Obiettivi del corso. Esempi di sistemi di comunicazione. Classificazione dei segnali
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- Silvano Valentino
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1 Obiettivi del corso Obiettivi Acquisire i principali strumenti metodologici ed informatici per l analisi e l elaborazione dei segnali di comune impiego nelle applicazioni di telecomunicazioni e più in generale nell ambito delle tecnologie dell informazione. Esempi di sistemi di comunicazione Un modello di comunicazione analogica p(t) x(t) Mic. x M (t) Mod. x T (t) TX Canale Altop. Dem. Eq. RX ˆp(t) ˆx(t) ˆx M (t) x F (t) x R (t) Un modello di comunicazione numerica p(t) x(t) x(n) b(n) x Mic. M (t) x Mod. T (t) A/D Cod. TX Canale Altop. D/A Dec. Dem. Eq. RX ˆp(t) ˆx(t) ˆx(n) ˆb(n) ˆx M (t) x F (t) x R(t) Classificazione dei segnali Classificazione dei segnali Tempo continuo (TC) vs tempo discreto (TD) Scalare vs vettoriale Monodimensionale vs multidimensionale Deterministico vs aleatorio
2 Contenuti del corso Il dominio del tempo Concetti di base sui segnali Caratterizzazione sintetica dei segnali Proprietà dei sistemi Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) Convoluzione Sistemi notevoli Il dominio della della frequenza Serie di Fourier Trasformata di Fourier Filtraggio Il concetto di banda Caratterizzazione dei segnali in frequenza Sistemi per le telecomunicazioni Conversioni A/D e D/A Distorsione ed equalizzazione MATLAB Principi di base dell ambiente di sviluppo Matlab Comandi di uso comune Realizzazione di script e funzioni Definizione di segnali ed elaborazioni Filtraggio nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza Caratterizzazione dei segnali... 2
3 Informazioni tecniche Materiale didattico Materiale didattico principale Il materiale didattico di riferimento è lo stesso degli anni precedenti ed è reperibile sul sito dell autrice Prof.ssa L. Verdoliva: In particolare sono disponibili: Appunti di teoria Esercitazioni Lezioni di laboratorio Formulario Ulteriori riferimenti G. Gelli, F. Verde. Segnali e Sistemi (disponibile on line). Vers. annotata: wpage.unina.it/giscarpa (sez. Fond. TLC) E. Conte: Lezioni di teoria dei segnali Ed. Liguori, Napoli, 996 M. Luise, G. M. Vitetta. Teoria dei segnali Ed. McGraw-Hill, II edizione, 2002 Modalità d esame Modalità d esame Test di laboratorio: prova al calcolatore di 2 ore di sviluppo codice Prova scritta: svolgimento analitico di esercizi (2-3); tempo 2h30 Prova orale Test di laboratorio Propedeutico per la prova successiva (scritto). Senza punteggio. Non contribuisce alla formazione del voto finale. In generale NON si conserva La prova di fine corso si conserva per tutto l anno. 3
