Argomento 14 Soluzioni degli esercizi

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1 Argomento Soluzioni degli esercizi SUGGERIMENTI ESERCIZIO 0 Porre x + = z ESERCIZIO Le equazioni di secondo grado in z si risolvono sostanzialmente come si suole fare nel campo reale, senza restrizioni sul discriminante; quelle di grado superiore o che coinvolgono moduli e coniugati si risolvono passando (dopo opportune considerazioni) alla forma trigonometrica; quelle che coinvolgono anche parte reale ed immaginaria si risolvono ponendo z = x+iy e risolvendo il sistema delle due equazioni (in x e y) relative a parte reale ed immaginaria ESERCIZIO Porre z = x + iy, conx, y R ESERCIZIO 9 Osservare che arg(z )=arg(z) SOLUZIONI Sol Ex z i 7i i 0 0 Re z Imz z +i 7i 0 0 i 0 0 z += Sol Ex z w = 7i ; zw =8+i ; w = 5 5 i ; z w = i

2 Sol Ex a) z = (+i)( i) i = ( i)(+i) ( i)(+i) = + i b) z = c) z = i( + i) = i (5 i) (5 + i)(5 i) = i +i = i i = i i = 6+i i i Sol Ex Denotando con θ l argomento prescelto per rappresentare il numero complesso, si ha a) i =, θ = π b) i =, θ = π c) π = π, θ = π d) + i =, θ = π e) i =, θ = π f) =, θ =0 Sol Ex 5 Poiché + i = e l argomento principale di + i è π µ in forma trigonometrica come cos π + i sin π :quindi,ilnumeroz si rappresenta µ µ π π z 0 = cos i sin 0 = 0 Poiché +i = e l argomento principale di +i è π,ilnumeroz si rappresenta in forma 6 trigonometrica come cos π 6 + i sin π : quindi 6 π z = hcos π i 6 + i sin 6 = cos π 6 + i sin π = + i 6 Sol Ex 6 a) z = 8 hamodulo8eargomentoprincipaleθ = π Quindi le sue radici terze hanno modulo 8 = e argomento principale θk = π +k π con k =, 0, Dunque in forma trigonometrica µ π le radici si esprimono come: w k = cos + k π µ π + i sin + k π e in particolare: h π π i w 0 = cos + i sin =+ i e w =(cosπ + i sin π) = La forma algebrica della restante radice si ricava osservando che w è simmetrica di w rispetto all asse reale: w = w = i

3 esercizio (a) esercizio (b) esercizio (c) esercizio (d) b) z =7i ha modulo 7 e argomento principale θ = π/ Quindi le sue radici terze hanno modulo 7 = e argomento principale θk = π 6 + k π con k =, 0, Dunque in forma trigonometrica le radici si esprimono come: w k = cos µ π 6 + k π µ π + i sin 6 + k π Per trovare facilmente la loro forma algebrica, osservare che µ π w = cos 6 π µ π + i sin 6 π = i, w 0 = cos π 6 + i sin π = 6 + i elarestanteradiceè simmetrica di questa rispetto all asse immaginario: w = + i c) z = +i hamoduloeargomentoprincipaleθ = π Quindi le sue radici quadrate hanno modulo e argomento principale θ k = π + kπ con k =, 0 Dunque in forma trigonometrica le radici, che sono una l opposta dell altra, si esprimono come: w k = h π kπ π kπi cos + + i sin La loro forma algebrica è: w 0 = + i, w = i d) z = i hamoduloeargomentoprincipaleθ = π Quindi le sue radici quarte hanno modulo e argomento principale θ k = π 6 +kπ con k =, 0,, Dunque in forma trigonometrica le radici si esprimono come: w k = h cos π 6 + k π + i sin π 6 + k π i La loro forma algebrica si ricava osservando che per ognuno dei k>0sihaw k = w k per k =0,θ 0 = π 6 = w 0 = 6 (cos(θ 0 )+isin (θ 0 )) = i = w per k =,θ = π + θ 0 = w = 6 ( sin (θ 0 )+icos (θ 0 )) = + i = w

