TECNICA DELLE ASSICURAZIONI

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1 TECNICA DELLE ASSICURAZIONI E DELLE FORME PENSIONISTICHE Prof. Annamaria Olivieri a.a. 25/26 Esercizi: eso. Una socieà di calcio si impegna a risarcire con 5 euro il proprio allenaore, in caso di licenziameno prima del ermine del campionao. La probabilià di licenziameno è valuaa pari a.25. (a) Definire la variabile aleaoria X che esprime il risarcimeno aleaorio a carico della socieà di calcio. (b) Calcolare valore aeso, varianza e scaro quadraico medio di X. (c) Cosruire la funzione di riparizione di X. 2. Un carico può essere danneggiao durane il rasporo. Sia X l imporo aleaorio della perdia, che ha deerminazioni possibili:, 5,, 5, 2 e probabilià rispeive:.9,.2,.5,.2,. (a) Calcolare il valore aeso della perdia, E[X]. (b) Calcolare la varianza della perdia, Var[X], e lo scaro quadraico medio. (c) Calcolare la probabilià che la perdia sia superiore al valore aeso, P[X > E[X]]. (d) Calcolare la probabilià che la perdia sia superiore a 25, P[X > 25]. (e) Specificare qual è la probabilià di assenza di incidene. (f) Cosruire la funzione di riparizione. (g) Calcolare il valore aeso della perdia, nell ipoesi che si verifichi l incidene, E[X X > ]; (h) Perché risula E[X] < E[X X > ]? (i) Esprimere il valore aeso della perdia, E[X], in funzione del valore aeso della perdia sessa condizionao al verificarsi di incideni, E[X X > ], e della probabilià che si verifichino incideni, P[X > ]. 3. Relaivamene ad un carico rasporao, soggeo a perdia parziale o oale durane il rasporo, sono disponibili le segueni informazioni: la frequenza di incidene durane il rasporo è.;

2 in ipoesi di incidene, la perdia media subia è 2. Simare la perdia aesa E[X]. Sulla base delle informazioni disponibili, è possibile sabilire qual è la poenziale perdia massima? E la perdia minima? 4. Un daore di lavoro si impegna ad erogare ai propri dipendeni un imporo C = se subiscono un invalidià permanene a causa di incidene sul lavoro. La probabilià di incidene per dipendene è simaa pari a.; gli incideni sono ipoizzai indipendeni uno dall alro. I dipendeni sono. (a) Elencare le possibili deerminazioni dell esborso oale X a carico del daore di lavoro. (b) Calcolare il valore aeso e la varianza di X. (c) Calcolare la probabilià di assenza di incideni, P[K = ], e la probabilià che si verifichi almeno un incidene, P[K > ]. (d) Calcolare la probabilià che il numero di incideni sia il massimo possibile. (e) Calcolare la probabilià di esborso nullo, P[X = ], e la probabilià di esborso posiivo, P[X > ]. (f) Calcolare il valore aeso dell esborso, nell ipoesi che si verifichi almeno un incidene, E[X X > ]. 5. Un daore di lavoro si impegna ad erogare ai propri dipendeni un imporo C = se subiscono un invalidià permanene a causa di incidene sul lavoro. I dipendeni sono e si ipoizza che gli incideni cosiuiscano eveni indipendeni. Sono disponibili le segueni informazioni: l esborso oale aeso, E[X], è 7; l esborso oale aeso nell ipoesi che si verifichi almeno un incidene, E[X X > ], è Rispondere alle segueni domande. (a) Sulla base dei dai disponibili, è possibile sabilire qual è la probabilià di incidene per dipendene? (b) Sulla base dei dai disponibili, è possibile sabilire qual è la probabilià di assenza di incideni? (c) Se si confrona l enià di E[X X > ] con le possibili deerminazioni dell esborso X, cosa si può dire (in modo approssimao e solo qualiaivo) circa la probabilià di 2 o più incideni (cioè: è ala, bassa, rascurabile)? 6. Un daore di lavoro ha alle proprie dipendenze 5 operai, con mansioni e salari diversi. Si impegna ad erogare al dipendene j (j =, 2,..., 5) l imporo C (j) se subisce un invalidià permanene a causa di inforunio sul lavoro. Gli impori C (j) sono definii nell ordine come segue, 2, 3, 4, 5 Per ogni dipendene la probabilià di incidene è pari a. e gli incideni sono ipoizzai cosiuire eveni indipendeni. 2

3 (a) Dire quali sono l esborso minimo e l esborso massimo a carico del daore di lavoro. (b) Calcolare il valore aeso dell esborso oale X a carico del daore di lavoro. (c) Qual è la probabilià di assenza di incideni? E la probabilià di almeno un incidene? (d) Qual è l esborso aeso in ipoesi di almeno un incidene, E[X X > ]? 7. Fare riferimeno ai dai dell esercizio 4, ma considerare dipendeni (anziché ). (a) Calcolare la probabilià di assenza di incideni, P[K = ], e la probabilià che si verifichi almeno un incidene, P[K > ]. (b) Confronare i risulai oenui con gli analoghi risulai oenui nell esercizio E2.4. Perché diminuisce la P[K = ] (e, per conro, aumena la P[K > ])? (Fornire un inerpreazione in relazione al diverso numero di dipendeni.) 8. Un immobile indusriale può essere colpio, nel corso dell anno, da uno o più incendi. Per ciascun possibile incendio, l imporo del danno è aleaorio. Per il numero di incendi, si assume la seguene disribuzione di probabilià deerminazioni probabilià Il numero di incendi, N, e gli impori del danno per incendio, X, X 2,..., sono ipoizzai indipendeni; per le le variabili aleaorie X, X 2,... si adoa la sessa disribuzione di probabilià, definia come segue Calcolare (a) il numero aeso di incendi, E[N]; (b) il danno aeso per incendio, E[X ]; (c) il danno oale aeso, E[X]. deerminazioni 25 5 probabilià Un assicuraore sooscrive conrai RCAuo di duraa annuale. Sulla base della propria esperienza, ipoizza che nel corso dell anno possano verificarsi in media 5 incideni ogni conrai e che l esborso medio per incidene possa essere. (a) Simare il valore aeso del numero di incideni per conrao, E[N], e del danno aeso del k-esimo incidene, E[X k ]. (b) Soo opporune ipoesi (richiamarle brevemene), calcolare il danno aeso oale per conrao, E[X]. 3

