Il logaritmo discreto in Z p Il gruppo moltiplicativo Z p delle classi resto modulo un primo p è un gruppo ciclico.
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- Gioacchino Bono
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1 Il logartmo dscreto n Z p Il gruppo moltplcatvo Z p delle class resto modulo un prmo p è un gruppo cclco. Defnzone (Logartmo dscreto). Sa p un numero prmo e sa ā una radce prmtva n Z p. Sa ȳ Z p. Il logartmo dscreto d ȳ n base ā è un ntero m per cu vale ā m ȳ mod p. S ndca con m = logā ȳ (o semplcemente con m = log ȳ se la base ā è chara dal contesto). Il logartmo dscreto m = logā ȳ è unco modulo (p 1). Osservazone. Sa p un numero prmo e sa ā una radce prmtva n Z p. (a) Il logartmo dscreto n base ā è unco modulo p 1, ossa ȳ ā m ā n mod p se e solo se m n mod p 1. Dm: Se m = n + k(p 1), con k Z, vale ā m ā n ā k(p 1). Poché per l Pccolo Teorema d Fermat ā p 1 1 mod p, allora anche ā k(p 1) 1 mod p e ā m ā n mod p. Supponamo vceversa che ā m ā n mod p. Allora ā m n 1 mod p. Poché ā è una radce prmtva, l ordne d ā n Z p è uguale a p 1. Ne segue che m n = k(p 1), per k Z. (b) Il logartmo d un prodotto è uguale alla somma de logartm de fattor (modulo p 1): logā( x ȳ) = logā x + logā ȳ, x, ȳ Z p. Dm: Sano m = logā x ed n = logā ȳ. Cò sgnfca che ā m x ed ā n ȳ modulo p. Ne segue che ed n partcolare m + n = logā xy mod (p 1). ā m ā n ā m+n x ȳ xy mod p, (c) Sa p un numero prmo. Sano ā ed b due radc prmtve n Z p. Allora vale la relazone logā x = log b x/ log b ā, x Z p. Dm: Sa m = logā x, per cu vale x ā m. Estraendo l logartmo n base b d ambo termn, trovamo log b x = m log b ā = logā x log b ā, da cu segue la relazone cercata. Osservazone. Sa p un numero prmo e sa ā una radce prmtva n Z p. S ha logā ā = 1, logā 1 = 0, logā 1 = p 1 2. Dm: I prm due logartm seguono mmedatamente dalla defnzone. Per dmostrare che logā 1 = p 1 p 1 2, dobbamo verfcare che ā 2 1 mod p. Dal Pccolo Teorema d Fermat abbamo che ā p 1 1 mod p. Poché p è prmo ed l polnomo X 2 1 Z p [X] ha ±1 come unche radc n Z p, segue che ā p mod p oppure ā p mod p. D altra parte l ordne d ā è uguale a p 1, per cu necessaramente ā p mod p. 1
2 Il calcolo dell ndce. Sa p > 0 un prmo. Sa a Z p una radce prmtva. Damo una descrzone schematca dell algortmo detto calcolo dell ndce per rsolvere l logartmo dscreto n Z p. (Per semplctà d notazone, da ora n po omettamo la barra che ndca le class resto). (1) Fssare un ordne d B-smoothness, dove B è un ntero postvo. Ad esso è assocata una factor base F = {l prm, l B}, data dall nseme de numer prm mnor o ugual a B. La cardnaltà d F s stma con α := #F B/ ln B. (2) Precalcolare logartm log a l, per tutt prm l F. Per far cò, prendere a caso un ntero della forma l e > p, con l F e e N, e rdurlo modulo p. Sa r l e mod p (#) la classe così ottenuta. Tentare la fattorzzazone d r col metodo ρ d Pollard o col metodo delle curve ellttche, partcolarmente effcac nel determnare fattor pccol. (Se dopo un certo numero d terazon d tal algortm r non è stato ancora fattorzzato, verosmlmente non è B-smooth). Se la classe r non è B-smooth, s scarta e s rparte da un altro ntero a caso l e, con p F, e N. Se la classe r è B-smooth e s fattorzza come r = l f, con l F ed esponent f Z, allora la relazone l e l f mod p determna una relazone lneare fra logartm de prm della factor base e log a l f log a l mod (p 1) (e f ) log a l 0 mod (p 1). Tale relazone sgnfca che l vettore (log a l 1,..., log a l α ) è soluzone dell equazone lneare omogenea (e f )x 0 mod (p 1). ( ) Osservamo che l equazone (*) è soddsfatta dal vettore de