Strategia per la soluzione dei problemi tecnico-scientifici

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1 Sregi per l soluzione dei problemi ecnico-scienifici L soluzione degli esercizi può essere frusrne per gli sudeni, poiché il rggiungimeno del risulo correo è messo repenglio d vri fori: olre un buon conoscenz dell eori dell meri oggeo dell verific è necessrio seguire un sregi efficce, pplicndo corremene le regole dell memic. Se inolre non si è perfemene concenri è fcile commeere qulche errore dovuo ll disrzione. Si inuisce quindi che in un problem di medi complessià gli oscoli possono essere li d ridurre noevolmene l probbilià di rggiungere il risulo correo. Si forniscono lcune indiczioni sull sregi e sugli srumeni memici fondmenli che possono essere d iuo nell soluzione dell mggior pre dei problemi proposi nel eso, sopruo nei cpioli legi llo sudio dell eleroecnic e dell eleronic nlogic. Si vedrà che gli srumeni memici necessri sono in relà piuoso semplici, m devono essere mneggii con sicurezz; si consigli quindi di esercirsi, nche con l iuo dei esi e dell insegnne di memic. L sregi si svilupp nei segueni pssi. 1) nlizzre il eso del problem individundo i di fornii e le vribili incognie, soluzioni del problem. Qundo è possibile, rppresenre il problem schemicmene (disegno, schem elerico, schem blocchi ecc.) evidenzindo le vribili e individundo quelle noe e quelle incognie. 2) Individure le formule memiche che legno le grndezze in gioco. ) Se si dispone di un sol equzione che coniene un vribile incogni, esplicire l incogni come descrio l puno 3). b) In o conrrio si può: b1) scrivere un sisem di equzioni e risolvere; b2) individure l sequenz delle formule che consenono di ricvre i vlori di incognie inermedie, fino clcolre l incogni (o le incognie) che rppresen l soluzione del problem. 3) splicire l vribile incogni () in un equzione: ) lgebric di 1 grdo: y + b c soluzione y c b ( y c) b b ( y c) 2 b) lgebric di 2 grdo: + b+ c con soluzione ± 2 b b 4c 1,2 2 se il emine in è nullo si h: y 2 ± y Queso file cosiuisce un pprofondimeno online dei corsi di eleroecnic ed eleronic di Sefno Mirndol Znichelli diore Sp, ologn [6126] 1

2 c) rigonomeric: y sen soluzione y y sen rcsen (sess cos per cos e g) d) esponenzile o logrimic: y 1 log 1 y y e ln y y y log 1 1 y ln lcune proprieà degli esponenzili e dei logrimi: 1 1 b 1 + b, log log e y, log b log + log b, log log logb b dy e) inegro-differenzile: y d d f) compless: y j + y soluzione y j j( y ) essendo j j 1 j 4) Sosiuire i vlori numerici delle vribili noe, desr dell uguglinz. Si fcci enzione inserire corremene il vlore, enendo cono del prefisso. pico: p 1 12 nno: n 1 9 micro: μ 1 6 milli: m 1 3 chilo: k 1 3 meg: M 1 6 gig: G 1 9 Per esempio: 15 pf F 5 cm,5 m 22 kω Ω,15 mm 2,15 m m 5) Imposre corremene il clcolo sull clcolrice. Leggere enmene le isruzioni dell clcolrice, in pricolre per ciò che rigurd l uso delle prenesi, l inserimeno dei vlori in nozione scienific, l predisposizione in rdini o in grdi per i clcoli rigonomerici, l conversione dei vlori r i sisemi di numerzione decimle, binrio ed esdecimle. 6) Il risulo oenuo è espresso nell unià di misur senz prefisso: Ω, m, m 2, F, ecc. In bse ll precisione richies scegliere il numero di cifre significive con cui rroondre il risulo; l cifr più significiv di un numero è l prim d sinisr divers d zero. Si disinguono due i. Queso file cosiuisce un pprofondimeno online dei corsi di eleroecnic ed eleronic di Sefno Mirndol Znichelli diore Sp, ologn [6126] 2

