3^C - Compiti vacanze estive - MATEMATICA

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1 3^C - Compiti vacanze estive - MATEMATICA Da presentare, svolti, alla ripresa delle lezioni Poiché si tratta di quesiti o parti di problemi assegnati agli esami di stato, dovrebbe essere semplice trovare le relative soluzioni sul web In ogni caso, cercherò di rendere disponibili le soluzioni sul mio sito entro i primi di settembre (la scuola riprende venerdì 15) Spero sia evidente che presentare delle soluzioni copiate, ma non capite, equivale a non presentarle per niente Per segnalare errori o difficoltà, mandare una a natalinopacca@katamailcom 1 Dati nel piano cartesiano i punti di coordinate P x, x e Q x, 4 x 2, determina, al variare di x, l insieme dei punti Q la cui ordinata è minore dell ordinata di P [Q7 Ame 2008] 2 Una scatola di forma cilindrica ha raggio r e altezza h Se si aumenta del 5% ciascuna sua dimensione, di quanto aumenterà, in termini percentuali, il suo volume? [Q7 sup 2014] 3 Un filo metallico di lunghezza l viene utilizzato per delimitare il perimetro di un aiuola rettangolare a) Qual è l aiuola di area massima che è possibile delimitare? Si pensa di tagliare il filo in due parti e utilizzarle per delimitare un aiuola quadrata e un altra circolare Come si dovrebbe tagliare il filo affinché: b) la somma delle due aree sia minima? c) la somma delle due aree sia massima? Un aiuola, una volta realizzata, ha la forma di parallelepipedo rettangolo; una scatola, cioè, colma di terreno Si discute di aumentare del 10% ciascuna sua dimensione Di quanto terreno in più, in termini percentuali, si ha bisogno? [P1 PNI 2006] 4 Un delfino si trova nel punto A del bordo ovest di una piscina circolare Nuota in linea retta per 12 m, e tocca con il naso il bordo della piscina nel punto B Si gira e nuota in una direzione diversa in linea retta per 5 m, e arriva nel punto C situato sul bordo della piscina e diametralmente opposto al punto A dal quale era partito Se la profondità dell acqua è ovunque di 2,50 m, quanti litri d acqua sono contenuti nella piscina? [Q10 str 2013] 5 Si consideri la seguente proposizione: «In ogni triangolo isoscele la somma delle distanze di un punto della base dai due lati uguali è costante» Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta [Q4 PNI sup 2007] 6 Si consideri la seguente proposizione: Dato un triangolo rettangolo, il cerchio che ha per raggio l'ipotenusa è la somma dei cerchi che hanno per raggi i cateti Si dica se è vera o falsa e si

2 motivi esaurientemente la risposta [Q5 str 2007] 7 In un piano sono dati una retta r e due punti A e B a essa esterni ma situati nel medesimo semipiano di origine r Si trovi il più breve cammino che congiunga A con B toccando r [Q3 PNI 2006] 8 Si dimostri che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è la sezione aurea del raggio e si utilizzi il risultato per calcolare sen18 (E' necessaria la conoscenza del concetto di similitudine) [Q1 PNI 2005] 9 Considerato un triangolo equilatero di altezza h e detto P un suo qualsiasi punto interno, indica con x, y, z le distanze di P dai lati del triangolo Spiega come risulta la somma x y z rispetto ad h [Q5 PNI sup 2004] 10Si considerino, nel piano cartesiano, i punti A 2 ;1 e B 6 ;8 Si determini l equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A [Q3 PNI 2013] 11Studia il luogo dei punti del piano tali che la somma delle loro distanze da due rette perpendicolari fissate nel piano non superi 1 [Q3 Spe sup 2002] 12Si considerino due circonferenze di centri A e A' e, rispettivamente, di raggi 9 e 1, tangenti esternamente nel punto O Sia r la tangente comune in O ed s una retta tangente ad entrambe le circonferenze nei punti B e B' Detto C il punto d'intersezione delle rette r ed s, si dimostri che i triangoli ACA' e BOB' sono rettangoli e si calcoli il rapporto delle loro aree [P3 1991] 13Si determini l equazione del luogo geometrico dei centri delle circonferenze del piano tangenti alla parabola y=x 2 1 nel punto (1, 2) [Q7 PNI 2007] 14In determinate condizioni, il numero di un certo tipo di batteri triplica ogni due giorni Se la crescita è esponenziale, qual è l'aumento percentuale dopo 6 ore? E dopo 18 ore? [Q5 Eur 2006] 15Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate dall estero, un canone fisso da 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con f x la spesa totale nel mese e con g x il costo medio al minuto: 1 Individua l espressione analitica delle funzioni f x e g x e rappresentale graficamente; verifica che la funzione g x non ha massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano 2 Detto x 0 il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina x 1 tale che: g x 1 =g x 0 /2 Traccia il grafico della funzione che esprime x 1 in funzione di x 0 e discuti il suo andamento Che significato ha il suo asintoto verticale?

