Omotopia, numero d avvolgimento, Logaritmi

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1 CAPITOLO 5 Omotopi, umero d vvolgimeto, Logritmi 5.. L versioe omotopic dell formul di Cuchy, il umero d vvolgimeto. Comicimo ricorddo l ozioe di omotopi di cmmii. Si A C u perto e sio 0, : [, b] A due cmmii (ossi due ppliczioi cotiue) tli che (i) 0, ho gli stessi estremi ossi 0 () = () e 0 (b) = (b) oppure (ii) 0, soo cmmii chiusi ossi 0 () = 0 (b) e () = (b). I cmmii 0, si dicoo omotopi (i A) se esiste u omotopi d 0 ossi u ppliczioe cotiu H: [0, ] [, b] A tle che el cso (i) si u omotopi co estremi fissti H(0, t) = 0 (t) e H(, t) = (t) per t [, b] (5..) H(s, ) = 0 () = () e H(s, b) = 0 (b) = (b) per s [0, ] e el cso (ii) si u omotopi di cmmii chiusi H(0, t) = 0 (t) e H(, t) = (t) per t [, b] H(s, ) = H(s, b) per s [0, ]. (5..2) Diremo che u cmmio : [, b] A è omotopo costte se per qulche puto z A il cmmio : [, b] A è omotopo l cmmio costte z : [, b] A defiito d z (t) = z. Lscimo per esercizio l (fcile) dimostrzioe dell seguete Proposizioe 5..: L omotopi è u relzioe d equivlez. L seguete defiizioe è fodmetle: Defiizioe 5..: U perto coesso A C si dice semplicemete coesso se ogi cmmio chiuso : [, b] A è omotopo costte i A. No è fcile dre i modo rigoroso u crtterizzzioe geometric degli perti semplicemete coessi. Ituitivmete il ftto che ogi cmmio chiuso si omotopo costte suggerisce che il suo sostego si deformbile co cotiuità u

2 90 puto. A su volt questo suggerisce che l perto A o può vere buchi ossi che il suo complemeto C \ A o h compoeti coesse limitte. Questo ftto si può iftti dimostrre utilizzdo l teori delle fuzioi olomorfe che stimo presetdo. Per il mometo ci ccotetimo di osservre che ogi perto covesso A C è semplicemete coesso. Questo si vede fcilmete el modo seguete. Sio 0, : [, b] A due cmmii di u perto A C chiusi tli che per ogi t [, b] il segmeto [ 0 (t) (t)] si coteuto i A. Allor 0 e soo omotopi medite l omotopi liere H: [0, ] [, b] A defiit d H(s, t) = 0 (t) + s( (t) 0 (t)). Se duque A è covesso ogi cmmio chiuso è omotopo costte medite u omotopi liere. I quest sezioe voglimo studire meo dell relzioe di omotopi l itegrle di fuzioi olomorfe lugo le curve. U difficoltà che si icotr subito el cofrotre itegrli lugo curve C trtti omotope è che l omotopi è u ozioe cotiu e quidi l ostr defiizioe di itegrle lugo u curv o sembr essere degut. Uo dei modi per risolvere questo problem si bs su u risultto di iterpolzioe. Prim di tutto u defiizioe. Dicimo che u cmmio (cotiuo) α: [, b] A è liere trtti se esiste u prtizioe t 0 = < t <... < t = b dell itervllo [, b] tle che per ogi j = 0,..., l