4 . Due assicuraori offrono conrai RCAuo di duraa annuale. Il primo assicuraore ha maurao la seguene esperienza in un porafoglio di conrai # incideni 2 o più # conrai 82 8 Il secondo assicuraore ha maurao la seguene esperienza in un porafoglio di 2 conrai # incideni o più # conrai (a) Sulla base dell esperienza mauraa dal primo assicuraore, simare il numero aeso di incideni per conrao, E[N]. (b) Ripeere, uilizzando quesa vola l esperienza mauraa dal secondo assicuraore. (c) Confronare i risulai rovai e commenare. Rifleere, in paricolare, sull evenuale diverso significao delle due sime oenue.. Un assicuraore, che offre coperure conro gli incendi, gesisce due porafogli disini (relaivi, rispeivamene, ad immobili indusriali e immobili civili). Ciascun porafoglio è cosiuio da conrai. Nell arco di un anno l assicuraore ha regisrao eveni di incendio nel primo e eveni di incendio nel secondo porafoglio. Nel primo porafoglio i conrai che hanno denunciao l accadimeno di incendi sono sai 6; nel secondo sono sai 9. (a) Simare, per i due porafogli, il numero aeso di incendi per conrao, E[N]. (b) Scomporre E[N] calcolando il rapporo ra il numero di incendi e il numero di conrai che hanno denunciao l accadimeno di almeno un incendio. Sulla base di ale scomposizione, cosa si può dire circa l acceabilià dell ipoesi di indipendenza ra numero di incendi e imporo del danno per incendio a frone dell esperienza dei due porafogli? 2. Nella abella è riporao il pay-off di due ZCB con scadenza a anno da oggi; S e S 2 rappresenano i due possibili sai del mondo ra un anno. S S 2 X A X B 7 2 Sia p =.4 la probabilià naurale (o fisica o realisica) dello sao del mondo S e p =.6 quella dello sao S 2. Il asso risk-free di mercao è r f =.2. (a) Fornire un esempio di prezzo P B del iolo B coerene con l ipoesi di avversione al rischio. 4

5 (b) Con riferimeno al prezzo P B scelo nel puno precedene, calcolare i. il risk discoun rae che consene di esprimere P B come valore aeso (realisico) del pay-off sconao con asso risk-adjused; ii. le probabilià risk-adjused (o neurali al rischio) che consenono di esprimere P B come valore aeso (aggiusao al rischio) del pay-off sconao con asso risk-free; iii. l aliquoa α che consene di esprimere P B come valore sconao a asso riskfree del valore aeso (realisico) del pay-off ridoo di α vole la varianza del pay-off. 3. Si assuma che 5 individui siano esposi allo sesso ipo di rischio elemenare e decidano di cosiuire un pool. Il danno aleaorio che può subire l individuo j, j =, 2,..., 5, è: { X (j) se E (j) = se Ē (j) Gli eveni E (j), j =, 2,..., 5 (E (j) corrisponde alla siuazione in cui l individuo j subisce una perdia di imporo ), sono rienui indipendeni. Per ciascun individuo, si sima che P[E (j) ] =.3 (j =, 2,..., 5). Denoare con X [P] il danno oale aleaorio che può subire il pool (ovviamene: X [P] = 5 j= X(j) ) e rispondere alle segueni domande. (a) Calcolare il valore aeso e la varianza del danno aleaorio individuale, cioè E[X (j) ] e Var[X (j) ]. (b) Quali sono le possibili deerminazioni del danno oale aleaorio del pool? (c) Calcolare valore aeso, varianza e coefficiene di variazione del danno oale aleaorio del pool, cioè E[X [P] ], Var[X [P] ] e CV[X [P] ]. 4. Fare riferimeno ad un pool di n = rischi indipendeni, ciascuno con possibile perdia x = e probabilià di perdia p =.. (a) Calcolare il coefficiene di variazione dell esborso oale del pool, CV[X [P] ]. (b) Come si modifica il coefficiene di variazione se l imporo della possibile perdia (per ciascun conrao) è x = 5 (invece che x = )? (c) Come si modifica il coefficiene di variazione se il pool è cosiuio da n = 2 5 rischi indipendeni (anziché n = )? 5. Fare riferimeno ad un pool di n = rischi indipendeni, omogenei con riguardo all imporo e alla probabilià della possibile perdia individuale. Si assuma che il coefficiene di variazione dell esborso oale aleaorio del pool X [P] sia CV[X [P] ] = 2. Come si modificherebbe il coefficiene di variazione se il pool consisesse di (a) 4n = 4 rischi? (b) n 2 = 5 rischi? 5

6 6. Fare riferimeno ad un pool di n = rischi indipendeni, omogenei con riguardo all imporo della possibile perdia (x = 5 per ciascun rischio) e alla probabilià di perdia (p =.2 per ciascun rischio). Si ipoizzi che il danno oale aleaorio del pool sia finanziao a inizio anno con conribui individuali deerminai in funzione del principio di equià. (a) Qual è l imporo del conribuo individuale? (b) E cero che l ammonare oale dei conribui coprirà il danno oale subio dal pool? 7. Fare riferimeno ad un pool di n = 5 rischi indipendeni, omogenei con riguardo all imporo (x = per ciascun rischio) e alla probabilià (p =. per ciascun rischio) della possibile perdia individuale. L accordo ra i parecipani al pool prevede che a fine anno l esborso oale aleaorio sarà finanziao da ui i parecipani, con conribui individuali idenici. (a) Calcolare il valore aeso e la varianza del danno aleaorio individuale. (b) Calcolare il valore aeso e la varianza del conribuo individuale. (c) Come si modificano valore aeso e varianza del conribuo individuale se il pool è cosiuio da rischi (anziché 5)? (d) Confronare i risulai oenui e commenare brevemene. 8. Una socieà di muo soccorso ha 5 soci. All inizio dell anno, ciascun socio versa un conribuo di euro. Ciascun socio può subire nell anno una perdia di euro. (a) Qual è il beneficio ricevuo, alla fine dell anno, da ciascun socio che ha subio la perdia se il numero dei soci che hanno subio la perdia è 4? (b) E se il numero dei soci che hanno subio la perdia è? (c) Come sono uilizzae dalla socieà di muuo soccorso le evenuali risorse residue? (d) Perché ra i dai del problema non è specificaa la probabilià, per ciascun socio, di subire la perdia? Parimeni, perché non si dichiara se gli eveni che danno luogo alle perdie individuali sono socasicamene dipendeni o indipendeni? 9. Una coperura assicuraiva, di duraa annuale, eroga un beneficio di ammonare prefissao al verificarsi di un dao eveno. L imporo del beneficio è e la probabilià realisica di sinisro è.8. L assicuraore calcola il premio neo Π in base al principio di equià, adoando una probabilià p prudenziale. Il differimeno emporale è rascurao. (a) Calcolare il premio equo P (NB: premio equo secondo la probabilià realisica di sinisro, p). (b) Calcolare la probabilià p che, impiegaa per calcolare il premio neo, consene di realizzare un uile aeso pari a 2 per ciascun conrao. Calcolare quindi il premio neo Π. 6

