Metodo greedy. 26 novembre esima lezione

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1 Metodo greedy 26 novembre esima lezione

2 Calendario 19. Mercoledì 26 novembre (oggi): Greedy Martedì 2 dicembre 9-11: Greedy 3:Huffman 21. Mercoledì 3 dicembre: Grafi Martedì 9 dicembre: Grafi Mercoledì 10 dicembre: Grafi Martedì 16 dicembre : Reti di flusso Proposte: Martedì 2 dicembre ore 11-13, aula F8: Esercitazione sulla programmazione din amica Martedì 9 dicembre ore 11-13, aula F8: Esercitazione su greedy e grafi Mercoledì 17 dicembre ore aula P3: Terzo test (di 20 minuti) su programmazione din amica, greedy e grafi, e correzione.

3 Punto della situazione Tecniche di progettazione di algoritmi: divide et impera; programmazione dinamica; tecnica greedy Esempi: 1. Selezione di intervalli (versione non pesata) ([KT] par. 4.1) (VISTO la scorsa lezione) 2. Partizionamento di intervalli ([KT] par. 4.1) 3. Scheduling che minimizza il ritardo ([KT] par. 4.2) 4. Codici di Huffman E altri sui grafi: MST, cammini minimi,

4 Tecnica greedy Serve per risolvere problemi di ottimizzazione = ricerca di una soluzione ammissibile che ottimizzi (max/min) un valore associato. Non sempre è possibile utilizzarla per ottenere una soluzione ottimale (devo usare programmazione dinamica) Schema molto semplice Prova della correttezza di meno

5 Schema algoritmo greedy Ordino secondo un criterio di convenienza Inizializzo SOL = insieme vuoto Considero ogni oggetto in ordine di convenienza Se è compatibile con SOL lo aggiungo a SOL Restituisco SOL

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8 Correttezza Greedy algorithm stays ahead Confronto soluzione dell algoritmo greedy con una ottimale. Supponiamo Greedy abbia k intervalli, e OPT m k. Tesi: k=m. Greedy: i 1 i 2 i k-1 i k OPT: j 1 j 2 j k-1 j k j k+1 Poichè Greedy sceglie la prima compatibile: f(i 1 ) f(j 1 ). Poi anche: f(i 2 ) f(j 2 ), e così via (formalmente per induzione) f(i k ) f(j k ). Se esistesse j k+1 compatibile con j k, a maggior ragione sarebbe compatibile con i k e l algoritmo greedy l avrebbe scelto, anziché terminare,

9 4.1 Interval Partitioning

10 Interval partitioning Interval Partitioning Lecture j starts at s j and finishes at f j. adesso abbiamo più risorse e vogliamo accontentare tutti (col minimo delle risorse.). Applicazioni.. Goal: find minimum number of classrooms to schedule all lectures so that no two occur at the same time in the same room. Ex: This schedule uses 4 classrooms to schedule 10 lectures. e j c d g b h a f i 9 9: : : :30 1 1:30 2 2:30 3 3:30 4 4:30 Time 10

11 Interval partitioning. Interval Partitioning Lecture j starts at s j and finishes at f j. Goal: find minimum number of classrooms to schedule all lectures so that no two occur at the same time in the same room. Ex: This schedule uses only 3. c d f j b g i a e h 9 9: : : :30 1 1:30 2 2:30 3 3:30 4 4:30 Time 11

12 Interval Partitioning: Lower Bound on Optimal Solution Def. The depth of a set of open intervals is the maximum number that contain any given time. Key observation. Number of classrooms needed depth. Ex: Depth of schedule below = 3 schedule below is optimal. a, b, c all contain 9:30 Q. Does there always exist a schedule equal to depth of intervals? Osservazione chiave: se d lezioni si accavallano all istante t qualsiasi schedule usa almeno d aule c d f j b g i a e h 9 9: : : :30 1 1:30 2 2:30 3 3:30 4 4:30 Time 12

13 Interval Partitioning: Greedy Algorithm Greedy algorithm. Consider lectures in increasing order of start time: assign lecture to any compatible classroom. Sort intervals by starting time so that s 1 s 2... s n. d 0 number of allocated classrooms for j = 1 to n { if (lecture j is compatible with some classroom k) schedule lecture j in classroom k else allocate a new classroom d + 1 schedule lecture j in classroom d + 1 d d + 1 } Implementation. O(n log n). For each classroom k, maintain the finish time of the last job added. Keep the classrooms in a priority queue. 13