restrizioe α [tj,t j+ ] è l restrizioe di u fuzioe ffie ossi α [tj,t j+ ](t) = tz j + w j per opportui z j e w j. È immedito osservre che u cmmio liere trtti è u curv C trtti. Teorem 5..2: Sio 0, : [, b] A due cmmii omotopi. umero fiito di cmmii α 0,..., α N : [, b] A tli che (i) α 0 = 0 e α N = ; (ii) α j è liere trtti per ogi j =,..., N ; (iii) α j è liermete omotop α j+ per ogi j = 0,..., N. Allor esiste u Dimostrzioe: Si H: [0, ] [, b] A u omotopi fr i cmmii 0 e. Dto che [0, ] [, b] è comptto llor H è uiformemete cotiu e H([0, ] [, b]) è u comptto coteuto i A. Allor r = 2 dist(h([0, ] [, b]), C\A) = mi{dist(h(s, t), C\A) (s, t) [0, ] [, b]} > 0 2 e esiste u itero positivo tle che, per (s, t), (s, t ) [0, ] [, b] co s s < e t t <, risulti H(s, t) H(s, t ) < r. Sio s 0 = 0 < s <..., s N = e t 0 = < t <..., t N = b prtizioi rispettivmete di [0, ] e [, b] tli che s j s j+ < e t j t j+ < per ogi j = 0,..., N. Ifie per 0 j, k N si defiisco z j,k = H(s j, t k ) e per 0 j, k N sio Q j,k = [s j, s j+ ] [t k, t k+ ]. Allor H(Q j,k ) D(z j,k, r) A. Per ogi 0 < j < N si α j : [, b] A il cmmio liere trtti otteuto compoedo successivmete i segmeti [z j,k, z j,k+ ] per k = 0,..., N. Ioltre poimo α 0 = 0 e α N =.

3 9 Per ogi j, k = 0,..., N i quttro puti j (t k ) = z j,k, j (t k+ ) = z j,k+, j+ (t k ) = z j+,k, j+ (t k+ ) = z j+,k+ soo tutti el disco D(z j,k, r) che è covesso. Duque per ogi j, k = 0,..., N se t [t k, t k+ ] il segmeto che cogiuge j (t) j+ (t) è tutto coteuto el disco D(z j,k, r) e quidi i A. Duque per ogi t [, b] il segmeto che cogiuge j (t) j+ (t) è tutto coteuto i A. Come già osservto llor i cmmii α j e j+ soo omotopi medite u omotopi liere. Utilizzimo or questo processo di iterpolzioe liere dell omotopi per dimostrre il risultto priciple di questo prgrfo. Teorem 5..3: Sio A C u perto e 0, : [, b] A due cmmii C trtti omotopi (come cmmii chiusi o co estremi fissti). Allor se f: A C è u fuzioe olomorf, si h 0 f(z)dz = f(z)dz. (5..3) Dimostrzioe: Grzie l Teorem 5..2 possimo ridurci l cso i cui che esist u omotopi liere fr 0 e. I ftti se il risultto è vero i questo cso, sio α 0 = 0,..., α N = i cmmii due due liermete omotopi trovti grzie l Teorem 5..2; llor 0 α 0 α α N f(z)dz = f(z)dz = f(z)dz =... = f(z)dz = f(z)dz. Assumimo duque 0 e sio omotopi medite l omotopi liere H defiit, per (s, t) [0, ] [, b], d H(s, t) = 0 (t) + s( (t) 0 (t)). Posto s (t) = H(s, t) = 0 (t) + s( (t) 0 (t)), llor s : [, b] A è u curv C trtti per ogi s [0, ]. Per semplicità deotimo δ(t) = (t) 0 (t) e quidi vremo s (t) = H(s, t) = 0 (t) + sδ(t). Se defiimo per s [0, ] φ(s) = f(z)dz = s b b f( s (t)) 0(t)dt + s f( s (t))δ (t)dt, dimostrimo or che φ è costte d cui ovvimete segue il risultto. L fuzioe φ è cotiu su [0, ] e derivbile su (0, ) e l derivt si clcol differezido sotto

