BREVE COMPENDIO DI MATEMATICA 1 / 15

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1 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 1 / 15 Questo breve compedio guid il lettore tr le regole e i modelli bsilri dell mtemtic, e forisce gli strumeti co cui impostre e risolvere problemi logici e di clcolo. Le prti discorsive del compedio uso u liguggio spiccio per fcilitre l compresioe dei cocetti mtemtici. Idice Algebr p. Alisi p. 9 Topologi p. 1 Sttistic p. 1

2 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA / 15 A L G E B R A LETTERE E SEGI Il liguggio mtemtico us simboli grfici per esprimere cocetti. Le lettere rppreseto umeri: le prime dell lfbeto rppreseto i dti (fissi già coosciuti ll iizio del problem); le ultime dell lfbeto rppreseto le icogite (d clcolre per otteere u soluzioe) o le vribili (umeri mutevoli, m che ho u rpporto costte co gli ltri umeri del problem); le lettere greche rppreseto etità prticolri (costti, fuzioi, ecc.). Le pretesi rccolgoo operzioi che bisog eseguire prim delle ltre. I segi rppreseto l relzioe che leg i umeri fr loro: moltiplicre (puto cetrle o cotiguità di due lettere, come xy), mggiore di (>), ecc. Moltipliczioi e divisioi ho l precedez su somme e sottrzioi. Gli opertori di somm (+) e sottrzioe ( ) ttribuiscoo vlore positivo o egtivo i umeri e rispetto le regole segueti (p.es. l moltipliczioe di due umeri egtivi rede u umero positivo): x y = 0 x = y x y > 0 x > y x y < 0 x < y x > y x < y (x)(y) = z ( x)( y) = z (x)( y) = z x y =z x y = z MOLTIPLICAZIOI (+b+c)m = m+bm+cm (+b)(c+d+m) = c+d+m+bc+bd+bm DIVISIOI c =c cb = b b c m = m b m c m bc = b b c d = b d c b =b bc m = m bc= b m c=b c m b = 1 b b c d bc = d bd MASSIMO COMU DIVISORE Il MCD di due o più umeri rccoglie i loro termii comui espressi co l espoete più piccolo. L uità (1) può essere igort dll isieme dei termii comui perché o icide sul risultto del clcolo. MCD(8, 0) umero divisore miimo ; umero divisore miimo MCD(8, 0) = MCD(, b) b =c, w resto b w =c 1, w 1 w 1 w w -1 = MCD(, b)

3 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA / 15 MIIMO COMUE MULTIPLO Il mcm di due o più umeri rccoglie i loro termii comui e o comui espressi co l espoete mggiore. b mcm, b = MCD,b mcm b, d b c mcm b, d c d = b d mcm b, d POTEZE E LOGARITMI L potez di u umero (bse) lo moltiplic per se stesso tte volte qute idicto dll espoete. L potez h precedez sulle ltre operzioi, meo che u pretesi sepri l bse dll espoete. = 1 = 0 = 1 ( ) = x ( ) = x = x (bc) = b c (bc) = b c m p = m++p ( m ) = m = 1 b = b b = b m =m m x = x m x = y x = log y b log b x = x log b x= 1 log x b log (m ) = log m+log x m = 1 x m log m =log m log log m = log m log = 1 log b x= log x log b ESPRESSIOI + b c ( +c) dc+db= = =4 6=11 MOOMI Riduzioe: Addizioe: b5 b 4 c = ( 5 )( 1+ )(b 1+4 )c = 0 4 b 5 c 10 b + 14bc b 4bc = 7 b + 10bc Moltipliczioe: (5b )( bc )( bc ) = 5( )( 1)( )(b bb)(c c ) = 15 b 4 c 5 Divisioe: 8 b 5 b 4 = 8 b5 b =4 b Potez: ( bc ) = ( ) ( ) b (c ) = 8 6 b c 9 MCD: 8 b 4 c 5 ; 6b c 4 d; 10 4 b 5 c m; b c (i termii comui col più piccolo espoete). mcm: 8 b 4 c 5 ; 6b c 4 d; 10 4 b 5 c m; 10 4 b 5 c 5 dm (i termii col mggiore espoete). POLIOMI x 4 + x + 6 x +x+1: poliomio di 4 termii, completo e ordito rispetto x, co il termie di grdo 0 (x 0 ).