3 L operatore di telefonia modifica il piano tariffario, inserendo un sovrapprezzo di 10 centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi 500 minuti 4 Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni f x e g x e spiegane il significato nella situazione concreta [P1 2015] 16Sei il responsabile del controllo della navigazione della nave indicata in figura con il punto P Nel sistema di riferimento cartesiano Oxy le posizioni della nave P, misurate negli istanti t=0 e t=10 (il tempo t è misurato in minuti, le coordinate x e y sono espresse in miglia nautiche), sono date dai punti P 1 14,13 e P 2 12,11 Negli stessi istanti la posizione di una seconda nave Q è data dai punti Q 1 12, 2 e Q 2 11, 1 Entrambe le navi si muovono in linea retta e con velocità costante, come rappresentato in figura (non in scala) Il raggio luminoso di un faro posto nel punto F di coordinate 0,1 spazza un quarto di un cerchio di raggio 10 miglia (vedi figura) 1 Calcola dopo quanto tempo, rispetto all istante in cui la nave P avvista per la prima volta il faro F, essa raggiunge la minima distanza dal faro, e la misura di tale distanza 2 Determina la posizione della nave P nell istante in cui per la prima volta la sua distanza dalla nave Q è pari a 9 miglia 3 Determina l istante t nel quale la distanza tra le due navi è minima e calcola il valore di tale distanza [P1 Eur 2015] 17Una mosca parte all'istante t=0 dall'origine del piano cartesiano con velocità di componenti v x =2, v y =1 e viene illuminata da una lampadina posta nel punto L 0,10 a Scrivi le leggi orarie x= f t e y=g t che descrivono il moto della mosca nel piano e la

4 legge oraria x=h t che descrive il moto dell'ombra della L mosca sull'asse x b Traccia il grafico posizione-tempo descritto dalla legge oraria x=h t (prescindendo dalle limitazioni su t e ponendo il tempo t sulle ascisse e la posizione x sulle ordinate) Descrivi le caratteristiche della curva ottenuta c Evidenzia la parte del grafico che corrisponde alle limitazioni M su t del problema O d Calcola la velocità dell'ombra nell'istante t=5

5 3^C - Soluzioni compiti vacanze - MATEMATICA 1 y Q y P x 4 x 2 {4 x x 2 x 0 x R x 2 4 x 2 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 In alternativa, avremmo potuto risolvere la disequazione graficamente cercando le intersezioni tra la curva di equazione y= x (due semirette aventi l'origine in comune) e quella di equazione y= 4 x 2 (semicirconferenza) 2 Il volume iniziale è V 0 = r 2 h ; il volume finale è V 1 = 1,05 3 r 2 h 3 L'aumento percentuale di volume è: V 1 V 0 V 0 = 1, =15,8% a) Indicando con x la misura della base dell'aiuola, l'altezza misurerà l / 2 x, e l'area dell'aiuola sarà: A x =x l /2 x =lx/2 x 2 con 0 x l /2 La funzione A x ha come grafico un arco di parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate e concavità rivolta verso il basso, quindi assume il valore massimo in corrispondenza del vertice: x V =l /4 l 2 /16 l/4 l/2 Il valore massimo dell'area è pertanto: A max =A l 4 = l 2 16 b) Se indichiamo con x la parte del filo che si usa per l'aiuola quadrata, il lato del quadrato misura l q =x/4 e l'area del quadrato A q =x 2 /16 La lunghezza della circonferenza è l c =l x, il raggio r c = l x /2 e l'area del cerchio: A c = l x 2 4 La somma delle due aree misura: S x = 4 16 x2 l 2 x l 2 4 con 0 x l La funzione S x ha come grafico un arco di parabola con asse di f (l) f (x V ) simmetria parallelo all'asse delle ordinate e concavità rivolta verso l'alto, quindi assume il x V l