7 (c) Calcolare l uile effeivamene realizzao in un porafoglio cosiuio da conrai in cui si verifica sinisro e in un porafoglio cosiuio da conrai in cui si verificano 8 sinisri. (d) Dopo aver noao che per enrambi i porafogli del puno precedene il numero di sinisri è (almeno approssimaivamene) pari al valore aeso realisico, commenare perché per il primo porafoglio l uile realizzao è nullo, menre per il secondo è pari al caricameno di sicurezza. 2. Un assicuraore propone un conrao di capiale differio di duraa 5 anni a persone di eà 45. La base di scenario è: i =.2, 5 p 45 =.98. (a) Fornire un esempio di base di pricing che deermina un uile aeso posiivo. (b) Fornire un esempio di base di pricing che deermina un uile aeso negaivo (cioè un aspeaiva di perdia). (c) Nelle due ipoesi, supporre che a scadenza ui gli assicurai che hanno sooscrio il conrao siano in via. Calcolare il valore auale (all epoca ) dell uile (o della perdia) conseguio. Commenare il risulao. (d) Nel caso il premio neo sia calcolao con la base ecnica del puno (b), dire se è comunque possibile realizzare un profio; in caso affermaivo, fornire un esempio, in caso conrario spiegare il moivo dell impossibilià di realizzare uile posiivo. 2. Un assicuraore propone un conrao di assicurazione emporanea caso more di duraa 3 anni; il conrao è rivolo a persone di eà 45. Il beneficio è C =. Il premio neo Π è calcolao secondo il principio di equià, ponendo i = e adoando le segueni probabilià di decesso q 45 =.2 q 45 =.25 2 q 45 =.32 Il rendimeno degli invesimeni realisicamene previso è i =.3 e le probabilià realisiche di decesso sono valuae come segue (a) Calcolare il premio neo Π. q 45 =.2 q 45 =.27 2 q 45 =.35 (b) Calcolare l uile o la perdia aesa (in valore auale all epoca ). (c) Ipoizzare che il rendimeno degli invesimeni realisicamene aeso sia i =. (anziché i =.3). Calcolare l uile o la perdia aesa. (d) Confronare e commenare i risulai oenui ai puni (b) e (c). 22. Un assicuraore offre una coperura assicuraiva elemenare (duraa annuale, al più un sinisro all anno, beneficio prefissao). Il asso di premio applicao è p =.6. Sooscrivono il conrao rischi con probabilià di sinisro p =.4 e rischi con probabilià di sinisro p 2 =.7. Il beneficio assicurao è per ui i conrai. Quali composizioni del porafoglio consenono di realizzare l equilibrio auariale (cioè esborsi aesi in misura uguale ai premi incassai)? 7

8 23. Un assicuraore offre una coperura assicuraiva elemenare (nel senso specificao nell esercizio precedene), con beneficio assicurao, e accea rischi che abbiano probabilià di sinisro p =.4 oppure p 2 =.. Si supponga che nel porafoglio siano preseni n = rischi con probabilià di sinisro p e n 2 = rischi con probabilià di sinisro p 2. (a) Calcolare il asso di premio di equilibrio p che dovrebbe essere adoao in una ariffa con premio non differenziao. (b) Si assuma che l assicuraore preferisca adoare assi di premio differenziai, p e p 2, fissando p 2 =.8. Calcolare il asso di premio di equilibrio p. (c) Dao il premio non differenziao p del puno (a), calcolare il risulao aeso di porafoglio ipoizzando, in alernaiva, che il numero effeivo di conrai sipulai sia i. n =, n 2 = 2 ; ii. n = 3, n 2 = 3. (d) Ripeere con riferimeno ai premi p e p 2 del puno (b). (e) Commenare brevemene i risulai rovai. 24. Un assicuraore offre una coperura assicuraiva elemenare e accea rischi con probabilià di sinisro p =.2 o p 2 =.5. Il asso di premio è non differenziao e pari a p =.3. Ipoizzando che il beneficio assicurao sia, calcolare il risulao aeso di porafoglio nei segueni casi: (a) porafoglio cosiuio da 5 rischi con probabilià p e rischi con probabilià p 2 ; (b) porafoglio cosiuio da rischi con probabilià p e 5 rischi con probabilià p 2 ; (c) porafoglio cosiuio da 5 rischi, ui con probabilià p 2. Rispondere inolre alle segueni domande. (d) Nel porafoglio al puno (a), quale dovrebbe essere il asso di premio non differenziao che consene di realizzare l equilibrio? (e) Con riferimeno al porafoglio al puno (b), supporre che i rischi nella classe abbiano beneficio assicurao, menre i rischi nella classe 2 abbiano beneficio assicurao 2. Quale asso di premio non differenziao dovrebbe essere applicao per realizzare l equilibrio? 25. Un assicuraore offre un coperura assicuraiva elemenare e accea rischi con probabilià di sinisro p =. oppure p 2 =.3. L assicuraore applica un asso di premio non differenziao pari a p =.2. (a) Si assuma che il beneficio assicurao sia per ui i rischi; quali sono le composizioni del porafoglio che realizzano l equilibrio auariale? (b) Ipoizzare ora che alcuni rischi abbiano beneficio assicurao, menre alri 2. Fornire un esempio di composizione di porafoglio che consene di realizzare l equilibrio. 8

9 26. Un assicuraore offre una coperura assicuraiva elemenare (duraa annuale, al più un sinisro all anno, beneficio prefissao). Cosiuisce un porafoglio di n conrai, che rappresenano rischi indipendeni, ciascuno con probabilià di sinisro p =. e ui con somma assicuraa x. (a) Porre x = e n =. Calcolare la varianza dell uile di porafoglio e l indice di rischio del porafoglio. (b) Come cambiano varianza e indice di rischio se il numero di conrai è n = 9? (c) E se il numero di conrai è n = e la somma assicuraa x = 5? (d) E se il numero di conrai è n =, la somma assicuraa x = e la probabilià di sinisro p =.2? 27. Un porafoglio di coperure elemenari è cosiuio da conrai con somma assicuraa e 5 conrai con somma assicuraa 4. (a) Calcolare il valore medio assicurao e la varianza delle somme assicurae. (b) Supponendo che la probabilià di sinisro sia p =.2 per ui i conrai, calcolare il risarcimeno oale aeso di porafoglio. (c) Ipoizzando inolre che i rischi siano indipendeni, calcolare varianza e scaro quadraico medio del risarcimeno oale di porafoglio. 28. Un assicuraore offre una coperura assicuraiva elemenare e cosiuisce un porafoglio di n conrai, che cosiuiscono rischi indipendeni, ciascuno con probabilià di sinisro p =.2. (a) Calcolare la varianza dell uile di porafoglio e l indice di rischio supponendo, alernaivamene, che i. il numero di conrai sia n = 2, di cui con somma assicuraa e con somma assicuraa 2; ii. il numero di conrai sia n = 2, di cui 8 con somma assicuraa e 2 con somma assicuraa 2. (b) Confronare i risulai oenui e commenare. 29. Si consideri un porafoglio di conrai elemenari, cosiuio da n rischi indipendeni, ciascuno con probabilià (realisica) p di sinisro. L assicuraore calcola il premio puro in modo che la probabilià di perdia sia pari al 5%. (a) Calcolare il caricameno oale di sicurezza per il porafoglio e il caricameno di sicurezza per unià di premio equo per i segueni porafogli: i. A: p =., n =, x = per ui i conrai; ii. B: p =.2, n =, x = per ui i conrai; iii. C: p =., n =, x = per ui i conrai; iv. D: p =., n =, x = per ui i conrai; v. E: p =., n = ; la somma assicuraa è 8 per i primi 5 conrai, 2 per i rimaneni 5. 9

