legge dell immediato futuro (Y k+1 ) condizionata al passato (Y 0,..., Y k ) è uguale alla legge dell immediato futuro condizionata al presente (Y k ).

11 Richiami sulle catene di Markov Ricordiamo che un processo a tempi discreti Y = (Y n ) n a valori nello spazio misurabile (E, E) si dice catena di Markov (omogenea) con nucleo di transizione µ se per ogni h : E R misurabile e limitata abbiamo E[h(Y k+1 ) Y 0,..., Y k ] = E[h(Y k+1 ) Y k ] = h(y)µ(x, dy) dove µ : E E [0, 1] ha le seguenti proprietà: E x=yk 1 per ogni x E, l applicazione µ(x, ) : E [0, 1] è una misura di probabilità; 2 per ogni Γ E, l applicazione µ(, Γ) : E [0, 1] è misurabile. In questa definizione, il significato qualitativo è che la legge dell immediato futuro (Y k+1 ) condizionata al passato (Y 0,..., Y k ) è uguale alla legge dell immediato futuro condizionata al presente (Y k ).

12 Richiami sulle catene di Markov Ricordiamo che un processo a tempi discreti Y = (Y n ) n a valori nello spazio misurabile (E, E) si dice catena di Markov (omogenea) con nucleo di transizione µ se per ogni h : E R misurabile e limitata abbiamo E[h(Y k+1 ) Y 0,..., Y k ] = E[h(Y k+1 ) Y k ] = h(y)µ(x, dy) dove µ : E E [0, 1] ha le seguenti proprietà: E x=yk 1 per ogni x E, l applicazione µ(x, ) : E [0, 1] è una misura di probabilità; 2 per ogni Γ E, l applicazione µ(, Γ) : E [0, 1] è misurabile. In questa definizione, il significato qualitativo è che la legge dell immediato futuro (Y k+1 ) condizionata al passato (Y 0,..., Y k ) è uguale alla legge dell immediato futuro condizionata al presente (Y k ).

13 Esempio: modello di Cox-Ross-Rubinstein Il prezzo del titolo rischioso nel modello di Cox-Ross-Rubinstein è una catena di Markov secondo la definizione che abbiamo dato. Difatti, per ogni h : E R misurabile e limitata abbiamo E[h(S k+1 ) S 0,..., S k ] = E[h(S k ξ k+1 ) S 0,..., S k ] = = E[h(S k ξ k+1 ) S k ] = = ph(s k u) + (1 p)h(s k d) dove la seconda uguaglianza segue dall indipendenza di ξ k+1 da ξ 1,..., ξ k e quindi da S 1,..., S k. Abbiamo quindi che S è una catena di Markov con nucleo di transizione dato da µ(x, Γ) := pδ xu (Γ) + (1 p)δ xd (Γ)

14 Esempio: modello di Cox-Ross-Rubinstein Il prezzo del titolo rischioso nel modello di Cox-Ross-Rubinstein è una catena di Markov secondo la definizione che abbiamo dato. Difatti, per ogni h : E R misurabile e limitata abbiamo E[h(S k+1 ) S 0,..., S k ] = E[h(S k ξ k+1 ) S 0,..., S k ] = = E[h(S k ξ k+1 ) S k ] = = ph(s k u) + (1 p)h(s k d) dove la seconda uguaglianza segue dall indipendenza di ξ k+1 da ξ 1,..., ξ k e quindi da S 1,..., S k. Abbiamo quindi che S è una catena di Markov con nucleo di transizione dato da µ(x, Γ) := pδ xu (Γ) + (1 p)δ xd (Γ)

15 Convergenza in legge di processi stocastici Citiamo ora una condizione sufficiente sotto la quale abbiamo convergenza in legge dei processi stocastici Xt n := Y[nt] n, dove, per ogni n 1, Y n = (Yk n) k è una catena di Markov su R d con nucleo di transizione µ n. Per farlo, definiamo: b n (x) := n (y x)µ n (x, dy) = ne x [(Y1 n x)1 Y n 1 x 1] y x 1 (media locale) a n (x) := n (y x)(y x) T µ n (x, dy) = y x 1 = ne x [(Y n 1 x)(y n 1 x) T 1 Y n 1 x 1] (covarianza locale) e per ogni ε > 0, p ε n(x) := nµ n (x, {y : y x ε}) = np x { Y n 1 x > ε} (probabilità di salti ampi)