4 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 4 / 15 Moltipliczioe: (m+) = m+. ( xy )(x 7x y 4 ) = 6x 4 y +14x y 6 Divisioe: Ruffii: (+b)(m ) = m +bm b (+b)( b) = b+b b = b (+b+c)(+b c) = (+b) c 1 5 b c b 4 c 10 m 4 b 6 c 5 bc =4 b c 4 b c 7 m b 5 c x y x y =x y x y =x y solo se l potez è pri. x y x y x y =x xy y x y x 4 y 4 x y =x xy x y y x4 y 4 x 5 y 5 x y =x4 xy x y x y y 4 x5 y 5 5 x 1 x 10 x 1 x = x y =x xy y x y =x x y xy y x y =x4 xy x y x y y Il poliomio deve essere trscritto completo (se mc u termie per u x si scrive 0). Qudrto: (+b) = (+b)(+b) = +b+b+b = +b+b ( b) = b+b (+b+c) = +b +c +b+c+bc (+ b 5b ) = b +5b 6 +1 b 0b 0 b 4 Cubo: (+b) = (+b)(+b)(+b) = + b+b +b ( b) = b+b b (xy +x ) = (xy ) +(xy ) (x )+(xy )(x ) +(x ) = = 8x y 9 +(4x y 6 )x +(xy )(9x 4 )+7x 6 = 8x y 9 +6x 4 y 6 +54x 5 y + 7x 6 (+b+c) = +b +c + b+ c+b +b c+c +c b+6bc solo se l potez è dispri. = 5 x x 4 ; resto = 7 Poteze: (+b) = +trigolo-di-trtgli+b (+b) 5 = b+10 b +10 b +5b 4 +b 5 Trtgli: (qudrto) 1 1 (cubo) (qurt potez) (quit potez) (sest potez) (settim potez) (ottv potez) Scomposizioe i fttori: A +B o si può decomporre. A B = (A B)(A+B) 1) si cerc il MCD; ) si divide il poliomio per il MCD; ) si mette i evidez il MCD, scrivedo tr pretesi il risultto dell divisioe. 10 b+1 4 = ( 5b+6 )

5 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 5 / 15 A +B = (A+B)(A AB+B ) A B = (A B)(A +AB+B ) A 4 +B 4 o si può decomporre. A 4 B 4 = (A B )(A +B ) = (A B)(A+B)(A +B ) b 4 bc = c bc 4 bc = c 4 bc EQUAZIOI DI PRIMO GRADO (LIEARI) U equzioe idic che i termii rppresetti siistr del sego = ho u relzioe costte co i termii rppresetti ll su destr. Ivertire l posizioe dei termii, rispettdo le regole dei segi, mtiee ivrito il risultto dell relzioe. Isolre u vribile o u icogit, siistr o destr del sego =, idividu l operzioe o l serie di operzioi d eseguire per clcolre il vlore. x = b x= b ; se = 0 x=b 0 impossibile; se = b = 0 x=0 0 idetermit. 5 x = 1+x 5 1 = x+x 4 = x x= 4 x 1 x x = 7 4 mcm(x, x, 4) = 4x 4 x x 1 x 4 x 4x 4 6 = 7x 10 = x x = 10 x = y b bx = y x = x = 7 4 x 4(x 1) () = 7x 4 x = +bx+c x bx = +c x(1 b) = +c x= +c 1 b PROPORZIOI x =b c x=c b x =b c x=b c EQUAZIOI DI SECODO GRADO (QUADRATICHE) x +bx+c = 0 x 1, = b± b 4 c Discrimite: = b 4c Se > 0, esistoo soluzioi distite. Se = 0, esistoo soluzioi coicideti x 1 = x. Se < 0, esistoo soluzioi complesse e coiugte. x +bx+c = (x x 1 )(x x ) ell form semplice: x +bx = 0 x(x+b) = 0 x 1 = 0, x = b x 1 x = b x 1 x = c x x 1 x x x 1 x =0

