Il determinante. Calcolo del determinante di matrici particolari. matrici di ordine 2: sia. a11 a A = allora

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1 Calcolo del determinante di matrici particolari matrici di ordine 2: sia allora Esempio. [ ] a11 a A = 12, a 21 a 22 det A = a 11 a 22 a 21 a 12. Calcolare il determinante di [ ] 1 2 A =. 3 4 matrici di ordine 3: sia a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23, a 31 a 32 a 33 allora det A = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31.

2 Calcolo del determinante di matrici particolari matrici di ordine 2: sia allora Esempio. [ ] a11 a A = 12, a 21 a 22 det A = a 11 a 22 a 21 a 12. Calcolare il determinante di [ ] 1 2 A =. 3 4 matrici di ordine 3: sia a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23, a 31 a 32 a 33 allora det A = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31.

3 Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32

4 Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32

5 Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32

6 Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32

7 Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32

8 Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32

9 Regola di Sarrus A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22, a 31 a 32

10 Esercizio 6. Calcolare il determinante di ciascuna delle seguenti matrici: A = , B = Compito. Svolgere lo stesso esercizio per le matrici: C = 2 3 0, D = E = [ ] 0 0, F = 1 2 [ ]

11 Esercizio 6. Calcolare il determinante di ciascuna delle seguenti matrici: A = , B = Compito. Svolgere lo stesso esercizio per le matrici: C = 2 3 0, D = E = [ ] 0 0, F = 1 2 [ ]

12 Calcolo del determinante di matrici particolari matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale, matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale. Esempio. Calcolare il determinante delle matrici: A = , B = , C = , D =

13 Calcolo del determinante di matrici particolari matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale, matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale. Esempio. Calcolare il determinante delle matrici: A = , B = , C = , D =

14 Calcolo del determinante di matrici particolari matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale, matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale. Esempio. Calcolare il determinante delle matrici: A = , B = , C = , D =

15 Proprietà del determinante Sia A = [a ij ] Mat n (K). Allora: det A = det A T ; se B è la matrice ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di A per α K, si ha det B = α det A; se A = [A 1... A n ] e C Mat n,1 (K), si ha det[a 1... A j + C... A n ] = = det[a 1... A j... A n ] + det[a 1... C... A n ], e analogamente se viene sommato un vettore riga; se A ha una riga (o una colonna) nulla, si ha det A = 0; se B è la matrice ottenuta scambiando di posto due righe (o due colonne) di A, allora det B = det A; se A ha due righe (o due colonne) uguali o proporzionali: det A = 0; det I n = 1.

16 Esempi. Date le matrici A = 2 1 0, B = [ ] 0 2 C =, D = 1 2 [ ] 4 2, 6 3 a) calcolare det A e det A T e verificarne l uguaglianza; b) calcolare det B e calcolarlo estraendo il fattore 2 dalla prima e dalla terza riga; c) sommare alla seconda colonna di C il vettore [3 2] T e calcolare il determinante; d) verificare che det D = 0; e) scambiare di posto due colonne di A e calcolarne il determinante.

17 Esercizio 7. Siano A = a b c a b 2c e B = Sapendo che det A = 3, calcolare il determinante di B. Compito. Date le matrici: a b b + c a b c C = e D = a + 1 b 2 c + 1, tenendo conto dell Esercizio precedente, calcolarne i determinanti.

18 Esercizio 8. a) Determinare i valori del parametro reale k per cui la seguente matrice appartenente a Mat 3 (R) ha determinante nullo: A = 0 1 k. 1 0 k b) Sia B Mat 4 (C) la matrice: 1 0 i 1 B = 3 1 λ 0 0 i 0 0. i 0 1 λ Determinare per quali valori di λ C ha determinante nullo.

19 Esercizio 8. a) Determinare i valori del parametro reale k per cui la seguente matrice appartenente a Mat 3 (R) ha determinante nullo: A = 0 1 k. 1 0 k b) Sia B Mat 4 (C) la matrice: 1 0 i 1 B = 3 1 λ 0 0 i 0 0. i 0 1 λ Determinare per quali valori di λ C ha determinante nullo.