3 ) ddizione e sorzione: il risulo deve conenere un numero di cifre decimli pri quelle dell operndo con minore numero di cifre decimli; per esempio nell seguene ddizione: 31, , , ,163 il risulo deve essere espresso con due cifre decimli, pri quelle del secondo ddendo, e quindi, rroondndo l cifr meno significiv, vle 46,16. b) Molipliczione e divisione: il prodoo o il quoziene deve vere un numero di cifre significive pri quelle del numero meno preciso coinvolo nel clcolo. Per esempio nel prodoo: 425,356,2566 2,5 27, i re operndi hnno rispeivmene sei, quro e due cifre significive; il risulo deve essere espresso con due cifre significive, rroondndo quell inferiore; vle quindi 27. 7) Uilizzre il prefisso più opporuno per esprimere il risulo nel modo più fcilmene leggibile; lcuni esempi:,245 24,5 μ 756 Hz 756 khz,458 F 458 nf L FIGUR 1 sineizz i pssggi ppen descrii. Si eng presene che è opporuno nlizzre criicmene i risuli oenui, in modo d poer evire errori mcroscopici; due modlià di conrollo dei risuli sono: l nlisi dimensionle delle formule, per rivelre errori durne l fse di esplicizione delle vribili; l nlisi dell ordine di grndezz dei vlori oenui, per rivelre evenuli errori di clcolo. Per esempio ponendo in prllelo due resisori ci si spe un resisenz equivlene inferiore quell più piccol r i due; se il risulo è differene signific che si è commesso un errore. nlizzre il eso e individure le incognie e i prmeri noi. Individure le formule che legno le vribili del problem. Trovre un sregi per esplicire le incognie. sempi di soluzione di esercizi Si fornisce or qulche esempio di ppliczione dell sregi e dei pssggi memici ppen descrii. Lo sudene non si preoccupi se lcuni esempi rno rgomeni che ncor non conosce; ciò che si vuole soolinere è che, un vol individue le formule uili l problem, l soluzione di quesi semplici problemi si svolge sempre con l sequenz sopr descri, i cui pssi sono richimi dll numerzione in colore. Sosiuire i vlori numerici dei prmeri noi ed eseguire i clcoli. sprimere i risuli con un numero opporuno di cifre significive, evenulmene impiegndo i prefissi. FIGUR 1 Queso file cosiuisce un pprofondimeno online dei corsi di eleroecnic ed eleronic di Sefno Mirndol Znichelli diore Sp, ologn [6126] 3

4 Qule vlore di R 2 bisogn meere in prllelo R 1 2 Ω per oenere un resisenz equivlene pri R eq 18 Ω? 1) Si disegn lo schem elerico (FIGUR 2). R 1 2 Ω R 2? FIGUR 2 2) L formul memic (lgebric) che leg le vribili è: R eq R1R 2 R + R 1 2 3) Si esplici l incogni R 2 con i segueni pssggi: Req ( R1 + R2 ) R1R 2 ReqR1 + ReqR2 R1R 2 R R ReqR ReqR ReqR1 R2( R1 Req ) ReqR1 R2 R R 4-5) Si sosiuiscono i vlori numerici e si clcol il risulo: ReqR R2 2657,14 Ω R R eq ) Si considerno re cifre significive, come quelle dei di in ingresso, si rroond e si uilizz il prefisso più opporuno: R 2 2,66 kω eq Quno empo impieg un condensore C 1 μf, inizilmene scrico e limeno d un ensione 1 V rverso un resisenz R 1,2 kω, per cricrsi fino un ensione v c 7 V? 1) Si disegn lo schem elerico (FIGUR 3). R 1 1 V 1,2 kω C 1 µf v c FIGUR 3 2) L formul memic (esponenzile) che leg le vribili è: vc( ) (1 e RC ) 3) Si esplici l incogni (empo) con i segueni pssggi: vc( ) 1 e RC e RC vc( ) 1 v ln(1 c( ) ) RC v RC ln(1 c( ) ) Queso file cosiuisce un pprofondimeno online dei corsi di eleroecnic ed eleronic di Sefno Mirndol Znichelli diore Sp, ologn [6126] 4

