Didattiche disciplinari integrate SSIS A.A. 2008/2009 Modulo di Matematica Docente L. Parenti

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1 Didattiche disciplinari integrate SSIS A.A. 2008/2009 Modulo di Matematica Docente L. Parenti SCHEDE DI LAVORO La seguente rassegna di esempi deve essere analizzata nella duplice chiave di lettura: - aspetti disciplinari, ruolo studente (adulto),ponendo attenzione al significato dei concetti matematici indagati. Quelli scelti sono essenziali nel curriculum matematico (dalla scuola primaria al liceo) e sono rivisitati in relazione a stereotipi e/o errori frequenti presenti nella scuola. - aspetti didattici, ruolo insegnante, ponendo attenzione alla formulazione delle domande negli esercizi. L attenzione al linguaggio; le richieste di esplicitare: - il ragionamento, - le transizioni R M R; l abitudine a lavorare anche su problemi non-standard ; creano situazioni in cui l alunno diventa protagonista del proprio percorso formativo. LE EQUAZIONI (nel modello algebrico) Problema 1: in un mese ho speso 25 euro di telefono effettuando 300 minuti di chiamate. Sapendo che il canone fisso mensile è di 10 euro, calcoliamo il costo al minuto di una telefonata. Fase 1: chiedere ai ragazzi di risolvere il problema, scrivendo anche i ragionamenti e le operazioni utilizzate. Possiamo visualizzare la situazione nel modo seguente: dati del problema: 25 spesa in un mese 300 min i minuti di chiamate 10 il canone fisso mensile richieste: costo /min il costo al minuto di una telefonata, che indichiamo con X ATTENZIONE: far scrivere la relazione con le marche aiuta la comprensione del testo, la ricerca della soluzione, il controllo sull organizzazione dei dati anche attraverso l analisi dimensionale. Indirettamente abitua all algebra Fase 2: discussione (alla lavagna) delle soluzioni proposte. Probabilmente le formulazioni più frequenti saranno del tipo: a. 25 = 300 min X /min + 10 ottenuta da chi traduce direttamente in formula il testo b =300 min X /min ottenuta da chi ragiona prima sui costi fissi dove = indica che il valore (in questo caso pecuniario) a sinistra del segno dovrà essere lo stesso di quello a destra del segno. Per chiarire possiamo usare l immagine di una bilancia a due piatti e i termini a destra e a sinistra del segno uguale come le due quantità sui piatti. 1

2 Il segno = indica che le quantità sui due piatti della bilancia hanno lo stesso peso. Risolvere il problema significa trovare il valore di X /min. che sostituito nel testo verifica l uguaglianza. L immagine della bilancia è aderente al modello matematico che enuncia i seguenti Principi di equivalenza : - Primo principio di equivalenza: data un'equazione, aggiungendo a entrambi i termini uno stesso numero od una stessa espressione contenente l'incognita si ottiene un'equazione equivalente, a patto che, nel caso di aggiunta di un'espressione dipendente da un'incognita, non vengano ristrette le condizioni di esistenza. - Secondo principio di equivalenza: data un'equazione, moltiplicando ambo i termini per un numero diverso da zero, o per un'espressione contenente l'incognita che non si annulli qualunque sia il valore dell'incognita stessa, e che non restringa le condizioni di esistenza, si ottiene un'equazione equivalente. L applicazione di tali principi è l unica spiegazione corretta per la risoluzione delle equazioni!! Consideriamo l equazione 25 = 300 min X /min + 10 che dimensionalmente equivale a 25 = 300 X Per conoscere il valore di x, occorre isolarlo dagli altri termini. Togliamo 10 dal piatto di destra e per conservare il significato del segno = dobbiamo bilanciare la situazione togliendo 10 anche dal piatto di sinistra, quindi otteniamo la relazione (abbiamo applicato il Primo principio di equivalenza) Se 300 volte X vale 15, quanto vale 1 x? Dividiamo per 300 il piatto di destra e per conservare il significato del segno = dobbiamo bilaciare la situazione togliendo dividendo per 300 anche il piatto di sinistra, quindi otteniamo la relazione 15/300 = 300/300 X (abbiamo applicato il Secondo principio di equivalenza) e abbiamo risposto: 1 X = 1/20 ovvero x = 0.05, quindi 5 centesimi al minuto. Spesso si sente dire Prendiamo 25 = 300 x+ 10 Il primo passaggio da fare è quello di portare tutti i termini con la "x" a sinistra dell'uguale, e quelli senza la "x" a destra dell'uguale Ricorda la seguente regola: Se un termine passa da una parte all'altra dell'uguale come addendo, il suo segno va cambiato Commenti senza marche quindi difficoltà o assenza di controllo dei diversi significati dei numeri Affermazione inutile ai fini del calcolo e contraddittoria con il significato di uguale Nessun termine passa! Abbiamo visto che compiamo la stessa operazione a sinistra e destra del segno = Problema 2: Per rimanere in tema di pesi e bilance vediamo il seguente celebre indovinello: Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone. Quanto pesa un mattone? dati del problema: indichiamo con X il peso sconosciuto di un mattone X kg peso di un mattone 1/2 X kg peso di mezzo mattone 1 kg peso da aggiungere al peso di un mattone richieste: il valore di X kg peso di un mattone 2

