Universita degli Studi di Siena

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1 Universita degli Studi di Siena Facolta di Ingegneria Dispense del corso di Sistemi di Supporto alle Decisioni I L algoritmo per la risoluzione di problemi di programmazione dinamica Chiara Mocenni Corso di Laurea triennale in Ingegneria Gestionale Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A. A. 2008/2009

2 1 L esempio del controllo delle scorte Supponiamo di dover ordinare una certa quantita di prodotto all inizio di ognuno degli N periodi di interesse per soddisfare una domanda modellata come un processo stocastico. Denotiamo x k lo stock disponibile all inizio del k-esimo periodo; u k lo stock ordinato (ed immediatamente venduto) all inizio del k-esimo periodo; w k la domanda durante il k-esimo periodo con una certa distribuzione di probabilita. Assumiamo che w 0, w 1,...,w N 1 siano delle variabili casuali e che la domanda in eccesso sia considerata lavoro arretrato da evadere non appena siano disponibili nuove scorte. Dunque lo stock evolve secondo la seguente legge dinamica a tempo discreto: x k+1 = k k + u k w k, (1) dove gli stock negativi corrispondono al lavoro arretrato. Il sistema e rappresentato nella figura 1. Il costo sostenuto ad ogni periodo k e composto da due contributi: il costo d acquisto cu k, dove c e il costo di una unita di prodotto, ed un costo H(x k+1 ) che rappresenta la penalita sia per gli stock positivi x k+1 > 0 alla fine del periodo (costi per eccesso di scorte) che per gli stock negativi x k+1 < 0 (costi per domanda non soddisfatta). usando 1

3 w k Domanda al periodo k x k Stock al periodo k Sistema di controllo delle scorte Stock al periodo k+1 x k+1 = x k +u k -w k u k Stock ordinato al periodo k Costo al periodo k c u k + H(x k+1 ) Figura 1: Diagramma del sistema di controllo delle scorte. l equazione (1), possiamo scrivere il costo al periodo k come segue cu k + H(x k + u k w k ), (2) e il costo totale atteso su N periodi come { N 1 k=0 cu k + H(x k + u k w k ) }. (3) l obiettivo e minimizzare questo costo scegliendo ordini appropriati u 0, u 1,...,u N 1 soggetti a vincoli naturali, quali u k 0, k = 0, 1,..., N 1. 2

4 2 Procedura per determinare la politica ottima delle scorte Periodo N 1 Sia x N 1 lo stock disponibile all inizio del periodo N 1. Non sapendo niente di quello che e successo nel passato, il decisore deve ordinare delle scorte u N 1 = µ N 1 (x N 1) che minimizzano la somma dei costi sostenuti per le ordinazioni, l immagazzinamento e la mancanza di prodotti nel periodo N 1, cioe : w N 1 {cu N 1 + H(x N 1 + u N 1 w N 1 )}. (4) Denotiamo il costo ottimo per l ultimo periodo con J N 1 (x N 1 ): J N 1 (x N 1 ) = min u N 1 0 w N 1 {cu N 1 + H(x N 1 + u N 1 w N 1 )}. (5) Naturalmente, J N 1 e una funzione dello stock x N 1 e viene calcolato per ogni valore di x N 1 analiticamente o numericamente. Calcolando J N 1 otteniamo la scorta ottima da ordinare applicando la politica ottima µ N 1 (x N 1) per l ultimo periodo, in quanto µ N 1 (x N 1) 0 minimizza la parte destra dell equazione (2). Periodo N 2 Assumiamo che all inizio del periodo N 2 lo stock sia x N 2. Ora e chiaro che il manager dovra ordinare delle scorte u N 2 = µ N 2 (x N 2) che minimizzano non solo i costi del periodo N 2 ma anche quei costi attesi per il periodo N 1, cioe : 3

5 il costo atteso nel periodo N 2 + i costi attesi nel periodo N 1, dato che in quel periodo verra applicata una politica ottima. Questa quantita e espressa da: {cu N 2 + N(x N 2 + u N 2 w N 2 } + w N 2 w N 2 {J N 1 (x N 1 )}. (6) Usando l equazione (1) nel periodo N 2, x N 1 = x N 2 + u N 2 w N 2, possiamo riscrivere l ultimo termine dell equazione (2) come wn 2 {J N 1 (x N 2 +u N 2 w N 2 }. Dunque il costo ottimo J N 2 (x N 2 ) negli ultimi due periodi e dato da: J N 2 (x N 2 ) = min {cu N 2 +H(x N 2 +u N 2 w N 2 )+J N 1 (x N 2 +u N 2 w N 2 )}. u N 2 0 w N 2 (7) Di nuovo questo valore e calcolato per ogni x N 2. Allo stesso tempo viene anche calcolata la politica ottima degli ordini µ N 2 (x N 2). Periodo k Analogamente, nel periodo k il decisore dovra ordinare delle scorte u k minimizzando il costo atteso nel periodo k + i costi attesi nei periodi k+1,...,n 1, dato che in ognuno di questi periodi verra applicata una politica ottima. Denotando con J k (x k ) il costo ottimo nel periodo k, abbiamo J k (x k ) = min {cu k + H(x k + u k w k ) + J k+1 (x k + u k w k )}, (8) u k 0 w k 4

6 che e l equazione della programmazione dinamica. Questa procedura mostra che l algoritmo di programmazione dinamica scompone il problema in una serie di sotto problemi piu semplici in cui vengono minimizzati i costi parziali. In pratica la risoluzione dell algoritmo si basa sulla implementazione della funzione ricorsiva seguente: J k (x k ) = min {u k +max(0, x k +u k w k )+3max(0, w k x k u k )+J k+1 (max(0, x k +u k w k ))}, u k 0 w k (9) per ogni periodo k = 0, 1, 2 e per ogni valore dello stato x k = 0, 1, 2. Sia w k che u k assumono i valori 0, 1, 2. La condizione di partenza per l algoritmo e : J 3 (x 3 ) = 0. In MATLAB la funzione ricorsiva puo essere implementata come segue: function [Jstar,ustar] = JK_xk(k,xk) wk=[0,1,2]; pwk=[0.1,0.7,0.2]; uk0=[0,1,2]; if k<=2; for i=1:3-xk; 5

7 uk=uk0(i); temp(i)=uk+0.1*(max(0,xk+uk)+3*max(0,-xk-uk)+jk_xk(k+1,max(0,xk+uk)))+ 0.7*(max(0,xk+uk-1)+3*max(0,1-xk-uk)+JK_xk(k+1,max(0,xk+uk-1))) +0.2*(max(0,xk+uk-2)+3*max(0,2-xk-uk)+JK_xk(k+1,max(0,xk+uk-2))); Jstar=min(nonzeros(temp)); ustar=max(0,uk-1); end else Jstar=0; end Mentre uno script per la risoluzione dell intero problema e il seguente: xk0=[0,1,2]; k0=[0,1,2]; for kk=1:3; for j=1:3; xk=xk0(j); k=k0(kk); [Jstar(j,kk),ustar(j,kk)]= JK_xk(k,xk); end end 6

8 disp([ Matrice dei costi per stato (righe) e periodo (colonne): ]), disp([num2str(jstar,3)]) disp([ Matrice delle politiche ottime per stato (righe) e periodo (colonne): ]), disp([num2str(ustar)]) La soluzione dell esercizio e dunque la seguente: Matrice dei costi per stato (righe) e periodo (colonne): Matrice delle politiche ottime per stato (righe) e periodo (colonne):