10 Eseguire il calcolo usando l approssimazione normale e considerando che, per una disribuzione normale sandard, Φ (.95) = (cioè: è la deerminazione in corrispondenza alla quale la funzione di riparizione Φ assume valore ε =.95: Φ(.64485) =.95). (b) Confronare i risulai e commenare. 3. Con i dai dell esercizio precedene, calcolare l ammonare di risorse richiese (capiale proprio + margine di sicurezza) in valore assoluo e per euro di premio equo affinché la probabilià di defaul sia pari allo.5%. Calcolare, inolre, l indice di sabilià relaiva. Impiegare l approssimazione normale, enendo cono che per una disribuzione normale sandard Φ (.995) = Si assuma che in un dao porafoglio l imporo M + m [P] = 25 sia richieso per avere una daa probabilià di defaul (ad esempio,.2%). Il caricameno di sicurezza incluso nel premio è, per l inero porafoglio, m [P] = 2. Quali valori del coso opporunià del capiale r sono compaibili con l obieivo di creare valore (in ermini aesi)? 32. Si assuma che in un dao porafoglio l imporo M + m [P] = 22 sia richieso per avere una daa probabilià di defaul (ad esempio,.5%). Se il coso opporunià del capiale è r =., quali valori di M consenono di creare valore (in ermini aesi)? 33. In una riassicurazione Sop-Loss, sono fissae la priorià globale Λ = e la poraa massima Θ = 3. Calcolare l imporo X [ced] del risarcimeno a carico del riassicuraore nel caso in cui il risarcimeno oale di porafoglio, X [P] sia pari a: (a) X [P] = 5 ; (b) X [P] = 75 ; (c) X [P] = Un assicuraore gesisce un porafoglio di 5 conrai elemenari (duraa un anno, al massimo un sinisro per conrao, risarcimeno per conrao fissao), ciascuno con beneficio assicurao e probabilià di sinisro p =.5. Il premio neo è calcolao includendo un caricameno di sicurezza pari al 2% del premio equo. L assicuraore sooscrive una riassicurazione quoa-share, con aliquoa di conservazione a =.7 per ciascun conrao. (a) Calcolare l imporo dell uile aeso conservao dall assicuraore, supponendo che il riassicuraore accei la base ecnica dell assicuraore e la cessione del premio neo in misura pari al 3%. (b) Confronare l esborso aeso e lo scaro quadraico medio dell esborso per il porafoglio in assenza e in presenza di riassicurazione (ipoizzare l indipendenza ra i rischi assicurai). 35. Un assicuraore gesisce un porafoglio di coperure elemenari (duraa un anno, al più un sinisro per conrao, risarcimeno per conrao di imporo fissao), sipulae

11 da rischi indipendeni, ciascuno con probabilià di sinisro p =.2. Nel porafoglio sono preseni conrai con somma assicuraa 2 e 5 conrai con somma assicuraa 4. Il caricameno di sicurezza è il % del premio equo. Calcolare: (a) il valore aeso, la varianza e lo scaro quadraico medio del risarcimeno di porafoglio; (b) l uile aeso del porafoglio. L assicuraore decide di sipulare una riassicurazione per eccedene di somma, con pieno di conservazione x [re] = 3. Il riassicuraore concorda sulla base ecnica e accea che l assicuraore conservi l uile, per ogni conrao, in modo proporzionale all aliquoa di conservazione fissaa per il conrao. (c) Calcolare il valore aeso, la varianza e lo scaro quadraico medio del risarcimeno conservao di porafoglio. (d) Calcolare l uile aeso conservao. (e) L uile aeso conservao è diminuio più o meno foremene dello scaro quadraico medio del risarcimeno conservao di porafoglio? 36. Un assicuraore gesisce un porafoglio di coperure elemenari (duraa un anno, al più un sinisro per conrao, risarcimeno per conrao di imporo fissao), sipulae da rischi indipendeni, ciascuno con probabilià di sinisro p =.5. Nel porafoglio sono preseni conrai con somma assicuraa 5, 5 conrai con somma assicuraa e conrai con somma assicuraa 4. Il caricameno di sicurezza è il % del premio equo. Calcolare: (a) il valore aeso, la varianza e lo scaro quadraico medio del risarcimeno di porafoglio; (b) l uile aeso del porafoglio. L assicuraore decide di sipulare una riassicurazione definia a livello di conrao. Il riassicuraore concorda sulla base ecnica e accea che l assicuraore conservi l uile, per ogni conrao, in modo proporzionale all aliquoa di conservazione fissaa per il conrao. Considerare, in alernaiva, una riassicurazione per eccedene di somma con pieno di conservazione x [cons] = 8 e una riassicurazione quoa-share con aliquoa di conservazione a =.7 e calcolare, in ciascun caso, le segueni quanià. (c) Valore aeso, varianza e scaro quadraico medio del risarcimeno conservao di porafoglio. (d) Uile aeso conservao.

12 (e) Rapporo ra l uile aeso conservao e l uile aeso in assenza di riassicurazione; rapporo ra lo scaro quadraico medio del risarcimeno conservao di porafoglio e scaro quadraico medio del risarcimeno di porafoglio in assenza di riassicurazione. (f) Sulla base dei rappori calcolai al puno precedene, si può dire qual è la poliica riassicuraiva migliore? 37. In una riassicurazione Excess-of-Loss (XL) la priorià Λ è fissaa pari a 5. Su un conrao, nell anno si verificano 4 sinisri, rispeivamene con risarcimeno: (a) X = 2 5; (b) X 2 = ; (c) X 3 = 7 5; (d) X 4 = 2 5. Calcolare, per i quaro sinisri, l imporo e l aliquoa del risarcimeno a carico del riassicuraore. 38. Considerare la seguene avola di moralià Calcolare le segueni probabilià. x l x (a) Tasso di sopravvivenza per un 5-enne, p 5. (b) Probabilià per un 5-enne di essere in via ra 5 anni, 5 p 5. (c) Probabilià per un 55-enne di essere in via ra 5 anni, 5 p 55. (d) Probabilià per un 5-enne di essere in via ra anni, p 5 ; esprimere la probabilià p 5 in funzione delle probabilià 5 p 5 e 5 p 55. (e) Tasso di moralià per un 5-enne, q 5. (f) Probabilià di decesso enro 5 anni per un 5-enne, 5 q 5. (g) Probabilià di decesso ra le eà 55 e 56 per una persona di eà correne 5, 5 q 5. 2