6 valore minimo in corrispondenza del vertice: x V = 4 l 4, da cui: S min =S x V = l c) Il valore massimo verrà assunto ad uno degli estremi del campo di esistenza Poiché S 0 = l 2 4 viene ottenuta per circolare e S l = l 2 16, otteniamo che, come era prevedibile, l'area massima x=l, ovvero quando il filo viene utilizzato tutto per delimitare l'aiuola d) Se a, b, c erano le dimensioni iniziali del parallelepipedo e V 0 =abc il suo volume iniziale, le dimensioni finali saranno: Aumento percentuale: a, b e c, ed il volume finale V 11 f = 10 V 0 V f V 0 V 0 = = =33,1% 4 Dal testo sappiamo che il segmento AC è diametro della circonferenza Per Pitagora: AC= AB 2 BC 2 =13 m Volume piscina: V = r 2 h 3,14 6,5 2 2,5 332 m 3 Poiché 1l=1 dm 3 V 3, l 5 Basandoci sulla geometria euclidea, possiamo calcolare: Area ABC =Area APC Area BPC = AC PH 2 Ma, poiché AC =BC =l : BC PK 2 H C K PH PK = 2 Area ABC =costante cvd l A P B In alternativa, possiamo utilizzare la trigonometria, o addirittura la geometria analitica 6 La proposizione è vera Infatti, se a è la misura dell'ipotenusa e b, c sono le misure dei cateti, abbiamo a 2 =b 2 c 2 per il teorema di Pitagora Moltiplicando per p tale uguaglianza, otteniamo la proposizione citata nel testo cvd 7 Il problema può essere risolto anche utilizzando B l'analisi matematica del quinto anno, ma la soluzione A più semplice e più istruttiva è quella della geometria euclidea P H Il cammino più breve si trova nel modo seguente: tracciamo il simmetrico B' del punto B rispetto alla retta r; Q r indichiamo con P il punto di intersezione tra il B '

7 segmento AB' e la retta r; affermiamo che la spezzata APB è il più breve cammino cercato Osserviamo infatti che, se Q è un punto generico della retta r distinto da P: AP PB=AP PB' perché la simmetria assiale è un'isometria; AP PB ' =AB ' AQ QB ' perché un lato di un triangolo è sempre minore della somma degli altri due cvd A volte il problema viene presentato nella maniera seguente: quale percorso deve compiere un pompiere che si trova in A e che deve spegnere il fuoco posto in B passando a prendere l'acqua dal fiume r? Molto importante è poi l'applicazione fisica; osserviamo infatti che: BPH = HBP ' perché la simmetria assiale è un'isometria; HBP '= APQ perché angoli opposti al vertice; BPH = APQ per la proprietà transitiva dell'uguaglianza E' immediato dimostrare la proposizione inversa, ovvero: se BPH = APQ, allora il percorso APB è quello di lunghezza minima Applicando questa proprietà alla propagazione della luce, vediamo che la forma in cui si enuncia di solito la legge della riflessione, ovvero: l'angolo di incidenza è uguale all'angolo di riflessione è equivalente a quella della distanza minima Questo è l'enunciato del principio di Fermat, ovvero: la propagazione della luce nel vuoto avviene lungo il cammino che viene percorso nel tempo minore 8 Se AB è il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza di centro O e raggio OA, allora: AOB=360 /10=36 e OAB= OBA=72 Conduciamo la bisettrice AD, che forma il triangolo ABD avente anch'esso angoli di , e quindi simile ad ABO Inoltre, il triangolo ODA, avendo gli angoli in A e in O uguali, è isoscele, e quindi: OA AB = AB BD AD=OD Ne segue che: r l 10 = l 10 r l 10, ovvero il lato del decagono regolare inscritto nella circonferenza è uguale alla sezione aurea del raggio, in quanto è medio proporzionale tra il raggio stesso e la parte rimanente Considerando l 10 r 2 2 rl 10 =l 10 come incognita, ricaviamo: l 2 10 rl 10 r 2 =0 l 10 = 5 1 r 2 in cui abbiamo scartato la soluzione negativa Possiamo quindi calcolare: sen AH =sen18 = 10 AO = Omettiamo la risposta relativa al sen 36, che richiede qualche conoscenza di goniometria A O H D B