5 4-5) Si sosiuiscono i vlori numerici e si clcol il risulo: vc( ) RC ln(1 ) 1, ln(1 1 ),14448 s 6-7) Si considerno due cifre significive, come quelle dei di in ingresso, si rroond e si uilizz il prefisso più opporuno: 14 ms Quno dovrebbe essere lungo uno spezzone di filo di rme con resisivià ρ,22 Ω cm e sezione S 3, mm 2, per presenre un resisenz R 3,5 kω? 2) L formul memic (lgebric) che leg le vribili è: 3) Si esplici l incogni l: l R ρ S R S l ρ 4-5) Si sosiuiscono i vlori numerici (converendoli nelle unià bse: m, m 2 ecc.) e si clcol il risulo: R S l ρ, ,727 m 6-7) Si considerno due cifre significive, come quelle dei di in ingresso; l espressione senz prefisso, in queso o, è quell più fcilmene leggibile: l 48 m. qule ensione V corrisponde il livello L dbv 34 dv? 2) L formul memic (logrimic) che leg le vribili è: L 2log dv 1 V V (con V,775 V) 3) Si esplici l incogni V con i segueni pssggi: log 1 V Ldbv V 2 V V 1 Ldbv 2 V V 1 Ldv 2 4-5) Si sosiuiscono i vlori numerici e si clcol il risulo: Ldv V V 1,775 1, ) Si considerno re cifre significive, si rroond e si uilizz il prefisso più opporuno: V 15,5 mv Queso file cosiuisce un pprofondimeno online dei corsi di eleroecnic ed eleronic di Sefno Mirndol Znichelli diore Sp, ologn [6126] 5

6 Clcolre l correne I 3 nel circuio in FIGUR 4. Suggerimeno: non essendo possibile rovre I 3 medine un formul unic, si procede con l sequenz (o 2b2): si clcol R equivlene (prllelo di R 2 e R 3 in serie R 1 ); si rov I 1 con l legge di Ohm; si ricv V R1 con l legge di Ohm; si ricvno V R2 V R3 con il principio di Kirchhoff per le ensioni; si rov infine I 3 con l legge di Ohm. I 1 R 1 1 kω 1 V V R1 R 2 1 kω R 3 5 Ω I 2 I 3 FIGUR 4 Due uomobili ( e ) si muovono velocià cosne lungo un uosrd; l uomobile viggi 1 km/h e si rov 3 km vni rispeo d, che viggi 12 km/h. Quno empo impieg per rggiungere? In qule puno dell uosrd vviene l inconro? 1) Il problem può essere schemizzo dll FIGUR 5. Sono noe le velocià cosni di (v 12 km/h) e di (v 1 km/h) e l posizione inizile di e di ( 3 km e km, ponendo lo zero del sisem di riferimeno nell posizione inizile di ); le incognie sono l inervllo di empo in cui vviene l inconro ( inc ) e l posizione dell inconro ( inc ). 2) Le formule d uilizzre sono quelle che descrivono il moo uniforme ( velocià cosne) di e di, enendo cono delle posizioni inizili: v v + 3) Nel puno d inconro le coordine di e coincidono, quindi : inc, d cui si deduce, uguglindo i secondi membri del sisem, v inc v inc +. Si ricv quindi l espressione di inc : inc v v che, sosiui nell prim equzione del sisem fornisce l posizione inc : 4-7) Sosiuendo i vlori noi si rov: inc v v inc inc v v 3,15 h v v 12 1 inc v inc 12,15 18 km (ssendo le velocià espresse in km/h, i clcoli forniscono i empi espressi in ore e le disnze in km.) Provimo riproporre il problem in ermini leggermene diversi; dll soluzione si no che le equzioni uilizze sono le sesse di prim m, essendo diverse le incognie, cmbi l sregi di soluzione. Due uomobili ( e ) si muovono velocià cosne lungo un uosrd; l uomobile viggi 1 km/h e si rov 3 km vni rispeo d. qule velocià dovrebbe viggire per rggiungere esmene in corrispondenz del prossimo ello, che si rov 2 km olre l posizione di? Dopo quno empo vverrebbe l inconro? Queso file cosiuisce un pprofondimeno online dei corsi di eleroecnic ed eleronic di Sefno Mirndol Znichelli diore Sp, ologn [6126] 6

