ES 1.3. Data la distribuzione unitaria di una variabile quantitativa X. la media aritmetica di X è data dal rapporto tra il totale n

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1 ES Media e variaza Data la distribuzioe uitaria di ua variabile quatitativa X x 1... x i... x, la media aritmetica di X è data dal rapporto tra il totale x i e il umero delle uità rilevate: x = 1 x i, metre la variaza di X è la media dei residui quadratici dalla media aritmetica σ = 1 (x i x). Fissato u umero ɛ > 0 e idicado rispettivamete co f a(ɛ) e co f A(ɛ) la frequeza relativa degli isiemi si ha Altri risultati da ricordare soo: (x i x) = 0 a(ɛ) ={i : x i x ɛ} A(ɛ) ={i : x i x > ɛ} f a(ɛ) 1 σ ɛ f A(ɛ) < σ ɛ (x i a) = (x i x) + ( x a) 1

2 se Y = a + bx, allora ȳ = a + b x e σ Y = b σ X la variabile z i = x i x σ è defiita variabile stadardizzata ed ha media 0 e variaza 1. Nel caso i dati soo dispoibili attraverso ua distribuzioe di frequeze assolute o relative, si ha σ = 1 x = 1 x k k = x k f k (x k x) k = (x k x) f k I alterativa, la variaza puo essere calcolata attraverso la formula σ = 1 x i x el caso di ua distribuzioe uitaria o, piu i geerale, el caso di ua distribuzioe di frequeze σ = 1 x k k x = x kf k x. Nel caso i cui ua variabile e stata suddivisa i classi, media e variaza verrao calcolate sostituedo ad ogi classe il suo valore cetrale. La radice quadrata della variaza si chiama deviazioe stadard. Esercizi 1. Si calcoli media e variaza della variabile X elle tre segueti situazioi: x k k x k f k classi f k [ 3, ) [, 0.5) [0.5, ) [, 5] 0.15

3 Soluzioe. Caso 1 x = 1 K x k k = 1.58 σ = 1 K x k k x = Caso x = K x kf k = 5.40 σ = K x k f k x = Caso 3 Poichè la variabile è suddivisa i classi, media e variaza verrao calcolate sostituedo ad ogi classe il suo valore cetrale, chiamiamolo x k : classi f k x k = a k 1+a k [ 3, ) [, 0.5) [0.5, ) [, 5] x = K x kf k = 0.51 σ = K x k f k x = 3.8. La durata media di 100 telefoate ricevute ad u call ceter è pari a miuti, la deviazioe stadard è pari a 0.5 miuti, metre la durata mediaa è pari ad 1.5 miuti. Si calcoli la media degli scarti quadratici delle osservazioi dalla mediaa Me 1 (x i Me) Qual è la proporzioe miima delle telefoate che durao tra 1 e 3 miuti? Qual è la proporzioe massima delle telefoate che durao meo di 1.4 e piu di.6 miuti? Soluzioe. Per le proprietà della media e della variaza si ha: (x i Me) = (x i x) + ( x Me) 3

4 è quidi possibile calcolare: 1 [ (x i Me) ] = 1 [ (x i x) + ( x Me) ] = = (x i x) ( x Me) + = = σ + ( x Me) = = (0.5) + ( 1.5) = 0.5 La proporzioe miima di telefoate che durao tra 1 e 3 miuti è pari a 1 σ ɛ = 0.75 co ɛ = 3 x = x 1 = 1 La proporzioe massima di telefoate che durao meo di 1.4 miuti e più di.6 miuti è pari a σ ɛ = 0.69 co ɛ =.6 x = x 1.4 = Se la durata media delle telefoate che facciamo gioralmete e di 5 miuti, co ua deviazioe stadard di 3 miuti, quato sara il costo medio delle telefoate e la sua deviazioe stadard se paghiamo 5 cet al miuto co 10 cets di scatto alla risposta? Soluzioe. Dato t = 5, σ t = 3, i costi soo espressi dalla relazioe lieare c = t. Quidi il costo medio sarà: c = t = 35; e poichè σ c = 5 σ t = 5, la deviazioe stadard sarà: σ c = 5 = 15 3 Medie e variaze codizioate Suppoiamo di aver rilevato cogiutamete ua variabile qualitativa scoessa X ed ua variabile quatitativa Y, otteedo la distribuzioe di frequeze doppia 4

5 y 1... y k... y K x k... 1K x h h1... hk... hk h..... x H H1... Hk... HK H 1... k... K Allora la media margiale (o totale) della variabile Y si puo otteere sia attraverso la distribuzioe margiale della Y ȳ = 1 y k k che come media della distribuzioe delle H medie codizioate ȳ h = 1 K h y k hk, cioe ȳ = 1 H ȳ h h. Gli H 1 segmeti che uiscoo i puti (x h, ȳ h ) costituiscoo la spezzata di regressioe, che raffigura la dipedeza i media della variabile Y dalla X. Se X e ua variabile qualitativa, la spezzata di regressioe puo essere costruita solo codificado umericamete le modalità x h. La variaza margiale di Y puo essere calcolata cosiderado la distribuzioe margiale della Y σ Y = 1 (y k ȳ) k oppure come somma della variaza spiegata dalle medie codizioate (σ B ) e della variaza residua (σ W ), σy = σb + σw dove σb = 1 σw = 1 H (ȳ h ȳ) h H σh h 5

6 e dove le variaze codizioate soo date da σh = 1 (y k ȳ h ) hk. h Il rapporto di correlazioe ηy x = σ B σy misura la proporzioe di variaza della Y, spiegata dalla X, ed e pari a 0 quado σy = σ W, ovvero quado tutte le medie codizioate ȳ h soo uguali tra loro, ed uguale ad 1 quado σy = σ B, ovvero quado tutte le variaze codizioate σh soo ulle. Quado η Y x = 0 diciamo che Y e idepedete i media da X, metre quado ηy x = 1, diciamo che la dipedeza i media di Y da X e massima. 4 Esercizi 1. La seguete tabella illustra la distribuzioe del salario mesile percepito da u umero di lavoratori dipedeti i aziede, classificate secodo la loro localizzazioe geografica [0, 800) [800, 1000) [1000, 000) [000, 5000] sud cetro ord disegare la spezzata di regressioe calcolare σ B e σ W calcolare il rapporto di correlazioe Soluzioe. Per disegare la spezzata di regressioe e per il calcolo della variaza spiegata dalle medie codizioate e della variaza residua occorre calcolare la media ȳ h della variabile Y e la variaza codizioata σ h. [0, 800) [800, 1000) [1000, 000) [000, 5000] h. ȳ h σh sud cetro ord k

7 La spezzata di regressioe è data dal seguete grafico: y h S C N Disposizioe geografica e σ B = 1 σ W = 1 H (ȳ h ȳ) h = H σh h = e il rapporto di correlazioe η Y x = σ B σ Y = σ B σ B +σ W = Data la seguete tabella relativa alla distribuzioe doppia dei caratteri titolo di studio e reddito mesile: 7

8 Tot Lic. Media Diploma Laurea Tot disegare la spezzata di regressioe calcolare il rapporto di correlazioe Soluzioe. Poichè le medie ȳ h soo tutte uguali tra loro (ȳ Lic.Media = ȳ Diploma = ȳ Laurea = 9.5), sappiamo che ηy x = 0. La spezzata di regressioe è data dal seguete grafico: 8

9 Lic. Media Diploma Laurea 9