4 Sol Ex 6 bis a) z = i ha modulo 8 e argomento principale θ = π Quindi le sue radici terze hanno modulo e argomento principale θ k = π + k π con k =, 0, Dunque in forma trigonometrica le radici si esprimono come: w k = cos µ π + k π µ π + i sin + k π Quindi w 0 = + i, mentre l espressione algebrica delle restanti radici si ricava usando le formule di addizione per coseno e seno e osservando chew è simmetrica di w rispetto alla bisettrice del I-III quadrante: w = + i, w = i esercizio (a) esercizio (b) esercizio (c) b) z =6i ha modulo 6 e argomento principale θ = π/ Quindi le sue radici seste hanno modulo 6 6 = e argomento principale θk = π + k π con k =,,, 0,, Dunque in forma h π trigonometrica le radici si esprimono come: w k = cos + k π π + i sin + k π i Per trovare facilmente la loro espressione algebrica, osservare che per ognuno dei k<0sihaw k = w k+ Ã per k =,θ = π + π = π! = w = + i = +i = w per k =,θ = θ π = h w = cos θ π + i sin θ π i = + i = w per k =0,θ 0 = π θ = h π π i w 0 = cos θ + i sin θ =(sin(θ )+icos (θ ))= +i = w c) z = 6i ha modulo 6 e argomento principale θ = π/ Quindi le sue radici seste hanno modulo 6 6 = e argomento principale θ k = π +k π con k =,, 0,,, Dunque in forma h trigonometrica le radici si esprimono come: w k = cos π + k π + i sin π + k π i Ã! La loro espressione algebrica si ricava come sopra: w = + i = +i = w ; w 0 = + i = w ; w = + i = w

5 d) z = 6 ha modulo 6 e argomento principale θ = π Quindi le sue radici ottave hanno modulo 8 6 = e argomento principale θk = π 8 + k π con k =,,,, 0,,, Dunque in forma trigonometrica le radici si esprimono come: w k = h π cos 8 + k π π + i sin 8 + k π i La loro espressione algebrica si ricava applicando le formule di bisezione (vedi MiniMat Lezione π π 7) per trovare cos esin e osservando che 8 8 per ognuno dei k<0sihaw k = w k+ per k =0,θ 0 = π 8 = w 0 = (cos(θ 0 )+i sin (θ 0 )) = r + per k =,θ = π θ 0 = w = r (sin(θ 0 )+icos (θ 0 )) = w per k =,θ = π +θ 0 = w = ( sin (θ 0 )+i cos (θ 0 )) = r w per k =,θ = π θ 0 = w = ( cos (θ 0 )+i sin (θ 0 )) = r + w +ir = w + ir + = +ir + +ir = = esercizio (d) esercizio (e) esercizio (f) e) z = i ha modulo e argomento principale θ = π Quindi le sue radici quarte hanno modulo e argomento principale θ k = π + k π con k =, 0,, Dunque in forma trigonometrica le radici si esprimono come: w k =cos π + k π + i sin π + k π La loro espressione algebrica si ricava come sopra: w 0 =cos π + i sin π 6+ 6 = + i = w ; w = sin π + i cos π 6 6+ = + i = w f) i ha modulo e argomento principale θ = π Quindi le sue radici terze hanno modulo eargomentoprincipaleθ k = π + k π con k =, 0, Dunque in forma trigonometrica µ le radici si esprimono come: w k =cos π + k π µ + i sin π + k π 5

6 La loro espressione algebrica si ricava osservando che θ = π equindiw = i einoltrew èsimmetrica di w 0 rispetto alla bisettrice del I-III quadrante Quindi w 0 = + i, w = + i Sol Ex Se z 0 =+i è una radice quarta di un numero complesso α, le altre radici quarte si trovano sulla stessa circonferenza con centro nell origine a cui appartiene z 0 (che ha raggio 5): una sarà lasuaoppostaz = i, le altre due stanno in direzione ortogonale a queste e quindi sono z = +i e z = i - Sol Ex Se z 0 = i una radice ottava di un numero complesso α, le altre radici ottave si trovano ai vertici di un ottagono regolare inscritto nella circonferenza con centro nell origine a cui appartiene z 0 (che ha raggio 5): una sarà lasuaoppostaz = +i, altre due stanno in direzione ortogonale a queste e quindi sono z =+i e z = i Vi sono poi le radici ruotate di π/ rispetto a queste: z = 7 + i,z 5 = 7 i, z = + i 7,z 7 = i 7 Sol Ex Se z 0 = +i una radice terza di un numero complesso α, le altre radici terze si trovano ai vertici di un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza con centro nell origine a cui appartiene z 0 (che ha raggio ): quindi sono ruotate di π/ e π/ rispetto a z 0 : z = z = +i +i = +i = + +i, + 6