4 Calendario esami (previsione) Prova di fine corso: Laboratorio: 30 maggio o 6 giugno Scritto: 8-5 giugno Orale: +7gg (al più) Prove successive: fine giugno (orale) <5 luglio (orale) Contatti Contatti giuseppe.scarpa@unina.it Studio: Via Claudio, Fabbricato 3/A, Stanza 4.28 Sito web: wpage.unina.it/giscarpa Ricevimento: Mercoledì, 0:30 2:30 (?) Segnali ed operazioni elementari. Segnali elementari Finestre TC e TD {, t < /2 (t) = 0, altrove { t, t < Λ(t) = 0, altrove {, 0 n N R N (n) = 0, altrove { n N B 2N (n) = N, 0 n 2N 0, altrove.2 Operazioni elementari sui segnali Operazioni sull ampiezza Somma/differenza Prodotto tra segnali amplificazione 4
5 Operazioni sulla variabile tempo Traslazione (TC/TD) Riflessione (TC/TD) Cambiamento di scala (TC) Decimazione/Espansione replicazione (TC/TD).3 Esempi di composizione di operazioni elementari Esempi [ (graph->formula) x(t) = rep 8 2 ( t t 4 2 ) + Λ( 2 )] x(t) = ( t 4 2 ) + Λ(t 2) + ( 6 t 4 ) (graph->formula) x(t) = 6Λ( t 4 t 4 4 ) 3Λ( 2 ) x(t) = Λ( t 4 2 ) ( t 4 ) + ( 2 t 6 ) (graph->formula) x(t) = 2Λ( t+π π Esempi t 2 ) + Λ( 2 ) + ( t 6 4 ) + Λ( t 2 4 ) ( t 0 4 ) x(t) t T y(t) 0 2t Caso TC x(n) 3 y(n) 6 z 5 Caso TD.4 Segnali impulsivi Delta di Dirac δ(t) Derivazione di discontinuità di a specie: du ɛ(t) dt = δ ɛ (t) du(t) dt = δ(t) Campionamento: x(t)δ ɛ(t) dt = 2ɛ (2ɛ) x(t ɛ) (t. media) x(t) continuo in 0 x(t)δ(t) dt = x(0) 5
6 Proprietà di δ(t) Area unitaria: δ(t) dt = Campionamento: δ(t t 0)x(t) dt = x(t 0 ), x(t) continua in t 0 Prodotto: x(t)δ(t t 0 ) = x(t 0 )δ(t t 0 ), x(t) continua in t 0 Parità: δ(t) = δ( t) Cambiamento di scala: δ(at) = a δ(t), a R {0} Derivazione:... Integrazione: u(t) = t δ(u) du Integrazione definita: { b x(0), se a<0<b a δ(t)x(t) dt = 0, altrimenti a < b R, x(t) continuo in 0 Delta TD δ(n) Definizione di: δ(n) Differenza prima: x(n) x(n) x(n ) u(n) = δ(n) u(n) = n m= δ(n) Proprietà di δ(n) Area unitaria: n= δ(n) = Campionamento: n= x(n)δ(n n 0) = x(n 0 ), n 0 Z Prodotto: x(n)δ(n n 0 ) = x(n 0 )δ(n n 0 ), n 0 Z Parità: δ(n) = δ( n) Decimazione ed espansione: δ(nm) = δ(n), M N [ n δ = δ(n), L N L] Somma: u(n) = n m= δ(m) 6
7 .5 Segnali periodici - I fasori Segnali periodici notevoli Segnale periodico e periodo fondamentale Funzioni sinusoidali TC: concetto di frequenza e sua dimensionalità Fasore TC: interpretazione, formule di Eulero Fasore e funzioni sinusoidali TD: periodicità per segnali armonici TD Esempi: determinazione periodicità Fasore TD 2 La caratterizzazione dei segnali 2. I parametri sintetici Durata di un segnale Segnali di durata rigorosamente limitata Segnali di durata praticamente limitata Segnali di durata illimitata, o persistenti Esempi: u( ), sgn( ), e t/t, a n u(n) Criteri di definizione della durata Area, media, energia e potenza Segnali transitori A x (T ) T/2 x(t) dt T/2 A x (N) A x n= N n= N x(t) dt x(n) x(n) Segnali persistenti x(t) T Ax(T ) T x(n) N Ax(N) lim x( ) lim = T T/2 x(t) dt T/2 N x(n) 2N+ = 2N+ n= N N A x(t ) T T = lim A x(n) 2N+ = lim x(t) 2 dt E x A x 2 = P x lim x( ) 2 = x(n) 2 lim n= T T/2 x(t) dt T/2 N N 2N+ n= N T/2 T/2 x(t) 2 dt N N 2N+ n= N x(n) 2 x(n) 7