20 Esercizio 8. Compito. c) Sia C Mat 3 (R) la matrice: k 1 0 C = k Determinare per quali valori di k R la matrice ha determinante nullo. d) Determinare i valori del parametro reale k per cui la seguente matrice ha determinante nullo: k D = 1 k k 2 1. k k 2k 0

21 Proprietà del determinante Sappiamo che, per definizione di determinante e grazie al I Teorema di Laplace, se la matrice ha una riga o una colonna di 0, allora il determinante è nullo. Per le stesse ragioni, si vede facilmente che, scambiando tra loro due righe o due colonne di una matrice, il determinante cambia segno. Se una matrice A Mat n (K) ha due righe o due colonne proporzionali (linearmente dipendenti), allora essa ha determinante zero. Infatti, scambiando queste righe o queste colonne si ha: deta= deta, da cui deta=0.

22 Proprietà del determinante Infine se si sostituisce a una colonna la somma tra essa e un multiplo di un altra, il determinante non varia: sia A Mat n (K) (con A 1,..., A n le colonne di A); sia t {1,... n}, t j. Allora det[a 1... A j 1 A j + αa t A j+1... A n ] = = det[a 1... A j 1 A j A j+1... A n ]+det[a 1... A j 1 αa t A j+1... A n ] = = det[a 1... A j 1 A j A j+1... A n ]+α det[a 1... A j 1 A t A j+1... A n ] = = det[a 1... A j 1 A j A j+1... A n ] + 0 = det[a A n ] = det A. Lo stesso vale rispetto alle righe.

23 Metodo di Gauss-Jordan Consiste nel trasformare una matrice A Mat n (K) in una matrice triangolare, della quale è immediato calcolare il determinante, applicando alle colonne di A le seguenti operazioni: 1 scambiare tra loro due colonne il det cambia segno; 2 moltiplicare una colonna per α 0 il det risulta moltiplicato per α; 3 sommare a una colonna un multiplo di un altra il det resta invariato. Lo stesso può essere detto rispetto alle righe. Esempio. Applicare il metodo di G.-J. alla matrice A =

24 Metodo di Gauss-Jordan Consiste nel trasformare una matrice A Mat n (K) in una matrice triangolare, della quale è immediato calcolare il determinante, applicando alle colonne di A le seguenti operazioni: 1 scambiare tra loro due colonne il det cambia segno; 2 moltiplicare una colonna per α 0 il det risulta moltiplicato per α; 3 sommare a una colonna un multiplo di un altra il det resta invariato. Lo stesso può essere detto rispetto alle righe. Esempio. Applicare il metodo di G.-J. alla matrice A =

25 Metodo di Gauss-Jordan Consiste nel trasformare una matrice A Mat n (K) in una matrice triangolare, della quale è immediato calcolare il determinante, applicando alle colonne di A le seguenti operazioni: 1 scambiare tra loro due colonne il det cambia segno; 2 moltiplicare una colonna per α 0 il det risulta moltiplicato per α; 3 sommare a una colonna un multiplo di un altra il det resta invariato. Lo stesso può essere detto rispetto alle righe. Esempio. Applicare il metodo di G.-J. alla matrice A =

26 Metodo di Gauss-Jordan In generale se per trasformare A Mat n (K) in una matrice triangolare T sono stati eseguiti p N scambi di colonne (o righe) e q N moltiplicazioni di una colonna (o riga) con gli scalari k 1,..., k q, risulta: det A = ( 1) p (k 1 k q ) 1 det T. Esempio. Applicare il metodo di G.-J. alla matrice A =

27 Metodo di Gauss-Jordan In generale se per trasformare A Mat n (K) in una matrice triangolare T sono stati eseguiti p N scambi di colonne (o righe) e q N moltiplicazioni di una colonna (o riga) con gli scalari k 1,..., k q, risulta: det A = ( 1) p (k 1 k q ) 1 det T. Esempio. Applicare il metodo di G.-J. alla matrice A =

28 Esercizio 9. Calcolare il determinante delle seguenti matrici tramite il metodo di G.-J.: A = 1 2 5, B = Compito. Idem per C =

29 Teorema di Binet Siano A, B Mat n (K). Allora det AB = det A det B. Esempio. Siano A = 2 0 2, B = ; verificare che vale il Teorema di Binet.

30 Teorema di Binet Siano A, B Mat n (K). Allora det AB = det A det B. Esempio. Siano A = 2 0 2, B = ; verificare che vale il Teorema di Binet.

31 Esercizio 10. Dimostrare che la seguente matrice di Mat n (R) ha determinante ( 1 2: n!) 1 1/2 1/3... 1/n 1/2 1/2 1/3... 1/n A n = 1/3 1/3 1/3... 1/n /n 1/n 1/n... 1/n

32 Esercizio 11. Data la matrice A Mat n (K), a) determinare il det( A) in funzione di quello di A; b) se A è antisimmetrica, cosa si può dire del suo determinante?

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