SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO ESAMI DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 2003 Calendario australe SECONDA PROVA SCRITTA Tema di Matematica

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1 essione odinaia Ameica Latina - CUOLE ITALIANE ALL ETERO EAMI DI TATO DI LICEO CIENTIFICO essione Odinaia Calendaio austale ECONDA PROVA CRITTA Tema di Matematica Il candidato isolva uno dei due poblemi e quesiti del questionaio. PROBLEMA Nel piano ifeito a coodinate catesiane, otoonali e monometiche (,), studiate la cuva G di equazione: ( ). Tacciatene il afico e denotate con s il suo asintoto obliquo.. Indicate con A e B i punti in cui s inconta ispettivamente l asse e la cuva G. ul semento AB pendete un punto P in modo che, detto Q il punto di G avente la stessa ascissa di P, sia massima l aea del tianolo APQ.. Deteminate l aea della eione finita di piano deitata da G e dalla bisettice del pimo e tezo quadante.. Deteminate l equazione della cuva simmetica di G ispetto alla bisettice del II e IV quadante. PROBLEMA Nel piano ifeito a coodinate catesiane otoonali e monometiche (, ), siano: il punto di coodinate (,); P un punto della etta di equazione ; n la etta pe pependicolae alla coniunente con P; Q il punto di intesezione di n con la etta s paallela pe P all asse. Tovate l equazione catesiana del luoo G descitto da Q al vaiae di P su. tudiate G, disenatene il afico e spieate con consideazioni eometiche quanto si isconta, analiticamente, pe i calcoli l aea della eione di piano acchiusa ta G, il suo asintoto obliquo, l asse e la etta i tovi l equazione del luoo K simmetico di G ispetto alla etta

2 essione odinaia Ameica Latina - QUETIONARIO. Quale è il dominio della funzione ( ) quale quello della deivata seconda nel punto f π π? Quale ne è il seno della deivata pima e π?. Calcolate il appoto ta la supeficie totale di un cilindo equilateo e la supeficie della sfea ad esso cicoscitta.. Dimostate che ( ) e. Dimostate che la somma di qualsiasi numeo eale positivo e del suo ecipoco è almeno 5. I adi sessaesimali, i adianti e i adi centesimali sono le più comuni unità pe la misua deli anoli. Date di ciascuna di esse una esauiente definizione.. ia APB un anolo la cui misua in adianti è data dal numeo e di Nepeo, base dei loaitmi natuali. Quale è la misua in adi sessaesimali di APB e quale quella in adi centesimali? Motivate la vosta isposta. 7. Calcolate la deivata della funzione f ( ) actan actan Quali conclusioni ne potete tae pe la f()? La funzione è una costante? e sì, quale è la costante?. Veificate che la funzione: calcolate '( e ). e è invetibile e detta la funzione invesa, Duata massima della pova : oe Non è consentito lasciae l Istituto pima che siano tascose oe dalla dettatua del tema. E consentito l uso della calcolatice tascabile non poammabile.

3 essione odinaia Ameica Latina - PROBLEMA Nel piano ifeito a coodinate catesiane, otoonali e monometiche (,), studiate la cuva G di equazione: ( ) Punto Tacciatene il afico e denotate con s il suo asintoto obliquo. tudiamo la funzione ( ) Dominio:,, ; Intesezioni asse ascisse: ; ( ) Intesezioni asse odinate: ; Positività: > > >,, ( ) ( ) > Asintoti veticali: ( ) ± pe cui è asintoto veticale; Asintoti oizzontali: non ve ne sono in quanto ± ( ) ± ; Asintoti obliqui: hanno equazione m q con q [ f ( ) m] ± ± obliquo ha equazione m ± ( ) ( ) f ( ) ± s : ; ± e pe cui l asintoto Cescenza e decescenza: la deivata pima della funzione è: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' pe cui

4 essione odinaia Ameica Latina - > ( ) ( ) > ' > (,),, pe cui la ( ) ( ) > > funzione è stettamente cescente in (, ),, e stettamente decescente altove. Concavità e convessità: la deivata seconda è ( )( ) ( )( ) '' >,, pe ( ) ( ) cui la funzione pesenta concavità veso l alto in,,. Dall analisi della deivata teza, ( ) ''', deduciamo che '''( ) pe cui in (,) ( ) 5 la funzione 9 7 pesenteà un flesso a tanente oizzontale. Inolte '' > pe cui, minimo elativo. Il afico è di seuito pesentato: è un Come icavato pecedentemente l asintoto obliquo ha equazione Punto s :. Indicate con A e B i punti in cui s inconta ispettivamente l asse e la cuva G. ul semento AB pendete un punto P in modo che, detto Q il punto di G avente la stessa ascissa di P, sia massima l aea del tianolo APQ.