7 Sol Ex 0 Posto x +=z, sihaz +=0see solose z è una radice quarta di Si vede quindi che le radici del polinomio P (x) =(x +) + nel piano di Argand-Gauss risultano traslate di tali radici quarte nella direzione dell asse reale e nel verso negativo di unità Le radici di sonoz 0 = + i, z = + i, z = i, z = i x 0 = + i, x = x = + i, x = Di + conseguenza + i, i sono le radici (a due a due coniugate) del polinomio P (x) che si può quindi scrivere come prodotto di polinomi a coefficienti complessi di primo grado come segue: (x x 0 )(x x )(x x )(x x ) Tenendo conto che x = x 0 e x = x si vede che P (x) =[(x x 0 )(x x 0 )] [(x x )(x x )] = x (Rex 0 ) x + x 0 x (Rex ) x + x = = x x +5 x + x +5+ Sol Ex a) z +z +=0 (z +) +=0 (z +) = z = ± i b) z +iz =0 (z + i) =0 z = i ± c) iz +(+i)z +=0 i (iz +(+i)z +) = 0 z +( i)z i =0cioè, applicando la proprietà chelegaicoefficienti di un equazione di secondo grado alle sue radici: z = oppure z = i Se non si ricorda tale proprietà basta proseguire nel seguente modo: z + ( i)z + ( i) + i i =0 z + ( i) = i z + ( i) =± ( + i) z = oppure z = i d) z 6 +z =0 z = ± Si tratta dunque di trovare le radici cubiche complesse di due numeri reali, uno, a = +, positivo (e quindi di argomento 0), l altro, b =, negativo (e quindi di argomento π) Le radici di a sono z 0 = p, z = p + i e z = p i Quelledibsono z = p +, z = p + + i e z 6 = p i Dunque ci sono 6 soluzioni distinte e) z = z ha tra le sue soluzioni z = 0 Se z 6= 0 si può scrivere in forma trigonometrica: z = z (cos θ + i sin θ) e quindi l equazione diventa: z = z (cos θ + i sin θ), cioè z (cos θ + i sin θ) = Questo succede se e solo se z =eθ =kπ (con k Z) Ciò dà luogoaradicidistinteottenuteperk =0,, : z 0 =,z = +i ez = i Dunque l equazione ha soluzioni distinte 7

8 f) z + z = 0 ha tra le sue soluzioni z =0 Sez 6= 0,sipuòsipuò moltiplicare per z ottenendo l equazione equivalente: z + z = 0 e sostituire: z = z (cos θ + i sin θ) Come sopra si arriva all equazione: z (cos θ + i sin θ) = Questo succede se e solo se z =eθ = π +kπ (con k Z) Ciò dà luogo a radici distinte ottenute per k =0,, : z 0 =, z = + i e z = i Dunque l equazione ha soluzioni distinte g) (z) = z (z) = z (z) = z Tra le sue soluzioni c è z =0 Sez 6= 0,sipuòsostituire: z = z (cos θ + i sin θ) Si arriva all equazione: z (cos θ + i sin θ) = Questo succede se esolose z =eθ =kπ (con k Z) Ciò dàluogoaradicidistinteottenuteper k =, 0,, : z 0 =,z = i elelorooppostez = ez = i Dunque l equazione ha 5 soluzioni distinte h) iz = z ha tra le sue soluzioni z = 0 Se z 6= 0, si può moltiplicare per iz ottenendo l equazione equivalente: z = i z e sostituire: z = z (cos θ + i sin θ) Come sopra si arriva all equazione: z (cos θ + i sin θ) = i Questo succede se e solo se z =eθ = π +kπ (con k Z) Ciòdàluogo a radici distinte ottenute per k =, 0,, : z 0 = + + z = + i elelorooppostez = + i e z = Dunque l equazione ha 5 soluzioni distinte + i i i) Posto z = x + iy (con x, y R) l equazionei Re(z)+z = z +diventa ix +(x + iy) = x + y + cioè (y +)+i (x + xy) =0 ½ y Questo succede se e solo se èverificato il sistema +=0 x ( + y) =0 Ma la prima equazione è impossibile e quindi l equazione assegnata è impossibile, + j) Posto z = x + iy (con x, y R) l equazione z +i +(Re(z))(i +(Im(z)) ) = 0 diventa x +(+y) i + x (i + y )=0cioè x + xy +(+x + y) i = 0 Questo succede se e solo se è ½ ½ ½ x + xy verificato il sistema =0 x =0 +y +x + y =0,cioèserisulta y = oppure =0 +x + y =0 Il secondo sistema è impossibile e quindi l equazione ha l unica soluzione z = i Sol Ex () Posto z = x + iy, conx, y R, siha a) A = {(x, y) R : 0 x<π} è la striscia di piano compresa tra l asse y incluso e la retta (ad esso parallela) x = π, esclusa b) B = {(x, y) R : 0 y<π} = {(x, y) R : π <y 0} è la striscia di piano compresa tra l asse x incluso e la retta (ad esso parallela) y = π, esclusa ) In quasi tutte le soluzioni gli insiemi sono stati descritti solo a parole: si consiglia di provare però a tracciare i disegni corrispondenti 8