13 Negli esercizi segueni, se non diversamene specificao, impiegare la avola di moralià dell esercizio 38 e il asso d ineresse del 2%. 39. Calcolare il valore auariale di un beneficio di capiale differio sooscrio da un 5-enne, duraa anni. 4. Calcolare il valore auariale di una rendia vializia anicipaa di raa uniaria, duraa 3 anni, relaiva ad una persona di eà 5. Qual è, invece, il valore auariale di una rendia posicipaa di duraa 2 anni, fermi resando gli alri parameri? 4. Calcolare il valore auariale di un assicurazione emporanea caso more, sipulaa da un 5-enne, duraa 3 anni. 42. Calcolare il valore auariale di un assicurazione misa ordinaria, eà di ingresso 5 anni, duraa 3 anni. 43. (a) Calcolare il premio unico per un assicurazione di capiale differio sipulaa da un 5-enne, di duraa anni e somma assicuraa. (b) Calcolare, inolre, il rendimeno equivalene g 5, ale che il prezzo di uno ZCB di valore nominale, scadenza ra anni e rendimeno g 5, sia uguale al premio dell assicurazione di capiale differio. (c) Perché risula g 5, > 2%? 44. Considerare i segueni dai: eà d ingresso x = 5, duraa m = 3, somma assicuraa. Calcolare per un conrao di assicurazione emporanea caso more, per un conrao di capiale differio (non conroassicurao) e per un conrao di assicurazione misa ordinaria le segueni quanià: (a) premio unico e premio annuo cosane pagabile per re anni; (b) premi naurali. 45. Considerare un assicurazione emporanea caso more di duraa m = 3 anni, eà di ingresso x = 5, beneficio assicurao C = in caso di decesso nel primo anno, C 2 = 8 in caso di decesso nel secondo anno, C 3 = 6 in caso di decesso nel erzo anno. Calcolare: (a) premio unico; (b) premio annuo cosane pagabile per re anni; (c) premi naurali. Rispondere inolre, commenando, alla seguene domanda: (d) il premio annuo cosane calcolao al puno (b) rispea la condizione di finanziameno? 46. Considerare un assicurazione di capiale differio (non conroassicurao) sipulaa a premi unici ricorreni, eà d ingresso x = 5, duraa m = 3. All inizio di ogni anno il conraene paga un premio (unico ricorrene) pari a. 3

14 (a) Calcolare il beneficio finanziao da ciascun premio e il beneficio complessivo maurao a scadenza. (b) Confronare il beneficio complessivo maurao a scadenza oenuo al puno precedene con il beneficio di un assicurazione di capiale differio non conroassicurao (sessa eà, duraa e asso ecnico del conrao precedene), sipulaa a premio annuo cosane, ciascun premio annuo essendo fissao pari a. Come si spiega il risulao? 47. Ripeere le valuazioni eseguie nell esercizio precedene, considerando quesa vola un assicurazione misa ordinaria. 48. Con riferimeno alle coperure dell esercizio 44 (a) calcolare (per ogni ipo di conrao) all epoca e all epoca la riserva a premio unico e la riserva a premio annuo cosane; (b) verificare che è soddisfaa la relazione ricorrene: (V + P) ( + i ) = (C V ) q x + V (non è necessario eseguire la verifica sia per il caso del premio unico sia per quello del premio annuo per ui i ipi di conrao; considerare almeno in un caso il premio unico e almeno in un caso il premio annuo). 49. Considerare i segueni dai: eà d ingresso x = 5, duraa m = 3, beneficio assicurao, asso ecnico 2%. Considerare un conrao di assicurazione emporanea caso more, un conrao di capiale differio (non conroassicurao) e un conrao di assicurazione misa ordinaria. (a) Calcolare, per ciascun conrao, i premi di rischio e i premi di risparmio all epoca e all epoca ; supporre (alernaivamene) che il conrao sia sipulao a premio unico oppure a premio annuo. (NB: premio unico, premio annuo e riserva all epoca sono già sai calcolai negli esercizi 44 e 48; la riserva all epoca deve essere consideraa un isane prima del pagameno del premio, anche nel caso del premio unico, e perano vale.) (b) Calcolare (per ciascun conrao, considerando in alernaiva regime di premio unico e regime di premio annuo) la riserva maemaica all epoca 2. Verificare che vale la relazione: V 2 = (V + P [S] ) ( + i ). 5. Considerare un assicurazione caso more via inera con beneficio prefissao (ad esempio, C = ) e premio annuo pagabile per s anni. Rispondere alle segueni domande. (a) Il premio di rischio, P [R], risula? (b) Il premio di rischio, P [R], risula del premio naurale, P [N]? (c) Il premio di risparmio, P [S] risula? Moivare in ui i casi le rispose. 5. Rispondere alle segueni domande. 4

15 (a) In un conrao assicuraivo sulla via con somma soo rischio posiiva, il premio di rischio P [R] può risulare superiore al premio naurale P [N]? (b) E in un conrao assicuraivo con somma soo rischio negaiva? Moivare le rispose. 52. Con riferimeno all assicurazione misa ordinaria dell esercizio 44 sipulaa a premio annuo, supporre che il rendimeno effeivamene previso sia i = 4%, menre la moralià realisica previsa per il primo anno sia espressa dal asso di moralià q x =.9q x. Calcolare l uile aeso nel primo anno (usare anche i dai già cosruii per la riserva nell esercizio 48). Scomporre ale uile in margine finanziario e margine di moralià. 53. Ripeere, considerando l assicurazione di capiale differio; porre q x =.q x. 54. Considerare l assicurazione misa ordinaria dell esercizio 44 sipulaa a premio annuo. Il rendimeno realisico degli invesimeni è i = 4%, menre la moralià realisica previsa è espressa dai assi di moralià q x+ =.9q x+ per =,, 2. (a) Calcolare la riserva con la base ecnica impiegaa per il premio annuo (asso ecnico i = 2%, avola di moralià dell esercizio 38). Calcolare gli uili annui aesi PL, PL 2 e PL 3 e l uile oale aeso PL. (b) Supporre ora che la riserva sia pari a in ui gli anni, a pare a scadenza (V 3 = ). Calcolare gli uili annui aesi PL, PL 2 e PL 3 e l uile oale aeso PL. Perché l uile oale aeso non cambia rispeo al puno precedene, menre cambiano gli uili annui aesi? 55. Considerare l assicurazione misa ordinaria dell esercizio 44, sipulaa a premio annuo. Supporre che alla fine del primo anno l assicuraore si faccia carico di un aumeno della riserva a asso j [V] = %. (a) Supporre che il premio resi cosane; calcolare il asso di aumeno del beneficio, j [B]. Perché risula j[b] < j [V]? (b) Supporre, in alernaiva, che il premio aumeni in misura pari alla riserva. Calcolare il asso di aumeno del beneficio, j [B]. Perché risula j[b] = j [V]? 56. Un assicurazione misa rivaluabile è a premio annuo cosane. E correo dire che endenzialmene il asso di adeguameno del beneficio j [B] sarà crescene nel empo? Anche nel caso in cui j [V] oscilli nel empo? 57. Considerare la seguene assicurazione misa ordinaria rivaluabile: x = 5, m = 3, beneficio iniziale C = S =, asso ecnico i = 2%, premio annuo { cosane } (dunque j [Π] = ad ogni epoca ), asso annuo di rivaluazione r = η g max i +i,, aliquoa di rerocessione η = 95% ad ogni epoca. (a) Calcolare il premio annuo. (b) Calcolare la riserva all epoca, prima della rivaluazione, cioè V. 5