4 92 il sego di itegrle e osservdo che s s(t) = δ(t): φ (s) = = = = b b b b b s [f( s(t)) 0(t)]dt + f ( s (t))δ(t) 0(t)dt + δ(t)f ( s (t)) s(t)dt + b b b f( s (t))δ (t)dt + s b f( s (t))δ (t)dt + s f( s (t))δ (t)dt [δ(t) d dt f( s(t)) + f( s (t))δ (t)]dt = = δ(b)f( s (b)) δ()f( s ()). Se 0 e soo due curve co estremi coicideti llor b s [f( s(t))δ (t))]dt f ( s (t))δ(t)δ (t)dt d dt [δ(t)f( s(t))]dt δ() = () 0 () = 0 e δ(b) = (b) 0 (b) = 0. Se 0 e soo due curve chiuse llor H è u omotopi tr tr curve chiuse. Allor posto z s = H(s, ) = H(s, b) per ogi s [0, ] si h δ(b)f( s (b)) δ()f( s ()) = (z z 0 )f(z s ) (z z 0 )f(z s ) = 0. I tutti i csi cocludimo φ (s) = 0 e quidi che φ è costte. Come corollrio si ottiee immeditmete l versioe omotopic del Teorem di Cuchy: Teorem 5..4: Sio A C u perto e : [, b] A u cmmio chiuso C trtti omotopo costte. Allor se f: A C è u fuzioe olomorf, si h f(z)dz = 0. (5..4) I prticolre llor l (5..4) vle per ogi cmmio chiuso se A è semplicemete coesso. Dl Teorem 5..4 segue l seguete importte osservzioe: Teorem 5..5: Si A C u perto semplicemete coesso e si f u fuzioe olomorf su A. Allor f h u primitiv olomorf su A ossi esiste F olomorf su A tle che F = f. L fuzioe F è uic meo di costti. I ltre prole per ogi fuzioe f u fuzioe olomorf su u perto semplicemete coesso A, l form fdz è estt. Dimostrzioe: È u coseguez immedit dell Proposizioe e del Teorem di Cuchy 5..4 (per perti covessi si ved l Proposizioe 3.2.4). Dto che due fuzioi olomorfe su u perto coesso co derivt coicidete differiscoo per u costte, è immedito ossevre che l primitiv è uic meo di costti.

5 93 Come bbimo già osservto, l ituizioe suggerisce che u domiio i A C è semplicemete coesso se e solo se il suo complemeto C \ A o h compoeti coesse limitte. Questo si può effettivmete dimostrre e lo fremo più trdi. Defiizioe 5..2: Sio : [, b] C u curv chius C trtti e z 0 C\([, b]) u puto o pprteete l sostego di. Il umero d vvolgimeto (o idice) di rispetto z 0 è defiito d Se Γ = (z 0, ) = ζ z 0 dζ. (5..5) m j j è u cte e z 0 è el complemeto di ogi curv j, si defiisce il j= umero d vvolgimeto (o idice) di Γ rispetto z 0 il umero (z 0, Γ) = dζ = m j (z 0, j ). (5..6) ζ z 0 Γ Il umero di vvolgimeto h u importte sigificto geometrico. Cot, teedo coto del verso di percorrez, il umero di volte che si gir ttoro z 0 metre si percorre l curv. Per covicersi di questo si può procedere el modo seguete. Per ζ che vri lugo il sostego dell curv si pog dove evidetemete