SOLUZIONI ESERCIZIO 1

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1 STATICA ESERCIZIO Una cassa di massa m = 5 kg è ferma su una superficie orizzontale scabra. Il coefficiente di attrito statico è µ s = 3. Supponendo che sulla cassa agisca una forza F formante un angolo di 30 rispetto al suolo, determinare il valore di F per cui la cassa comincia a muoversi. ESERCIZIO Due blocchi A e B di massa m A = kgem B = 4 kg sono collegati da una fune inestensibile di massa trascurabile. Il blocco A poggia su un piano inclinato di un angolo α = 30 ed è collegato ad un estremo ad una molla di costante elastica k = 49 N/m posizionata all inizio del piano inclinato. L altro estremo è collegato ad una carrucola da cui pende verticalmente il corpo B. Supponendo che l intero sistema sia fermo, calcolare la deformazione (allungamento o accorciamento) della molla. ESERCIZIO 3 Due masse m = 0 kg e m = 5 kg sono unite da un cavo inestensibile di massa trascurabile in modo che m poggi su un piano orizzontale scabro mentre m su un piano perfettamente liscio inclinato di 30 rispetto al suolo. Determinate il valore minimo del coefficiente di attrito statico della superficie orizzontale affinché il sistema sia in equilibrio. Determinare inoltre la tensione del filo in tale condizione. ESERCIZIO 4 Un corpo puntiforme si trova su un piano liscio inclinato di 45 rispetto terra e appoggiato su una molla di costante elastica k = 30 N/m. La molla per sorreggere il corpo si accorcia di 0. m. a) Calcolare la massa del corpo. b) Quale dovrebbe essere il coefficiente di attrito statico per sorreggere il corpo in assenza della molla? ESERCIZIO 5 Un punto materiale di massa m =. kgè fissato al soffitto tramite un cavo inestensibile di massa trascurabile di lunghezza r =. m e una molla di costante elastica k = 40 N/m e lunghezza a riposo nulla. Cavo e molla sono attaccati al soffitto a una distanza r uno dall altro. Calcolare all equilibrio la distanza d del punto dal soffitto.

2 ESERCIZIO 6 Un corpo di massa M = 0 kg è sollevato da un sistema di carrucole come in figura, per mezzo di una forza impressa all estremo della fune. All equilibrio il cavo forma un angolo di α = 30 con il soffitto. Dimostrare che la carrucola si posiziona rendendo uguali i due tratti di cavo che la sostengono. Determinare il modulo F della forza che serve a mantenere il sistema in quiete. (NB: la carrucola in basso a sinistra è mobile mentre quella in alto a destra è fissata al soffitto.) ESERCIZIO 7 Sapendo che la massa M = 00 kg è tenuta su dal sistema di carrucole in figura, determinare tensioni e forze necessarie per stabilizzare il sistema. (NB: la carrucola in alto a sinistra è fissa, mentre le altre due sono mobili.) ESERCIZIO 8 Un corpo puntiforme di massa m = kgè appoggiato su un piano lungo m inclinato rispetto a terra di 30. Alle due estremità del piano sono fissate due molle entrambe di lunghezza a riposo pari a l = m e le cui costanti elastiche sono k = 0 N/m (posizionata in basso) e k = 30 N/m (in alto). Determinare all equilibrio la distanza h del corpo da terra. Calcolare la stessa quantità con le molle in posizione invertita. ESERCIZIO 9 Un sistema di sollevamento pesi è costituito da una sbarra inclinabile lunga L = 3 m che termina in una carrucola ideale, un filo che tiene il peso che passando per la carrucola arriva su una superficie verticale e un secondo filo che collega direttamente la sbarra con la superficie verticale. Sapendo

3 che in un certo istante il sistema solleva una massa M = 0 kg, che i due fili collegati alla parete verticale sono perfettamente orizzontali e che la sbarra ideale senza massa è inclinata di 30 rispetto alla direzione orizzontale, trovare le due reazioni vincolari sulla parete verticale e la reazione vincolare sul piano d appoggio, quando il sistema è in condizioni statiche. SOLUZIONI ESERCIZIO Il valore massimo del modulo della forza di attrito statico è pari a F attr = µ s R n dove µ s è il coefficiente di attrito statico e R n è il modulo del componente normale della reazione vincolare esercitata dalla superficie. Il vettore F attr è diretto sempre in verso opposto a quello della spinta. Nella figura sono segnate tutte le forze che agiscono sul corpo. Finché il modulo della forza F non supera un certo valore limite, la cassa rimane ferma. Quindi nella prima equazione cardinale della meccanica il risultante delle forze esterne sulla cassa è nullo. Proiettando tale equazione sui due assi x ed y: (x) F cosθ Fattr = 0 F + R + F attr + P = 0 (y) F sinθ P + R n = 0 Dalla seconda equazione ricavo il valore di R n cioé la forza premente necessaria per calcolare la forza di attrito: R n = P F sinθ F attr = µ s R n = µ s (P F sinθ) 3