16 (c) Calcolare il premio di risparmio all epoca, P [S] (= V ( + i ) V ). (d) Il rendimeno del fondo a gesione separaa nel primo anno è g = 4%. Calcolare il asso di rivaluazione della riserva all epoca, r. (e) Calcolare il beneficio rivaluao all epoca, C 2 (= S ). (f) Calcolare la riserva all epoca dopo la rivaluazione, V. (g) Verificare che V = (V + P [S] ) ( + max{η g, i }) e anche che V = C 2 A 5,2 P ä 5:2. (h) Calcolare la riserva all epoca 2 prima della rivaluazione, V 2. (i) Calcolare il premio di risparmio all epoca, P [S]. (j) Il rendimeno del fondo a gesione separaa nel secondo anno è g = 2%. Calcolare il asso di rivaluazione della riserva all epoca 2, r 2. (k) Calcolare il beneficio rivaluao all epoca 2, C 3 (= S 2 ). (l) Calcolare la riserva all epoca 2 dopo la rivaluazione, V 2. (m) Verificare che V 2 = (V + P [S] ) ( + max{η 2 g 2, i } e anche che V 2 = C 3 A 52, P ä 52:. (n) Il rendimeno del fondo a gesione separaa nel erzo anno è g 3 = 3%. Calcolare il beneficio a scadenza, S Ripeere le valuazioni eseguie nell esercizio precedene, ponendo ora i = % e r = max {η g, 2%}. 59. Si consideri un assicurazione misa rivaluabile a premio annuo cosane (dunque con j { [Π] = ad } ogni epoca), scadenza m =, asso annuo di rivaluazione r = η g max 2%.2,. Dire quale ra le segueni è l affermazione più plausibile, moivando. (a) Se r = 3%, il beneficio aumena a asso j [B] = %. (b) Se r 5 = 3%, il beneficio aumena a asso j [B] 5 = 2.25%. (c) Se r 9 = 3%, il beneficio aumena a asso j [B] 9 = 3%. (d) Se r 5 = 3%, il beneficio aumena a asso j [B] 5 =.5%. 6. Si consideri un assicurazione misa rivaluabile a premio annuo rivaluabile { } a asso j [Π] = r 2, scadenza m =, asso annuo di rivaluazione r = η g max 2%.2,. Dire quale ra le segueni è l affermazione più plausibile, moivando. (a) Se r = 3%, il beneficio aumena a asso j [B] = %. (b) Se r 5 = 3%, il beneficio aumena a asso j [B] 5 = 2.25%. (c) Se r 9 = 3%, il beneficio aumena a asso j [B] 9 = 3%. (d) Se r 5 = 3%, il beneficio aumena a asso j [B] 5 =.5%. 6

17 6. Si consideri un assicurazione uni-linked senza garanzie, sipulaa da un 5-enne, di duraa 3 anni, beneficio in caso di premorienza C =.F. Il premio è invesio in un fondo a rendimeno aleaorio, la cui unià ha valore w = all epoca. (a) Il premio neo versao all epoca è P =. Calcolare il numero di quoe accrediao al conrao con ale premio, n [S] = N. Scomporre il premio P in premio di rischio, P [R], e premio di risparmio, P[S]. (b) Il rendimeno del fondo nel primo anno è z = 4%. Calcolare l enià del policy fund all epoca, F, e il beneficio caso decesso erogabile alla sessa epoca, C. Dire, inolre, qual è il beneficio erogabile a scadenza maurao fino all epoca, S. (c) Il premio neo versao all epoca è P = 2. Calcolare il numero di quoe accrediao al conrao con ale premio, n [S] = N 2 N. Scomporre il premio P in premio di rischio, P [R], e premio di risparmio, P[S]. (d) Il rendimeno del fondo nel secondo anno è z 2 = 3%. Calcolare l enià del policy fund all epoca 2, F 2, e il beneficio caso decesso erogabile alla sessa epoca, C 2. Dire, inolre, qual è il beneficio erogabile a scadenza maurao fino all epoca 2, S 2. (e) Il premio neo versao all epoca 2 è P 2 = 8. Calcolare il numero di quoe accrediao al conrao con ale premio, n [S] 2 = N 3 N 2. Scomporre il premio P 2 in premio di rischio, P [R] 2, e premio di risparmio, P[S] 2. (f) Il rendimeno del fondo nel erzo anno è z 3 = 4%. Calcolare il beneficio a scadenza, S 3, e il beneficio caso decesso erogabile alla sessa epoca, C 3. (g) L assicuraore può conseguire un uile finanziario o una perdia finanziaria? Moivare. (h) L assicuraore può conseguire un uile di moralià o una perdia di moralià? Moivare. 62. Ripeere, considerando il seguene beneficio caso decesso: C = F +. All inizio di ciascun anno, nel valuare il coso della muualià l assicuraore impiega la seguene ipoesi: E[w + w ] = w In un assicurazione uni-linked a premio annuo cosane P, l assicuraore si impegna a corrispondere a scadenza il maggiore ra il policy fund e il monane dei premi di risparmio accumulai al asso annuo del 2%, menre in caso di decesso si impegna a corrispondere il maggiore ra il policy fund e il oale dei premi già incassai. (a) Scrivere l espressione del beneficio a scadenza e del beneficio caso decesso erogabile all epoca. (b) Esprimere i benefici in modo che sia espliciaa la garanzia di minimo. (c) Esprimere i benefici in modo che sia espliciao il beneficio aggiunivo rispeo al minimo garanio. 7

18 Esercizi relaivi ad argomeni di TECNICA DELLE ASSICURAZIONI E DELLE FORME PENSIO- NISTICHE: ui. Esercizi relaivi ad argomeni di TECNICA E FINANZA DELLE ASSICURAZIONI (e TECNICA DELLE ASSICURAZIONI): 62. Esercizi relaivi ad argomeni di FINANZA DELLE ASSICURAZIONI E DELLA PREVIDENZA: 46 47, 49 5,

19 Svolgimeno (Consiglio vivamene di consulare lo svolgimeno suggerio solo dopo aver elaborao in modo auonomo una risposa ai vari problemi.) { 5 prob..25. (a) Risarcimeno aleaorio: X = prob..75 (b) Valore aeso: E[X] = = 25 (euro). Varianza: Var[X] = = (euro 2 ). Scaro quadraico medio: Var[X] = (euro). (c) Funzione di riparizione: F X (x) = se x <.75 se x < 5 se x 5 2. (a) Valore aeso della perdia: E[X] = =. (b) Varianza della perdia: Var[X] = = 279. Scaro quadraico medio: Var[X] = (c) Probabilià che la perdia sia superiore al valore aeso: P[X > ] = P[X = ] =.. (d) Probabilià che la perdia sia superiore a 25: P[X > 25] =.2 +. =.3. (e) Probabilià di assenza di incidene: P[X = ] =.9. se x <.9 se x < 5.92 se 5 x < (f) Funzione di riparizione: F X (x) =.97 se x < 5.99 se 5 x < 2 se x 2 (g) Valore aeso della perdia, nell ipoesi che si verifichi l incidene: E[X X > ] = = E[X] P[X>] =.9 =. (h) Risula E[X] < E[X X > ] in quano E[X X > ] è valuao in un diverso sao di informazione; in paricolare, E[X X > ] è una media delle sole deerminazioni posiive, menre nella valuazione di E[X] si iene anche cono della deerminazione nulla. (i) Valore aeso della perdia, E[X], in funzione del valore aeso della perdia sessa condizionao al verificarsi di incideni, E[X X > ], e della probabilià che si verifichino incideni, P[X > ]: E[X] = E[X X > ] P[X > ] =. =. 3. Perdia aesa: E[X] = E[X X > ] P[X > ] = 2. = 2. Perdia minima: (assenza di incidene). Sulla base delle informazioni, non è possibile sabilire quale possa essere la perdia massima. 4. (a) Deerminazioni dell esborso oale X:,, 2,...,. 9

