CAPITOLO II. Il trasporto dei portatori elettronici

Transcript

1 CAPITOLO II Il trasorto de ortator elettroc Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-1

2 II.1 Il moto degl elettro A lvello macroscoco l moto della correte elettrca u crcuto elettroco dovuto all alcazoe d u camo elettrco è descrtto dalla legge d Ohm: V = RI (II.1 V è la caduta d otezale a ca del dsostvo, R la sua ressteza ed I la correte elettrca che lo attraversa. La descrzoe recsa del moto de ortator er effetto del camo elettrco e qud della legge d Ohm è erò molto comlcata ed occorre fare alcue arossmazo. S dstguoo tre regm d fuzoameto: Portator lber o asseza d camo elettrco Cam elettrc debol Cam elettrc tes I tutt cas, la reseza d merfezo el retcolo e la vbrazoe termca degl atom dsturbao la erodctà e favorscoo l trasfermeto d eerga tra ortator e retcolo attraverso collso. Quado s verfcao quest urt, gl elettro soo dffus tutte le drezo. Le terazo co le vbrazo del crstallo ossoo essere cosderate come collso co artcelle dotate d eerga chamate foo. I foo come foto (artcelle elemetar d luce hao eerga quatzzata, coè ossoo assumere be deft e dscret valor d eerga l cu valore è esrmble: E = hν (II.2 dove ν è la frequeza dell oda. I foo qud assumoo eerga ar a mod vbrazoal del retcolo, che soo dvers materale er materale. Nel slco, a T ambete e er cam elettrc ccol, l modo vbrazoale ù basso del crstallo corrsode a foo d eerga l elettroe er terazoe co l modo vbrazoale. E = eV, che è qud la quattà d eerga d cu vara Ache drogat, come og murezza e dfetto del crstallo, dsturbao la erodctà del retcolo e costtuscoo cetr d dffusoe de ortator lber. A T grad questo effetto d dffusoe dovuto a murezze ozzate dvee meo mortate erché come gà detto tutt ortator estrsec (dovut al drogate soo ozzat e aumeta la cocetrazoe e l effetto de ortator trsec. Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-2

3 II.2 La veloctà d derva Vedamo adesso quale è l flusso d correte fuzoe del camo elettrco alcato er dverse testà d camo. II.2.1 Asseza d camo elettrco I questo caso gl elettro el crstallo soo quas artcelle lbere. Il loro moto è dovuto o a cam elettrc ester ma a quell ter dovut alla reseza erodca d atom del crstallo o all eerga termca. L flueza del crstallo è coteuta ella massa effcace de ortator. Sa l elettroe che la lacua hao eerga termca ar a 1 er grado d lbertà. Qud l eerga 2 cetca dell elettroe rsulta essere dal teorema d equrartzoe dell eerga 1 * 2 m 2 2 dove 3 = (II.3 * m è la massa effcace dell elettroe (ar el slco a 0.26 m 0, coè 0.26 volte la massa a roso m 0, metre è la veloctà termca dell elettroe (el slco a T ambete è 7 cm = 10. s Il moto degl elettro è erò casuale, determato dall eerga termca e dagl urt co retcolo ed altr elettro, er cu all equlbro la correte rsultate è ar a zero. L tervallo d temo tra gl urt è τ c ed è determato dal lbero cammo medo che u elettroe resce a ercorrere rma d ua collsoe. II.2.2 Debole camo elettrco: derva (drft de ortator Se alco u debole camo elettrco, gl elettro tra u urto ed l successvo soo accelerat dal camo elettrco drezoe arallela al camo. Il movmeto dovuto al camo è ua ccola erturbazoe mressa alla veloctà termca casuale. τ c o rsulta modfcato. Se l camo elettrco è debole, l retcolo o è rscaldato dagl urt. La veloctà rsultate è chamata v d, veloctà d trascameto o derva ( glese veloctà d drft. Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-3