16 Convergenza in legge di processi stocastici Citiamo ora una condizione sufficiente sotto la quale abbiamo convergenza in legge dei processi stocastici Xt n := Y[nt] n, dove, per ogni n 1, Y n = (Yk n) k è una catena di Markov su R d con nucleo di transizione µ n. Per farlo, definiamo: b n (x) := n (y x)µ n (x, dy) = ne x [(Y1 n x)1 Y n 1 x 1] y x 1 (media locale) a n (x) := n (y x)(y x) T µ n (x, dy) = y x 1 = ne x [(Y n 1 x)(y n 1 x) T 1 Y n 1 x 1] (covarianza locale) e per ogni ε > 0, p ε n(x) := nµ n (x, {y : y x ε}) = np x { Y n 1 x > ε} (probabilità di salti ampi)

17 Convergenza in legge di processi stocastici Citiamo ora una condizione sufficiente sotto la quale abbiamo convergenza in legge dei processi stocastici Xt n := Y[nt] n, dove, per ogni n 1, Y n = (Yk n) k è una catena di Markov su R d con nucleo di transizione µ n. Per farlo, definiamo: b n (x) := n (y x)µ n (x, dy) = ne x [(Y1 n x)1 Y n 1 x 1] y x 1 (media locale) a n (x) := n (y x)(y x) T µ n (x, dy) = y x 1 = ne x [(Y n 1 x)(y n 1 x) T 1 Y n 1 x 1] (covarianza locale) e per ogni ε > 0, p ε n(x) := nµ n (x, {y : y x ε}) = np x { Y n 1 x > ε} (probabilità di salti ampi)

18 Il risultato principale Teorema. Sia (X t ) t un processo stocastico la cui dinamica é regolata dall equazione (2) per t 0, con a = (a ij ) i,j = σσ T : R d R d d e b : R d R d sono funzioni continue e tali che l equazione (2) abbia soluzioni uniche in traiettoria per ogni dato iniziale X 0 variabile aleatoria in R d. Per ogni n 1 sia poi µ n (x, Γ) il nucleo di transizione su R d di una catena di Markov Y n, e poniamo Xt n := Y[nt] n. Se le seguenti condizioni sono verificate: a n a uniformemente sui compatti di R d, b n b uniformemente sui compatti di R d, p ε n 0 uniformemente sui compatti di R d per ogni ε > 0, Y n 0 X 0 in legge; allora {X n } converge in legge ad X.

19 Il risultato principale Teorema. Sia (X t ) t un processo stocastico la cui dinamica é regolata dall equazione (2) per t 0, con a = (a ij ) i,j = σσ T : R d R d d e b : R d R d sono funzioni continue e tali che l equazione (2) abbia soluzioni uniche in traiettoria per ogni dato iniziale X 0 variabile aleatoria in R d. Per ogni n 1 sia poi µ n (x, Γ) il nucleo di transizione su R d di una catena di Markov Y n, e poniamo Xt n := Y[nt] n. Se le seguenti condizioni sono verificate: a n a uniformemente sui compatti di R d, b n b uniformemente sui compatti di R d, p ε n 0 uniformemente sui compatti di R d per ogni ε > 0, Y n 0 X 0 in legge; allora {X n } converge in legge ad X.

20 Il risultato principale Teorema. Sia (X t ) t un processo stocastico la cui dinamica é regolata dall equazione (2) per t 0, con a = (a ij ) i,j = σσ T : R d R d d e b : R d R d sono funzioni continue e tali che l equazione (2) abbia soluzioni uniche in traiettoria per ogni dato iniziale X 0 variabile aleatoria in R d. Per ogni n 1 sia poi µ n (x, Γ) il nucleo di transizione su R d di una catena di Markov Y n, e poniamo Xt n := Y[nt] n. Se le seguenti condizioni sono verificate: a n a uniformemente sui compatti di R d, b n b uniformemente sui compatti di R d, p ε n 0 uniformemente sui compatti di R d per ogni ε > 0, Y n 0 X 0 in legge; allora {X n } converge in legge ad X.

