L atomo. legge di Coulomb che da l attrazione elettrostatica tra protone ed elettrone.

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1 L atomo Secondo Rutefod l atomo è composto di un nucleo positivo, in cui è concentata tutta la massa, attono al quale uotano a notevole distanza gli elettoni. Gli elettoni eano in gado di vincee l attazione ce si esecita ta caice opposte muovendosi con moto cicolae. In questo caso la foza centipeta e quella elettostatica si saebbeo annullate mantenendo l elettone in obita costante. Questo modello atomico contastava peò con le leggi note dell elettomagnetismo secondo le quali paticelle caice in moto non ettilineo (ce quindi subiscono una acceleazione centipeta nel caso uotino di moto cicolae) emettono adiazioni sotto foma di onde elettomagnetice e quindi pedendo enegia l elettone caico negativamente saebbe dovuto cadee a spiale nel nucleo caico positivamente. Bo studiando le fequenze di emissione delle ige dell Idogeno capì ce tali ige eano da collegasi al contenuto enegetico degli elettoni degli atomi. Se un elettone nel passae da un dato stato enegetico all alto emette od assobe soltanto adiazioni di deteminata fequenza, significa ce pe quell elettone sono possibili soltanto deteminate vaiazioni di enegia. Ciò gli fece pensae ce gli elettoni debbono muovesi soltanto in obite cicolai di ben definita enegia (obite stazionaie o livelli enegetici). Il suo modello atomico si basava su due postulati (petanto non dimostati): F = K q q legge di Coulomb ce da l attazione elettostatica ta potone ed elettone. Consideando ce la caica di potone ed elettone sono uguali e opposte posso scivee F = K e dove e è la caica dell elettone ed è la distanza ta elettone e potone K è la costante di Coulomb ce vale l attazione elettostatica è data da F = 4 ( 8,99 9 ) dove è la costante dielettica del vuoto. Quindi finalmente e F c = m a c è la foza centipeta dove a c è l acceleazione centipeta data da w pe cui posso scivee F c = m w dove w è la velocità angolae ce vale v con v velocità dell elettone ed distanza ta elettone e potone pe cui posso scivee F c = m v e semplificando F c = m v Uguagliando le due foze ottengo e v = m ce è la condizione di equilibio dell elettone.

2 . l elettone può pecoee attono al nucleo solo alcune obite cicolai senza pedee enegia, n obite obbligatoiamente di aggio dove è la costante di Plank ed n è un numeo inteo ce può assumee valoi da all. 3. l enegia assobita da un elettone ne consente la tansizione dall obita in cui si tova nomalmente (fondamentale o stazionaia), a una delle obite di enegia quantizzata maggioe (stato eccitato). 3. Sapendo ce E = n dove è la costante di Plank e n è la fequenza della adiazione, un atomo eccitato di enegia E può tonae allo stato fondamentale E emettendo un fotone la cui enegia è uguale alla diffeenza ta quelle dei due stati cioe E - E = n Il modello di Bo iusciva a spiegae le fequenze dello spetto dell atomo di Idogeno ma non le fequenze degli atomi polielettonici. Ance il modello di atomo modificato da Sommefeld (atomo di Bo-Sommefeld) ce intoduceva la possibilità ce gli elettoni pecoesseo obite ellittice con diffeenti oientazioni nello spazio (da qui la necessità di nuovi numei quantici: uno collegato alla foma dell obita l e uno alla sua oientazione m ) ne l intoduzione di un nuovo numeo quantico s (collegato alla otazione dell elettone su se stesso) dovuta a Pauli, spiegava e Se nella v = m sostituisco a v il valoe di v icavato dal postulato di Bo cioè il valoe n v m ottengo n e m ce da il valoe del aggio indipendentemente dalla velocità dell elettone. Poice,, e, m, sono tutte costanti, le posso inglobae in un unica costante a pe cui la fomula sopa può essee scitta n - a dove a =,59 Å ( 5,3 m). 3 E possibile icavae ance l enegia di una deteminata obita ce è data dalla somma dell enegia cinetica da quella potenziale -K e cioè E = e - K dove K è la costante di Coulomb ce vale e ( 8,99 9 ). Il segno meno deiva dalla convenzione di poe = l enegia posseduta dall elettone libeo a distanza infinita dal nucleo, cioè senza attazione coulombiana. L enegia dell elettone cioè assume sempe più valoe negativo man mano ce si avvicina al nucleo. Matematicamente : si pate dalla condizione di equilibio dell elettone entambi i membi pe cioè v = e m dell enegia cinetica; il valoe dell enegia potenziale è - da E = - 8 e Ricodando ce e lo sostituisco in e = m v ottenendo 8 e pe cui l enegia totale è. Come si vede l enegia cinetica è giusto la metà dell enegia potenziale n e sostituendo ottengo E = e m 4 me n icavo v e divido e 8 ce è il valoe e -. Poicé,, e, m, sono tutte costanti, le posso inglobae in un unica costante Z pe cui la fomula sopa può essee scitta E = dove Z =,8-8 J n Z e ce