4 Sostituendo nella prima equazione e risolvendo per trovare F si ha: F cosθ µ s (P F sinθ)=0 F cosθ µ s mg + µ s F sinθ = 0 F(cosθ + µ s sinθ)=µ s mg µ s mg 3mg F = cosθ + µ s sinθ = 3 + = mg = 5 kg 9.8m/s = 47 N. 3 Quindi per F > 47 N la cassa comincia a muoversi. ESERCIZIO In figura sono segnate le forze che agiscono sui due corpi: si tenga presente che di F el è nota la direzione ma non è noto il verso. Scriviamo separatamente la prima equazione della statica per i due corpi A e B: A) T A + R A + F el + P A = 0 B) T B + P B = 0 Per il corpo A scompongo l equazione lungo le due direzioni normale (che indico con ) e parallela ( ) al piano inclinato. Per il corpo B ci interessa solo la proiezione lungo la verticale (y) dell equazione della statica. Fisso inoltre come verso positivo del moto quello che corrisponde a un allungamento della molla, cioè di salita per il corpo A e discesa per B: A ) T A + F el P A sinα = 0 A ) R A P A cosα = 0 B y ) P B T B = 0 ove T A, P A, R A, P B e T B sono quantità positive, mentre F el può essere positivo o negativo: si ha infatti che F el = k l, con l > 0 se la molla si allunga o < 0 se si accorcia (a causa dell orientazione scelta come positiva per il moto). Essendo la fune inestensibile e di massa trascurabile, e la carrucola ideale, si ha che T A = T B = T. Determiniamo ora T dall equazione B y e la sostituiamo nella A (la A non serve): By ) T = P B = m B g A ) T + F el P A sinα = 0 T k l m A gsinα = 0 4

5 La deformazione della molla è quindi: l = g(m B m A sinα) = 0.7m k Essendo l > 0 la molla si allunga. La forza è quindi diretta come in figura. ESERCIZIO 3 Scriviamo separatamente la prima equazione della statica per i due corpi e: ) T + R + F attr + P = 0 ) T + P + R = 0 Scomponiamo le due equazioni in due direzioni: per il corpo usiamo il consueto sistema Oxy allineato con l orizzontale e la verticale; per il corpo usiamo un sistema di riferimento con gli assi x parallelo al piano inclinato, ed orientato come x (cioè con il verso positivo quello verso destra in figura), e y perpendicolare allo stesso. Si noti che essendo la fune inestensibile di massa trascurabile e la carrucola ideale si ha che T = T = T. La scomposizione dà: x) T F attr = 0 y) R P = 0 x ) T + P sinα = 0 y ) R P cosα = 0 dove le incognite sono T, F attr e le due reazioni vincolari. Con qualche passaggio algebrico otteniamo: y) R = P = m g y ) R = P cosα = m gcosα x ) T = P sinα = m gsinα x) F attr = T = m gsinα Ricordiamo che F attr = µ s R n dove in questo caso R n = R = m g. Inserendo questa espressione per F attr nella x) si ottiene: µ s m g = m gsinα µ s = m sinα m = 0.5 5

6 In queste condizioni la tensione del filo vale T = F attr = µ s m g = 4.5N. ESERCIZIO 4 a) Scriviamo la prima equazione della statica per il corpo, e la scomponiamo nelle direzioni parallela e perpendicolare al piano inclinato: F el + R + P = 0 ) Fel Psinα = 0 ) R Pcosα = 0 dove F el indica il modulo della forza elastica; poiché il testo parla di accorciamento della molla, si ha che F el è diretta verso l alto (come indicato in figura), quindi ha verso opposto a quello del componente di P lungo il piano. Ricordando che il modulo di F el è F el = k l, ricaviamo la massa del corpo dalla prima equazione k l mgsinα = 0 m = k l = kg. gsinα b) Per trovare il coefficiente d attrito in assenza della molla riscriviamo l equazione della statica con la forza d attrito al posto della forza elastica: F attr + R + P = 0 ) Fattr Psinα = 0 F attr = Psinα ) R Pcosα = 0 R = Pcosα Ricaviamo quindi la reazione vincolare dalla seconda equazione, ed usiamo la definizione di forza d attrito F attr = µ s R n = µ s R, per trovare il coefficiente d attrito statico: µ s R = Psinα µ s Pcosα = Psinα µ s = sinα cosα = 6