5 essione odinaia Ameica Latina - L asintoto : s inconta l asse delle odinate in A,. Pe calcolae l intesezione dell asintoto con la cuva dobbiamo isolvee l equazione ( ) La etta AB ha equazione ( ) ( ) da cui B,. : s pe cui il punto P avà coodinate eneiche P, mente Q, ( ) con < <. La fiua seuente evidenzia la eometia del poblema. Il tianolo APQ ha base PQ ed altezza pai alla poiezione di A, sulla etta PQ. In paticolae PQ < < PQ ( ) ( ) ( ), mente l altezza misua h < < Q A Q h ( ) ( ) PQ h deivazione. La deivata pima di la funzione è stettamente cescente in pe cui l aea del tianolo APQ vale. La massimizzazione dell aea del tianolo APQ la effettuiamo mediante ( ) ( ) è ( ) ( ) ' pe cui nell intevallo < <, e stettamente decescente in, ; inolte la 5

6 essione odinaia Ameica Latina - deivata seconda è ( ) ( ) '' pe cui '' < pe cui l aea massima la si ha pe 5 cui coispondono P,, Q, e Punto ma. Deteminate l aea della eione finita di piano deitata da G e dalla bisettice del pimo e tezo quadante. Intesechiamo la cuva di equazione con la etta ottenendo: ( ) ( ) ( )( ) O C (,) (, ) B, L aea da calcolae è affiuata in vede nella fiua sottostante: Innanzitutto la funzione è scomponibile come ( ). ( ) ( ) ( ) Tale aea vale

7 essione odinaia Ameica Latina ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) 9ln ln ln ln d d d Punto Deteminate l equazione della cuva simmetica di G ispetto alla bisettice del II e IV quadante. La simmetica ispetto alla bisettice del II e IV quadante si ottiene mediante la tasfomazione seuente: Y pe cui la cuva ha equazione ( ) ( ) [ ] ( ) : Y Y Y Y Il afico sottostante mosta in osso il luoo G di equazione ( ), in blu il luoo di equazione ( ) ed in celeste la bisettice del secondo e quato quadante di equazione :

8 essione odinaia Ameica Latina - PROBLEMA Nel piano ifeito a coodinate catesiane otoonali e monometiche (, ), siano: il punto di coodinate (,) ; P un punto della etta di equazione ; n la etta pe pependicolae alla coniunente con P; Q il punto di intesezione di n con la etta s paallela pe P all asse. Punto Tovate l equazione catesiana del luoo G descitto da Q al vaiae di P su. i considei la fiua seuente. Il punto P, dovendo appatenee alla etta : passante pe (,) ha coodinate P ( t, t ) m P. La etta n ha equazione m dove m in quanto la etta n è pependicolae alla etta P. Il coefficiente anolae della etta P è t t m P pe cui la etta n ha t t t equazione. La etta s paallela pe P all asse ha equazione t pe cui il punto t Q ha coodinate. t t Q t, t t. Posto alloa t t t t il luoo G è t Punto tudiate G, disenatene il afico e spieate con consideazioni eometiche quanto si isconta, analiticamente, pe

9 essione odinaia Ameica Latina - tudiamo la funzione Dominio: (,) (, ) ; Intesezioni asse ascisse: non ve ne sono in quanto il cui delta è Δ < ; Intesezioni asse odinate: ; > Positività: > (,) > R < Asintoti veticali: ± pe cui è asintoto veticale; Asintoti oizzontali: non ve ne sono in quanto ± ; Asintoti obliqui: hanno equazione m q con m ± ( ) f ± e q ± [ f ( ) m] obliquo ha equazione ± 5 ; 5 ± Cescenza e decescenza: la deivata pima della funzione è: ( ) ( ) > ' > ( ) ( ) > stettamente cescente in (,) (,) 5 pe cui l asintoto ( ) ( ) ' pe cui < < (,) (,) pe cui la funzione è e stettamente decescente altove. Concavità e convessità: la deivata seconda è 9 '' > pe cui la ( ) (,) funzione pesenta concavità veso l alto in (,). Inolte ''( ) < pe cui (, ) massimo elativo. Il afico è di seuito pesentato: è un 9

10 essione odinaia Ameica Latina - tudiando analiticamente il luoo di equazione, abbiamo dedotto che esso pesenta come asintoto veticale e in paticolae ; tale situazione coisponde ± eometicamente al caso in cui il punto P ha coodinate (,) P, la etta P ha equazione e la nomale n ha equazione e cioè ha un coefficiente anolae infinito; di conseuenza il punto Q avà un odinata infinita. Punto i calcoli l aea della eione di piano acchiusa ta G, il suo asintoto obliquo, l asse e la etta L aea da calcolae è affiuata in vede nella fiua seuente:

11 essione odinaia Ameica Latina - Tale aea vale: ln 9 ln 9 ln 9 ln d d d Punto i tovi l equazione del luoo K simmetico di G ispetto alla etta Il luoo K si tova a patie dal luoo G attaveso la tasfomazione Y pe cui ( ) ( ) ( ) : : Y K G. Il luoo cecato è alloa : K.