6 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 6 / 15 GRAFICI I grfici i dimesioi rppreseto l relzioe mtemtic (equzioe) tr icogite. L sse orizzotle di u grfico rppreset di solito i vlori ssuti dll vribile x, metre l sse verticle rppreset quelli ssuti dll y. Le equzioi di I grdo esprimoo rette, quelle di II grdo esprimoo curve. Ogi puto P di u rett (o curv) h coordite umeriche: P(x, y). Due puti oti P 0 (x 0, y 0 ) e P 1 (x 1, y 1 ) idividuo u rett co equzioe: y y 0 y 1 y 0 = x x 0 x 1 x 0 x = y y 0 x 1 x 0 y 1 y 0 x 0 Ogi equzioe si può riportre i u grfico, ssegdo vlori rbitrri x dopo ver risolto l equzioe isoldo l y per otteere le coordite: x y+1 = 0 y = x+1 qudo x = 0, y = 0+1, etc x = 0 x = 1 x = x = y = 1 y = y = y = +1. Due puti rbitrri del grfico sro A(0, 1) e B(1, ). Coefficiete golre (derivt): m= y 0 x 0 (rett psste per l origie degli ssi); m= y 1 y 0 x 1 x 0 Equzioe dell rett psste per u puto (fscio di rette): y y 0 = m(x x 0 ) (ltre rette). Coordite del puto medio di u segmeto: x M = x 0 x 1 Distz tr due puti: AB= x 1 x 0 y 1 y 0 Prbol: y = x +bx+c. ; y M = y 0 y 1 ell form x +bx+c = 0 le soluzioi x 1 e x soo i puti i cui l prbol tocc l sse delle Y (cioè y = 0). Dte le coordite d itersezioe dell prbol co gli ssi X e Y, si può trovre: Ellisse: Cerchio: x y b =c y= x y =c P X (x 0, 0) e P Y (0, y 0 ) y= y 0 x 0 x y 0 x 1 b ; fuochi dell ellisse: (, b); re dell ellisse: c. SISTEMI U sistem di equzioi di I grdo i vribili (x e y) idividu il puto d itersezioe delle rette. x= y x= y x= y Sostituzioe: { 4 x y =0 { 4 y y =0 { y= { x=4 y= { x=1 y= x= y Cofroto: { x y 1=0 { x=y x=1 y 1 y= y { x=1 y { y=4 x=1 y { y= x=1 { y= x= 1 MATRICI A m, : u isieme di umeri orditi per m righe e coloe (mtrice A di ordie ). i,j : u elemeto di A m, che si trov ll rig i e ll colo j. i,i = elemeto dell digole.

7 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 7 / 15 m = : mtrice qudrt. A 1, : vettore rig. A m,1 : vettore colo. A, =[ 1,1 1,,1,] mtrice qudrt di secodo ordie. A 1, =[ 1,1 1, 1, ] vettore rig. Trcci: tr(a m, ) = i,i + j,j + m, : somm degli elemeti dell digole. tr(a, ) = 1,1 +,. Determite: A, = 1,1,,1 1, (differez dei prodotti degli elemeti delle due digoli); A, = 1,1,, + 1,,,1 + 1,,1,,1, 1,,, 1,1,,1 1, A, = Regol di Srruss (solo per A,): si scrivoo di fico ll mtrice le prime due coloe. Somm di mtrici: Il vlore di u determite rest ugule se si scmbio le righe co le coloe. Lo scmbio di due righe o di due coloe di u determite equivle cmbire il sego. Moltiplicre tutt u rig o tutt u colo per k equivle A m, k. Se tutti gli elemeti di u rig o di u colo soo ulli (0) il A m, = 0. [ ] [ ] [ = Moltipliczioe di u mtrice per uo sclre k: ka m, : [ 1 8 Regol di Crmer: 4 5 ] = [ per u sistem di equzioi due icogite { x by=e cx dy= f [ b [ c d ] [ x y] [ = e f ] e b f d ] x= [ b c d ] = ed fb d cb per u sistem di equzioi tre icogite: { x by cz= j dx ey fz=k gx hy iz=l [ b c ] [ x z] [ j d e f y = k g h i l ] x= 1 1 1] [ 1 7 ] = ] [ = ] [ j b c ] k e f l h i [ b c ] d e f g h i y= c è u soluzioe solo se [ c [ e c f ] y= [ b c d ] = f ce d cb b d ] 0 c è u soluzioe solo se [ b c d e f g h i ] 0 [ j c ] d k f g l i [ b c ] d e f g h i z= [ b j ] d e k g h l [ b c ] d e f g h i Moltipliczioe tr mtrici (A e B) solo se il umero di righe di B coicide col umero di coloe di A: A m, B,p = C m,p

