I numeri relativi e gli insiemi numerici

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1 Capitolo algebra I numeri relativi e gli insiemi numerici E nella tua lingua? Italiano Inglese Francese Tedesco Spagnolo Insieme Z dei numeri interi N Z Set Z of integers Ensemble Z des nombres entiers Menge Z der ganzen Zahlen Conjunto Z de los números enteros Insieme Q dei numeri razionali N Z Q Set Q of rational numbers Ensemble Q des nombres rationnels Menge Q der rationalen Zahlen Conjunto Q de los números racionales... Insieme dei numeri irrazionali..., 7,...,,...,,..., π,..., Set of irrational numbers Ensemble des nombres irrationnels Menge der irrationalen Zahlen Conjunto de los números irracionales... Insieme R dei numeri reali Q N Z irrazionali R Set R of real numbers Ensemble R des nombres réels Menge R der reellen Zahlen Conjunto R de los números reales... Opposto di un numero reale a + ( a) = Opposite of a real number Opposé d'un nombre réel inverses Element einer reellen Zahl Opuesto de un número real... Numeri reali concordi + e +6 Ð7 e Ð Real numbers with the same sign Nombres réels de même signe reelle Zahlen mit gleichen Vorzeichen Números reales con el mismo signo... Numeri reali discordi e +9 -, e + Addizione algebrica +(+) ( ) (+) = + = + Real numbers with different signs Algebraic addition Nombres réels de signes contraires Addition algébrique reelle Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen algebraische Addition Números reales con signo diferente... Adición algebraica... Valore assoluto + =, =, Absolute value Valeur absolue Betragsfunktion Valor absoluto... Retta numerica D B C A E Number line Droite numérique Zahlengerade Recta numérica..., 7, 6 π Insieme continuo R Continuous set Ensemble continu kontinuierliche Menge Conjunto continuo... Ð +

2 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici ALGEBRA L insieme R dei numeri reali I numeri naturali formano l insieme N,,,,, N I numeri interi positivi e negativi formano l insieme Z dei numeri interi:,,,,, +, +, N Z I numeri che si possono scrivere sotto forma di frazione formano l insieme Q dei numeri razionali:, 9,,, +, + 6, N Z Q Ogni nuovo insieme è un ampliamento dell insieme numerico precedente. Cioè: N Z Q Ci sono poi anche i numeri irrazionali (numeri che non possono essere scritti sotto forma di frazione):..., 7,...,,...,,..., π,..., N Z Q irrazionali io sono lõinsieme R L insieme R dei numeri reali (positivi, negativi e il numero ) è l unione dell insieme dei numeri razionali con l insieme dei numeri irrazionali. Possiamo rappresentare i numeri reali su una retta detta retta numerica; a ogni punto della retta corrisponde un numero reale che è la sua ascissa. Per esempio, sulla retta numerica puoi osservare i punti: A di ascissa B di ascissa D di ascissa, E di ascissa 6 C di ascissa D B C A E, 7, 6 π

3 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici G I lettera temperatura A + M H E F B L A D C,, M N O P Q M =... N =... O =... P =... Q =..., R S T U V R =... S =... T =... U =... V =... Osserva la tabella e segna i punti sul grafico. x y A + + B +6 C D + E +7 F + G +6 H I +7 Ð6 Ð Ð Ð Ð Ð O Ð Ð Ð Ð Ð A

4 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici ALGEBRA y O C S G B D R I H T E x B ( ; ) (; ) (9; ) ( ; ) (; ) (; ) ( 7; ) (; ) ( ; ) (; 8) 6 I A B C D E F G H L M A B C D E F G H I L M Ð Se un punto P del piano ha certe coordinate, dove è situato il punto P' ottenuto cambiando il segno delle coordinate di P?

5 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici Opposto di un numero reale e valore assoluto e + ( ) = Ð e e Ð ++ ( ) = b + l = Due numeri si dicono opposti quando la loro somma è uguale a : a + ( a) = Valore assoluto Individua sulla retta numerica il punto di ascissa, e quello di ascissa +,. Ottieni due punti simmetrici rispetto all origine, che da questa hanno distanza, (valore assoluto o modulo). questa distanza rappresenta geometricamente il valore assoluto dei due numeri,,,, Il valore assoluto di un numero si indica scrivendo il numero stesso entro barre verticali:, =, + =, =, 7 = 7 = Il valore assoluto di un numero positivo o nullo è il numero stesso. Il valore assoluto di un numero negativo è il suo opposto (che è positivo). n, 7 8, n a,, 7 8,,6 a, La prima tabella dell esercizio può avere più soluzioni. a ; Ð n a,,7, n,,9,,6

6 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici ALGEBRA Completa indicando l opposto. opposto e q - e + q Nell insieme dei numeri naturali non esiste l opposto dei numeri maggiori di. 6 Riconosci quali, fra le seguenti coppie, rappresentano numeri opposti. e q e q e 7 e - 7 q +, e, q 6, e,6 q - 9 e + 9 q 6 e q,8 e +,8 q e q q