12 essione odinaia Ameica Latina - QUETIONARIO Quesito Quale è il dominio della funzione f ( ) quale quello della deivata seconda nel punto π π? Quale ne è il seno della deivata pima e π? π La funzione in esame può essee così scitta: ( ) f ( ) f ( ) in cui il dominio di f ( ) R, mente il dominio di f ( ) π dominio R e cioè (, ) continuità in Le deivate sono: f ' f '' f è è tutto R ; quindi anche la funzione diffeenza ha come. Tuttavia, essendo l esponente π positivo, la funzione è polunabile pe in cui vale ( ) π ( ) π lnπ π π ( ) π ( π ) ln π π e valutate pe f ' f '' π foniscono f. π π π ( π ) π π lnπ π π ( lnπ ) π π π π ( π ) π ( π ) π ln π π π ( ln π ) π Oa essendo π > e ln π > ln e pe cui entambe le deivate in π assumono valoe neativo. Quesito Calcolate il appoto ta la supeficie totale di un cilindo equilateo e la supeficie della sfea ad esso cicoscitta. i considei la fiua sottostante che appesenta un cilindo di aio di base inscitto in una sfea di aio R. La supeficie totale del cilindo vale: Cilindo h π π h π π π. Il aio della sfea è R e la supeficie totale della sfea è ( ) π fea π R π. Quindi Cilindo fea π π.

13 essione odinaia Ameica Latina - Quesito Dimostate che ( ) e La funzione f ( ) ( ) può essee scitta equivalentemente come f ( ) cui ( ) ( ) ln( ) e ln ( ) ln( ) e e e in cui abbiamo sfuttato il ite notevole ( ) ln ln. Un modo altenativo è icondusi a un alto ite notevole, adopeando la e, pe sostituzione t t t. In questo modo si ha ( ) e t, avendo sfuttato il ite notevole e. t t t Quesito Dimostate che la somma di qualsiasi numeo eale positivo e del suo ecipoco è almeno ia un numeo eale positivo e il suo ecipoco. La loo somma è. Dimostiamo che R. La disequazione è equivalente a ( ) R essa è sempe soddisfatta. In paticolae la somma è pai a quando i due numei sono uuali. Quesito 5 I adi sessaesimali, i adianti e i adi centesimali sono le più comuni unità pe la misua deli anoli. Date di ciascuna di esse una esauiente definizione. Gado sessaesimale: un novantesimo di anolo etto. Il ado è divisibile in sessanta pati che definiscono i pimi, il pimo è divisibile in sessanta pati ottenendo i secondi; l ulteioe fazionamento poseue con la divisione decimale (es. α7, ). Gado centesimale: un centesimo di anolo etto. Il ado è divisibile in cento pati che definiscono i pimi centesimali, il pimo centesimale è divisibile in cento pati ottenendo i secondi centesimali; l ulteioe fazionamento poseue con sottomultipli decimali (es. α7 c, cc ). e

14 essione odinaia Ameica Latina - Radiante: un π di anolo piatto. Quesito ia APB un anolo la cui misua in adianti è data dal numeo e di Nepeo, base dei loaitmi natuali. Quale è la misua in adi sessaesimali di APB e quale quella in adi centesimali? Motivate la vosta isposta. Nel Quesito 5 sono state definite le te più comuni unità pe la misua deli anoli, i adi sessaesimali, i adianti e i adi centesimali. La popozione ta adianti e adi sessaesimali è: α π α α α π La popozione ta centesimali (indicati con ad) e adi sessaesimali è: α α α La popozione ta adianti e adi centesimali è: α 9 α α π α π α Nel caso in esame α α π e π α α 9 9 Quesito 7 Calcolate la deivata della funzione istema sessadecimale istema sessaesimale e '5' '.7 π c cc ( 55.7) f ( ) actan actan Quali conclusioni ne potete tae pe la f()? La funzione è una costante? e sì, quale è la costante? La funzione f ( ) actan actan è definita pe R /{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). La deivata pima è: ( ) '

15 essione odinaia Ameica Latina - Essendo la deivata pima nulla, la funzione è costante neli intevalli di esistenza (, ) e (, ), e il valoe della costante può essee tovato valutando la funzione in un punto qualsiasi dei due intevalli (, ) e (, ) (, ) e in (, ), si ha: (, ) ( ) actan( ) actan( ) actan( ) (, ) ( ) actan( ) actan ( ) actan( ) actan π 5π π. In paticolae, valutando la funzione in π In conclusione la funzione è costante a tatti e vale f ( ) Quesito actan actan Veificate che la funzione: calcolate '( e ) La funzione. e π π se se e è definita in /{ } (, ) (, ). è invetibile e detta la funzione invesa, R ed ha deivata pima ' e. Dall analisi della deivata pima si deduce cahe la funzione è stettamente descescente in tutto il dominio, pe cui invetibile in esso. Detta la funzione invesa, la deivata della funzione invesa è pai a '( ) f '( ) con f ( ) ( e ) f '. Nel caso in esame ' () e e e. e e, pe cui 5