Appunti di Elementi di Meccanica. Azioni interne. v 1.0

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1 Appunti di Elementi di Meccanica Azioni interne v 1.0

2 Figura 1: Forze in equilibrio agenti su un corpo Figura : Azioni interne in un corpo piano 1 Forze scambiate all interno di un solido Un sistema di forze agente su un corpo può essere in equilibrio anche se le forze non agiscono sullo stesso punto. In questo caso il corpo fa da mezzo attraverso il quale le forze si trasmettono e la loro azione contrasta quella delle altre forze (vedi figura 1). Supponendo di rompere infatti il corpo in due parti, isolando una porzione sulla quale agisce una forza, questa parte deve essere comunque in equilibrio (l equilibrio del tutto è dato dall equilibrio delle parti). La separazione di due parti del corpo può essere rista come la rimozione di un vincolo di tipo incastro, il quale elimina ogni grado di libertà relativo tra le due parti del corpo. Nel caso piano le forze scambiate tra due parti del corpo possono essere modellabili mediante una forza genericamente orientata (o due componenti) e un momento (vedi figura ). Le tre azioni vengono tradizionalmente denominate azione normale N (detta anche assiale), azione tagliante T e momento flettente M.

3 Calcolo delle azioni interne e convenzioni di rappresentazione Il calcolo delle azioni interne viene fatto in maniera semplice: è sufficiente scrivere l equazioni di equilibrio delle forze agenti sulla porzione di corpo. Nel caso in cui la struttura sia vincolata è necessario prima individuare il valore delle reazioni vincolari e successivamente calcolare il valore delle tre azioni incognite N, T e M. La porzione di corpo analizzata può essere considerata un corpo soggetto a forze di cui tre incognite. Le equazioni cardinali della statica forniscono le tre equazioni necessarie alla risoluzione del problema..1 Convenzioni sui segni delle forze Le azioni interne ad un corpo sono considerate positive secondo i versi indicati in figura. In altre parole le azioni interne sono considerate positive se di trazione sul corpo o se inducono una rotazione oraria della porzione considerata. Il momento è considerato positivo se tende le fibre inferiori del corpo.. Diagrammi delle azioni interne Il calcolo delle azioni interne assume un significato importante se esteso a tutto il corpo (o a tutta la struttura) perché fornisce informazioni fondamentali per il progetto meccanico. Senza entrare nei dettagli, l entità e la tipologia delle azioni interne, nonché il loro andamento all interno del corpo influenza la progettazione della forma e dei materiali con i quali il corpo deve essere realizzato. L andamento delle azioni interne viene rappresentato mediante dei diagrammi. I diagrammi vengono rappresentati lungo una linea che percorre il corpo nel suo sviluppo tridimensionale. 3 Esempi di strutture notevoli Per chiarire meglio i concetti esposti si riportano alcuni esempi di calcolo di azioni interne e tracciamento dei relativi diagrammi per alcune strutture notevoli. 3

4 3.1 Mensola Figura 3: Mensola soggetta a carico concentrato Carico concentrato tagliante Il sistema è rappresentato in figura 3. La scrittura delle equazioni di equilibrio fornisce le reazioni vincolari che valgono R H = 0 R V F = 0 M F l = 0 R H = 0 R V = F M = F l Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto qualunque (visti i vincoli e i carichi) e scrivere le equazioni di equilibrio per le forze agenti sulla porzione di struttura. Detta x la distanza tra il punto in cui si apre la struttura e il punto A (vedi figura 4), i due sistemi sono equivalenti N = 0 T + F = 0 F l + M F x = 0 N = 0 T F = 0 M F (l x) = 0 che fornisce come soluzione N = 0 T = F M = F l + F x = 0 Dato che il punto è stato scelto in maniera casuale, i risultati sono validi per tutto il corpo, quindi per valori di x compresi tra 0 e l. I diagrammi sono quindi tracciati in figura 5. 4

5 Figura 4: Azioni interne di una mensola soggetta a carico concentrato Figura 5: Diagrammi delle azioni interne per una mensola soggetta a carico concentrato 3. Appoggio Carico concentrato Il sistema è rappresentato in figura 6. La scrittura delle equazioni di equilibrio fornisce le reazioni vincolari che valgono l = 0 4 RA H + F = 0 RA V + RB V F = 0 RB V l F RA H = RA V = F 4 RB V = Per il calcolo delle azioni interne si può aprire il corpo in due punti: a sinistra e a destra del carico applicato; in seguito si possono scrivere le 4 F F Figura 6: Appoggio soggetto a carico concentrato 5

6 Figura 7: Azioni interne per un appoggio soggetto a carico concentrato Figura 8: Diagrammi delle azioni interne per un appoggio soggetto a carico concentrato equazioni di equilibrio per le forze agenti sulle due porzioni di struttura. Detta x la distanza tra il punto A e il punto in cui si apre la struttura (vedi figura 7), i due sistemi di equazioni sono N F = 0 T + F = 0 4 M 4 F x = 0 0 < x < che forniscono come soluzione N = F F 4 T = 0 < x < M = F x 4 l l N = 0 T + F = 0 4 M + F (l x) = 0 4 N = 0 T = F 4 M = F (l x) 4 l < x < l l < x < l I risultati ottenuti dai due sistemi sono quindi validi per le due porzioni a cavallo della forza applicata. I carichi applicati in maniera concentrata o le reazioni vincolari costituiscono delle discontinuità che non consentono un calcolo unico. I diagrammi sono quindi tracciati in figura 8. 6

7 Figura 9: Struttura soggetta a carico distribuito 3.3 Vincolo pattino-carrello Il sistema è rappresentato in figura 9. La scrittura delle equazioni di equilibrio fornisce le reazioni vincolari che valgono R H = 0 R V f l = 0 M + f l l = 0 R H = 0 R V = f l M = f l Per il calcolo delle azioni interne è sufficiente aprire il corpo in un punto qualunque (visti i vincoli e i carichi) e scrivere le equazioni di equilibrio per le forze agenti sulla porzione di struttura. Detta x la distanza tra il punto A e il punto in cui si apre la struttura (vedi figura 10), i due sistemi di equazioni sono N = 0 T f x = 0 M f l + f x x = 0 che forniscono come soluzione N = 0 T f (l x) + f l = 0 M f (l x) l x + f l l x = 0 N = 0 T = f x M = f l f x I diagrammi delle azioni interne sono quindi tracciati in figura 11. 7

8 Figura 10: Azioni interne per una struttura soggetta a carico distribuito Figura 11: Diagrammi delle azioni interne per una struttura soggetta a carico distribuito 8