7 ESERCIZIO 5 Scriviamo l equazione della statica per il punto materiale situato in B e proiettiamola sulle due direzioni: t lungo il cavo, n normale alla direzione del cavo. P + T + F el = 0 t) mgcosθ T F el sinα = 0 n) F el cosα mgsinθ = 0 dove gli angoli usati sono quelli indicati in figura e dove si è scelto di indicare F el in quanto direzione e verso sono noti (verso l origine della molla). Poiché le incognite nelle equazioni sono quattro (T, F el, θ e α), servono delle relazioni tra esse che consentano di eliminarne qualcuna. Considerando il triangolo ABC, l angolo in B è pari a π/ α perché l angolo ABn è un angolo retto. Inoltre, considerando il triangolo rettangolo AHB, si ha che l angolo in A vale π/ θ. Utilizzando il teorema dei seni per il triangolo ABC: sin ( π α ) = sin( π θ ) cosα = cosθ cosα = r r l r l l cosθ In questo caso si è scelto di indicare l per riferirsi alla lunghezza del segmento, quindi una lunghezza 0. Ricordando che F el = k l, inseriamo questo risultato nell equazione n): r n) k l cosθ mgsinθ = 0 krcosθ = mgsinθ l Si noti che il caso limite cosθ = 0 non è accettabile perché porterebbe a una soluzione con massa nulla. Possiamo quindi dividere entrambi i membri per cosθ e ottenere: ( ) kr kr = mgtanθ θ = arctan mg Infine, poiché d = r cos θ, ricaviamo: d = r cos ( ( )) kr arctan 0.86 m mg 7

8 ESERCIZIO 6 Essendo le carrucole ideali e le funi inestensibili e di massa trascurabile, la forza F viene trasmessa uniformemente lungo tutto il filo (F = F = F 3 = F), come pure la tensione T della fune verticale (T = T = T ). Scriviamo la prima equazione della statica per la carrucola (C) e per la massa (M): C) F + F + T = 0 M) T + P = 0 e le proiettiamo lungo le due direzioni x e y del sistema cartesiano Cx) F cosα + F cosβ = 0 Cy) F sinα + F sinβ T = 0 Mx) 0 = 0 My) T P = 0 Semplificando F nella Cx) si ottiene che α = β, da cui si deduce che i due tratti di fune che sostengono la carrucola sono uguali, come richiesto dal problema. Risolvendo quindi il sistema delle Cy e My si ottiene Cy) F sinα = T einfine, sostituendo, My) T = Mg F = Mg sinα 98 N NB: Il valore di F dipende da α: se aumento l angolo la forza necessaria per mantenere l equilibrio diminuisce. Questo ci mostra che questo sistema di sollevamento è particolarmente efficace quando i due tratti di fune sono quasi paralleli: infatti, in questo caso si ha α π/ sinα quindi la forza necessaria a sollevare il corpo è pari a circa la metà del suo peso. 8

9 ESERCIZIO 7 Nella figura è mostrato come le tensioni si propagano lungo le funi che sono per definizione inestensibili e di massa trascurabile. La prima equazione della statica per il corpo appeso e per le tre carrucole si scrive: M) P + T = 0 ) T + T = 0 ) T + T 3 = 0 3) T 3 + R = 0 Alle equazioni precedenti si aggiunge la considerazione che, essendo la fune inestensibile, si ha che F = T 3. Proiettiamo le equazioni lungo la verticale e risolviamo il sistema per ricavare F, R e le tensioni: P + T = 0 T + T = 0 T + T 3 = 0 T 3 + R = 0 T 3 = F T = P = Mg = 980 N T = T = Mg = 490 N T 3 = T = Mg 4 = 45 N R = T 3 = Mg = 490 N F = T 3 = Mg 4 = 45 N 9

10 ESERCIZIO 8 Partendo da una situazione con le due molle a riposo che si estendono fino a congiungersi a metà del piano (la lunghezza del piano è infatti pari a l), la massa m tenderà a scendere. Di conseguenza la molla (in alto) si allunga e la molla (in basso) si comprime della stessa lunghezza l, con entrambe che esercitano una forza diretta verso l alto, come indicato in figura. Per evitare di confonderci coi segni utilizzeremo i loro moduli. Scriviamo la prima equazione della statica per la massa e la proiettiamo lungo la direzione parallela e perpendicolare al piano inclinato: P + R + F el, + F el, = 0 ) F el, + F el, mgsinα = 0 ) Pcosα + R = 0 Per quanto detto in precedenza avremo che F el, = k l e F el, = k l ( l > 0). La ) non è utile a risolvere il problema. La ) permette di trovare l allungamento l: k l + k l mgsinα = 0 l = mgsinα = 0.96 m k + k L altezza della massa da terra si trova con considerazioni geometriche: h =(l l)sinα = l sinα mgsin α = 0.40 m k + k Dall espressione di h si evince che invertendo la posizione delle molle (cioè invertendo k e k )il risultato non cambia. 0