9 c) C = {(x, y) R :Re(x y +ixy) =} = {(x, y) R : x y =} è una iperbole equilatera che ha per assi gli assi cartesiani, che taglia l asse reale nei punti di ascissa ± e ha asintoti y = x e y = x d) D = {(x, y) R : xy =} è una iperbole equilatera che ha per asintoti gli assi cartesiani, per assi le bisettrici del I-III e II-IVquadrante e taglia il primo nei punti di ascissa ± C = {z : Re(z )=} D = {z : Im(z )=} e) z < z < z < Quindi E = {(x, y) R : x + y < } è l interno del cerchio con centro nell origine e raggio (circonferenza esclusa) f) F = {z : z > } rappresenta tutti i punti del piano privato del cerchio con centro nell origine e raggio ma non della corrispondente circonferenza g) Se è possibile scrivere il suo reciproco, z è 6= 0 Quindi G = {z : 0 < z } rappresenta il cerchio con centro nell origine e raggio compresa la circonferenza, ma privato del centro ½ h) Trattandosi di disuguaglianze tra numeri reali positivi, z z z + z + equivalea z 6= Quindi H = {(x, y) R : (x ) + y (x +) + y e(x, y) 6= (, 0)} = = {(x, y) R : x +y +0x + 0e(x, y) 6= (, 0)} Questo è l insieme di tutti i punti del piano privato del cerchio con centro in 5, 0 e raggio ma non della corrispondente circonferenza (il punto (, 0) resta escluso automaticamente, essendo interno al cerchio) Sol Ex z + i = i z + z + èrealeseesoloseloè i i (z +) = z + (z +)(z +) = (z i + i) cioèse z + esoloseloè(z i + i) Posto z = x + iy, sihaz i + i =(x +)i + y: questoèunnumeroreale se e solo se x + = 0 Quindi il luogo dei punti che per cui è reale il numero assegnato èlaretta (parallela all asse y) diequazionex = 9

10 Sol Ex ( z + 5 La condizione assegnata equivale al sistema di due disequazioni: z i > 5 ( (x +) + y 5 cioè, ponendo z = x + iy, x +(y ) > 5 La prima disequazione rappresenta il cerchio di centro (, 0) e raggio - 0 Sol Ex 5-5 (circonferenza inclusa), la seconda rappresenta il piano privato del cerchio di centro (0, ) e raggio 5 e della corrispondente circonferenza La regione cercata è l intersezione tra questi due insiemi, cioè la mezzaluna che resta nel primo cerchio una volta tolto il secondo, bordi del primo cerchio (rosso in figura) compresi, bordi del secondo (blu in figura) esclusi a) La condizione assegnata equivale al sistema di due disequazioni: cioè, ponendo z = x + iy, ( z + z i z i < 5-0 ( ( (x +) + y x +(y ) x +y 0 x +(y ) < 5 x +(y ) < 5 La prima disequazione rappresenta il semipiano che giace al di sotto della retta di equazione y = x + retta compresa; la seconda il cerchio di centro (0, ) e raggio 5 (circonferenza esclusa) La regione cercata è l intersezione tra questi due insiemi, cioè ilpiù piccolo tra i due segmenti circolari (= parti del cerchio delimitate da una corda) presenti in figura (corda compresa, tranne gli estremi) b) La condizione assegnata equivale al sistema di due disequazioni: cioè, ponendo z = x + iy, ( z z + i z + i < ( ( (x ) + y x +(y +) x +y 0 x +(y +) < 5 x +(y +) < La prima disequazione rappresenta il semipiano che giace al di sopra della retta di equazione y = x + retta compresa; lasecondail cerchio di centro (0, ) e raggio 5 (circonferenza esclusa) La regione cercata è l intersezione tra questi due insiemi, cioè ilpiù piccolo tra i due segmenti circolari presenti in figura (corda compresa, tranne gli estremi) 0