21 Il risultato principale Teorema. Sia (X t ) t un processo stocastico la cui dinamica é regolata dall equazione (2) per t 0, con a = (a ij ) i,j = σσ T : R d R d d e b : R d R d sono funzioni continue e tali che l equazione (2) abbia soluzioni uniche in traiettoria per ogni dato iniziale X 0 variabile aleatoria in R d. Per ogni n 1 sia poi µ n (x, Γ) il nucleo di transizione su R d di una catena di Markov Y n, e poniamo Xt n := Y[nt] n. Se le seguenti condizioni sono verificate: a n a uniformemente sui compatti di R d, b n b uniformemente sui compatti di R d, p ε n 0 uniformemente sui compatti di R d per ogni ε > 0, Y n 0 X 0 in legge; allora {X n } converge in legge ad X.

22 Esempio: da Cox-Ross-Rubinstein a Black-Scholes Per ogni n 1 consideriamo un modello di Cox-Ross-Rubinstein Sk+1 n = S k n ξn k+1, k 1 con (ξk n) k i.i.d. con distribuzione, sotto Q, data da Q{ξ n k = u} = q n, Q{ξ n k = d} = 1 q n dove ricordiamo che q n = 1 + R n d n u n d n, 1 q n = u n 1 R n u n d n q q con u n = e σ 1 n, d n = e σ 1 n e R n = e r n 1. Vogliamo dimostrare che Xt n = S[nt] n converge in legge verso S t soluzione di ds t = rs t dt + σs t dw t

23 Esempio: da Cox-Ross-Rubinstein a Black-Scholes Per ogni n 1 consideriamo un modello di Cox-Ross-Rubinstein Sk+1 n = S k n ξn k+1, k 1 con (ξk n) k i.i.d. con distribuzione, sotto Q, data da Q{ξ n k = u} = q n, Q{ξ n k = d} = 1 q n dove ricordiamo che q n = 1 + R n d n u n d n, 1 q n = u n 1 R n u n d n q q con u n = e σ 1 n, d n = e σ 1 n e R n = e r n 1. Vogliamo dimostrare che Xt n = S[nt] n converge in legge verso S t soluzione di ds t = rs t dt + σs t dw t

24 Da CRR a BS: convergenza della media Calcoliamo allora b n (x) = ne x [(S n 1 x)1 S n 1 x 1] = = n((xu n x)q n + (xd n x)(1 q n )) = = nx((u n 1)q n + (d n 1)(1 q n )) = = nx(u n q n + d n (1 q n ) 1) = ( = nx(1 + R n 1) = nx 1 + r ( ) ) 1 n + o 1 = n = xr + o(1) rx dove abbiamo usato il fatto che S n è una martingala sotto Q, e quindi u n q n + d n (1 q n ) = 1 + R n.

25 Da CRR a BS: convergenza della varianza Inoltre, a n (x) = E x [(S n 1 x) 2 1 S n 1 x 1] = = n(x 2 (u n 1) 2 q n + x 2 (d n 1) 2 (1 q n )) = ( ) 2 = nx σ n + o(n 1/2 ) 1 q n + ( ) σ n + o(n 1/2 ) 1 (1 q n ) = ( ) σ = nx 2 2 n q n + σ2 n (1 q n) + o(n 1 ) = = σ 2 x 2 + o(1) σ 2 x 2 uniformemente sui compatti.