11 ESERCIZIO 9 In figura sono riportate tutte le forze che entrano in gioco per mantenere il sistema in equilibrio. Si noti che la reazione vincolare R s esercitata sulla sbarra non è necessariamente orientata lungo la sbarra stessa, per questo viene indicato un angolo α θ. In questo modo possiamo esprimere la reazione vincolare come R s = R s,x î + R s,y ĵ, con R x = R s cosα e R y = R s sinα. Si noti, inoltre, che mentre direzione e verso delle altre forze in gioco sono note o facilmente deducibili, a livello di impostazione del problema non è semplice individuare l esatta orientazione di R s, che potrebbe avere direzione e verso molto diversi da quelli indicati in figura: per ricordarci di questo aspetto abbiamo quindi inserito un? nella sua notazione. Dal punto di vista matematico dovremo considerare l angolo α nella maniera più generale possibile, ovvero 0 α < π, e di conseguenza R x e R y come positivi o negativi. La condizione di equilibrio applicata sulla massa appesa (I eq. cardinale della statica: F = 0) ci dice che la somma delle forze applicate su di essa deve essere nulla. Avremo quindi che T (i) + P = 0 T (i) = Mgĵ Da questo deduciamo che il modulo della tensione sarà pari a T = T (i) = Mg. Poiché la fune che sostiene il corpo è inestensibile e di massa nulla, tutte le tensioni presenti sulla fune avranno modulo pari a T. Inoltre la stessa considerazione fatta sul giunto tra fune e parete verticale ci permette di trovare R T (iv) + R = 0 R = T (iv) = T î = Mgî = (98 N)î

12 Effettuando lo stesso ragionamento sul giunto più basso otteniamo solo la relazione R = T (ii) che non ci consente di trovare la seconda reazione vincolare. Quindi, mentre per trovare R è stato sufficiente svolgere considerazioni puntuali sull equilibrio del corpo appeso e del giunto, per determinare le altre forze occorre considerare il sistema nel suo complesso. Scriviamo quindi le due equazioni cardinali della statica in forma generale: I) i F i = 0 II) i M i = 0 Esplicitando la I) avremo I) R s + T (i) + T (ii) + T (iii) = 0 dove si sono omesse per semplicità le altre forze perché, come già visto, si annullano tra loro. Proiettandole lungo gli assi otteniamo: Ix) Rs,x T Mg = 0 Iy) R s,y Mg = 0 Avendo due equazioni con tre incognite (R s,x, R s,y e T ) il sistema non è risolvibile. Dobbiamo quindi aggiungere la condizione data dalla II). Per comodità fissiamo come polo per calcolare i momenti l origine O degli assi di riferimento in modo che il braccio della reazione vincolare R s si annulli e compaiano quindi solo le due tensioni II) 0 R s + r ( T (ii) + T (iii) ) + r T (i) = 0 dove anche in questo caso sono state omesse le forze che si annullano reciprocamente. Esprimendo i due vettori r e r in coordinate cartesiane possiamo sostituirli per ottenere r = Lcosθî + Lsinθ ĵ r = L cosθî + L sinθ ĵ II)(Lcosθî + Lsinθ ĵ) ( Mgî Mg ĵ)+ Svolgendo i prodotti vettoriali si ha II) LMg(sinθ cosθ)ˆk + L T sinθ ˆk = 0 ( L cosθî + L ) sinθ ĵ ( T î ) = 0 Proiettandola lungo z e inserendola a sistema con le precedenti si ottiene Ix) R s,x = Mg+ T Iy) R s,y = Mg IIz) Mg(sinθ cosθ)+ T sinθ = 0

13 che è risolvibile. In particolare, si puó ricavare T dalla IIz) e sostituirlo IIz) T = ( ) cosθ sinθ sinθ Mg = (cotθ )Mg Ix) R s,x =[ + (cotθ )]Mg =(cotθ )Mg Iy) R s,y = Mg ottenendo così il risultato richiesto. Per ottenere i valori numerici basta ricordare che cot π 6 = 3: T = ( 3 )Mg N R s,x =( 3 )Mg 4.48 N R s,y = Mg = 98 N Per quanto detto in precedenza avremo che R = T N e il problema è risolto. Come ulteriore esercizio possiamo trovare l orientazione di R s calcolando l angolo α come ( ) ( ) ( ) Rs,y α = arctan = arctan = arctan R s,x cotθ 3 Si ha, quindi, che R s ha un inclinazione minore rispetto alla sbarra (e non maggiore come indicato in figura). Si ricorda che cotθ = /tanθ = cosθ/sinθ. 3