7 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici Confrontare numeri reali < < < < < 7 7< Ogni numero reale è minore di ogni altro numero reale che è rappresentato alla sua destra sulla retta numerica. e 6 Ð7 e Ð sono coppie di numeri reali concordi Due numeri reali si dicono concordi se hanno lo stesso segno. Ð e 9 e - sono coppie di numeri reali discordi 7 Due numeri reali si dicono discordi se hanno segno diverso. Completa con i simboli < o >. Ð > Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð 7

8 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici ALGEBRA Colora in rosso i punti con coordinate concordi; in blu i punti con coordinate discordi. y C I Ð H + + G B D O L M N x P A F E Ð Scrivi nelle caselle i numeri in ordine crescente. Ð6, ,8 +9,7 6,99, +,96 6, Colora e rispondi. Colora in rosa i punti con coordinate intere: x 7; y Colora in blu i punti con coordinate intere: x ; y Colora in verde i punti con coordinate intere: x ; y + O + + Quali caratteristiche hanno i punti che appartengono alle zone gialle?... 8

9 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici L addizione nell insieme Z dei numeri interi faccio passi avanti 8 La somma di (+8) e (+) è uguale a. faccio passi avanti 8 La somma di ( 8) e (+) è uguale a. retrocedo di passi 8 La somma di ( 8) e ( ) è uguale a. La somma di due numeri interi si ottiene contando sulla retta numerica di seguito al primo numero tante unità quante ne indica il secondo numero, tenendo conto del verso (destra o sinistra) indicato dal segno del secondo addendo (+ o ). Somma di due numeri interi concordi (+6) + (+) = + ( 7) + ( ) = 9 La somma di due numeri concordi è il numero intero, concorde con gli addendi, che ha per valore assoluto la somma dei valori assoluti. Somma di due numeri interi discordi (+7) + ( ) = + ( 7) + (+) = La somma di due numeri interi discordi è il numero intero che ha il segno dell addendo con il valore assoluto maggiore e che ha per valore assoluto la diferenza dei valori assoluti. Somma di due numeri interi opposti ( 7) + (+7) = (+) + ( ) = La somma di due numeri opposti (stesso valore assoluto ma segno diverso) è uguale a. 9

10 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici ALGEBRA (+) + (+) =... ( ) + ( ) =... (+6) + ( 8) =... ( 9) + (+) =... ( 8) + (+8) =... (+ ) + ( ) =... () + ( 7) =... ( ) + (+) =... (+) + (+) =... (+) + ( 7) =... (+) + ( 6) =... ( 7) + (+9) =... ( ) + ( ) =... ( ) + (+) =... ( ) + ( 6) =... ( ) + ( ) =... ( ) + ( ) =... ( ) + () =... (+7) + ( ) =... ( ) + (+) = Ð

11 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici a b a + b b + a Nell esercizio hai ottenuto due colonne di valori.... Quindi l addizione nell insieme Z dei numeri interi gode della proprietà....

12 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici ALGEBRA La sottrazione nell insieme Z dei numeri interi (+) (+) = (+) + ( ) = + ( ) ( 7) = ( ) + (+7) = + ( ) (+) = ( ) + ( ) = 8 Per sottrarre da un numero intero un altro numero intero, basta addizionare al primo numero (il minuendo) l opposto del secondo numero (il sottraendo): a b = a + ( b) Se il sottraendo è negativo, la differenza è maggiore del minuendo. a b a + ( b) differenza (+6) (+) = (+6) + ( ) = + ( ) (+) = ( ) ( 6) = ( 6) ( ) = ( 7) (+) = (+) ( ) =

13 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici 6 L addizione algebrica Nell insieme Z l operazione di sottrazione si riduce a un addizione. Non si devono dunque separare queste due operazioni: si può parlare di addizione algebrica (+) ( ) (+) = = + Nell addizione algebrica di numeri interi si possono eliminare tutte le parentesi scrivendo il primo termine seguito da tutti gli altri: con il proprio segno se la parentesi eliminata era preceduta dal segno +; con il segno opposto se la parentesi era preceduta dal segno Ð In un addizione algebrica in cui compaiono addendi sia positivi sia negativi, è conveniente sommare tra loro gli addendi positivi, sommare tra loro gli addendi negativi e poi fare la somma algebrica tra le loro somme.

14 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici ALGEBRA 7 La moltiplicazione nell insieme Z dei numeri interi (+) (+) = + (+) ( ) = ( ) (+) = ( ) ( ) = + Il prodotto tra due numeri interi relativi è un numero: positivo quando i due numeri sono concordi; negativo quando i due numeri sono discordi. Il valore assoluto è uguale al prodotto dei valori assoluti. Regola dei segni + + = + + = + = = + (+) (+) ( ) = ( ) (+) ( ) = + ( ) ( ) ( ) = Il prodotto di più fattori è negativo se i fattori negativi sono in numero dispari, è positivo se sono in numero pari. primo fattore secondo fattore segni segno del prodotto valore assoluto del prodotto prodotto +9 discordi Il prodotto di due fattori, uno dei quali negativo, ha segno opposto al segno dell altro fattore.