8 Area, media, energia e potenza Discussione esempi s. transitori e persistenti Segnali di energia (0 < E x < ) e di potenza 0 < P x < x dc, xac( ), xrms Parametri sintetici per segnali notevoli x( ) α (t) RN (n) Λ(t) u( ) sgn( ) e t u(t) a n u(n) FASORE cos( ) A x N 0 o no conv. no conv. a x( ) α / E x N 2/3 /2 a 2 P x α /2 0 0 /2 Proprietà dei parametri sintetici segnali periodici Energia e potenza mutua (somma di segnali) Ortogonalità e casi notevoli x dc xac( ) Pa [x( )] Di [x( )] cos sin (simmetria opposta relativa) in t in f (o ν) Proprietà parametri dei sintetici z( ) x( ) + y( ) αx( ) x( ( )) x(t t 0) x(at) x(mn) x [ ] n rep L T0 [x(t)] A A z A x + A y αa x A x A x x A a x z dc x dc + y dc αx dc x dc x dc x dc x dc z(t) M T0 = Ax T 0 E z E x + E y + 2Re {E xy} α 2 E E x E x E x x E a x P z P x + P y + 2Re {P xy} α 2 P P x P x P x P x x M z(t) 2 T0 Media per segnali periodici x(t) periodico (T 0 ) = x(t) = rep T0 [x g (t)] = ( ) x g (t) x(t) rect t T0 /2 T 0 x g (t kt 0 ) 8
9 x(t) = lim T = lim = lim = lim n 2T T/2 T/2 x(t) = lim T T A k (2T ) A xg(t kt )(2T ), A 0 A x (T 0 ), n T 2T T T x g (t kt 0 ) = lim x g (t kt 0 ) 2T A k (2T ) A k (2T ) 2(n T T 0 + τ T ) = lim 2n T A 0 + A nt (2T ) + A nt (2T ) 2(n T T 0 + τ T ) 2n T A 0 2(n T T 0 + τ T ) = 2A 0 = A 0 2T 0 T 0 T T0, τ T = T n T T 0 Esempi x(t) = 2Λ( t+π π t 2 ) + Λ( 2 ) + ( t 6 t 2 4 ) + Λ( 4 ) ( t 0 4 ) (calcolo energia) cos(2πf 0 t + φ) (calcolo media e potenza) rep T0 [ ] (media e potenza) xac(t) (media nulla e ortogoanlità con x dc ) x(n) = 2 n u( n) + R 4 (n ) + (/3) n u(n 5) + 2( ) n u(n 2) + u(n 5) (media e potenza) x(n) = 2 n u( n) + R 4 (n ) + (/3) n u(n 5) (energia) x(n) = (/2) u (n + 5) + 3 n u( n) (energia) x(t) = rep T0 [ Λ ( t 4)], per T0 {8, 0, 6, 4} (media e potenza) x(n) = rep 4 [R 6 (n)] (media e potenza) 2.2 Lo spazio dei segnali e le funzioni di correlazione Lo spazio dei segnali Lo spazio dei segnali Prodotto scalare tra segnali 9
10 x(t)y (t) dt, segnali di energia TC E xy = x(n)y (n), segnali di energia TD n= lim x( ), y( ) lim P xy = T T/2 T/2 x(t)y (t) dt, segnali di potenza TC N/2 2N+ n= N/2 x(n)y (n), segnali di potenza TD T 0 T0 0 x(t)y (t) dt, segnali di potenza periodici TC N 0 N n=0 x(n)y (n), segnali di potenza periodici TD Mutua correlazione tra segnali x(t)y (t τ) dt, segnali di energia TC R xy (τ) x(t), y(t τ) R xy ( ) = R xy (m) x(n), y(n m) n= T lim = lim x(n)y (n m), segnali di energia TD T/2 T/2 x(t)y (t τ) dt, segnali di potenza TC N/2 2N+ n= N/2 x(n)y (n m), segnali di potenza TD T 0 T0 0 x(t)y (t τ) dt, segnali di potenza periodici TC N 0 N n=0 x(n)y (n m), segnali di potenza periodici TD Proprietà della mutuacorrelazione { E xy per segnali di energia R xy (0) = P xy per segnali di potenza { Ex E y per segnali di energia R xy ( ) Px P y per segnali di potenza R xy ( ) = R yx( ( )) Periodicità Autocorrelazione e sue proprietà R x ( ) R xx ( ) { E x per segnali di energia R x (0) = P x per segnali di potenza 0