3 Ciò si può esprimere attraverso la seguente equazione: X kg = 1 kg +1/2 X kg Immaginiamo di porre un mattone su un piatto di bilancia e sull altro piatto mezzo mattone e 1kg. Significato: Se togliamo da ambo le parti mezzo mattone i piatti della bilancia si mantengono in equilibrio. Nel modello algebrico: applichiamo il Primo principio di equivalenza togliendo 1/2 X kg a entrambi i termini e visualizziamo il cambiamento della situazione nell equazione: X kg -1/2 X kg =1/2 X kg - 1/2 X kg + 1 kg X kg -1/2 X kg = 1 kg 1/2 X kg =1 kg. NOTARE: 1/2 X NON si è spostato a sinistra cambiando segno ma si è azzerato a dx e compare a sn con il segno negativo per conservare l equivalenza!!!. Significato: Se mezzo mattone pesa un chilo, un mattone intero pesa 2 chili, quindi X kg =2 kg. Nel modello algebrico: applichiamo il Secondo principio di equivalenza moltiplicando per 2 entrambi i termini e visualizziamo il cambiamento della situazione nell equazione: 1/2x kg =1 kg x kg =2 kg Problema 3: Abbiamo due segmenti di uguale lunghezza, ma divisi come in figura in due modi diversi: 2cm y cm 4,5 cm 2 y cm 1cm Calcolare il valore di y. Poiché i due segmenti hanno la stessa lunghezza, descriviamo la situazione con un equazione. 2 cm + y cm + 4,5 cm = 2 y cm + 1 cm ovvero y cm + 6,5 cm = 2 y cm + 1 cm applichiamo il Primo principio e togliamo una y ad entrambi i termini: y cm - y cm + 6,5 cm = 2 y cm - y cm + 1 cm ovvero 6,5 cm = y cm +1 cm applichiamo il Primo principio e togliamo 1 cm ad entrambi i termini: 5,5 cm = y cm Esercizi da proporre: - Scrivere il testo di un problema che possa essere rappresentato mediante la seguente equazione 3 z - 4=1/2 z + 2 3

4 GRAFICI, FUNZIONI, EQUAZIONI, DISEQUAZIONI PREMESSA Abbiamo visto come sia possibile rappresentare un numero su una retta. 0 Tracciamo ora due rette tra loro perpendicolari. La freccia su ognuna di esse indica il verso positivo. Queste due rette si chiamano assi cartesiani. La retta orizzontale è detta asse delle ascisse mentre l asse verticale viene detta asse delle ordinate. Y A X Scegliamo un unità di misura da riportare su entrambi gli assi. Un punto del piano è individuato da una coppia ordinata di numeri, il primo rappresenta l ascissa del punto, il secondo l ordinata del punto. Quindi la scrittura A(-1,1) significa che il punto A ha ascissa 1 e ordinata 1 e posizione nel piano come in figura. 1) RISOLUZIONE GRAFICA DI EQUAZIONI PROBLEMA 1: Consideriamo l equazione 50-4 x = 0 che potrebbe essere la messa in formula di un testo del tipo: vado al mercato con 50, quanti chili di un prodotto che costa 4 al chilo posso comprare al massimo? - PRIMO APPROCCIO: PROVE. Completa la seguente tabella e riporta i valori in un sistema di riferimento cartesiano, indicando in ascissa il numero di chili e in ordinata la spesa relativa. Traccia l andamento della spesa mensile. Numero chili Spesa in /kg 1 kg = /kg 3 kg = /kg 5 kg = /kg 10 kg = /kg 12 kg = /kg 13 kg = -2 4