4 La v d uò essere determata uguaglado l mulso (forza temo alcato all elettroe el Δt tra due collso alla quattà d moto acqusta ello stesso tervallo. L mulso è ar al rodotto della forza alcata dal camo elettrco ovvero τ c. c * f = qε moltlcata er l Δt * qeτ qeτ c = mvd vd = (II.4 m qud la veloctà d derva è roorzoale al camo elettrco attraverso la costate d roorzoaltà qτ µ = (II.5 m c * duque vale v E d = µ (II.6 Tale quattà è chamata mobltà elettroca ed dca quato fortemete l moto dell elettroe è fluezato dal camo elettrco. Per calcolare la destà d correte che scorre drezoe del camo alcato, sommo rodott della carca elettroca er la veloctà d trascameto d tutt gl elettro ell utà d volume: J = qv = qvd = qµ E =0 Allo stesso modo er le lacue c * (II.7 qτ µ = (II.8 m Qud la destà d correte totale è J = J + J = ( qµ + qµ E (II.9 e σ = q µ + qµ (II.10 è la coducbltà del materale metre l suo verso è ar alla resstvtà. 1 1 ρ = = σ q µ + qµ (II.11 La mobltà de ortator è fortemete fluezata dal retcolo e da cetr d dffusoe. Quado ortator soo teressat da due o ù rocess d dffusoe, l temo medo tra collso rsultate è domato dal temo d dffusoe ù ccolo. La mobltà d u ortatore questo caso s deduce dalla somma de recroc delle mobltà dovute a sgol rocess d dffusoe. 1 1 = µ µ (II.12 Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-4

5 Qud, quado la mobltà è lmtata da ù meccasm d dffusoe è semre ferore alla mobltà d uo qualsas d ess. Ua forma emrca er la mobltà è: µ = µm + µmax µm N 1+ N rf α (II.13 µ m, µ max, N, N rf, α soo coeffcet che dedoo dal drogate. Nella fg. a destra la mobltà decresce al crescere del drogaggo erché aumeta la dffuse dovuta alle murezze (coè c soo ù ut d dffusoe. Nella fgura a sstra s ota oltre u calo della resstvtà al crescere del drogaggo: questo è dovuto alla maggore cocetrazoe d ortator. All aumetare della temeratura, la dffusoe da murezze ozzate dmusce, metre aumeta quella dovuta alle terazo co l retcolo (che vbra d ù all aumetare della T. II.2.3Cam elettrc tes Per cam elettrc debol, l temo medo tra gl urt è dedete dal camo elettrco e la veloctà d derva è molto more d quella termca ( vd << vth, che è ar a 10 7 cm / s a T=300K. Per cam tes vd vth qud o uò essere cosderata u ccolo cotrbuto al moto termco. Quado ortator raggugoo eerge sueror all eerga termca vegoo dett ortator cald o hot carrers e soo caratterzzat da ua temeratura effcace Teff che cresce col camo elettrco e che corrsode all eerga cetca de ortator. A queste eerge le collso co l retcolo avvegoo medate assorbmeto o emssoe d foo ad alta eerga dett foo ottc. Esste comuque u Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-5

6 valore lmte alla veloctà d derva v l oltre l quale, ache all aumetare del camo elettrco oltre l suo valore crtco (E c la veloctà d derva o cresce. Nel slco vale l esressoe emrca: v l ( E / E c v d =! " 1+ E / E c v l, Ec ( β # $ 1 β (II.14, β soo coeffcet che varao co la temeratura. So ad ora abbamo vsto la correte d derva, coè la correte geerata medate l alcazoe d u camo elettrco, ovvero la legge d Ohm. Esste ache u altro to d correte chamato correte d dffusoe. Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-6

7 II.3 La correte d dffusoe E ua correte dovuta a due rcal meccasm: No-uformtà della destà d carca No-uformtà delle eerge de ortator. Suoamo d avere u semcoduttore drogato cu la destà degl elettro var lugo la drezoe x e suoamo che ortator abbao eerga costate e che o c sa camo elettrco alcato. (l (0 (-l 0 -l l X Il moto è casuale (termco e l lbero cammo medo de ortator è l = τ (II.15 c Il umero medo d elettro er utà d area che attraversa l ao eredcolare a x=0 da sstra è 1 ( l 2 metà a sstra.. Il fattore ½ tee coto che co gl urt gl elettro vao medamete metà a destra e Allo stesso modo l umero medo d elettro er utà d area che attraversa l ao eredcolare a 1 x=0 da destra è ( l vth. 2 Il flusso etto d artcelle è allora 1 F = vth[ ( l ( l] (II.16 2 attraverso arossmazo della destà de ortator sere d Taylor s trova: x = ± l co rm due term dello svluo Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-7