3 solo pazialmente gli spetti degli atomi polielettonici e non spiegava pecè un elettone muovendosi su un obita pemessa non dovesse pedee enegia. Il modello infatti ea basato sulle leggi della meccanica classica pu coette con l intoduzione del concetto di quantizzazione delle enegie elettonice (Bo) e pefezionato con la pecisazione della foma e dell andamento delle obite (Sommefeld). Ea necessaia una nuova meccanica ce potesse sanae il contasto insito nel dualismo ta natua ondulatoia e quella copuscolae delle onde elettomagnetice. Il pimo passo pe isolvee il poblema lo si deve a De Boglie ce ebbe una gande intuizione pensando di assimilae il compotamento delle paticelle mateiali al compotamento del fotone o meglio se noi consideiamo l enegia del fotone noi osseviamo ce E = n (dove è la costante di Plank e n è la fequenza); sapendo ce n = c (dove c è la velocità della luce e la lungezza c d onda) sostituendo avò ce E = ; so ance peò ce E = mc e quindi uguagliando avò ce mc c = e dividendo pe c ottengo mc = ( mc è la quantità di moto del fotone) ed estaendo avò = cioè = (c è una velocità). mc De Boglie pensò ce come le onde elettomagnetice avevano una natua copuscolae si potesse attibuie la natua ondulatoia ance alle paticelle elementai. Quindi la elazione = la attibuì ance alle paticelle mateiali ad es. a una paticella come l elettone ma ance a copi molto più massicci. Quindi adesso vedemo la elazione di De Boglie pe l elettone: la lungezza d ondadell elettone doveva essee = (v è la velocità dell elettone e m la sua massa). Questa elazione a significato solo pe paticelle con massa molto piccola, pe paticelle con massa gande la diventa toppo piccola e pede di significato. Pe gli elettoni libei (velocità di 6 6 m/s cioè 6 km/s cioè /5 della velocità della luce, la lungezza d onda dovà essee =, ,66 js m infatti : = = = , kg 6 ms, - m cioè una lungezza d onda analoga a quella dei aggi x. n Quanto sopa da ance un significato al postulato di Bo. Infatti se si descive il compotamento dell elettone come un onda esso deve essee stazionaio cioè nell obita elettonica devono staci un numeo inteo di lungezze d onda cioè = n 4 Espeienze successive di diffazione di aggi elettonici su cistalli di Nicel ottenneo le stesse figue di diffazione ottenute con i aggi x sugli stessi cistalli. Un alto fatto venne poi ad aggiungesi nel supeamento della teoia di Bo: Il pincipio di indeteminazione di Heisembeg 4 = n sostituendo a il valoe ottengo = n cioè n ce è il postulato di Bo

4 Non è possibile deteminae contempoaneamente e con assoluta pecisione la quantità di moto () e la posizione x di un elettone. In fomula l incetezza nella deteminazione della posizione di una paticella pe es. l elettone, moltiplicata pe l incetezza nella deteminazione del momento è sempe cioè x ( ) dove x è l incetezza della posizione e () è l incetezza del momento oppue si può ance scivee x v pe cui pe una paticella come l elettone m ce a una massa molto piccola il podotto di questi due eoi è sempe gande. Più la paticella è gossa più l eoe è piccolo. Pede quindi di significato scientifico la definizione di obite pecose dagli elettoni del modello atomico di Bo-Sommefeld in cui la velocità e la posizione dell elettone potevano essee esattamente calcolate in ogni istante. Seve quindi una nuova meccanica detta meccanica ondulatoia o quantistica pe tattae con un ottica divesa l elettone. Si definisce meccanica ondulatoia o quantistica quella pate della fisica ce descive il compotamento ondulatoio delle paticelle subatomice. I pincipi su cui si basa la meccanica ondulatoia o quantistica sono:. consideae l elettone come un onda (ci si ifeisce all elettone libeo e non all elettone nell atomo cioe sottoposto all attazione nucleae). l elettone essendo un onda deve ubbidie ad una equazione di popagazione Scoedinge popose una equazione ciamata equazione d onda o equazione di Scoedinge in cui l elettone nell atomo viene descitto come un onda. Non ci si può più limitae al moto in una sola dimensione (x), si deve passae a te dimensioni, pe cui si deve consideae la (x,y,z,t) e l equazione di Scödinge diviene: Calcolando le deivate e sepaando le vaiabili si aiva a te divese equazioni diffeenziali in una sola vaiabile: l eq. () a soluzioni accettabili solo pe ml =,,, 3... (pe la ciclicità dei valoi di ) l eq. () a soluzioni accettabili solo pe l = ml, ml +, ml +, ml +3,... l eq. (3) a soluzioni accettabili solo pe ceti valoi di E (ce isulta quantizzata) ce dipendono solo da un paameto n = l+, l+, l+3,...

5 In questa equazione compaiono delle gandezze note tipo la m e la caica dell elettone e delle incognite Y (psi) funzioni d onda ed obitali Y ed E l enegia totale. Le Y appesentano le soluzioni dell equazione d onda e appesentano il punto di patenza pe descivee il compotamento degli elettoni.ad ogni soluzione dell equazione d onda Y è collegato un valoe dell enegia totale dell elettone. Una delle caatteistice essenziali delle funzioni d onda è ce il loo quadato Y appesenta la pobabilità di tovae l elettone in un punto dello spazio (densità di pobabilità). Quindi non si paleà più nella meccanica ondulatoia di obite descitte dall elettone ma solo di zone di pobabilità di tovae l elettone. Nelle espessioni matematice delle funzioni Y e delle enegie E compaiono dei numei ciamati numei quantici coelati ta di loo ce caatteizzano Y ed E. Tali numei sono n, l, m, s, i quatto numei quantici.