Duque differezido e quidi Itegrdo, llor, (z 0, ) = i= ζ = z 0 + ρ(ζ)e iθ(ζ) = z 0 + ρe iθ ρ = ρ(ζ) = ζ z 0 e e iθ = e iθ(ζ) = ζ z 0 ζ z 0. dζ = e iθ dρ + iρe iθ dθ = ζ z 0 ζ z 0 d( ζ z 0 ) + i(ζ z 0 )dθ dζ = ζ z 0 d log( ζ z 0 ) + 2π dθ. dζ = ζ z 0 d log( ζ z 0 ) + 2π dθ = 2π e l ultimo itegrle i effetti misur l golo totle spzzto dl segmeto che cogiuge z 0 l puto che vri lugo tutto il percorso dell curv. L rgometo che bbimo presetto, pur suggestivo, o è però rigoroso. Iftti bbimo utilizzto l fuzioe rgometo θ co grde disivoltur sez preoccuprci del ftto che o è be defiit su u quluque perto. I reltà l form differezile dθ si può defiire che qudo l fuzioe θ o è be defiit e questo ftto rede rgioevole quello che bbimo ftto. Piuttosto che seguire quest direzioe di lvoro, dimostreremo le proprietà del umero di vvolgimeto i modo diverso e più semplice. Prim di tutto osservimo che è u itero: dθ

6 94 Teorem 5..6: Si : [, b] C u cmmio chiuso C trtti e si z 0 C\([, b]). Allor (z 0, ) = dζ Z. ζ z 0 Ioltre l fuzioe (, ): C \ ([, b]) Z è cotiu ed è quidi costte su ogi compoete coess di C\([, b]). I prticolre (, ) è ideticmete ull sull compoete coess illimitt di C \ ([, b]). Ifie se, 2 : [, b] C \ {z 0 } soo cmmii chiusi C trtti omotopi (i C \ {z 0 }) llor (z 0, ) = (z 0, 2 ). Dimostrzioe: Si defiisc per x [, b] Dto che (z 0, ) = F (x) = x (t) (t) z 0 dt. (5..7) dζ = b ζ z 0 (t) (t) z 0 dt, dobbimo dimostrre che F (b) Z. L fuzioe F defiit d (5..7) è cotiu su [, b] e h derivt (ei puti dove è di clsse C ): Allor l fuzioe G defiit su [, b] d F (x) = (x). (x) z 0 G(x) = e F (x) ((x) z 0 ) è cotiu e, el complemeto i [, b] del umero fiito di puti dove o è di clsse C h derivt dt d: G (x) = F (x)e F (x) ((x) z 0 ) + e F (x) (x) = 0. Allor G è cotiu e costte trtti e quidi è costte. I prticolre possimo cocludere che e F (b) ((b) z 0 ) = G(b) = G() = e F () (() z 0 ) = () z 0. Dto che () = (b) z 0, llor segue che e F (b) = d cui segue l tesi. L fuzioe (, ) è cotiu dto che l itegrdo ζ z è cotiuo i z per z / ([, b]). Ioltre l fuzioe cotiu (, ) vlori i Z ecessrimete è costte sulle compoeti coesse del suo domiio di defiizioe. Ifie si osservi che, dto che ([, b]) è u comptto, esiste u disco D(0, R) tle che ([, b]) D(0, R). Duque l compoete coess U di C \ ([, b]) che cotiee C \ D(0, R) è l uic illimitt. Si llor z U co z > R. Allor per ζ ([, b]) si deve vere e quidi (z, ) = ζ z z R ζ z dζ L() 2π z R d cui segue che (z, ) 0 per z. Questo può succedere solo se (z, ) = 0 per ogi z U. Ifie il Teorem 5..3 implic immeditmete che (z 0, ) = (z 0, 2 ) se, 2 : [, b] C \ {z 0 } soo cmmii chiusi C trtti omotopi i C \ {z 0 }.