8 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 8 / 15 [ 1,1 1, 1,,1,,] [ b 1,1 b 1, b,1 b, b,1 b,]=[ 1,1b 1,1 1, b,1 1, b,1 1,1 b 1, 1, b, 1, b, [ ] [ 1 1,1 b 1,1, b,1, b,1,1 b 1,, b,, b, ] 1 0] = [ ] [ = ] SOMMATORIE Risultto dell somm di u serie di umeri: f i sommtori di f(i) l vrire di i d m. i= m x i = x m x m 1 x m x 1 x i=m 10 i = i=4 Se il umero di ddedi è ifiito ( = ) l sommtori è dett serie. Proprietà: i= m i= m i= m i= m i= m i= m x i = x i i=m = = i b i = i=m b i i=m i x i = x i i=m x i = x 1 x x x i = x 1 x x i= l sommtori di u somm è l somm delle sommtorie. q x i, j =x m, p x m 1, p 1 x 1,q 1 x, q j= p q x=qx j= p

9 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 9 / 15 A A L I S I OPERAZIOI TRA FUZIOI U fuzioe (f) esprime u relzioe di dipedez (cus-effetto) tr grdezze che segue l logic delle equzioi. Scrivere f(x) = 6x 1 equivle dire y = 6x 1, cioè che y vri i fuzioe del vrire di x. Addizioe: f(x) = 6x 1; g(x) = 7x x ; (f+g)(x) = f(x)+g(x) = 6x 1+7x x = 7x +x Moltipliczioe: f(x) = x; g(x) = (x 1)(x+1); (fg)(x) = f(x) g(x) = x(x 1)(x+1) = x x Divisioe: f(x) = x; g(x) = (x+1)(6 x); f f x x = g g x = x x 1 6 x = x 5 x x 6 LIMITE Il limite umerico che l fuzioe o può superre, m cui si vvici sempre di più mo mo che 1 l rgometo si vvici 0, o qulsisi ltro umero. P.es. il limite di co che tede è 0 perché il risultto di 1 srà sempre più vicio 0, mo mo che il vlore di umet. lim x x 0 f x =l se x I x0 tle che f x l (x 0 è u umero fiito; l è il limite fiito; è u umero picere mggiore di 0, m molto piccolo); lim x x 0 f x = se x I x0 tle che f x K (K è u umero picere mggiore di 0, m molto grde); lim x lim x f x =l se x I tle che f x l f x = se x I tle che f x K DERIVATA U derivt descrive come vri il vlore di u icogit (solitmete l y) di u fuzioe l vrire del vlore dell ltr icogit (solitmete l x). Idichimo l vrizioe co l letter grec δ: y x = y 1 y 0 x 1 x 0 L derivt esprime il coefficiete golre misurto dll tgete l grfico di u fuzioe. f ' (x) =. f ' (x ) = x -1. f ' x = 1 x 1 f(x) = 15x+4x +9yx f ' (x) = 15+4(x)+9y f ' (x) = 15+8x+9y. Il grfico dell derivt (curv ross) di u fuzioe (curv blu) rppreset sull sse verticle i vlori δy e sull sse orizzotle i vlori δx.