14 Esempio di esecuzione Ordina per start time: a, b, c,, j. a in Aula 1: Aula 1: a b è incompatibile con Aula 1: apro Aula 2: Aula 2: b c è incompatibile con Aula 1 e Aula 2: apro Aula 3: Aula 3: c d è compatibile con Aula 1: Aula 1: a, d e è incompatibile con Aula 1 e Aula 2, ma compatibile con Aula 3: Aula 3: c, e f è compatibile con Aula 1: Aula 1: a, d, f g è incompatibile con Aula 1, ma compatibile con Aula 2: Aula 2: b, g h è incompatibile con Aula 1 e Aula 2, ma compatibile con Aula 3: Aula 3: c, e, h i è compatibile con Aula 1: Aula 1: a, d, f, i j è incompatibile con Aula 1, ma compatibile con Aula 2. Aula 2: b, g, j e j c d g b h a f i 9 9: : : :30 1 1:30 2 2:30 3 3:30 4 4:30 Time 14

15 Esempio (continua) a in Aula 1: Aula 1: a b è incompatibile con Aula 1: apro Aula 2: Aula 2: b c è incompatibile con Aula 1 e Aula 2: apro Aula 3: Aula 3: c d è compatibile con Aula 1: Aula 1: a, d e è incompatibile con Aula 1 e Aula 2, ma compatibile con Aula 3: Aula 3: c, e f è compatibile con Aula 1: Aula 1: a, d, f g è incompatibile con Aula 1, ma compatibile con Aula 2: Aula 2: b, g h è incompatibile con Aula 1 e Aula 2, ma compatibile con Aula 3: Aula 3: c, e, h i è compatibile con Aula 1: Aula 1: a, d, f, i j è incompatibile con Aula 1, ma compatibile con Aula 2. Aula 2: b, g, j Aula 1 a d f i Aula 2 b g j Aula 3 c e h 9 9: : : :30 1 1:30 2 2:30 3 3:30 4 4:30 Time 15

16 Interval Partitioning: Greedy Analysis Observation. Greedy algorithm never schedules two incompatible lectures in the same classroom. Theorem. Greedy algorithm is optimal. Pf. Let d = number of classrooms that the greedy algorithm allocates. Classroom d is opened because we needed to schedule a job, say x, that is incompatible with all d-1 other classrooms. Since we sorted by start time, all these incompatibilities are caused by lectures that start no later than s x. Thus, we have d lectures overlapping at time s x +. Key observation all schedules use d classrooms. Nell esempio: d = 3 è il numero di aule aperte dall algoritmo. L Aula 3 è aperta perché la lezione x=c è incompatibile con le Aule 1 e 2, in cui ho già inserito a e b; a e b sono state considerate prima perché s a = s b = 9 s c = 9. Quindi abbiamo d=3 lezioni che si accavallano al tempo s c =9 (o anche 9:30). Osservazione chiave: se d lezioni si accavallano al tempo t qualsiasi schedule usa almeno d aule 16

17 Osserva Dove interviene nella prova la scelta di un ordinamento basato sui tempi di inizio s i crescenti? «Since we sorted by start time, all these incompatibilities are caused by lectures that start no later than s x, thus, we have d lectures overlapping at time s x +» Nota: se le lezioni non fossero selezionati secondo i tempi di inizio crescenti, si sarebbe potuto avere che, pur essendo che c si accavalla sia con a che con b, i compiti a, b e c non si accavallano in uno stesso istante s c + : a b c 17

18 4.2 Scheduling to Minimize Lateness

19 Scheduling to Minimizing Lateness Minimizing lateness problem. Single resource processes one job at a time. Job j requires t j units of processing time and is due at time d j (deadline). If j starts at time s j, it finishes at time f j = s j + t j. Lateness of j: j = max { 0, f j - d j }. (Se f j d j allora il ritardo=0) Goal: schedule all jobs to minimize maximum lateness L = max j Ex: t j 3 d j lateness = 2 lateness = 0 max lateness = 6 d 3 = 9 d 2 = 8 d 6 = 15 d 1 = 6 d 5 = 14 d 4 =

20 Esempio t j d j lateness = 2 lateness = 0 max lateness = 6 d 3 = 9 d 2 = 8 d 6 = 15 d 1 = 6 d 5 = 14 d 4 = Il ritardo di questo primo scheduling è max{0, 0, 0, 2, 0, 6} = 6 max lateness = 1 d 1 = 6 d 2 = 8 d 3 = 9 d 4 = 9 d 5 = 14 d 6 = Il ritardo di questo secondo scheduling è max{0, 0, 0, 1, 0, 0} = 1 20

21 Minimizing Lateness: Greedy Algorithms Greedy template. Consider jobs in some order. [Shortest processing time first] Consider jobs in ascending order of processing time t j. [Earliest deadline first] Consider jobs in ascending order of deadline d j. [Smallest slack] Consider jobs in ascending order of slack d j - t j. Quale porta ad una soluzione ottima? 21

22 Minimizing Lateness: Greedy Algorithms Greedy template. Consider jobs in some order. [Shortest processing time first] Consider jobs in ascending order of processing time t j. d j 1 t j counterexample [Smallest slack] Consider jobs in ascending order of slack d j - t j. 1 t j 1 2 d j counterexample 22