20 (b) Valore aeso di X: E[X] = n Cp =. =. Varianza di X: Var[X] = n C 2 p( p) = 99. (c) Probabilià di assenza di incideni: P[K = ] = ( p) n =.99 =.366. Probabilià che si verifichi almeno un incidene: P[K > ] = P[K = ] =.634. (d) Probabilià che il numero di incideni sia il massimo possibile: P[K = ] = p n =.. (e) Probabilià di esborso nullo: P[X = ] = P[K = ] =.366. Probabilià di esborso posiivo: P[X > ] = P[K > ] =.634. (f) Valore aeso dell esborso, nell ipoesi che si verifichi almeno un incidene: E[X X > ] = E[X] P[X>] =.634 = (a) Siccome E[X] = n Cp, si può ricosruire la probabilià di incidene per dipendene nel modo seguene: p = E[X] n C = 7 =.7. (b) Ricordando che E[X] = E[X X > ] P[X > ], e sapendo che P[X > ] = P[K > ], si può ricosruire la probabilià di assenza di incideni come segue: P[K = ] = P[K > ] = E[X] E[X X>] = =.495. In alernaiva, avendo ricosruio la probabilià di incidene per dipendene, si può calcolare espliciamene la probabilià di assenza di incideni come segue: P[K = ] = ( p) n =.993 =.495. (c) Confronando E[X X > ] con la più piccola deerminazione posiiva di X ( ), si può dire che la probabilià di 2 o più incideni è bassa, ma non rascurabile. Infai, anche se E[X X > ] è più prossimo alla deerminazione che ad alre deerminazioni, è significaivamene più elevao di (e queso lascia inuire che la probabilià di deerminazioni superiori a cioè la probabilià di 2 o più incideni non è rascurabile). 6. (a) Esborso minimo: (assenza di incideni). Esborso massimo: = 5 (ui i dipendeni subiscono incidene). (b) Per ogni dipendene, l esborso aeso è pari a: E[X (j) ] = C (j) p. Essendo X = 5 j= X(j) (esborso oale del daore di lavoro), si ha: E[X] = 5 j= E[X(j) ] = 5 j= C(j) p = 5. = 5. (c) Probabilià di assenza di incideni: P[K = ] = ( p) n =.99 5 =.95. Probabilià di almeno un incidene: P[K > ] = P[K = ] =.49. (d) Esborso aeso in ipoesi di almeno un incidene: E[X X > ] = = 36.6 (essendo P[X > ] = P[K > ]). E[X] P[X>] = (a) Probabilià di assenza di incideni: P[K = ] = ( p) n =.99 =.4. Probabilià che si verifichi almeno un incidene: P[K > ] = P[K = ] =

21 (b) La P[K = ] diminuisce (avvicinandosi a ) perché a frone di una colleivià più ampia divena più probabile (quasi cero) che si verifichi almeno un incidene. Il numero aeso di incideni, ad esempio, passa da quando i dipendeni sono (lasciando inuire che molo probabilmene non ci saranno incideni), a quando i dipendeni sono (lasciando inuire che in queso caso è più probabile che ci sia almeno un incidene). Osservazione aggiuniva rispeo alle domande pose dall esercizio: probabilià di osservare il numero massimo possibile di incideni colleivià di dipendeni (numero massimo possibile di incideni: K = ): P[K = ] =. colleivià di dipendeni (numero massimo possibile di incideni: K = ): P[K = ] =.. In enrambi i casi, daa la modesa enià della probabilià di incidene per dipendene, la probabilià di osservare il numero massimo possibile di incideni è nulla; di conseguenza, si raa di un eveno rispeo al quale usualmene non si adoano azioni di risk managemen (si noi, comunque, che P[K = ] < P[K = ] e dunque l eveno numero massimo possibile di incideni divena via via più improbabile al crescere della dimensione della colleivià). 8. (a) Numero aeso di incendi: E[N] = =.4. (b) Danno aeso per incendio: E[X ] = = 3. (c) Danno oale aeso: E[X] = E[X ] E[N] = (a) Valore aeso del numero di incideni per conrao: E[N] = 5 =.5. Danno aeso del k-esimo incidene: E[X k ] =, k =, 2,.... (b) Ipoizzando che il numero N di incideni e l imporo del danno per incidene, X, X 2,... siano indipendeni ed inolre che le variabili aleaorie X, X 2,... siano idenicamene disribuie, il danno aeso oale per conrao è: E[X] = E[N] E[X ] = 5.. (a) Il primo assicuraore, ha osservao un numero di incideni pari a 8. Il numero aeso di incideni per conrao può perano essere simao nel modo seguene: E[N] = 8 =.8. (b) Il secondo assicuraore, ha osservao un numero di incideni pari a: = 36. Perano: E[N] = =.8. (c) Il numero aeso di incideni per conrao è uguale nei due porafogli. Tuavia, menre l esperienza del primo assicuraore pora ad escludere ripeibilià di incidene su uno sesso conrao (e perano.8 esprime anche una sima della probabilià di incidene), nel secondo porafoglio.8 fornisce solo un informazione aggregaa sul numero medio di incideni per conrao, nulla dicendo circa la concenrazione su alcuni conrai di più incideni. Si può inolre osservare che la sima fornia dal secondo porafoglio circa il numero aeso di incideni per conrao è comunque più aendibile, viso che l esperienza è mauraa su una colleivià più ampia. 2