26 Da CRR a BS: salti piccoli Infine, per x < M, { pn(x) ε = nq x { Y1 n x > ε} = nq x ξ1 n 1 > ε } < { x < nq x ξ n 1 > ε } M e per n abbastanza grande si ha che e ± σ n 1 < ε M, e quindi la probabilitá sopra é definitivamente uguale a 0. Si ha quindi che (X n ) n converge in legge alla soluzione dell equazione differenziale stocastica ds t = RS t dt + σs t dw t

27 Da CRR a BS: salti piccoli Infine, per x < M, { pn(x) ε = nq x { Y1 n x > ε} = nq x ξ1 n 1 > ε } < { x < nq x ξ n 1 > ε } M e per n abbastanza grande si ha che e ± σ n 1 < ε M, e quindi la probabilitá sopra é definitivamente uguale a 0. Si ha quindi che (X n ) n converge in legge alla soluzione dell equazione differenziale stocastica ds t = RS t dt + σs t dw t

28 Simulazione Monte Carlo di processi stocastici Supponiamo di dover calcolare E[f (X T )] (o anche un funzionale più generale), dove X è un processo di diffusione in R d avente dinamica generale dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) dw t (2) In casi particolari (d = 1, alcuni casi con d > 1) si può costruire uno schema ad albero, computazionalmente efficiente (es. Black-Scholes e CRR). Se però d > 4, SE FATTIBILE, questo inizia comunque ad essere computazionalmente inefficiente. Vediamo ora come simulare la legge di X (e calcolare E[f (X T )]) con il metodo Monte Carlo. L idea é di simulare X con Y n, che per il teorema di convergenza in legge visto la scorsa settimana hanno leggi vicine a quella di X, e simulare Y n tramite un metodo Monte Carlo.

29 Simulazione Monte Carlo di processi stocastici Supponiamo di dover calcolare E[f (X T )] (o anche un funzionale più generale), dove X è un processo di diffusione in R d avente dinamica generale dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) dw t (2) In casi particolari (d = 1, alcuni casi con d > 1) si può costruire uno schema ad albero, computazionalmente efficiente (es. Black-Scholes e CRR). Se però d > 4, SE FATTIBILE, questo inizia comunque ad essere computazionalmente inefficiente. Vediamo ora come simulare la legge di X (e calcolare E[f (X T )]) con il metodo Monte Carlo. L idea é di simulare X con Y n, che per il teorema di convergenza in legge visto la scorsa settimana hanno leggi vicine a quella di X, e simulare Y n tramite un metodo Monte Carlo.

30 Simulazione Monte Carlo di processi stocastici Supponiamo di dover calcolare E[f (X T )] (o anche un funzionale più generale), dove X è un processo di diffusione in R d avente dinamica generale dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) dw t (2) In casi particolari (d = 1, alcuni casi con d > 1) si può costruire uno schema ad albero, computazionalmente efficiente (es. Black-Scholes e CRR). Se però d > 4, SE FATTIBILE, questo inizia comunque ad essere computazionalmente inefficiente. Vediamo ora come simulare la legge di X (e calcolare E[f (X T )]) con il metodo Monte Carlo. L idea é di simulare X con Y n, che per il teorema di convergenza in legge visto la scorsa settimana hanno leggi vicine a quella di X, e simulare Y n tramite un metodo Monte Carlo.

31 Simulazione Monte Carlo di processi stocastici Supponiamo di dover calcolare E[f (X T )] (o anche un funzionale più generale), dove X è un processo di diffusione in R d avente dinamica generale dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) dw t (2) In casi particolari (d = 1, alcuni casi con d > 1) si può costruire uno schema ad albero, computazionalmente efficiente (es. Black-Scholes e CRR). Se però d > 4, SE FATTIBILE, questo inizia comunque ad essere computazionalmente inefficiente. Vediamo ora come simulare la legge di X (e calcolare E[f (X T )]) con il metodo Monte Carlo. L idea é di simulare X con Y n, che per il teorema di convergenza in legge visto la scorsa settimana hanno leggi vicine a quella di X, e simulare Y n tramite un metodo Monte Carlo.

32 Simulazione Monte Carlo di processi stocastici Supponiamo di dover calcolare E[f (X T )] (o anche un funzionale più generale), dove X è un processo di diffusione in R d avente dinamica generale dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) dw t (2) In casi particolari (d = 1, alcuni casi con d > 1) si può costruire uno schema ad albero, computazionalmente efficiente (es. Black-Scholes e CRR). Se però d > 4, SE FATTIBILE, questo inizia comunque ad essere computazionalmente inefficiente. Vediamo ora come simulare la legge di X (e calcolare E[f (X T )]) con il metodo Monte Carlo. L idea é di simulare X con Y n, che per il teorema di convergenza in legge visto la scorsa settimana hanno leggi vicine a quella di X, e simulare Y n tramite un metodo Monte Carlo.