7 1) Il problem può essere schemizzo dll FIGUR 6. Sono noe: l velocià cosne di (v 1 km/h), l posizione inizile di e di ( 3 km, km, ponendo lo zero del sisem di riferimeno nell posizione inizile di ), l posizione del ello, in cui dovrà vvenire l inconro ( 23 km); le incognie sono l inervllo di empo in cui vverrà l inconro l ello ( ) e l velocià cosne v che deve mnenere per fr vvenire l inconro esmene in corrispondenz del ello. 2) Le formule d uilizzre sono le sesse del o precedene (moo uniforme): v v + 3) Il empo impiego d per rggiungere il ello si ricv esplicindo dll second equzione: v che, sosiuio nell prim equzione, consene di rovre l velocià che deve vere per inconrre l ello nello sesso isne : 4-7) Sosiuendo i vlori noi si rov: v v 23 3,2 h 1 v km/h,2 L propgzione degli errori I prmeri noi d inserire in un formul sono generlmene conosciui meno di un cero errore. Per esempio i li di un rengolo possono essere misuri (misur dire) con un mero, e il risulo dell misur srà noo meno di un cero errore, dipendene dll incerezz (precisione) dello srumeno (per esempio ±1 mm). L misur dei due li viene quindi espress medine l leur effeu e il relivo errore: bse b ± Δb lezz ± Δ Gli errori Δb e Δ sono dei errori ssolui; i rppori r gli errori ssolui e le misure effeue sono dei errori relivi: Δb/b e Δ/. Ci si chiede or: conoscendo gli errori che ffliggono i prmeri noi di un problem (per esempio risulni d misure diree), con qule errore sono clcole le vribili incognie, ricve con delle formule d li prmeri (misur indire)? sempi di misure indiree sono il clcolo del semiperimero e dell re di un rengolo, noi i li. L propgzione degli errori dipende dl ipo di operzioni preseni nell formul con cui si clcol l incogni; si cino i i più semplici: Queso file cosiuisce un pprofondimeno online dei corsi di eleroecnic ed eleronic di Sefno Mirndol Znichelli diore Sp, ologn [6126] 7

8 molipliczione per un cosne K: K l errore ssoluo Δ si rov moliplicndo Δ per K: Δ K Δ Per esempio, noo un lo l di un qudro con errore Δl, l errore ssoluo sul perimero, che si rov con l formul p 4 l, è do d 4 Δl. somm o differenz di vribili: ± b l errore ssoluo Δ si rov sommndo gli errori ssolui Δ e Δb: Δ Δ + Δb Per esempio, noi i li e b di un rengolo con errori ssolui Δ e Δb, l errore ssoluo sul semiperimero, che si rov con l formul p/2 + b, è do d Δp/2 Δ + Δb. Si osservi che in un differenz, menre gli errori si sommno, il vlore risulne dll differenz può essere nche molo piccolo, se i ermini hnno vlori vicini r loro. Di conseguenz l errore relivo sul risulo porebbe essere elevo; se ne deduce che è bene evire misure indiree che nscono dll differenz r due prmeri noi di vlori comprbili. prodoo o divisione di vribili: b oppure : b l errore ssoluo Δ si rov sommndo gli errori relivi Δ/ e Δb/b: b + b Per esempio, noi i li e b di un rengolo con errori ssolui Δ e Δb, l errore ssoluo sull re, che si rov con l formul b, è do d Δ Δ/ + Δb/b. Queso file cosiuisce un pprofondimeno online dei corsi di eleroecnic ed eleronic di Sefno Mirndol Znichelli diore Sp, ologn [6126] 8