23 Minimizing Lateness: Greedy Algorithm Greedy algorithm. Earliest deadline first. Sort n jobs by deadline so that d 1 d 2 d n t 0 for j = 1 to n Assign job j to interval [t, t + t j ] s j t, f j t + t j t t + t j output intervals [s j, f j ] Esempio t j d j max lateness = 1 d 1 = 6 d 2 = 8 d 3 = 9 d 4 = 9 d 5 = 14 d 6 =

24 Minimizing Lateness: No Idle Time Il nostro scopo è adesso dimostrare che: fra tutte le possibili soluzioni ottimali c è anche la soluzione fornita dall algoritmo greedy (cioè lo scheduling che inserisce le attività una dopo l altra in ordine crescente di deadline) Observation. The greedy schedule has no idle time (tempo di inattività). Observation. There exists an optimal schedule with no idle time. d = 4 d = d = d = 4 d = 6 d =

25 Minimizing Lateness: Inversions Recall: jobs sorted in ascending order of due dates d i. Def. An inversion in schedule S is a pair of jobs i and j such that: i < j but j scheduled before i. inversion j i Esempio: 3-2, 3-1, 2-1, 6-1, 6-5, 6-4, 5-4 d 3 = 9 d 2 = 8 d 6 = 15 d 1 = 6 d 5 = 14 d 4 = Observation. Greedy schedule has no inversions. Observation. If a schedule (with no idle time) has an inversion, it has one with a pair of inverted jobs scheduled consecutively (in rosso nell esempio sopra). Altrimenti: la deadline del primo deadline del secondo deadline del terzo, etc: nessuna inversione! (confronta con esercizio sul gap!) 25

26 Riprendiamo l esempio Inversioni: 3-2, 3-1, 2-1, 6-1, 6-5, 6-4, 5-4 t j 3 d j lateness = 2 lateness = 0 max lateness = 6 d 3 = 9 d 2 = 8 d 6 = 15 d 1 = 6 d 5 = 14 d 4 = Il ritardo di questo scheduling è max{0, 0, 0, 2, 0, 6} = 6 Scambiamo 5 con 4: d 3 = 9 d 2 = 8 d 6 = 15 d 1 = 6 d 4 = 9 d 5 = Adesso le inversioni sono: 3-2, 3-1, 2-1, 6-1, 6-5, 6-4: una in meno! Il ritardo dopo lo scambio è max{0, 0, 0, 2, 3, 1} = 3 < 6 26

27 Minimizing Lateness: Inversions Def. An inversion in schedule S is a pair of jobs i and j such that: i < j but j scheduled before i. inversion f i before swap j i after swap i j Claim. Swapping two adjacent, inverted jobs reduces the number of inversions by one and does not increase the max lateness. Pf. Let be the lateness before the swap, and let ' be it afterwards. ' k = k for all k i, j ' i i If job j is late: j f d j f d i f d i i j i j (definition) ( j finishes at time f ) ( i j ) (definition) f' j i Quindi: nel calcolo del massimo fra i ritardi non troviamo valori maggiori 27

28 Minimizing Lateness: Analysis of Greedy Algorithm Theorem. Greedy schedule S is optimal. Pf. Define S* to be an optimal schedule that has the fewest number of inversions, and let's see what happens. Can assume S* has no idle time. If S* has no inversions, then S = S*. If S* has an inversion, let i-j be an adjacent inversion. swapping i and j does not increase the maximum lateness and strictly decreases the number of inversions this contradicts definition of S* 28

29 Greedy Analysis Strategies (Strategie per provare la correttezza di algoritmi greedy) Greedy algorithm stays ahead. Show that after each step of the greedy algorithm, its solution is at least as good as any other algorithm's. (esempio: scheduling di intervalli) Structural. Discover a simple "structural" bound asserting that every possible solution must have a certain value. Then show that your algorithm always achieves this bound. (esempio: partitioning di intervalli) Exchange argument. Gradually transform any solution to the one found by the greedy algorithm without hurting its quality. (esempio: scheduling to minimize lateness) 29

30 Coin Changing Goal. Given currency denominations: 1, 5, 10, 25, 100, devise a method to pay amount to customer using fewest number of coins. Ex: 34. Cashier's algorithm. At each iteration, add coin of the largest value that does not take us past the amount to be paid. Ex: $

31 Coin-Changing: Greedy Algorithm Cashier's algorithm. At each iteration, add coin of the largest value that does not take us past the amount to be paid. Sort coins denominations by value: c 1 < c 2 < < c n. coins selected S while (x 0) { let k be largest integer such that c k x if (k = 0) return "no solution found" x x - c k S S {k} } return S Q. Is cashier's algorithm optimal? 31

32 Coin-Changing: Analysis of Greedy Algorithm Observation. Greedy algorithm is sub-optimal for US postal denominations: 1, 10, 21, 34, 70, 100, 350, 1225, Counterexample Greedy: 100, 34, 1, 1, 1, 1, 1, 1. Optimal: 70,

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