33 Esempio: schema di Eulero Se dobbiamo simulare un processo con dinamica dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) dw t con b : R d R d, σ : R d R d m, W moto browniano m-dimensionale, costruiamo la catena di Markov approssimante in questo modo: Y n k+1 := Y n k + b(y n k ) + σ(y n k )w n k+1 con (w n k ) k i.i.d. N(0, I m ), := 1 n e I m matrice identità m-dimensionale. Andiamo ora a verificare le condizioni del teorema (per semplicitá di calcoli consideriamo il caso d = 1).

34 Esempio: schema di Eulero Se dobbiamo simulare un processo con dinamica dx t = b(x t ) dt + σ(x t ) dw t con b : R d R d, σ : R d R d m, W moto browniano m-dimensionale, costruiamo la catena di Markov approssimante in questo modo: Y n k+1 := Y n k + b(y n k ) + σ(y n k )w n k+1 con (w n k ) k i.i.d. N(0, I m ), := 1 n e I m matrice identità m-dimensionale. Andiamo ora a verificare le condizioni del teorema (per semplicitá di calcoli consideriamo il caso d = 1).

35 Convergenza di media e varianza Abbiamo b n (x) = ne[y n 1 Y n 0 Y n 0 = x] = = ne[y n 0 + b(y n 0 ) + σ(y n 0 )w 1 Y n 0 Y n 0 = x] = = n(b(x) + σ(x)e[w 1 ]) = b(x), e banalmente b n b sui compatti. Inoltre, a n (x) = ne[(y n 1 Y n 0 ) 2 Y n 0 = x] = = ne[b 2 (Y n 0 ) + σ 2 (Y n 0 )w b(Y n 0 ) σ(y n 0 )w 1 Y n 0 = x] = = n(b 2 (x) 2 + σ 2 (x)e[w 2 1 ] + 2b(Y n 0 ) σ(y n 0 )E[w 1 ]) = = 1 n b2 (x) + nσ 2 (x) + 2b(x)σ(x) 0 = σ 2 (x) + b2 (x) n e anche qui σ n σ sui compatti.

36 Convergenza di media e varianza Abbiamo b n (x) = ne[y n 1 Y n 0 Y n 0 = x] = = ne[y n 0 + b(y n 0 ) + σ(y n 0 )w 1 Y n 0 Y n 0 = x] = = n(b(x) + σ(x)e[w 1 ]) = b(x), e banalmente b n b sui compatti. Inoltre, a n (x) = ne[(y n 1 Y n 0 ) 2 Y n 0 = x] = = ne[b 2 (Y n 0 ) + σ 2 (Y n 0 )w b(Y n 0 ) σ(y n 0 )w 1 Y n 0 = x] = = n(b 2 (x) 2 + σ 2 (x)e[w 2 1 ] + 2b(Y n 0 ) σ(y n 0 )E[w 1 ]) = = 1 n b2 (x) + nσ 2 (x) + 2b(x)σ(x) 0 = σ 2 (x) + b2 (x) n e anche qui σ n σ sui compatti.

37 Salti piccoli Infine, per ogni ε > 0, np x { Y n 1 x > ε} = np{ b(x) + σ(x)w 1 > ε} = = np{(b(x) + σ(x)w 1 ) 4 > ε 4 } n ε 4 E[(b(x) + σ(x)w 1) 4 ] e quindi si ha convergenza in legge. 4n ε 4 (E[(b(x) )4 ] + E[(σ(x)w 1 ) 4 ]) = = 4n ε 4 (b4 (x) 4 + 3σ 4 (x) 2 ) = = 4b4 (x) σ 4 (x) ε 4 0

38 Esempio: opzione asiatica Supponiamo di voler valutare una opzione asiatica sulla media aritmetica, cioè con payoff del tipo g(s T, A T ), con A t := t 0 S u du. Esempi: average price Asian put (put sul prezzo medio): ( g(s T, A T ) := K A ) + T T average strike Asian call (call sullo strike medio): ( g(s T, A T ) := S T A ) + T T Allora il problema può essere ricondotto a calcolare una funzione del processo di Markov bidimensionale ds t = S t (r dt + σ dw t ), da t = S t dt