11 R x ( ) R x (0) R x ( ) = Rx( ( )), simmetria hermitiana (pari per x( ) reale) Periodicità R x (τ) è continua se è continua in 0, ed implicazione sulla continuità della mutua. Legame tra incoerenza ed ortogonalità Esempi x(t) = Arect ( ) t T x(n) = a n u(n), a < x(n) = R 6 (n) x(t) = u(t) x(t) = Ae t/t u(t) Auto e mutuacorrelazione per segnali armonici 3 La classificazione dei sistemi 3. Il sistema astratto Il sistema astratto Definizione di sistema Detti I e U gli insiemi dei segnali di ingresso e di uscita, rispettivamente, S : x( ) I y( ) U. Il legame funzionale tra ingresso ed uscita del sistema (relazione i-u) in astratto può anche scriversi come segue: [TC] y(t) = S [{x(u)} u R, t] [TD] y(n) = S [{x(k)} k Z, n] Notazioni sintetiche [TC] y(t) = S [x(t)] [TD] y(n) = S [x(n)] [T*] x( ) S y( ) Interconnessione di sistemi: serie, parallelo e retroazione
12 Relazione i-u Esempi di sistemi espressi mediante relazione i-u y(n) = n x(k) y(n) = n y(n) = N a k x(n k) = k=0 y(n) = n x(k) k=0 n k=n N a n k x(k) k=n N y(t) = a(t)x(t) y(n) = x 2 (n) a k x(k) y(t) = t x(τ) dτ y(t) = u[x(t)] y(t) = t t T x(τ) dτ y(n) = log( + n )x(n) y(t) = t e (t τ) x(τ) dτ y(n) = n ( ) k x(k) y(t) = 0 e t τ x(t τ) dτ 3.2 Proprietà dei sistemi Proprietà dei sistemi Definizione: Sistema istantaneo [TC] S[{x(u)} u R, t] = S[{x(u)} u=t, t] [TD] S[{x(k)} k Z, n] = S[{x(k)} k=n, n] Dispersività e memoria Un sistema non istantaneo si dice dispersivo La memoria di un sistema dispersivo... Proprietà dei sistemi Definizione: Sistema causale [TC] S[{x(u)} u R, t] = S[{x(u)} u t, t] [TD] S[{x(k)} k Z, n] = S[{x(k)} k n, n] Definizione: Sistema anticausale [TC] S[{x(u)} u R, t] = S[{x(u)} u>t, t] [TD] S[{x(k)} k Z, n] = S[{x(k)} k>n, n] Definizione (alternativa): Sistema causale [TC] {x (t), x 2 (t), t 0 } : x (t) = x 2 (t), t t 0 y (t) = y 2 (t), t t 0 [TD]... dove x ( ) y ( ) e x 2 ( ) y 2 ( ) 2
13 Proprietà dei sistemi Definition. Definizione: Sistema invertibile y( ) U x( ) I : y( ) = S[x( )] Definizione: Sistema tempo invariante o stazionario S[{x(u t 0 )} u R, t] = S[{x(u)} u R, t t 0 ] [TC] x(t t 0 ) y(t t 0 ) [TD] S[{x(k n0)} k Z, n] = S[{x(k)} k Z, n n 0 ] x(n n 0 ) y(n n 0 ) Proprietà dei sistemi Definizione: Sistema stabile in senso BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) x( ) I : x( ) K x < t o n = K y < : y( ) K y t o n Definizione: Sistema lineare (additivo + omogeneo) S[ax ( ) + bx 2 ( )] = a S[x ( )] + b S[x 2 ( )] Additività: S[x ( ) + x 2 ( )] = S[x ( )] + S[x 2 ( )] Omogeneità: S[ax( )] = a S[x( )] Proprietà: Comportamento a riposo dei sistemi omogenei (lineari) x( ) 0 y( ) 0 Classificazione dei sistemi Esercizi proposti sulla classificazione dei sistemi y(t) = x( t) y(n) = x(2n) y(t) = x(t) x(t ) y(n) = 2 n x(n) u( n) y(t) = x(t) sin(2πt) y(n) = x(n n 2 ) + 3 y(t) = x[sin(πt)/2] y(n) = sin[x(n)] y(t) = x(2t 4) y(n) = (n + ) 2 x(n ) y(t) = [x(t) + x(t + T )] u(t) y(n) = x(n) δ(n 2k) y(t) = [x(t) x(t + T )] u[x(t)] y(n) = n y(t) = t/2 x(τ) dτ ( ) k x(k) 3