8 1 d d F = vth [ (0 l] [ (0 + l] = v 2 Poché og elettroe ossede ua carca q la destà d correte rsulta J = qf = qlv th d th l d (II.17 Essedo u flusso d elettro, che vao dalla regoe a ù alta cocetrazoe a quella ù bassa, la correte sarà dretta seso oosto. Nel caso 1D (u solo grado d lbertà l teorema d equrartzoe dell eerga dà 1 * 2 m = che seme alla esressoe del lbero cammo medo l = τ ed all esressoe er la mobltà qτ µ = orta a m J c * d = q µ (II.18 q l terme tra aretes è la costate d dffusoe ovvero la relazoe d Este D = µ (II.19 q allo stesso modo er le lacue D = µ (II.20 q Se ho ache u camo elettrco allora l esressoe comleta della correte lugo la drezoe x er elettro e lacue: J = qµ ε x + qd d J = qµ ε x qd d c (II.21 Il sego meo ella equazoe della correte d dffusoe delle lacue è dovuto al dverso sego del ortatore (coè s ha cocdeza tra flusso del ortatore e drezoe della correte. Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-8

9 II.4 I quas-lvell d Ferm E ossble esrmere la destà d correte fuzoe de quas-lvell d Ferm che servoo a coservare le relazo tra la cocetrazoe de ortator trsec e le cocetrazo d elettro e lacue esresse da: = e = e EF E KT E E KT F (II.22 I quas-lvell d Ferm s esrmoo E ψ f f = E = ψ + l( / f / q l( / (II.23 e er le lacue E ψ f f = E l( / = ψ f + / q l( / (II.24 I codzo d o-equlbro la legge d azoe d massa o è ù valda ma vee modfcata: = 2 e E f E f (II.25 Il caso tco d o-equlbro è l alcazoe d u camo elettrco e u flusso d correte. Quado alco u camo elettrco le bade s egao. Il camo elettrco è ar alla dervata del otezale ed ache dell eerga a meo del fattore d roorzoaltà q -1. ε = 1 q de = dψ f dove ψ f = E q dalle equazo (II.23 e (II.24 rcavo e fuzoe de quas lvell d Ferm. = e = e E f E KT E E KT f = e = e q( ψ f q( ψ ψ f f ψ f (II.26 Da tutte queste equazo: J J de f dψ f = µ = qµ de f dψ f = µ = qµ Coè la destà d correte d derva dede dal gradete del quas-lvello d Ferm (II.27 Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-9

10 II.4 Equazoe d cotutà L equazoe d cotutà dà l blaco del flusso d ortator lber etrat ed uscet u volume ftesmo. Essa è valda tato er ortator maggortar che er quell mortar. S cosder ua fetta d materale d sessore ftesmo. Il umero d elettro el volume ftesmo aumeta er due motv: Flusso etto d ortator etrat Geerazoe d ortator all tero! J( x J( x + " A = % & A + ( G R A t ' q q ( (II.28 dove A è l area della sezoe, t è l tasso d crescta del umero d elettro, J( x è l umero d q elettro etrat metre J (x + è l umero d elettro uscet, G q è l tasso d geerazoe e R l tasso d rcombazoe. Per cu G A è l umero d elettro geerat e R A è l umero d elettro rcombat. Posso svluare sere d Taylor l terme J (x + = J (x + J (x +... ed ottego x l equazoe d cotutà er gl elettro: t = 1 J (x + (G q x R (II.29 allo stesso modo er le lacue: Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-10

