Radici, potenze, logaritmi in campo complesso.

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1 SOMMARIO NUMERI COMPLESSI... Formula di Eulero... Coiugato di u umero complesso... 3 Poteza -esima di u umero complesso z (formula di De Moivre... 3 Radice -esima di z... 3 Osservazioi... Logaritmo di u umero complesso z... Osservazioi... Esempi :... 6 Radici, poteze, logaritmi i campo complesso. prof. Cleto Azzai IPSIA Moretto Brescia (

2 Numeri Complessi Nel campo dello studio delle disciplie teciche dell'area elettroica riveste otevole importaza lo studio di fuzioi complesse di variabile complessa tra cui la radice i campo complesso, il logaritmo etc. Sia dato u umero complesso z rappresetato i forma cartesiaa dalla parte reale a e dalla parte immagiaria b z = a + jb. U umero complesso può essere rappresetato su u particolare piao cartesiao chiamato piao di Gauss che riporta sulle ascisse le quatità reali R e sulle ordiate le quatità immagiarie I. U umero complesso z viee rappresetato el piao di Gauss co u vettore applicato m ell origie. E molto facile dimostrare che ella somma o sottrazioe fra due umeri complessi si sommao o si sottraggoo le parti reali e le parti immagiarie. z = z + z = a + j b + a + j b = a + a + j b + z = z ( ( ( ( ( a + j b ( a + j b = ( a a + j ( b b z = b tale umero complesso può essere rappresetato ache i forma polare attraverso la defiizioe del modulo ρ e fase ϕ così ricavabili : e ρ = a + b ϕ = arctg b a ϕ = arctg b π a +. se a > 0.3 se a < 0.4 Nel caso particolare i cui il modulo di u umero complesso valga 0 la fase risulta idetermiata. Ua terza forma è la rappresetazioe espoeziale che è perfettamete equivalete alla rappresetazioe polare. Formula di Eulero Teedo presete la relazioe di Eulero il umero complesso z può essere scritto ella seguete forma: jϕ z = ρ e = ρ( cosϕ + j siϕ. E molto facile dimostrare che el prodotto fra due umeri complessi si moltiplicao fra loro i moduli e si sommao le fasi metre el rapporto fra due umeri complessi si dividoo fra loro i moduli e si sottraggoo le fasi. jϕ jϕ j( ϕ + ϕ z = z z = ρ e ρ e = ρ ρ e z z = z ρ e ρ jϕ j( ϕ ϕ = = e jϕ ρ e ρ

3 Coiugato di u umero complesso Dato u umero complesso z: z = a + j b si defiisce coiugato di z e si idica co z asterisco u umero complesso co la medesima parte reale a e co la parte immagiaria b cambiata di sego: * z = a j b Il coiugato di z rappreseta l immagie speculare di z rispetto all asse reale. E molto facile dimostrare che z z * = ρ e jϕ ρ e jϕ z z * = ρ = ρ quato segue: Poteza -esima di u umero complesso z (formula di De Moivre Sia dato u umero complesso z defiito da ua parte reale a e da ua parte immagiaria b: z = a + jb = ρ e j ϕ.6 tale umero complesso è caratterizzato da modulo ρ e fase ϕ ricavabili come idicato i precedeza. Voledo elevare alla poteza il umero complesso z si avrà : jϕ [ z] ρ e = ρ ( cos ϕ + j si ϕ =.7 Idicato quidi co µ il modulo del risultato e β la fase del risultato si ha immediatamete : µ = ρ.8 β = ϕ.9 Radice -esima di u umero complesso Dovedo estrarre la radice -esima di z si procederà come di seguito: j( ϕ + kπ jϕ j( ϕ + kπ z = ρ e = ρ e = ρ e.0 ϕ + kπ ϕ + kπ z = ρ cos + jsi k = 0,,,.., -. La variabile k viee apputo itrodotta per teere coto della periodicità dell'espoeziale complesso. Idicato quidi co µ il modulo del risultato e β la fase del risultato si ha immediatamete : µ = ρ. ϕ + kπ βk = co k = 0,,..,.3 tutte le radici -esime del umero complesso z hao stesso modulo µ ma diversa fase β e quidi giaccioo su u cerchio del piao complesso di raggio pari al modulo µ; e risultao sfasate ua rispetto all'altra del medesimo agolo δ dato dalla relazioe: π δ =.4 La prima radice (radice pricipale è sfasata rispetto all'asse reale della quatità : ϕ β0 =. 3

