Infinitesimi e loro proprietà fondamentali. Molto spesso il calcolo dei limiti conduce allo studio di forme indeterminate. lim f(x) = 0.

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Berto Grilli
6 anni fa
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1 Infinitesimi e infiniti - B. Di Bella Infinitesimi e loro proprietà fondamentali Molto spesso il calcolo dei iti conduce allo studio di forme indeterminate del tipo 0 0,. Occorre quindi studiare i modi in cui due funzioni tendono a zero (o a infinito) e confrontarle fra esse. Definizione - Siano f : X lr e 0 infinitesimo per 0 se D(X); si dice che è un = 0. 0 Analogamente, è un infinitesimo per + oppure per se = 0 oppure = 0. + Per esempio, = 2 è un infinitesimo per perchè (2 ) = 0 = è un infinitesimo sia per + che per perchè ± = 0. Indicheremo con la scrittura c sia 0 che + e. Siano e g() funzione infinitesime per c; si dice che e g() sono infinitesimi dello stesso ordine per c se = l 0, l lr. Si dice che è infinitesimo di ordine superiore rispetto a g() per c se = 0.

2 2 Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica e Informatica Si dice che è infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g() per c se = ±. non esiste le funzioni e g() sono infinitesimi non confrontabili per c. = cos e g() = 2 sono infinitesimi dello stesso ordine per 0 cos = 2 2 ; = cos è un infinitesimo di ordine superiore a g() =, per 0, cos = 0 ; = ln( + ) è un infinitesimo di ordine inferiore a g() = 3, per 0, ln( + ) 3 ln( + ) = = + ; 2 = sin e g() = sono infinitesimi non confrontabili per 0 sin = sin non esiste. è un infinitesimo di ordine superiore a g(), per c, si dice che è trascurabile rispetto a g(). Questo modo di dire è giustificato dal seguente: Principio di einazione degli infinitesimi Ip - Siano, f (), g(), g () infinitesimi per c con f () infinitesimo di ordine superiore rispetto a e g () infinitesimo di ordine superiore rispetto a g().

3 Infinitesimi e infiniti - B. Di Bella 3 Ts - + f () + g () = Ossia il ite del rapporto di due infinitesimi non cambia se si aggiunge (o se si toglie) agli infinitesimi dati degli infinitesimi di ordine superiore. sin sin 2 + = sin =, per 0, 4 è un infinitesimo trascurabile rispetto a sin e sin 2 è un infinitesimo trascurabile rispetto a. cos + sin + = = 0. Per esprimere una relazione di confronto tra due infinitesimi si utilizzano di solito dei simboli, noti come simboli di Landau; fra questi consideriamo:. o( ) (si legge o piccolo di...) se e g() sono infinitesime per c e è di ordine superiore a g() (ossia = 0), si scrive = o(g()) per c. 2. ~ (si legge equivalente a...) se e g() sono infinitesimi per c e se risulta scrive ~ g() per c. =, si 3 = o( 2 ) per 0; cos = o() per 0

4 4 Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica e Informatica sin = o( α ) per 0, α ]0, [; α = o(sin ) per 0, α > ; (sin ) α = o() per 0, α > ; = o((sin ) α ) per 0, α ]0, [; ~ ( 3 + ) per 0 sin ~ per 0; tan ~ per 0; cos ~ 2 2 per 0; e ~ per 0; ln( + ) ~ per = ( 2 + ) = ; Principio di sostituzione degli infinitesimi Ip - Siano, f (), g(), g () infinitesimi per c con ~ f () e g() ~ g (). Ts - = f () c g () Ossia il ite del rapporto di due infinitesimi non cambia se si sostituisce ciascuno dei due infinitesimi con un infinitesimo equivalente. ln( + ) 2 = 2 2 tan = per 0 si ha ln( + ) ~ e tan ~.

5 Infinitesimi e infiniti - B. Di Bella 5 sin = 2 5 tan 5 = per 0 si ha sin 2 ~ 2 e tan 5 ~ 5. sin 2 cos = = 2 per 0 si ha sin 2 ~ 2 e cos ~ 2 2. Infiniti e loro proprietà fondamentali Definizione - Siano f : X lr e 0 D(X); si dice che è un infinito per 0 se 0 = ±. Analogamente, è un infinito per + oppure per se = ± oppure = ±. + Per esempio, = è un infinito per ± perchè ± (2 + 2) = + ; = ln è un infinito sia per 0 + che per + perchè ln = e ln = Indicheremo con la scrittura c sia 0 che + e. Siano e g() funzione infinite per c; se = l 0, l lr le funzioni e g() si dicono infiniti dello stesso ordine per c. = 0

6 6 Corso di Analisi Matematica per Ingegneria Elettronica e Informatica la funzione si dice infinito di ordine inferiore rispetto a g() per c. = ± la funzione si dice infinito di ordine superiore rispetto a g() per c. non esiste le funzioni e g() sono infiniti non confrontabili per c. = 2 + e g() = 3 2 sono infiniti dello stesso ordine per = ; = ln è un infinito di ordine inferiore a g() =, per +, ln + = 0 ; = e è un infinito di ordine superiore a g() =, per +, e + = + ; = sin e g() = sono infiniti non confrontabili per + sin = sin non esiste. + + La rapidità con cui una funzione tende all infinito varia a seconda delle sue caratteristiche. In generale, per +, si può dire che: la funzione logaritmo, = log a con a >, cresce meno rapidamente di qualsiasi potenza positiva di ;

7 Infinitesimi e infiniti - B. Di Bella 7 la funzione esponenziale, = a con a >, cresce più rapidamente di qualsiasi potenza positiva di. Principio di einazione degli infiniti Ip - Siano, f (), g(), g () infiniti per c con f () infinito di ordine inferiore rispetto a e g () infinito di ordine inferiore rispetto a g(). Ts - + f () + g () = Ossia il ite del rapporto di due infiniti non cambia se si aggiunge (o se si toglie) agli infiniti dati degli infiniti di ordine inferiore. Ciò rende più agevole il calcolo dei iti, come mostrano i seguenti: = 5 + = 2 3, per +, 2 + è un infinito di ordine inferiore rispetto a 2 3 e 3 5 è un infinito di ordine inferiore rispetto a e 2 + = + ln = e + = = 0. + ln 2 = e + e = 0.

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