11 1 J ( x = + ( G R t q x (II.30 Per otteere equazo rsolubl devo esrmere term del membro d destra fuzoe d e. Poché so che le destà d correte J e J soo la somma d corret d dffusoe e derva J = qµ ε x + qd d J = qµ ε x qd d e suoedo la mobltà costate x osso scrvere: t = µ ε(x (x + µ x ε(x (x 2 (x + D x + (G x 2 R t = µ ε(x (x µ x ε(x (x 2 (x + D x + (G x 2 R (II.31 Noostate l arossmazoe d mobltà costate, tal formulazo vao bee ella maggor arte de cas. Se ε = 0 o è trascurable osso semlfcare 2 ( x = D + ( G 2 R t x (II.32 2 ( x = D + ( G 2 R t x queste soo equazo dfferezal alle dervate arzal (fuzoe del temo e della oszoe d dffcle soluzoe. Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-11

12 III.4 Corret d Geerazoe e Rcombazoe Il feomeo della geerazoe (G cosste el assaggo er ecctazoe termca d u ortatore dalla bada d valeza alla bada d coduzoe. Vceversa l feomeo della rcombazoe vede u elettroe dalla bada d coduzoe assare alla bada d valeza. All equlbro termodamco due rocess hao uguale veloctà. Nel caso del slco (S e del germao (Ge che hao bad ga dretta gl elettro fodo alla bada d coduzoe hao mometo (o quattà d moto dverso da zero metre le lacue el massmo della bada d valeza hao k=0. No v uò duque essere ua traszoe dretta co coservazoe del mometo e l terazoe rchede ua terza artcella che è l fooe. Tal traszo a 3 artcelle soo meo robabl d quell a due artcelle ed hao luogo se v soo stat localzzat all tero della bada d eerga robta. Se esstoo quest stat localzzat, che ossoo essere dovut a merfezo retcolar o murezze, ho 4 ossbl meccasm: r 1 : cattura d elettro r 2 : emssoe d elettro r 3 : cattura d lacue r 4 : emssoe d lacue Tasso d cattura d elettro La destà d stat vuot localzzat è data da: N = N (1 f ( E (II.33 svl t t dove Nt è la destà d stat localzzat metre l terme ((1 f ( E t è la robabltà che o sao occuat. All equlbro f ( E t cocde co la fuzoe d Ferm. La robabltà er utà d temo che u elettroe sa catturato è ar a vth σ, dove σ è la sezoe d cattura trasversale e descrve l effcaca d cattura d u ortatore da arte degl stat localzzat. Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-12

13 Il tasso d cattura d elettro è allora: r 1 = { N t 1 f (E t } s ( (II.34 Tasso d emssoe d elettro Il rocesso d emssoe d elettro avvee ad u tasso ar al rodotto d destà degl stat occuat N t er la robabltà che sao occuat f (E t, coè N t f (E t er la robabltà e che u elettroe effettu la traszoe: r 2 = N t f (E t e Nel caso d equlbro termodamco ( f (E t f F (E t e vale r 1 = r 2 = { N t 1 f F (E t } s E t E e = s e ( = N t f F (E t e (II.35 Coè l emssoe d elettro dallo stato localzzato è tato ù robable quato ù (E t E è grade, ovvero quato ù E t è vco a E c (bordo della bada d coduzoe. Tasso d cattura d lacue Allo stesso modo er le lacue vale r 3 = { N t f (E t } s ( (II.36 dove s è la sezoe d cattura er le lacue, ovvero la robabltà er utà d temo che ua lacua sa catturata. Tasso d emssoe d lacue Per l tasso d emssoe d lacue vale r 4 = { N t 1 f (E t } e (II.37 dove e è la robabltà d emssoe d ua lacua. Come er gl elettro el caso d equlbro termodamco ( f (E t f F (E t e vale Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-13