8 9 Se indichiamo con l il lato del triangolo equilatero, abbiamo: Area ABC =Area ABP Area BCP Area CAP l h 2 = l x 2 l y 2 l z x y z=h 2 Osserviamo che questo risultato non dipende dalla scelta del punto P 10Tra tutte le rette passanti per B, quella avente distanza massima da A è la perpendicolare n al segmento AB Infatti, se indichiamo con AH la distanza del punto A dalla retta n, e se consideriamo una qualunque altra retta passante per B, la distanza AK da tale retta è un cateto del triangolo rettangolo AKH avente ipotenusa AH, quindi AK AH Calcoliamo m AH =7/2 m n = 2/7 A J C z H P x y K B Imponiamo il passaggio per B: y 8= 2 7 x 6 y= 2 7 x Conviene scegliere un sistema di coordinate tale che le due rette fissate siano gli assi cartesiani La condizione del testo diventa: x y 1, ovvero: {x y 1 x y 1 x y 1 x y 1 se x 0 y 0 se x 0 y 0 se x 0 y 0 se x 0 y 0 Il luogo cercato comprende tutti e soli i punti interni o appartenenti al contorno del quadrato di vertici ±1,0, 0,±1 12 Proponiamo due diverse soluzioni: la prima è più semplice, la seconda è più meccanica Risoluzione sintetica Per il teorema sulle tangenti condotte da un punto esterno ad una circonferenza, la retta AC è bisettrice dell'angolo BCO Per lo stesso teorema, la retta A'C è bisettrice dell'angolo B ' CO Poiché tali angoli sono supplementari (ovvero BCO B ' CO=180 ), allora le loro metà sono complementari (ovvero ACO A' CO=90 ), quindi il triangolo ACA' è rettangolo in C, cvd Abbiamo poi OB OB ' perché tali rette sono rispettivamente perpendicolari a CA e CA' B' A' C O B A

9 (sempre per il teorema sulle tangenti ad una circonferenza), quindi anche il triangolo BOB' è rettangolo in O, cvd Osserviamo inoltre che BB ' AB (in quanto raggio e tangente in B), AC OB, quindi OBB'= BAC (perché l'angolo tra due rette è uguale all'angolo tra le rispettive perpendicolari) Ma, essendo BAC= CAO, dalla proprietà transitiva dell'uguaglianza segue che OBB '= CAO Quindi, i triangoli rettangoli ACA' e BOB', avendo un altro angolo congruente, sono simili per il primo criterio Volendo utilizzare un procedimento più meccanico, potremmo porre ad esempio BAC= ed esprimere le ampiezze di tutti gli angoli della figura in funzione di a Otterremmo che i triangoli considerati hanno angoli che misurano rispettivamente 90, a e 90, riottenendo così i precedenti risultati Applicando il secondo teorema di Euclide al triangolo rettangolo ACA', ricaviamo: OC 2 =AO A' O=9 OC=3 D'altra parte, CB=CO=CB' per il solito teorema sulle tangenti alla circonferenza, quindi BB '=6 Il rapporto di similitudine tra i due triangoli considerati è quindi: k= AA' BB ' =10 6 =5 3, mentre il rapporto delle loro aree è S ACA ' =k 2 = 25 S BOB ' 9 Risoluzione analitica Riferiamo il piano ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali in modo che il punto di tangenza O sia l'origine degli assi e la tangente r coincida con l'asse delle ordinate Possiamo quindi prendere A 9,0 e A' 1,0 Le equazioni delle due circonferenze sono rispettivamente: x 9 2 y 2 =81 x 2 y 2 18 x=0 e x 1 2 y 2 =1 x 2 y 2 2 x=0 Consideriamo una retta generica di equazione y=mx q mx y q=0 e le imponiamo di essere tangente ad entrambe le circonferenze (ovvero, che le distanze dei centri delle circonferenze dalla retta siano uguali ai rispettivi raggi): { 9 m q m 2 1 =9 81 m2 18 mq q 2 =81 m mq q 2 =81 m q m 2 1 =1 m2 2 mq q 2 =m mq q 2 =1 Sottraiamo membro a membro le due equazioni: 20 mq=80 mq=4 Sostituiamo nella seconda equazione: q 2 =9 q=±3 m=± 4 3 Scegliendo i segni positivi, otteniamo l'equazione della tangente comune s: y= 4 x 3, che 3