logartm (log b l 1,..., log b l α ), rspetto ad ogn radce prmtva d Z p. Tale vettore è nfatt proporzonale a (log a l 1,..., log a l α ), con fattore d proporzonalà log b a (ved Osservazone (c)). Rpetendo questa procedura fno ad ottenere almeno α relazon lnear fra log a l 1,..., log a l α, avremo costruto un sstema lneare omogeneo a coeffcent n Z p 1, d almeno α equazon n α ncognte (e 1 1 f1 1 )x (e 1 α fα)x 1 α 0 (e 2 1 f1 2 )x (e 2 α fα)x 2 α (e α 1 f1 α )x (e α α fα α )x α 0 d cu l vettore (log a l 1,..., log a l α ) è soluzone per costruzone. mod (p 1) Rsolvere l sstema medante l elmnazone d Gauss, tenendo conto del fatto che coeffcent sono n Z p 1 che non è un campo. 2
3 (Prma d dvdere un equazone per un coeffcente, bsogna accertars che sa nvertble n Z p 1. Per questa ragone n generale s costruscono un pò pù d α relazon). Tpcamente le soluzon del sstema formano uno spazo d dmensone 1, generato dal vettore (log a l 1,..., log a l α ) de logartm de prm della factor base, ossa sono della forma λ(log a l 1,..., log a l α ), λ R, dove l parametro λ è determnato dalla scelta della base rspetto alla quale è defnto l logartmo. Ad esempo, se a = l 1, ossa la radce prmtva a concde col prmo l 1 della factor base, allora log l1 l 1 = 1 e le soluzon cercate sono date dal vettore (1, log l1 l 2,..., log l1 l α). (3) Calcolare log a x, per x Z p, a partre da valor de logartm log a l 1,..., log a l α ottenut al passo precedente. Prendere a caso un prodotto della forma x l m fattorzzare la classe trovata > p, con l F e m N. Rdurlo modulo p e tentare d s x l m mod p. Se s non è B-smooth, s rparte con un altro prodotto. Se s è B-smooth e s fattorzza come s l n, con l F ed esponent n Z, s ottene x l m l n mod p, da cu estraendo l logartmo n base a e usando valor de logartm determnat al passo precedente, s rcava l logartmo cercato log a x (n m ) log a l mod (p 1). 3
4 La complesstà dell algortmo. Sano p un prmo ed a Z p una radce prmtva. Sa B un ordne d B-smoothness; sa F = {l 1,..., l α } la factor base corrspondente, con α B/ ln B. (1) Costo d una relazone. - Random r l e mod p: O(ln e ln 2 p) O(ln 3 p) In realtà, per cercare una relazone è suffcente elevare ad un esponente casuale e anche un solo prmo l F alla volta. La potenza ottenuta dovrà essere maggore d p, per poter essere rdotta modulo p, e al tempo stesso vcna a zero modulo p, per avere maggor possbltà che sa B-smoth. Dalle relazon p < l e < 2p ln p < e log l < ln(2p), segue che l esponente s può maggorare con ln p. - controllare se r l e mod p è B-smooth: O( B ln 3 p) (con Pollard ρ) Per far questo è necessaro fattorzzare r, o almeno capre se r ha fattor maggor d B. Convene usare algortm partcolarmente effcac nell ndvduare fattor pccol, come Pollard ρ oppure ECM. Consderamo ad esempo Pollard ρ: se dopo B terazon, l numero r non è stato fattorzzato, probablmente non è B-smooth e s scarta. La complesstà dell operazone è dell ordne d O( B ln 3 p). Se nvece d Pollard ρ, s usano l metodo per tentatv o l metodo delle curve ellttche la complesstà dell operazone è data rspettvamente da O (B ln p) e da O ( e 2 ln B ln ln B ). - l numero d tentatv necessar ad ottenere una relazone è stmable con w w, dove w = ln p ln B. Il numero d nter B-smooth nell ntervallo [1, p] è stmato dalla funzone d Dckman Ψ(p, B) pw w, dove w = ln p ln B. Dunque per avere probabltà postva d ottenere una classe r che sa B-smooth, l numero d tentatv s stma dell ordne d w w. Da quanto detto segue che l costo totale d una relazone s può stmare con ( O (ln 3 p + B ln 3 p)w w) ( O B ln 3 p w w), w = ln p ln B (2) Costo d α relazon (per semplctà stmamo α B): ( O B B ln 3 p w w) ( ) O B 3/2 w w log 3 p, w = ln p ln B (3) Rsolvere un sstema lneare α α a coeffcent n Z p 1 : O ( B 3 ln 2 p ) Per esempo con l elmnazone d Gauss. ( B ) (4) Calcolare log a x a partre da log a l 1,..., log a l α : O ln 3 p w w, w = ln p ln B Equvale al costo d una relazone. 4