22 . (a) Per enrambi i porafogli, il numero aeso di incendi per conrao è: E[N] = =.. (b) Primo porafoglio: E[N] = 6 6 = =.. Secondo porafoglio: E[N] = 9 9 =..9 =.. n.ro incendi Il rapporo n.ro conrai con incendio (pari a.667 per il primo porafoglio,. per il secondo) esprime la concenrazione degli eveni su alcuni conrai (è anche deo indice di ripeibilià); l indice di ripeibilià, che assume valori, fornisce dunque un informazione sul numero medio di eveni denunciai dai conrai che ne hanno denunciao almeno uno. A valori più elevai dell indice, corrisponde una maggiore concenrazione degli eveni su pochi conrai (nel secondo porafoglio, 8 conrai hanno denunciao un solo incendio, menre uno solo ne ha denunciai due; nel primo porafoglio, è possibile che un conrao n.ro conrai con incendio abbia denunciao più di due sinisri). Il rapporo n.ro conrai (pari a.6 per il primo porafoglio,.9 per il secondo) esprime invece la frequenza di conrai che hanno denunciao almeno un sinisro. Chiaramene, l indice assume valori E[N]. Se c è una fore concenrazione degli eveni su pochi conrai, l ipoesi di indipendenza ra numero di incendi e imporo del danno per incendio deve essere verificaa con uleriori analisi. Nell esempio, l ipoesi di indipendenza è sicuramene acceabile per il secondo porafoglio, menre porebbe manifesarsi debole per il primo porafoglio. 2. (a) Se il iolo fosse risk-free, il suo prezzo sarebbe pari a: E p [X B ] ( + r f ) =.2 = (che è il prezzo del iolo A). Siccome il iolo è rischioso, per un soggeo avverso al rischio deve risulare: P B < 98.39; ad esempio, P B = 97. (b) i. Risk discoun rae: asso ρ ale che 97 = E p [X B ] ( + ρ). Risula: ρ = 3.93%. ii. Probabilià risk-adjused: probabilià p, p ali che 97 = (7 p + 2 ( p )) ( + r f ). Risula: p =.422, p = iii. Aliquoa α ale che 97 = (E p [X B ] αvar[x B ]) ( + r f ). Essendo Var[X B ] = 6, risula: α = (a) Valore aeso del danno aleaorio individuale: E[X (j) ] =.3 = 3. Varianza: Var[X (j) ] = (= ) = (b) Possibili deerminazioni del danno oale aleaorio del pool: (nessun incidene), (un incidene),..., 5 (incidene per ui gli individui). (c) Valore aeso del danno oale aleaorio del pool: E[X [P] ] = 5 3 = 45. Varianza: Var[X [P] ] = = Coefficiene di variazione: CV[X [P] ] = = (a) Coefficiene di variazione dell esborso oale del pool: CV[X [P] ] =.. =.35. (b) Il coefficiene di variazione non cambia al variare dell imporo della possibile perdia individuale, in quano ne è indipendene. 22

23 (c) Coefficiene di variazione: CV[X [P] ] = =.99. Dunque il coefficiene di variazione diminuisce, ed è pari a 2.5 =.6325 vole il valore originario. 5. Siccome CV[X [P] ] = n p p, (a) se la dimensione del pool aumena di 4 vole, il coefficiene di variazione assume valore pari alla meà del valore originale (perano: CV[X [P] ] = ); (b) se la dimensione del pool si dimezza, il coefficiene di variazione assume valore pari a 2 vole il valore originale (perano: CV[X [P] ] = 2.828). 6. (a) Per il principio di equià, l ammonare oale dei conribui, P [P], deve essere pari all esborso aeso. Perano, il conribuo individuale: E[X[P] ] n = xp =. (b) No, perché il danno oale subio dal pool può assumere valore da a nx = 5, a frone di un conribuo complessivo pari a P [P] = E[X [P] ] = nxp =. 7. (a) Valore aeso del danno aleaorio individuale: E[X (j) ] = xp =. Varianza: Var[X (j) ] = x 2 p ( p) = 99. (b) Valore aeso del conribuo individuale: E[ X[P] n ] = xp =. Varianza: Var[ X[P] n ] = x2 p ( p) n =.98. (c) Il valore aeso del conribuo individuale non cambia. Varianza: Var[ X[P] n ] = x2 p ( p) n =.99; dunque, se la dimensione del pool raddoppia, la varianza si dimezza. (d) Il coso aeso sosenuo da ciascun individuo non cambia nelle re siuazioni delineae; uavia, la variabilià del coso sosenuo da un individuo diminuisce se quesi decide di parecipare ad un pool. La variabilià divena ano più piccola ano più ampio è il pool. Queso significa che in un pool di dimensione adeguaa la probabilià che il coso individuale effeivo sia prossimo al valore aeso è molo elevaa. 8. (a) Siccome il risarcimeno oenuo da ciascun socio che subisce la perdia è: x = min{x, Π[P] r } (dove x: perdia individuale; r: numero di individui che subiscono la perdia; Π [P] : ammonare oale dei conribui), se r = 4 si ha: x 5 = min{, 4 } =. Ciascun socio colpio da perdia oiene dunque un risarcimeno oale ed inolre resano euro a disposizione della socieà di muuo soccorso. (b) In queso caso: x = min{, solo un risarcimeno parziale. 5 } = 5. I soci colpii da perdia ricevono (c) Nel primo caso (r = 4) la socieà di muuo soccorso può accanonare le risorse residue ( ) per far frone alle perdie degli anni fuuri. 23

24 (d) I conribui individuali sono fissai in base alla capacià conribuiva dei soci e non in funzione delle possibili perdie; perano per rispondere ai quesii precedeni non è necessaria alcuna informazione sulla probabilià di accadimeno degli eveni da cui conseguono le perdie individuali, né sul legame socasico (indipendenza o dipendenza) ra ali eveni. Si raa di informazioni di cui si deve disporre se si vogliono effeuare uleriori valuazioni, come ad esempio il calcolo del risarcimeno aeso da ciascun socio. 9. (a) Premio equo: P = E[X] =.8 = 8. (b) L uile aeso è m = Π P, cioè il caricameno di sicurezza. Siccome Π = p, la probabilià p è deerminaa dall equazione: (p.8) = 2. Si rova: p =.. Premio neo: Π = P + 2 =. =. (c) Uile nel porafoglio di conrai: z [P] = Π =. Uile nel porafoglio di conrai: z [P] = Π 8 = 2. (d) Nel primo porafoglio, il numero aeso di sinisri è: E[K] = np =.8 =.8. Necessariamene, o si realizza un numero di sinisri inferiore al valore aeso o un numero ad esso superiore. In ques ulimo caso, l assicuraore può uilizzare il caricameno di sicurezza per far frone al pagameno del beneficio (ed è ciò che accade nelle ipoesi dell esercizio, viso che l uile realizzao è nullo). Nel secondo porafoglio, il numero aeso di sinisri è E[K] = np =.8 = 8. La maggiore dimensione del porafoglio, consene di realizzare il risulao aeso; al crescere della dimensione del porafoglio, infai, si realizza in modo più efficace la muualià. 2. (a) Ad esempio, i =., 5 p 45 =.99. (b) Ad esempio, i =.3, 5 p 45 =.95. (c) Indicao con Π il premio unico neo, S il beneficio a scadenza e n il numero di conrai, il risulao realizzao (in valore auale all epoca ) è: z [P] = n Π n S.2 5. Se la base di pricing è i =., 5 p 45 =.99, il premio è Π =.942 S e il risulao realizzao è z [P] = n.362 S; se la base di pricing è i =.3, 5 p 45 =.95, il premio è Π =.895 S e il risulao realizzao è z [P] = n.863 S. In enrambi i casi, il numero di persone in via a scadenza è superiore al valore aeso, e queso di per sé compora una perdia di naura demografica; uavia, nel primo caso, si realizza uile finanziario (viso che i > i ) in misura sufficiene per realizzare un risulao complessivo posiivo. Nel secondo caso, invece, la perdia relaiva alla probabilià di sopravvivenza si aggiunge alla perdia finanziaria (viso che i < i ) e il risulao complessivo è negaivo. (d) E comunque possibile realizzare uile posiivo, se lo scenario effeivo si manifesa migliore di quano aeso. Si può, ad esempio realizzare uile se a scadenza è in via meno del 95% degli assicurai e se il rendimeno effeivamene realizzao è superiore al 3%. 2. (a) Premio neo: Π = ( q 45 + q q 45 ) =

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