10 interseca l'asse y in C 0,3 Calcolo i coefficienti angolari m AC = 1/3 e m A' C =3 : poiché essi sono inversi ed opposti, le rette AC e A'C sono perpendicolari, e quindi il triangolo ACA' è rettangolo in C, cvd Calcoliamo le coordinate dei punti di tangenza B e B' mettendo a sistema le equazioni della retta s e delle due circonferenze: { x2 y 2 18 x=0 y=4/3 x 3 { x2 y 2 2 x=0 y=4/3 x 3 25 x 2 90 x 81=0 B 9 5, 27 5 ; 25 x 2 90 x 81=0 B' 9 5, 3 5 Calcoliamo i coefficienti angolari m OB ' = 1/3 e m OB =3 : poiché sono inversi ed opposti, le rette OB' e OB sono perpendicolari, e quindi il triangolo BOB' è rettangolo in O, cvd Calcoliamo tramite la formula della distanza tra due punti le lunghezze dei lati dei due triangoli: AA'=10, AC=3 10, A' C= 10 ; BB '=6, BO=9 10/5, BO '= 10/5 Poiché le misure dei lati sono in proporzione, e il loro rapporto comune è k =5/3, allora i due triangoli sono simili per il terzo criterio, ed hanno rapporto di similitudine k, da cui si calcola il rapporto delle aree come nel primo metodo 13Due curve si dicono tangenti in un punto se hanno la stessa retta tangente in quel punto Determiniamo l'equazione della retta t tangente alla parabola y=x 2 1 nel punto P 1, 2 : m tg =2 ax 0 b=2 y 2=2 x 1 y=2 x I centri delle circonferenze si trovano quindi sulla retta passante per P e perpendicolare a t: y 2= 1/2 x 1 y= 1 2 x 5 2 Questo è il luogo richiesto 14Se indichiamo con n il numero degli intervalli di tempo in cui il numero dei batteri triplica, allora il numero di batteri dopo n intervalli è: N n =3 n N 0 Poiché ogni intervallo dura due giorni, indicando con t il tempo trascorso in giorni, abbiamo: t=2 n n=t /2 Quindi: N t =3 t /2 N 0 Poiché 6 ore=0,25 giorni, il corrispondente aumento percentuale è: N 0,25 N 0 N 0 100= 3 0,25/ ,7% In maniera analoga: N 0,75 N 0 N 0 100= 3 0,75/ ,0% 15Per semplicità, utilizziamo le seguenti approssimazioni: trascuriamo il fatto che un mese è composto da un numero finito di minuti (esattamente =43200 );