15 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici 8 La divisione nell insieme Z dei numeri interi La divisione è l operazione inversa della moltiplicazione, quindi: (+) : (+7) = + perché (+) (+7) = + (+) : ( 7) = perché ( ) ( 7) = + ( ) : (+7) = perché ( ) (+7) = ( ) : ( 7) = + perché (+) ( 7) = Il quoziente tra due numeri interi relativi è un numero: positivo quando i due numeri sono concordi ; negativo quando i due numeri sono discordi. Il valore assoluto del quoziente è uguale al quoziente dei valori assoluti. Regola dei segni + : + = + + : = : + = : = + dividendo divisore segni segno del quoziente valore assoluto del quoziente quoziente + discordi : : concordi : : : In una divisione con dividendo e divisore diversi tra loro e divisore diverso da, se il dividendo è positivo, il quoziente è sempre minore del dividendo; se il dividendo è negativo, il quoziente è sempre maggiore del dividendo.

16 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici ALGEBRA 9 La potenza nell insieme Z dei numeri interi Potenze con esponente positivo (+) = (+) (+) (+) = +7 (+) = (+) (+) (+) (+) = +8 ( ) = ( ) ( ) ( ) = 7 ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = +8 La potenza di un numero intero è il prodotto di tanti fattori, ciascuno uguale alla base, quante sono le unità dell esponente. Potenze con esponente negativo (+) = La potenza di un numero intero relativo (diverso da ) con esponente negativo è uguale a una frazione che ha: come numeratore ; come denominatore la stessa potenza con esponente positivo. potenza segno della base (+ o Ð) esponente (pari o dispari) segno della potenza valore assoluto della potenza Le potenze con basi positive (maggiori di ) ed esponente intero negativo sono più piccole della base. risultato ( ) dispari 8 8 ( 6) (+) ( ) 6 ( ) ( ) () 6 a a a a a a esponente base + + +

17 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici Completiamo lo studio dei numeri razionali (,) + (+,7) =,7 (,) (+,) =, (+,6) : (,) = (,) =,8 - b- - l++ b l= + = 6 6 b+ l b- l= - b+ l: b- l= b+ l b- l= - Per le addizioni algebriche, le moltiplicazioni, le divisioni, gli elevamenti a potenza di numeri decimali o frazioni sono valide le stesse regole che valgono per i numeri interi. Se a indica una frazione compresa tra e, la frazione a è più grande di a. b- l =+ 9 b- l = - 7,,,6 9, :...,9, 6,6 6 : : :... a b b a a a a a a a

18 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici ALGEBRA Uno sguardo di sintesi agli insiemi numerici Hai visto che l insieme R dei numeri reali contiene tutti gli insiemi numerici che hai studiato. N Z Q R irrazionali Per studiare i vari insiemi numerici hai spesso utilizzato il supporto grafico dei punti sulla retta numerica. N numeri naturali N Z numeri interi Z + Q numeri razionali Q + R numeri reali R + Aggiungendo ai numeri razionali gli irrazionali si ottiene questo risultato: a ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta numerica e a ogni punto della retta corrisponde un numero reale. Si dice che R è un insieme continuo. Possiamo riepilogare le proprietà degli insiemi che hai visto finora con lo schema a pagina seguente. 8

19 Capitolo I numeri relativi e gli insiemi numerici N (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) (proprietà associativa) a + b = b + a a b = b a (proprietà commutativa) esiste un elemento, il numero (zero), tale che a + = + a = a per ogni a (esistenza dell elemento neutro additivo) esiste un elemento, il numero (uno), tale che a = a = a per ogni a (esistenza dell elemento neutro moltiplicativo) a (b + c) = a b + a c (proprietà distributiva) R Z Per ogni a esiste b tale che a + b = (esistenza dell opposto) Q Per ogni a esiste c tale che a c = (esistenza dell inverso) è un insieme continuo Ricorda! R = Q {irrazionali} Vero o falso? a) Anche nell insieme R vale la proprietà commutativa dell addizione e della moltiplicazione. b) Nell insieme R l elemento neutro della moltiplicazione è lo zero. v f v f c) Nell insieme R per ogni numero diverso da esiste l inverso. d) Nell insieme R vale la proprietà distributiva dell addizione rispetto alla moltiplicazione. v f v f Quanti numeri interi esistono tra e? Scrivili in ordine crescente.... Scrivi tutti i numeri x tali che x Z, x < Scrivi almeno tre numeri razionali compresi tra e.... Quale valore deve assumere x (x R) perché sia vera l uguaglianza x =?... 9