4 Le radici successive risultao sfasate rispetto all'asse reale della quatità : ϕ π β K = + k = β 0 + k δ.6 A titolo di esempio i fig. soo state riportate le radici quite dell'uità. Nel caso riportato i figura risulta : π δ = ( β 0 = = 0.8 Si oti la preseza di ua sola radice reale e positiva (la prima i quato β 0 =0 e due coppie di radici complesse coiugate. I fig. soo state riportate le radici quite del umero complesso : 3 z = + j z = ϕ = π.9 ( 3 60 risulta : π δ = ( π β ( =. fig. Radici quite dell'uità z= fig. Altro esempio di radici quite Si oti che, el caso di fig., complessi coiugati. le radici o si possoo più raggruppare i coppie di valori 4

5 Osservazioi Le radici -esime di u geerico umero complesso z si trovao collocate ai vertici di u poligoo regolare di N lati ( idice della radice cetrato ell'origie del piao di Gauss e iscritto etro ua circofereza di raggio µ. L'estrazioe di radice di idice pari di u umero reale da sempre come risultato due soluzioi reali (ua positiva ed ua egativa; le rimaeti radici soo raggruppabili i coppie complesse coiugate (vedi fig. 3. L'estrazioe di radice di idice dispari di u umero reale da sempre almeo ua soluzioe reale (la prima radice valutata co k=0 le rimaeti radici soo raggruppabili i coppie complesse coiugate (vedi fig. 4. Logaritmo di u umero complesso z Dato u umero complesso di modulo ρ e fase ϕ : Jϕ z = ρ e = ρ cos ϕ + jsiϕ. ( fig. 3 Ottagoo regolare idividuato dalle radici ottave dell'uità dovedo calcolare il logaritmo di z si procederà come di seguito: jϕ j ϕ+ kπ log z = log ρ e = log ρ e.3 log ( ( ( ( j( ϕ+ kπ ( ρ e = log ρ + j( ϕ + kπ.4 Prede il ome di valore pricipale della fuzioe logaritmo (o valore apparteete al ramo pricipale pricipal brach il valore forito dalla espressioe.3 co k=0 : fig. 4 Poligoo idividuato dalle radici quite dell'uità log( z = log ρ + jϕ. Osservazioi La formula.3 forisce le modalità di calcolo del logaritmo di i umero complesso. Sarà opportuo precisare che : - la fuzioe logaritmo el campo complesso è ua fuzioe polidroma ossia a più valori tutti caratterizzati dalla medesima parte reale : R log( z = log ρ.6 e [ ] e da valori diversi della parte immagiaria (valori che differiscoo fra loro della quatità π I [ ( m log z ] = ϕ + kπ k = 0,,,...7 i particolare poi se il modulo ρ è uguale a la parte reale del logaritmo si aulla.

6 - il logaritmo i campo complesso esiste ache se il umero è reale e egativo: ifatti è possibile defiire il suo modulo e la sua fase che vale π. - il logaritmo i campo complesso o è defiito se l'argometo è ullo; ifatti l'espressioe logρ tede a meo ifiito. Esempi : Elaborare le segueti espressioi ricavado modulo e fase del risultato : 3 ( 4 + j jπ 4 e jπ ( + j e 4 + j 3 7 e j jπ Bibliografia: Murray R. Spiegel Theory ad Problems of COMPLEX VARIABLES Schaum Publishig Compay New York 964 6

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