11 supponiamo che il costo della conversazione venga addebitato in maniera continua al variare del tempo, e non a scatti discreti 1 Dal testo ricaviamo che: f x =0,1 x 10 con x 0 Poiché la funzione f x è lineare, il suo grafico è una semiretta (in realtà un segmento) avente origine nel punto di coordinate 0,10 e pendenza positiva m=0,1 La posizione dell'origine ci informa che, se in un mese non vengono effettuate conversazioni, il costo pagato è il solo canone fisso di 10 ; il coefficiente angolare ci fornisce invece il costo per ogni minuto di conversazione (come richiesto dal testo) Abbiamo poi g x = f x = 10 x x Poiché l'equazione è del tipo 0,1= 0,1 x 10 x y= ax b cx d, g x è una funzione omografica, il cui grafico è rappresentato da un arco di iperbole equilatera avente asintoto orizzontale Per Per y=0,1 e asintoto verticale x=0 x 0 la funzione è monotòna decrescente x 0 il costo al minuto tende all'infinito, a causa del canone mensile fisso; all'aumentare del tempo di conversazione il costo al minuto decresce e, quando x, tale costo tende a 0,10, in quanto il canone fisso diventa sempre meno influente 2 Imponiamo g x 1 = g x 0 2 con x 0 0,1 x 10 1 = 0,1 x 10 0 x 1 2 x 0 0,2 x 0 x 1 20 x 0 =0,1 x 0 x 1 10 x ,1 x 0 x 1 =20 x 0 x 1 = 20 x ,1 x 0 La funzione ricavata è ancora una funzione omografica il cui grafico passa per l'origine ed ha asintoto orizzontale y= 200 e asintoto verticale x=100 L'arco della funzione che ha significato per il problema è quello che si trova nel primo quadrante, per 0 x 100 Dal grafico vediamo che, all'aumentare di x 0, aumenta anche x 1 molto più velocemente di quanto non aumenti x 0, fino a che, quando x x 1 Per x 0 100, x 1 sarebbe negativo, il che non è accettabile per il problema

12 Questo significa che, se x 0 100, possiamo determinare un numero (sempre maggiore) di minuti di conversazione x 1 che ci permetta di dimezzare il costo medio della conversazione, mentre per x non è più possibile esaudire questa richiesta 4 Quando l'operatore inserisce il sovrapprezzo, dobbiamo distinguere due casi: per 0 x 500 le funzioni f x e g x restano quelle determinate in precedenza Per x 500 il costo totale è invece dato da tre termini: il canone fisso; il costo dei primi 500 minuti di conversazione, al prezzo di 0,10 /min; il costo dei successivi minuti di conversazione, al prezzo di 0,20 /min: 10 0, ,20 x 500 =0,2 x 40 La funzione che esprime il costo complessivo è quindi: f x = { 0,1 x 10 per 0 x 500 0,2 x 40 per x 500 Il suo grafico è costituito da un segmento di pendenza m 1 =0,1 e ordinata all'origine q 1 =10 e da una semiretta di pendenza m 2 =0,2 il cui prolungamento avrebbe ordinata all'origine q 2 =20 Come era prevedibile, i due rami del grafico si raccordano con continuità nel punto di coordinate 500,60, in modo che nel passare da una tariffa all'altra non si abbia un salto nel costo Anche la funzione x 10 g x = ={0,1 f x x x 0,2 x 40 x Il grafico di g x è definita per casi come segue: per 0 x 500 per x 500 g x è quindi composto da due archi di iperbole equilatera, la prima di asintoti x=0 e y=0,1, e la seconda di asintoti x=0 e y=0,2 I due archi si raccordano con continuità nel punto di coordinate 500 ;0,12 In questo caso, quindi, il costo medio al minuto diminuisce all'aumentare del tempo di conversazione per 0 x 500, fino al valore 0,12 /min; quindi aumenta per x 500, tendendo al valore asintotico 0,20 /min 16Determiniamo l'equazione della traiettoria (rettilinea) della nave P imponendo il passaggio per i punti P 1 e P 2 : { 14 m q=13 12 m q=11 { m=1 q= 1 y=x 1