14 r 3 = r 4 = { N t f (E t } s E E t e = s e ( = N t 1 f (E t { } e (II.38 Coè l emssoe d lacue dallo stato localzzato è tato ù robable quato ù (E E t è grade, ovvero quato ù E t è vco a E v (bordo della bada d valeza. Queste equazo furoo trovate el 1952 da Schokley, Hall e Read (SHR. Gl stat localzzat s chamao cetr d rcombazoe er gl elettro se doma r 1 o traole er lacue se doma r 4. Sa codzo d equlbro che d o-equlbro la oolazoe de cetr d rcombazoe o vara molto: soo semre e d maggortar ma devoo attedere mortar. Se dsturbo l equlbro s ha u aumeto d uo de rocess, gl altr rocess ugual ed oost aumetao subto er comesare la varazoe. La veloctà d rcombazoe s defsce come U r 1 r 2 = r 3 r 4 = R s G s (II.39 (r 1 r 2 è la veloctà etta d cattura degl elettro, metre (r 3 r 4 è la veloctà etta d cattura delle lacue, R s,g s soo tass rcombazoe e geerazoe sotaea. Se sosttusco r 1,r 2,r 3,r 4 ottego U s N t s s ( 2 E E t + e + s E t E + e = t 0 E E t + e ( 2 + t 0 E t E + e (II.40 dove t 0 = (N t s 1 e t 0 = (N t s 1 Se U > 0 ovvero se > 2 allora l rocesso è d RICOMBINAZIONE Se U < 0 ovvero se < 2 allora l rocesso è d GENERAZIONE Se s = s = s 0 e defsco t 0 = (N t s 0 1 allora s semlfca l esressoe el seguete modo Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-14

15 ( 2 U t cosh E E t (II.41 U è massmzzato er E = E t, quado coè l lvello localzzato E t cade al cetro dell tervallo d eerga robto. Le equazo recedet dcao che la veloctà etta d rcombazoe attraverso u cetro d rcombazoe è fuzoe della destà de ortator lber. Temo d vta de ortator eccesso Suoamo d avere u ezoe d correte d basso lvello, coè d avere, oostate l ezoe d correte, ua destà d ortator lber o molto dversa che all equlbro termodamco. Se chamo ' e ' la cocetrazoe d elettro e lacue ettate avrò ' 0 e ' 0 dove ' e ' soo molto ù ccol d ( Poché le cocetrazo d elettro e lacue aumetao allo stesso modo, ' e ' sarao ugual tra loro. Suogo s = s = s 0, er l equazoe d cotutà d' dt = G R = U ( ' t cosh E E t (II.42 rsolvedo rsetto a '(t = '(0e (II.43 t t t cosh E E t dove t = ( è l temo d vta de ortator eccesso Abbamo vsto che U è massmo quado E = E t. I questa codzoe t dveta t = t 0 = 1 N t s 0 e U = ' t (II.44 Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-15

16 Coè se la rcombazoe avvee attraverso u lvello localzzato al cetro della bada robta d eerga ed a bass lvell d ezoe l temo d vta de ortator eccesso è dedete dalla cocetrazoe de maggortar. Rcombazoe Auger Nella rcombazoe Auger la rcombazoe avvee terbada ed rego ad alta cocetrazoe d drogaggo ed tervegoo tre ortator lber: 2 elettro e ua lacua oure due lacue e u elettroe. Due delle artcelle rcombao e l altra accumula l eerga o la quattà d moto eccesso veedo romossa ad u lvello suerore d eerga. La veloctà d rcombazoe del rocesso è: U A = R A G A = Γ ( 2 + Γ ( 2 (II.45 dove Γ e Γ soo coeffcet che raresetao l terazoe quado la artcella rmasta è rsettvamete l elettroe o la lacua. Rcombazoe Suerfcale La reseza d suerfc el semcoduttore mlca la reseza d stat elettroc suerfcal dove gl atom d cofe o hao legam comut. La destà d quest stat suerfcal è dell orde d che costtuscoo cetr d rcombazoe-geerazoe. Ache se assvat attraverso la deoszoe d materal che saturao legam comlet, quest stat soo almeo Per questo to d stat elettroc vece d cosderare la destà volume ( cm -3 devo cosderare la destà suerfcale N st (cm -2. Posso scrvere aalogamete a quato gà trovato U s s N st s s ( s s 2 E E st s + e + s E st E s + e (II.46 s e s soo le cocetrazo d ortator rossmtà della suerfce. Come recedeza cetr ù effcet soo al cetro dell tervallo d eerga robta e se s = s = s allora s semlfca l esressoe el seguete modo ( U s N st s s s 2 s + s + 2 cosh E E st (II.47 Dsostv Elettroc Catolo II: Il trasorto de ortator elettroc II-16