5 TOTALE: ( ) O B 3/2 w w ln 3 p + O ( B 3 ln 2 p ) ( + O B ln 3 p w w) ( ) O B 3/2 w w ln 3 p + B 3 ln 2 p, w = ln p ln B. Per determnare parametr ottmal, studamo la funzone o meglo l suo logartmo al varare d w = ln p ln B n R+. La funzone G è una funzone del tpo F (w) = B 3/2 w w ln 3 p = p 3 2w w w ln 3 p, G(w) = ln F (w) = 3 ln p 2 w + w ln w + ln(ln3 p) 3 ln p + w ln w, 2 w φ a (w) = a + w ln w, a >> 0, w dove nel nostro caso a = 3 2 ln p. (Ved Nota Smooth number estmates ) La funzone G ha un unco punto d mnmo n w 0 ottmale Il grafco approssmatvo della funzone G(w) = 3 ln p + w ln w. 2 w 3 ln p ln(ln(p)), a cu corrsponde l ordne d B-smoothness ln p ln(ln(p)) B best e 3. Per questo questo valore dell ordne d B-smoothness, la complesstà del calcoloper ottenere le prme α relazon è data da (B best ) 3/2 w w0 0 ln 3 p e 3 ln p ln(ln(p)). Osservazone. Per parametr ottmal rsulta che B 3/2 e w w sono all ncrca dello stesso ordne d grandezza, ossa B 3/2 w w. In partcolare l lavoro per ottenere le α relazon nzal è O ( B 3 ln 3 p ), che domna l lavoro rchesto dalla rsoluzone del sstema. Osservazone. Se per fattorzzare le class resto modulo p, nvece d Pollard ρ, s usano l metodo per tentatv o l metodo delle curve ellttche la complesstà del logartmo dscreto rmane comunque subesponezale n ln p. 5
6 Osservazon fnal. (a) Ne sstem crttografc basat sul logartmo dscreto, l prmo p è scelto della forma p = 1 + mq, dove m è un ntero pccolo e Q è un grosso prmo. Ad esempo p = 1 + 2Q. Se p 1 fosse prodotto d prm pccol q, tramte l Teorema Cnese del Resto, l logartmo dscreto n Z p sarebbe rconducble al logartmo dscreto n grupp cclc pccol e qund faclmente rsolvble. Se p 1 = 2Q, l gruppo cclco Z p contene ϕ(p 1) = (p 1) 1 2 (1 1 Q ) radc prmtve (quas metà degl element). (b) Per rendere l algortmo pù effcente nella rcerca delle relazon convene fare quanto segue. Sa r la classe resto modulo p ottenuta n (#): esprmere r = z x come rapporto fra due nter dell ordne d grandezza d p (mentre r è dell ordne d grandezza d p). Questo s può fare medante l algortmo d Euclde esteso usato per verfcare che gcd(r, p) = 1, arrestato a metà strada. Partendo da s arrva ad un espressone del tpo 1 r + 0 p = r, 0 r + 1 p = p,......, x r + y p = z, dove x, y, z sono dell ordne d grandezza d p. Da essa s ottene r z x mod p. Il vantaggo è che z e x sono pù pccol (hanno metà delle cfre d p!!), e dunque pù facl da fattorzzare. Se entramb sono B-smooth anche r lo è, e rsulta r = z x = le leα α l f lfα α = l e1 f l eα fα α. (c) Nel rsolvere un sstema lneare omogeneo modulo 2Q s usa l seguente fatto: ogn equazone a 1 x a n x n 0 mod 2Q { a1 x a n x n 0 mod Q a 1 x a n x n 0 mod 2. Sa (x 0 1,..., x 0 n) una soluzone del sstema modulo Q, dove Allora c sono due possbltà: vale e n tal caso oppure In questo caso e qund x 0 + Q log a l mod 2, x 0 log a l mod Q. x 0 log a l mod 2, x 0 log a l mod 2Q; x 0 log a l mod 2. x 0 + Q log a l mod 2Q. x 0 + Q log a l mod Q a 1 x a n x 0 n 0 mod 2 oppure a 1 x a n x 0 n 0 mod 2. In altre parole, un volta trovat logartm de prm della factor base modulo Q (rsolvendo l sstema modulo Q) s trovano faclmente anche logartm de prm della factor base modulo 2Q. 6
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