39 Esempio: opzione asiatica Supponiamo di voler valutare una opzione asiatica sulla media aritmetica, cioè con payoff del tipo g(s T, A T ), con A t := t 0 S u du. Esempi: average price Asian put (put sul prezzo medio): ( g(s T, A T ) := K A ) + T T average strike Asian call (call sullo strike medio): ( g(s T, A T ) := S T A ) + T T Allora il problema può essere ricondotto a calcolare una funzione del processo di Markov bidimensionale ds t = S t (r dt + σ dw t ), da t = S t dt

40 Esempio: opzione asiatica Supponiamo di voler valutare una opzione asiatica sulla media aritmetica, cioè con payoff del tipo g(s T, A T ), con A t := t 0 S u du. Esempi: average price Asian put (put sul prezzo medio): ( g(s T, A T ) := K A ) + T T average strike Asian call (call sullo strike medio): ( g(s T, A T ) := S T A ) + T T Allora il problema può essere ricondotto a calcolare una funzione del processo di Markov bidimensionale ds t = S t (r dt + σ dw t ), da t = S t dt

41 Esempio: opzione asiatica Supponiamo di voler valutare una opzione asiatica sulla media aritmetica, cioè con payoff del tipo g(s T, A T ), con A t := t 0 S u du. Esempi: average price Asian put (put sul prezzo medio): ( g(s T, A T ) := K A ) + T T average strike Asian call (call sullo strike medio): ( g(s T, A T ) := S T A ) + T T Allora il problema può essere ricondotto a calcolare una funzione del processo di Markov bidimensionale ds t = S t (r dt + σ dw t ), da t = S t dt

42 Esempio: opzione asiatica Bisogna simulare il processo di Markov bidimensionale ds t = S t (r dt + σ dw t ), da t = S t dt che può essere simulato tramite lo schema di Eulero bidimensionale Sn+1 N = Sn N + rsn N + σsn N w n+1 = Sn N (1 + r + σw n+1 ), A N n+1 = A N n + Sn N con (w n ) n i.i.d. di legge N(0, 1 n ) e = 1 n.

43 Esempio: opzione asiatica Bisogna simulare il processo di Markov bidimensionale ds t = S t (r dt + σ dw t ), da t = S t dt che può essere simulato tramite lo schema di Eulero bidimensionale Sn+1 N = Sn N + rsn N + σsn N w n+1 = Sn N (1 + r + σw n+1 ), A N n+1 = A N n + Sn N con (w n ) n i.i.d. di legge N(0, 1 n ) e = 1 n.

44 Note 1 Per simulare un vettore aleatorio gaussiano (X 1, X 2 ), un tipico trucco é usare il fatto che, se U 1, U 2 sono delle variabili aleatorie uniformi su (0, 1) indipendenti, allora (X 1, X 2 ), definito da X 1 := 2 log U 1 sin 2πU 2, X 2 := 2 log U 1 cos 2πU 2 ha legge N(0, I 2 ). 2 Per controllare se il codice non dia dei valori palesemente errati, si tenga presente che [ T E[(A T 0) + ] = E = 0 T 0 ] T S t dt = E[S t ] dt = 0 s 0 e rt dt = s 0 e rt 1 r

45 Note 1 Per simulare un vettore aleatorio gaussiano (X 1, X 2 ), un tipico trucco é usare il fatto che, se U 1, U 2 sono delle variabili aleatorie uniformi su (0, 1) indipendenti, allora (X 1, X 2 ), definito da X 1 := 2 log U 1 sin 2πU 2, X 2 := 2 log U 1 cos 2πU 2 ha legge N(0, I 2 ). 2 Per controllare se il codice non dia dei valori palesemente errati, si tenga presente che [ T E[(A T 0) + ] = E = 0 T 0 ] T S t dt = E[S t ] dt = 0 s 0 e rt dt = s 0 e rt 1 r

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