10 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 10 / 15 ESTREMI DI UA FUZIOE f(x 0 ) f(x): u fuzioe h u miimo i x 0 se i x 0 ssume u vlore iferiore o ugule quello che ssume i qulsisi ltro puto (x). f(x 0 ) f(x): u fuzioe h u mssimo i x 0 se i x 0 ssume u vlore mggiore o ugule quello che ssume i qulsisi ltro puto (x). U puto x 0 è mx o mi dell fuzioe se l derivt prim si ull i quel puto (x 0 ): f ' x 0 =0 Per trovre gli estremi mi e mx: 1) estrrre l derivt prim dell fuzioe: f ' x ) porre l derivt ugule zero: f ' x =0 ) risolvere l equzioe dell derivt per trovre i puti estremli: ove f ' x 0 l fuzioe è crescete; ove f ' x 0 l fuzioe è decrescete; ove f ' x =0 l fuzioe iverte il proprio vlore (puto di flesso). Es: y = x 6x 8 y' = 6x 6 0 = 6x 6 6x = 6 x = 1 quidi P( 1, y); y = ( 1) 6( 1) 8 y = +6 8 y = 5 quidi P( 1, 5) è u estremo. 6x 6 > 0 (ci chiedimo qudo y' ssum vlori positivi). x < 1: per vlori di x miori di 1 (verso siistr) l derivt è crescete e P( 1, 5) è u mx. ITEGRALE U itegrle ( )è l re compres tr u curv e l sse orizzotle (X) i u itervllo defiito sull sse stesso: Ω = {(x, y): x b, 0 y f(x)} l itervllo [, b] può essere scomposto i itervlli: [, b] = [x 0, x 1 ], [x 1, x ],, [x 1, x ] che idividuo ree più piccole di Ω, l qule risult dll loro sommtori: Ω = Ω 1 +Ω + +Ω f(x) mmette su ciscu itervllo [x i 1, x i ] u mssimo M i e u miimo m i i bse i quli s idividuo le ree dei due rettgoli S i = M i (x i x i 1 ) e s i = m i (x i x i 1 ) cosicché s i Ω i S i Somme superiori: S = M 1 Δx 1 + M Δx + +M Δx Somme iferiori: s = m 1 Δx 1 + m Δx + +m Δx s Ω S

11 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 11 / 15 δ è l più grde delle differeze (M 1 m 1,, M m ) S s = (M 1 m 1 )(x 1 x 0 )+(M m )(x x 1 )+ +(M m )(x x 1 ) 0 S s δ (b ) Se x i x i 1 = 0 M i m i = 0 Suddividedo l itervllo [, b] i u umero di itervlli, di ugule mpiezz x= b, lim S =lim s, δ tede 0 cosicché, essedo ξ i u puto qulsisi dell itervllo [x i 1, x i ]: S = f 1 x 1 x 0 f x x 1 f x x 1 Qudo f(ξ i ) = M i S =S e qudo f(ξ i ) = m i S =s b x 1 f x x= x f x x x 1 b f x x... b 1 f x x f i x i x i 1, tedete f x x= x 1 1 Es: f(x) = + x + x f x x= x0 1 x x 1 1 = x x x b f x x= 1 x b x=b x= f b f Es: f(x) = + x + x idefiito. 5 1 f x x= x x x 5 x= =60 1 x= = =170 defiito (1, 5).

12 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 1 / 15 T O P O L O G I A ITERVALLO [m, M]: i u isieme fiito E, m è il miimo (il termie più piccolo), M è il mssimo (il termie più grde), s è l estremo superiore coicidete co M, i è l estremo iferiore coicidete co m. rggio [ b] < b rggio: = b cetro b Itervllo limitto perto: < x < b Itervllo limitto chiuso: x b cetro: = b Itervllo perto siistr: < x b Itervllo perto destr: x < b ITORO I(x 0 ): itoro completo di u puto (x 0 ) è u qulsisi itervllo perto coteete x 0. I(x 0 δ, x 0 +δ): itoro circolre di u puto (x 0 ) è u itervllo perto di cetro x 0 co rggio δ. Per ogi coppi di puti e b esistoo i reltivi itori sez puti i comue: I I b = Φ b I I b TAGETE y y 0 = f ' (x 0 )(x x 0 ): equzioe dell rett tgete u certo puto P 0 (x 0, y 0 ) dell curv y = f(x). Es.: y = x +x, per P 0 (, 14) y' = (x)+1 = 6x+1 y' = 1+1 = 1 y 14 = 1(x ) L ormle co equzioe y y 0 = 1 f ' x 0 x x 0 è l rett psste per P perpedicolre ll tgete. Misur dell tgete: AP= y y 0 [ 0 y' x 0 ] Misur dell sottotgete: AB= y 0 cot = y 0 t = y 0 y ' x 0 Misur dell ormle: PC= y 0 [ y 0y ' x 0 ] Misur dell sottoormle: BC= y 0 t =y 0 y' x 0 DIAGOALE Il umero delle digoli (d) di u poligoo di vertici si clcol co l formul: d = L digole di u rettgolo è: d = b h (dl teorem di Pitgor).