11 Sol Ex 6 n a) A = z : < z < ; π < arg(z) < π o : la prima disuguaglianza dice che si devono prendere punti interni (senza contorni) della corona circolare con centro nell origine e raggi e ; la seconda dice che i punti di A devono anche appartenere all angolo convesso formato dalle due semirette aventi origine nell origine del piano di Argand-Gauss che formano con l asse reale angoli (orientati positivamente) di ampiezza π e π : in totale quindi si tratta del settore di corona circolare indicato nella figura (a), privato dei contorni figura (a) figura (b) b) Tenuto conto che il prodotto iz ha modulo iz = z e argomento arg iz = π +argz, sivedeche i punti della regione B = {iz : z A} sono quelli ottenuti ruotando attorno all origine di π in verso antiorario il settore descritto nel punto precedente (vedi figura (b)) c) Tenuto conto che arg(z) = arg z per ogni z chenonsiaununnumeroreale 0esearg(z) =π z < z la seconda disuguaglianza è sicuramente valida, le due condizioni arg(z) > π +arg(z) ( z < z x +y 8x +< 0 possono essere riscritte come arg(z) > π cioè, posto z = x+iy, π 8 < arg(z) π µ La prima disequazione rappresenta i punti interni al cerchio di centro, 0 e raggio,la seconda rappresenta l angolo compreso tra la semiretta con origine nell origine del piano di Argand-Gauss inclinata di π rispetto all asse x (esclusa) il semiasse reale negativo (compreso) 8 Dunque C è il segmento circolare più piccolo tra i due presenti in figura privato dei bordi figura (c)

12 Soluzione degli esercizi teorici Sol Ex 7 Dire che w è una radice n-esima del numero complesso z equivale a dire che w n = z Deve allora essere vero che w n = z epoiché w n =(w) n si ha (w) n = z cioè w èunaradice n-esima di z Il viceversa si prova allo stesso modo Sol Ex 8 Sostituendo z = x + iy, α =Reα + i Im α e β =Reβ + i Im β nell uguaglianza z α = z β si trova: (x Re α) +(y Im α) =(x Re β) +(y Im β) cioè (Reα Re β) x +(Imα Im β) y =(Reα) +(Imα) (Re β) (Im β) Se α 6= β almeno uno dei due coefficienti (Re α Re β) e(imα Im β) è non nullo e quindi l equazione rappresenta una retta Se α = β si ha un identità, che quindi rappresenta l intero piano di Argand-Gauss Sol Ex 9 Notiamo che z = z z e quindi i due numeri z e z hanno ugual argomento (eventualmente se z 6= hanno modulo diverso) Quindi le relazioni da verificare equivalgono alle arg(z z) =arg(z)arg(z), arg(z z) arg(z)+arg(z) modπ, arg(z z) arg(z)arg(z) modπ È immediato verificare che la prima e l ultima sono false poiché z z è un numero reale positivo e quindi il suo argomento principale è 0, mentre il prodotto dei due argomenti principali non lo è, neppure a meno di multipli di π se z non è un numero reale positivo La seconda relazione èverificata da ogni numero complesso non nullo: infatti nel piano di Argand- Gauss z e z sono rappresentati da punti simmetrici rispetto all asse reale col quale formano quindi angoli orientati opposti: si ha addirittura arg(z) = arg(z) equindiarg(z)+ arg(z) = 0 = arg(z z) se z non è un numero reale negativo Se invece z è un numero reale negativo si ha arg(z) =π e anche arg(z) = π (ricordiamo che l argomento principale varia in( π, π]): quindi arg(z)+ arg(z) = π =arg(zz)+π cioè vale la congruenza ma non l uguaglianza Sol Ex 0 z + z + z =Rez + z 0è una disequazione tra numeri reali, risolubile (tra le sue soluzioni c è certamente z = 0;inrealtà le sue soluzioni nel piano di Argand-Gauss sono rappresentate da un cerchio) z z + z =iim z + z 0nonhasignificato, poiché sez non èrealeiim z + z èunnumero complesso: e nei numeri complessi non c è la relazione di z < z z = i Im z = Im z è una disequazione tra numeri reali, impossibile, poiché Im z rappresenta la lunghezza di un cateto di un triangolo rettangolo di cui z rappresenta la lunghezza dell ipotenusa