14 3.3 Sistemi LTI Risposta dei sistemi LTI h(τ)x(t τ) dτ = x(τ)h(t τ) dτ y( ) = h( ) x( ) = x( ) h( ) h(k)x(n k) = x(k)h(n k) Proof. [caso TD] [P] x(n) = x(k)δ(n k) (proprietà della delta) [P2] h(n) S[δ(n)] y(n) = S[x(n)] P = S [ x(k)δ(n k) ] lin. = x(k)s [δ(n k)] P,TI = x(k)h(n k) Vantaggi dei sistemi LTI Limiti dei sistemi LTI y( ) = h( ) x( ) = LTI È di verifica immediata... la linearità... la tempo invarianza... Identificazione della risposta impulsiva Come risposta all impulso... Rivelazione del legame di convoluzione... (implicita verifica LTI) Esempi Ex. y(t) = 0 e τ x(t τ) Ex.2 y(n) = n+3 2 n k x(k) k=n Classificazione mediante risposta impulsiva LTI istantaneo h( ) = a δ( ) LTI causale h( ) = 0 t < 0 (n < 0) LTI stabile (BIBO) h( ) sommabile LTI invertibile h inv ( ) : h( ) h inv ( ) = δ( ) 4
15 3.4 La convoluzione Calcolo della convoluzione. Diagrammare sommariamente x(τ) ed h( τ) (o viceversa); 2. relativizzare (temporalmente) il diagramma di h( τ) sommando t ad ognuno dei suoi istanti notevoli, pervenendo quindi al diagramma di h(t τ); 3. analizzando il prodotto w t (τ) = x(τ)h(t τ) al variade di t, individuare una partizione {T,..., T N } di R, dominio di t, tale da consentire il calcolo dell integrale di w t (τ) negli N casi; 4. procedere al calcolo degli N integrali, pervenendo al risultato nella forma: w t(τ) dτ, t T y(t) = w t(τ) dτ, t T 2... w t(τ) dτ, t T N Esempi Ex. z(t) = ( t 2) ( t 2 ) 4 Ex.2 z(t) = e t 2 ( ) t 2 4 Ex.3 z(n) = u(n 2) a n u(n) Proprietà della convoluzione Commutativa x( ) y( ) = y( ) x( ) Associativa (serie): [x( ) y( )] z( ) =... = x( ) y( ) z( ) Distributiva (parallelo): [x( ) + y( )] z( ) = x( ) z( ) + y( ) z( ) Elemento neutro x( ) δ( ) = x( ) x(t t x ) y(t t y ) = z(t t x t y ) Tempo invarianza z( ) = x( ) y( ) = x(n n x ) y(n n y ) = z(n n x n y ) x(t) δ(t t 0 ) = x(t t 0 ) Durata È la somma delle durate (decrementata di nel caso TD) Convergenza In generale va valutata caso per caso, ma se almeno uno dei fattori è di energia e l altro si mantiene limitato... 5
16 Esempi di convoluzioni complesse (uso delle proprietà) x(t) = 2δ(t) δ(t 5) y(t) = u(t + ) x(t) = e t 2 y(t) = u(t + ) x(n) = u(n) u(n 3) y(n) = ( n 2) u(n 2) x(n) = n R 4 (n) y(n) = B 6 (n + 3) x g (t) = [ t 2 ] x(t) = rep 4 [x g (t)] y(t) = e 2t u(t) y(t) = e 2t u(t) Esercizio Matlab proposto: modulazione numerica Prototipo del modulatore numerico function x = modulatorenumerico(c,s) % % C è la costellazione di segnali del modulatore, % è una matrice N K, % ed i segnali sono disposti lungo le sue colonne. % % s è la sequenza di simboli da modulare ed è un % vettore colonna di elementi di cardinalità K. % In particolare s(n) {,..., K} % % length(x)=n length(s). % Script di testing K = 4; % cardinalità della costellazione di segnali L = 00; % lunghezza della sequenza di simboli dt = 0.00; % passo di campionamento temporale T =00*dt; % intervallo di simbolo (multiplo di dt) ts=0:dt:(t-dt); % base temporale per il singolo simbolo Ls = length(ts); % lunghezza dei segnali della base A = zeros(ls,k); % preallocazione di A (costellazione) for k=:k, A(:,k) =...; end b = floor(k*rand(ls,))+; % sequenza K-aria casuale x = modulatorenumerico(a,b); % segnale modulato t=0:dt:(l*t-dt); % base temporale del segnale modulato figure(); plot(t,x); 6
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