13 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 1 / 15 S T A T I S T I C A PROBABILITÀ Rpporto tr il umero dei csi fvorevoli e il umero dei csi (ugulmete) possibili: p= C f C p P.es. u lcio (1) di u ddo 6 fcce estre u umero qulsisi d 1 6 co probbilità 1 6. VALORE ATTESO Il vlore tteso di u vribile csule (rdom) è dto dll somm di tutti i vlori possibili che tle vribile può ssumere, ciscuo moltiplicto per l probbilità di essere ssuto (cioè di verificrsi). P.es. il vlore tteso dl lcio di u ddo 6 fcce, co probbilità = = =,5 v: vlore tteso G v : vlore dell zioe G p : probbilità dell zioe B v : vlore dell zioe o volut B p : probbilità dell zioe o volut v = (G v G p )+(B v B p ) per ogi fcci, è: FATTORIALE! = 1 ( 1) 0! = 1 Clcolo combitorio, per cifre [, b,, ] esistoo! combizioi sez ripetizioi di lcu cifr. [, b, c] permuto 6 combizioi: 1 [, b, c], [, c, b], [b,, c], 4 [b, c, ], 5 [c,, b], 6 [c, b, ]. COEFFICIETE BIOMIALE k =! k! k! 7 = 7!! 7! = 5040 =1 : d u gruppo di 7 elemeti si possoo formre 1 coppie. 10 = umero dei gruppi di k elemeti che si possoo formre co elemeti. k 1,, k r =! k! k r! elemeti. COEFFICIETE MULTIOMIALE = umero di gruppi di diversi elemeti (k 1,, k r ) che si possoo formre co

14 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 14 / , 4, 4, = 11! 1! 4! 4!! = =4650 : le lettere dell prol MISSISSIPPI (1M, 4I, 4S, P) possoo essere combite i modi. DISTRIBUZIOI STATISTICHE Distrib. semplici: Frequez ssolut: Frequez reltiv: serie (crttere qulittivo) e serizioi (crttere qutittivo). k i = 1 k = : i è il umero di uità sttistiche che rppreseto l modlità i di u certo crttere. f i = i è il rpporto tr l frequez ssolut i e il totle : k i = 1 k =1 k f i = DIVISIOE DI UA VARIABILE I CLASSI Estremi (mi, mx): i vlori umerici che idico le clssi (p. es. d 45 50, d 1 1). Limiti o cofii (iferiore e superiore): semisomm fr mx di u clsse e mi dell clsse successiv (se c è discotiuità tr gli estremi delle clssi) c.sup i = mx mi i 1 i Ampiezz: differez tr limite superiore e iferiore (lim.sup lim.if). Vlore cetrle: semisomm tr limite iferiore e superiore, c.if i = mx i mi i 1 lim.sup i lim.if i MEDIA Medi ritmetic: per le modlità x di uità sttistiche, M = x 1 x x = x i per le frequeze di x, x 1 M x Medi ritmetic podert: M, pod = Medi geometric: M g = x i f i f i f i Medi geometric podert: M g, pod = x i M = x 1 1 x x k k, f i è il peso (poderzioe) ssegto lle modlità. i vlori o si sommo, si moltiplico (tssi di crescit). x i f i

15 BREVE COMPEDIO DI MATEMATICA 15 / 15 Medi rmoic: M h = 1 x i Medi di potez: M s = 1 x s 1 s i SCARTI Differez tr modlità e medi: s i = x i M L somm degli scrti è ull: s = x 1 M x M x M = x i M =0 M = =6 s 1 = 5 6 = 1; s = 7 6 = 1; s = 8 6 = ; s 4 = 4 6 = 4 s 1 +s +s +s 4 = 1 1+ = 0 VARIAZA = x 1 M x M x M σ è l idice di dispersioe che esprime l vriz geerle delle modlità dll M, cioè quto si discost medimete l sommtori degli scrti dll M. Più il vlore di σ è elevto, più il divrio degli estremi, rispetto ll M, è otevole. Visto che l somm degli scrti è ull, per otteere u vlore di riferimeto ( σ ) si elevo gli scrti l qudrto, i modo che sio tutti positivi; si oper quidi l rdice qudrt per otteere u umero gestibile.