7 95 Per le frotiere di perti limitti il umero di vvolgimeto h l seguete semplice iterpretzioe: Teorem 5..7: Si A C u perto limitto co frotier A uioe fiit di curve semplici chiuse C trtti due due disgiute. Allor, iteso che si itegr lugo l frotier oriett A di A, (z, A) = { 0 se z C \ A se z A. Dimostrzioe: Si osservi che il risultto è immedito el cso i cui A = D si u disco. Si A rbitrrio e si z C \ A. Allor esiste u perto U co A U e co z / U. Allor l fuzioe ζ ζ z è olomorf su U e quidi dl Teorem di Cuchy segue che: (z, A) = dζ = 0. ζ z A Suppoimo che z A. Allor si r > 0 tle che D = D(z, r) D(z, r) A e si defiisc A = A \ D. Allor z / A e A = A D e quidi possimo cocludere e quidi l tesi segue. 0 = (z, A ) = (z, A) (z, D) = (z, A) Come coseguez del Teorem di Cuchy 5..4, si dimostr l seguete versioe dell formul di Cuchy: Teorem 5..8: Sio A C u perto e : [, b] A u cmmio chiuso C trtti omotopo costte i A. Allor se f: A C è u fuzioe olomorf, per ogi z A \ ([, b]) si h (z, )f(z) = f(ζ) dζ. (5..8) (ζ z) Dimostrzioe: Si fissi z A \ ([, b]) e si defiisc u fuzioe F su A medite f(w) f(z) w z se w z F (w) = f (z) se w = z. Allor, per costruzioe, F è cotiu e olomorf per w z. Segue llor che F è olomorf su A e, per il Teorem di Cuchy, si h 0 = d cui segue l tesi. F (ζ)dζ = f(ζ) f(z) dζ = ζ z f(ζ) dζ f(z) ζ z ζ z dζ,

8 5.2. Logritmi e rdici 96 Si Ω C u perto coesso. U fuzioe f C 0 (Ω) si dice rmo di logritmo (o semplicemete u logritmo) i Ω se si h e f(z) = z z Ω. (5.2.) Evidetemete, dto che e f(z) 0, è ecessrio supporre che 0 / Ω. Vedremo che quest codizioe ecessri o è fftto sufficiete, m itto lcue osservzioi prelimiri idispesbili. E evidete, per comicire, che cus dell periodicità dell fuzioe espoezile, o si h uicità del logritmo. Iftti se vle (5.2.) per f C 0 (Ω) per ogi k Z l fuzioe f + 2kπi è u logritmo. D ltr prte quest è l uic possibile idetermitezz se Ω è coesso. Iftti se f, g C 0 (Ω) soo due logritmi llor per ogi z Ω e quidi e f(z) g(z) = ef(z) e g(z) = (f(z) g(z)) Z. Duque (f g) è u fuzioe cotiu su u coesso vlori i Z e pertto costte. I coclusioe deve essere g = f + 2kπi per qulche k Z. Cerchimo or di defiire u logritmo su u prte di C che si più estes possibile. Defiizioe. L rgometo priciple di z C \ {0} è l uico umero Arg(z) = θ ( π, π] tle che z = z e iθ. Si vede subito che l fuzioe Arg o è cotiu su C = C \ {0} m è di clsse C su C\(, 0]. Se per r (0, + ) deotimo co log r l usule logritmo turle, è immedito verificre che l fuzioe defiit d Log z = log z + iarg(z) (5.2.2) è u rmo di logritmo su C \ (, 0]. Ci riferiremo ll fuzioe Log defiit i (5.2.2) come logritmo priciple. Si osservi che il logritmo priciple è di clsse C. Evidetemete llo stesso modo si può defiire u rmo di logritmo sul complemeto di ogi semirett uscete dll origie. A tl fie bst defiire l rgometo i modo che ssum vlori compresi i (α 2π, α], dove α è l golo fr l sse rele e l semirett i questioe. Procededo come prim si ottiee u ltro rmo di logritmo. I geerle bbimo l seguete: Proposizioe 5.2.: Si Ω C = C \ {0} u perto coesso e f C 0 (Ω) u logritmo. Allor f è u fuzioe olomorf co derivt f (z) = z. Fissto Ω \ (, 0], esiste u costte k Z tle che per ogi z Ω, si h f(z) = Log + z dz z + 2kπi (5.2.3) dove Log è il logritmo priciple e z è u quluque curv C trtti co primo estremo i e secodo i z.