5 Spesa 0 1 numero chili - INTERPRETAZIONE DELL ANDAMENTO: osserviamo che il grafico ha andamento rettilineo ed è il grafico della funzione : spesa = 50-4 numero chili ovvero y = 50 4X - Trovare la soluzione dell equazione 50 4X = 0 significa trovare il valore di X per cui la retta intercetta (incontra) l asse delle ascisse ovvero le coordinate del punto P(X,0). - Qualitativamente il grafico aiuta a individuare la zona della soluzione, il valore esatto si trova con il calcolo algebrico. Esercizi possibili: - Scrivi il testo di un altro problema che abbia come soluzione la stessa equazione - Risolvere algebricamente e graficamente la seguente equazione 4x=6, tenendo conto che l equazione precedente può essere scritta come 4x-6=0. - Scrivere il testo di un problema che abbia per soluzione l equazione 3 x + 6 = 0 PROBLEMA 2: Consideriamo un triangolo equilatero e indichiamo con x la misura di un suo lato e con y il suo perimetro. Vogliamo studiare come varia il perimetro (y) al variare della misura del lato (X). Scriviamo la relazione tra X e y cioè perimetro cm = 3 volte X cm Costruiamo la seguente tabella X 1 1,5 3 4 Y = 3 x 3 4, PROCEDIAMO COME PRIMA: Posizioniamo i punti nel piano cartesiano. Si nota che il grafico è una retta e poiché l interpretazione del problema è geometrica, x può assumere solo valori positivi e il grafico è solo nel primo quadrante. ATTENZIONE: Se a priori sappiamo che la relazione esprime una retta, per disegnarla nel piano bastano due valori (un teorema della geometria euclidea afferma per due punti passa una e una sola retta ); se vogliamo scoprire quale grafico corrisponde alla nostra relazione, abbiamo bisogno di più punti. In generale: le equazioni di primo grado hanno come rappresentazione grafica una retta, le equazioni di secondo grado una parabola. 5

6 2) RISOLUZIONE GRAFICA DI DISEQUAZIONI: problemi di scelta, intreccio algebra e geometria PROBLEMA 1: L abbonamento ferroviario mensile in 2 classe per il tragitto San Remo - Genova P.P. costa 83,50 e il biglietto ordinario di 2 classe di andata e ritorno per lo stesso tragitto costa 15,4. Quando mi conviene l abbonamento? 1. Completa le seguenti tabelle. Abbonamento Numero viaggi Spesa mensile Numero viaggi Biglietti ordinari Spesa mensile 2. Riporta i valori delle tabelle nello stesso sistema di riferimento cartesiano, indicando in ascissa il numero n di viaggi A/R fatti in 1 mese ed in ordinata la spesa relativa. Traccia nello stesso sistema di riferimento cartesiano l andamento della spesa mensile. Spesa mensile numero viaggi 3. Secondo te, quando conviene pagare biglietti separati? 4. Puoi stabilire, in base al grafico, chi risparmia comprando l abbonamento? 5. Puoi stabilire, in base al grafico, qual è il numero minimo di viaggi che occorrono per risparmiare utilizzando l abbonamento? E il numero massimo? 6

7 6. Tra le seguenti formule quale (o quali), secondo te, rappresentano la spesa mensile dell abbonato? Motiva la risposta e spiega perché hai scartato le altre formule. Sm = 15,4 Sm = 83,5*n Sm = n*15,4 Sm = n*n +15,4 Sm = 83,5 + n Sm = 83,5 Sm = 15,4 +15,4 +15,4 Sm = 15,4 * n 7. Quale o quali formule scritte sopra, secondo te, rappresentano la spesa mensile di chi acquista i biglietti separatamente? Motiva la risposta e spiega perché hai scartato le altre formule. 8. Risolvi l equazione seguente: 83,5 = 15,4 * n 9. Se interpreto l equazione precedente come un modello di soluzione del problema dei viaggi in treno, l incognita n significa. - entro quali valori può variare n? - commenta la soluzione dell equazione PROBLEMA 2: La spesa per il noleggio di una utilitaria, in Italia, può essere conteggiata in modi diversi a seconda della ditta di autonoleggio. In genere il prezzo è comprensivo delle spese di assicurazione e dell IVA. Due ditte genovesi stabiliscono un prezzo più elevato per il primo giorno e prezzi più convenienti per i giorni successivi come risulta dalla seguente tabella: Ditta Vettura limite Km al giorno spesa per 1 giorno comprensiva di assicurazione e IVA A Utilitaria nessuno 45,00 20,00 B Utilitaria nessuno 30,00 30,00 spesa per ogni giorno successivo comprensiva di assicurazione e IVA - Compila le tabelle relative alla spesa sostenuta per l autonoleggio nelle due ipotesi n giorni Spesa A n giorni Spesa B 7

8 Riporta i valori della tabella in un opportuno sistema di riferimento cartesiano, indicando in ascissa il numero n di giorni di noleggio ed in ordinata la spesa relativa. Traccia nello stesso sistema di riferimento cartesiano l andamento del costo per ciascun autonoleggio. Spesa numero giorni - Puoi stabilire, in base al grafico, quale dei due autonoleggi è più conveniente? Motiva la risposta. - Sai trovare altre strategie per risolvere il problema? Descrivile. - Risolvi l equazione seguente: *x = * x che puoi interpretare come un modello di risoluzione del problema del noleggio. Se l incognita x significa numero di giorni di noleggio 1) indica entro quali valori può variare x 2) scrivi la relazione tra i valori assunti dall incognita x ed il valore assunto da n, numero di giorni di noleggio? 8

9 3) DALLA FORMULA ALLA FUNZIONE E AL GRAFICO CHE LA DESCRIVE Un esempio di funzione matematica tratto dalla geometria Considera la formula per il perimetro del seguente triangolo isoscele avente il lato disuguale che misura 3 cm. e gli altri lati misurano a cm. P = a + a + 3 = 2*a+3 (formula 1) 1. Calcola la misura del perimetro. 2. Quale unità di misura hai usato per misurare? a Avresti potuto cambiare unità di misura? 3. Disegna un altro triangolo isoscele con la base di 3 cm. Secondo te puoi applicare la formula 1 per calcolare il perimetro del tuo triangolo o devi scrivere un altra formula? Motiva la risposta 4. Immagina di disegnare il triangolo isoscele di base 3 cm con i lati uguali sempre più lunghi o sempre più corti... alcuni sono disegnati, ma puoi aggiungerne altri. 9

10 5. Misura alcuni lati e completa la seguente tabella a 2,1 9,45 P =3+2*a Secondo te qual è il valore più piccolo che può assumere a? 7. E il valore più grande? 8. Ti sembra che il grafico seguente possa rappresentare la relazione tra perimetro e lato del triangolo? Motiva la risposta. 9. Puoi trovare le coppie di numeri della tua tabella? Spiega come fai. 10. Puoi trovare sul grafico anche altre coppie di numeri non contenute nella tua tabella che rispettano la formula 1? Spiega come faresti 10

11 FORMULE E FUNZIONI Nella formula precedente P = a + a + 3 = 2*a+3 abbiamo visto che assegnando un valore numerico al lato a (variabile, incognita) è possibile calcolare il corrispondente valore numerico di p (perimetro). E però anche possibile studiare la relazione che intercorre al variare di tutti i possibili valori del lato a e il relativo periodo: questo è un esempio di funzione. Data una funzione, ad essa si può associare una tabella e un grafico. Esempi di funzioni empiriche Analogamente ai problemi geometrici anche tutti i problemi precedenti si possono analizzare con le funzioni. Dalla formula possiamo passare alla tabella e al grafico, ma occorre prestare attenzione: a differenza dei problemi geometrici la variabile non sempre può assumere qualunque valore (positivo): la più piccola unità di misura degli euro sono i centesimi, i sottomultipli del chilogrammo sono finiti, Le funzioni che si ottengono in questi casi sono dette funzioni empiriche e il loro grafico è in realtà un insieme di segmenti consecutivi. 11

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