CESEDI 22 Marzo 2012 Ragionare in geometria: indurre, abdurre, dedurre. Come ci possono aiutare gli attuali strumenti tecnologici?

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1 CESEDI 22 Marzo 2012 Ragionare in geometria: indurre, abdurre, dedurre. Come ci possono aiutare gli attuali strumenti tecnologici? Elisa Gallo Maria Cantoni

2 Ancora Guarini La cicloide

3 Curve di Cassini

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5 Sintesi ed analisi P è allora un punto della conica..

6 Sintesi ed analisi in Euclide

7 GeoGebra ci dice

8 Euclide LIBRO I: PROPOSIZIONE 32 PROPOSIZIONE 32. In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti Sia ABC un triangolo, ed un suo lato BC sia prolungato oltre a C sino a D; dico che l angolo esterno ACD è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti CAB, ABC, e che la somma dei tre angoli interni del triangolo, ABC, BCA, CAB, è uguale a due retti. Infatti per il punto C si conduca la parallela CE alla retta AB. E poiché AB è parallela a CE, e su essa cade AC, gli angoli alterni interni BAC, ACE sono uguali fra loro. Di nuovo, poiché AB è parallela a CE, e su di essa cade la retta BD, l angolo esterno ECD è uguale all angolo ed opposto ABC. Ma fu dimostrato che pure gli angoli ACE, BAC sono uguali; quindi tutto quanto l angolo ACD è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti BAC,ABC. Si aggiunga in comune l angolo ACB [all angolo ACD e alla somma degli altri due]; La somma degli angoli ACD, ACB, è perciò uguale alla somma dei tre angoli ABC, BCA,CAB. Ma la somma degli angoli ACD, ACB, è uguale a due retti; quindi anche la somma degli angoli ACB, CBA, CAB è uguale a due retti. Dunque in ogni triangolo (secondo l enunciato) CDD

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10 ENUNCIATO TERZO Se due rette sono (1) parallele (2) tagliate da una trasversale allora gli angoli alterni interni sono congruenti Condizioni Conseguenza verifiche (1) AB // EC (2) AC taglia AB e EC BÂC AĈE PREMESSE Questo è ciò che appare nel discorso deduttivo, alle volte richiamando il nome dell enunciato terzo addotto.

11 In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti Sia ABC un triangolo, ed un suo lato BC sia prolungato oltre a C sino a D A propone espone B C D dico che l angolo esterno ACD è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti CAB, ABC, e che la somma dei tre angoli interni del triangolo, ABC, BCA, CAB, è uguale a due retti. delimita

12 Infatti per il punto C si conduca la parallela CE alla retta AB precisa A E B C D E poiché AB è parallela a CE, e su essa cade AC, gli angoli alterni interni BAC, ACE sono uguali fra loro. Di nuovo, poiché AB è parallela a CE, e su di essa cade la retta BD, l angolo esterno ECD è uguale all angolo ed opposto ABC. Ma fu dimostrato che pure gli angoli ACE, BAC sono uguali; quindi tutto quanto l angolo ACD è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti BAC,ABC dimostra

13 Si aggiunga in comune l angolo ACB [all angolo ACD e alla somma degli altri due]; La somma degli angoli ACD, ACB, è perciò uguale alla somma dei tre angoli ABC, BCA,CAB. Ma la somma degli angoli ACD, ACB, è uguale a due retti; quindi anche la somma degli angoli ACB, CBA, CAB è uguale a due retti dimostra Dunque in ogni triangolo (secondo l enunciato) - CDD conclude se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a due retti

14 Prove di dimostrazione nel tempo Halbwachs Buchenwald 1945 Arnauld seicento Clairaut settecento

15 Birckhoff e Beatley La similitudine come assioma

16 Dove sparisce il teorema? seicento Desargues

17 Jean Victor Poncelet Viene creduto morto e lasciato alla battaglia di Krasnoy (campagna di Russia), quindi imprigionato dai russi a Saratov. Durante la prigionia, studia la geometria proiettiva e scrive alcune bozze del libro "Applications d'analyse et de géométrie"

18 La geometria della sfera