9 97 Dimostrzioe: Per defiizioe l fuzioe f: Ω f(ω) è biettiv co ivers l fuzioe espoezile. Sio z, z 0 Ω e w = f(z), w 0 = f(z 0 ). Allor per z z 0 f(z) f(z 0 ) w w 0 lim = lim z z 0 z z 0 w w 0 e w e w = 0 e w =. 0 z 0 Per cocludere l dimostrzioe bst osservre che per qulche itero k si deve vere f() = Log + 2kπi e che, dto che f è u primitiv olomorf di z, llor f(z) = f() + dz z z. Il seguete risultto crtterizz gli perti sui quli è defiito u rmo di logritmo: Teorem 5.2.2: Si Ω C = C \ {0} u perto coesso, llor le segueti ffermzioi soo equivleti: (i) Esiste u rmo di logritmo su Ω. (ii) L fuzioe z h u primitiv olomorf su Ω. (iii) per ogi curv chius C trtti co sostego i Ω si h (, 0) = 0. I prticolre, se Ω è semplicemete coesso, llor esiste u rmo di logritmo su Ω. Dimostrzioe: I Proposizioe 5.2. è dimostrto che (i) (ii). Dimostrimo che che (ii) (i): Se g è u primitiv olomorf di z su Ω, llor (ze g(z) ) = e g(z) zg (z)e g(z) = 0 e quidi, dto che Ω C è coesso, ze g(z) è u fuzioe costte o ull. Allor per qulche c su Ω si h ze g(z) = e c d cui segue che f(z) = g(z) + c è u rmo di logritmo. dz Se vle l (iii) ovvimete z = 0 per ogi curv chius C trtti co sostego i Ω. Quest ultimo ftto sppimo che implic l esistez di u primitiv olomorf di z su Ω ossi (ii). Ifie se Ω è semplicemete coesso llor ogi curv chius C trtti co sostego i Ω è omotop costte i Ω e quidi si h (, 0) = 0. Più i geerle su u perto semplicemete coesso esiste sempre u logritmo olomorfo di u fuzioe olomorf che o si ull: Teorem 5.2.3: Si Ω C u perto semplicemete coesso o tle che C \ Ω o h compoeti coesse limitte e si f: Ω C = C \ {0} u fuzioe olomorf. Allor esiste u fuzioe olomorf g: Ω C tle che e g = f Dimostrzioe: Se f o si ull mi, llor l fuzioe olomorf h = f /f h u primitiv olomorf F su Ω per il Teorem Dto che Ω è coesso e che (fe F ) = 0 si h che fe F = k 0 per qulche costte k. Se k = e c llor f = e c+f e quidi g = c + F.

10 98 Si osservi che, el cso i cui sull immgie f(ω) dell fuzioe f si defiito u rmo di logritmo Log z, llor come logritmo olomorfo dell fuzioe f si può scegliere semplicemete g = Log f. D ltro cto il Teorem si può pplicre situzioi più geerli. Ad esempio ll fuzioe f(z) = z 2 defiit sul complemeto dell sse rele egtivo C \ (, 0] si pplic il Teorem metre su C = f(c \ (, 0]) o è defiito lcu rmo di logritmo. Esttmete come si procede per defiire le poteze reli di espoete rbitrrio, u volt i possesso di u buo ozioe di logritmo, si può provre defiire poteze co espoete complesso rbitrrio. Sio C, e b C. Se Log è u qulsisi vlore del logritmo di, defiimo u vlore dell potez b-esim di il umero complesso b = e blog. (5.2.4) Nturlmete, dto che Log è determito meo di multipli iteri di, il umero b defiito d (5.2.4) è determito meo di u fttore del tipo e 2kbπi per qulche itero k. A cus di questo ftto occorre essere prudeti ell utilizzre l defiizioe (5.2.4). Ad esempio se b Z è u itero, llor vi è u solo vlore per b e questo è l usule potez b-esim di. Nel cso i cui b Q è rziole, llor vi soo u umero fiito di vlori per b. Per covicersee bst cosiderre il cso b = per itero positivo. I questo cso si h e 2kπi = e 2k bπi k k = 0 (mod ) e e 2kπi può ssumere esttmete vlori distiti, le rdici -esime dell uità: ζ = e, ζ 2 = e 4kπi,..., ζ = e 2( )πi, ζ = Pertto ssume vlori: e Log, ζ e log,..., ζ e Log dove Log è u quluque vlore del logritmo di. I questo cso llor, come ci si potev spettre l potez co espoete è esttmete l rdice -esim di u umero complesso. Se ivece b R \ Q è u umero irrziole, llor, l vrire di k Z l espoezile e 2kbπi ssume ifiiti vloti e quidi, i questo cso vi soo ifiiti vlori per b. Ricordimo ifie che per u itero positivo b =, 2,... si h 0 b = 0 e che si poe 0 0 =. Chiriti questi prelimiri è possibile cosiderre fuzioi defiite per mezzo di poteze. L fuzioe espoezile z z co bse C è defiit su tutto C ed è olomorf co derivt dt d ( z ) = Log z. Si osservi che, dlle proprietà dell espoezile, segue immeditmete che z+w = z w. Come si può ituire dll discussioe ftt sopr, è più delicto dre u defiizioe pproprit di fuzioe potez b-esim. Ci iuteremo co l costruzioe ftt per i logritmi. Si b C fissto e si A C u perto su cui è defiito u rmo di logritmo Log z. L fuzioe defiit f su A d f(z) = e blog z si dice rmo dell potez b-esim. Se o ci soo mbiguità scriveremo semplicemete f(z) = z b per u rmo di potez b-esim. Quluque rmo di potez è u fuzioe olomorf e per l derivt si h: (z b ) = b z eblog z = be (b )Log z = bz b

11 99 dove evidetemete z b è il rmo dell potez (b )-esim defiito su A dllo stesso rmo di logritmo che defiisce z b. Si osservi che l usule relzioe (zw) b = z b w b o vle per tutti i rmi di potez b-esim m solo se per il rmo di logritmo utilizzto ell defiizioe si h Log(zw) = Log z + Log w. Nturlmete i geerle bisog spettrsi molti rmi per l stess potez, il più delle volte ifiiti. Per u espoete itero, dll discussioe ftt, segue che c è u solo rmo di potez che è esttmete l fuzioe z z usule. È utile sottoliere il cso delle rdici ossi delle poteze -esime per itero positivo. Se come prim deotimo ζ = e, fissto su u perto A C u rmo Logz di logritmo, llor e Log z defiiscoo rmi dell potez z, ζ e Log z,..., ζ e Log z (5.2.5) Proposizioe 5.2.4: Si A C u perto coesso sul qule è defiito u rmo di logritmo Log z. Se f: A C è u fuzioe cotiu tle che (f(z)) = z per ogi z A, llor f è u delle fuzioi defiite i (5.2.5). Dimostrzioe: Si r 0 (z) = e Log z. Allor per ogi z A si h ( f(z) r 0 (z)) =. Duque per qulche j = 0,..., si h f(z) r 0 (z) = ζj. I ltre prole l fuzioe cotiu f(z) r 0 (z) defiit su u perto coesso à vlori ello spzio discreto {, ζ,..., ζ }. Duque f(z) r 0 (z) è costte e quidi f è u delle fuzioi defiite i (5.2.5). Cocludimo co u osservzioe che ci srà utile più trdi: Proposizioe 5.2.5: Si Ω C u perto tle che per ogi fuzioe olomorf che o si ull mmette u logritmo olomorfo. Allor ogi fuzioe olomorf su Ω che o si ull mmette u rdice -esim olomorf ossi per ogi fuzioe olomorf g su Ω co g(z) 0 per ogi z Ω, esiste h olomorf su Ω co h = g. L ipotesi vle se Ω è semplicemete coesso o se C \ Ω o h compoeti coesse limitte. Dimostrzioe: Se g o si ull mi, si f l fuzioe olomorf su Ω co g = e f. Allor h = e f/ è l rdice -esim olomorf cerct. Esercizi. Dimostrre che l rgometo priciple o h estesioe cotiu su C = C\{0} m è di clsse C su C \ (, 0]. 2. Dimostrre che, per z <, vle il seguete sviluppo di Tylor: ( ) k+ Log( + z) = z k. k k=

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