13 La circonferenza che rappresenta il contorno dell'area illuminata dal faro ha equazione: x 2 y 1 2 = Troviamo l'equazione del punto in cui la nave P avvista il faro F: { y=x 1 x 2 y 1 2 =10 2 x 2 x 2 2 =10 2 x 2 2 x 48=0 x 6 x 8 =0 La soluzione x 1 = 6 non è accettabile, in quanto non corrisponde ad un punto del primo quadrante, quindi il punto richiesto ha coordinate P 3 8,7 Il punto in cui la nave P raggiunge la minima distanza dal faro F è il piede della perpendicolare condotta da F alla traiettoria seguita da P Tale perpendicolare ha equazione y= x 1 Il punto di minima distanza ha quindi coordinate: { y=x 1 y= x 1 x 1= x 1 x=1 y=0 P 4 1,0 Poiché la nave P si è spostata da P 1 a P 2 in 10 minuti, la sua velocità in miglia al minuto è: v P = P P 1 2 = 2 2 t 10 Il tempo che essa impiega a spostarsi da P 3 a P 4 è quindi: t= P P 3 4 = 7 2 =35 min v P 2/5 La minima distanza di P da F è PF 4 = 2 miglia nautiche 2 Ricaviamo le componenti (in miglia al minuto) della velocità delle navi P e Q: v x P = x t =12 14 = 0,2 ; v 10 y P = y t =11 13 = 0,2 ; 10 v x Q = x t =11 12 = 0,1 ; v 10 y Q = y t = =0,1 Le equazioni parametriche del moto delle due navi sono quindi: { x =v t x = 0,2t 14 P x P 0 P y P =v y P t y 0 P = 0,2t 13 { ; x =v t x = 0,1t 12 Q x Q 0Q y Q =v y Q t y 0Q =0,1t 2 Imponiamo che la distanza tra le due navi sia di 9 miglia: x P x Q 2 y P y Q 2 =9 2 0,2t 14 0,1t ,2t 13 0,1t 2 2 =9 2 0,01t 2 0,4 t 4 0,09t 2 9 t 225=81 0,1t 2 9,4 t 148=0 t= 9,4±5,4 t 0,2 1 =20 min ; t 2 =74 min Poiché il testo chiede l istante in cui per la prima volta la distanza tra P e Q è pari a 9 miglia, la soluzione accettabile è t 1

14 La posizione di P in tale istante è: { x =v t x = 0, =10 P x P 1 0 P y P =v y P t 1 y 0 P = 0, =9 P 10, La funzione che esprime la distanza tra le due navi in funzione del tempo è: d PQ t = x P x Q 2 y P y Q 2 = 0,01t 2 0,4t 4 0,09t 2 9 t 225= 0,1t 2 9,4t 229 La distanza è minima quando è minimo il radicando: d 2 PQ =0,1t 2 9,4t 229 con t 0 Quest'ultima funzione ha come grafico una parabola con la concavità rivolta verso l'alto, e quindi assume valore minimo in corrispondenza del vertice: t min = b 2 a = 9,4 =47 min 0,2 La distanza minima è: d PQ 47 = 0, , ,85 miglia a Leggi orarie (equazioni parametriche della traiettoria): x M =2t, y M =t La retta LM rappresenta il raggio di luce che illumina la mosca ad un certo istante: m LM = y x =t 10 2t, q=10 ; quindi l'equazione di LM è y= t 10 2t x 10 L'ombra è data dall'intersezione della retta LM con l'asse x: b La curva ottenuta è il grafico di una funzione omografica (iperbole equilatera avente gli asintoti paralleli agli assi cartesiani) di centro y=0 x O = 20 t 10 t x C 10, 20, asintoti di equazione x=10, y= 20, che interseca gli t assi cartesiani nell'origine e che attraverso una traslazione può essere riportata alla forma xy=k con k 0 c La legge oraria del moto dell'ombra è valida per 0 t 10, in quanto per t 0 la mosca non ha ancora preso il volo, e per t 10 essa ha raggiunto un'altezza maggiore o uguale di quella della lampadina, e quindi non proietta più la sua ombra sull'asse x La parte di grafico corrispondente è quella evidenziata in rosso d La velocità istantanea è la pendenza del grafico posizione-tempo nell'istante dato

15 Per t=5 x O = =20 La retta generica per P 5, 20 ha equazione: x 20=m t 5 x=mt 5 m 20 Sostituiamo nell'equazione x=h t : 20 t 10 t =mt 5 m t=10 mt 50 m 200 mt 2 5 mt 20 t mt m t 50 m 200=0 Imponiamo la condizione di tangenza =0 : 40 15m 2 4 m 50 m 200 = m 225 m m m=0 25 m m 1600=0 m 2 16 m 64=0 m 8 =0 m=8 Quindi nell'istante t=5 la velocità dell'ombra è v O =8