Makespan con set-up dipendenti dalla sequenza. 1/s jk /C max

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1 Makespan con set-up dipendenti dalla sequenza 1/s jk /C max

2 1/s jk /C max Un tempo di riattrezzaggio (set-up) s jk è richiesto fra il processamento di j e quello di k. In questo caso, C max dipende dalla sequenza. In generale il problema è NP-hard in senso forte. Caso speciale: a ciascun jo sono associati due parametri a j e, ed il tempo di set-up è dato das jk = a k - Motivazione: dopo il processamento di j la macchina è lasciata nello stato e, per poter processare k, deve essere portata nello statoa k. Il tempo richiesto dipende dalla distanza fra i due stati.

3 modello TSP Ad ogni job corrisponde una città, con l aggiunta di una città fittizia0, con parametria 0, b 0. Si assume b 0 b 1 b n Le sequenze di job corrispondono ai cicli hamiltoniani (tour) s s 1 s 1 s 01 s 1 s

4 modello TSP funzione permutazione: Φ: j suo successore. ϕ(j) associa al job (città) j il Non tutte le permutazioni corrispondono a tour: {0, 1,, } {, 1,, 0} {0, 1,, } {,, 0} {1} sub-tour

5 rappresentazione di una permutazione insieme di frecce che connettono, j= 0,, n ad a k, k=0,, n b n a n 1 b n 1 b b 1 b 0 a k a a 0 a 1 a n costo dello spostamento da j a k costo della permutazione: somma delle componenti verticali delle frecce

6 swap Definizione. Data una permutazione Φ, uno swap I(j,k) produce una nuova permutazione Φ'= Φ I(j, k) tale che: ϕ'(k) = ϕ(j), ϕ'(j) = ϕ(k), ϕ'(l) = ϕ(l), l j, k Uno swap I(j,k) scambia il successore di j con quello di k lasciando il resto della permutazione inalterata

7 Effetto di uno swap 0 1 I(1,) 0 1 Osservazione. Se j e k appartengono allo stesso ciclo in Φ, allora I(j, k) produce due sotto-cicli; altrimenti, I(j, k) fonde due i due sotto-cicli che contengono j e k.

8 Swap I(j,k) b k a φ(j) b k a φ'(k) a φ(k) a φ'(j) ϕ'(k)=ϕ(k) I(j,k)=ϕ(j) ϕ'(j)=ϕ(j) I(j,k)=ϕ(k) Osservazione. Se le due frecce si intersecano in Φ, allora non si intersecano in Φ' = Φ I(j,k) e viceversa.

9 Variazione di costo c Φ I(j,k) : variazione del costo della permutazione Φ quando si applica lo swap I(j,k) Lemma 0. Se lo swap I(j, k) fa intersecare due frecce non intersecantisi, allora il costo della permutazione aumenta e viceversa. Il valore di tale variazione è pari al doppio della lunghezza dell intersezione degli intervalli [,b k ] e [a φ(j),a φ(k) ]: c Φ Ij (, k) = [ bj, bk] [ aφ( j), aφ( k) ] in cui: [ a, b] = ( b ( a a) b) se se b b < a a

10 Variazione di costo a φ(j) a φ'(k) b k b k a φ(k) a φ'(j) c Φ I( j, k) = [ bj, bk] [ aφ( j), aφ( k) ]

11 Conseguenza Corollario. Una permutazione ottima Φ* si ottiene quando b k a Φ (j) a Φ (k), cioè quando le frecce del diagramma sono tutte mutuamente non intersecantisi La permutazione Φ* non corrisponde, in generale, ad un tour ammissibile, ma ad un insieme di sub-tour T 1,, T p. Tuttavia, il valore di Φ* è un lower bound del valore ottimo. T 1 T p Φ* T

12 Algoritmo Applicando a Φ* uno swap I(j, k) in cui j e k appartengono a sub-tuor distinti, i due sub-tour vengono fusi, ma il costo della permutazione aumenta (si rendono intersecantisi frecce che non lo erano). j a φ(k) T 1 T p k b k T a φ(j) Il metodo consiste nel cercare la sequenza di swap tale da costruire un tour ammissibile minimizzando l aumento di costo rispetto a Φ*

13 Algoritmo Consideriamo il grafo supporto (non orientato) corrispondente a Φ*. Connettere due sotto-cicli richiede l inserimento di nuovi archi. A ciascun arco con estremi in cicli diversi si assegna un peso pari al costo del corrispondente swap. T 1 j c Φ I(j, k) T p k T Il grafo connesso (cioè il tour ammissibile) di costo minimo si ottiene scegliendo iterativamente l arco di costo minimo che connette cicli distinti (algoritmo greedy)

14 + Scelta degli archi Lemma 1. Una collezione di archi che connette il grafo supporto a costo minimo contiene solo archi del tipo (j, j + 1) Dimostrazione. Il costo degli archi è calcolato dal Lemma 0 rispetto a Φ*. Il costo di swap di due frecce non adiacenti è almeno pari alla somma dei costi di swap di tutte le frecce comprese fra esse: +1

15 Difficoltà I costi c Φ I(j, k) assegnati agli archi inter-ciclo del grafo supporto sono stati calcolati con l assunzione che i corrispondenti swap fossero applicati a Φ*, in cui non ci sono intersezioni fra frecce. Al contrario, man mano che gli swap sono eseguiti, tale ipotesi non è più valida T 1 j c Φ I(j, k) T p k T

16 Esempio Nella situazione di figura si ha c Φ I(1, )= e c Φ I(, )=. Se eseguiamo prima lo swap I(, ) e poi I(1, ), il costo di quest ultimo in Φ' rimane pari a c Φ I(1, ). a φ() a φ() b b b 1 a φ() b b b 1 a φ() a φ(1) Φ' = Φ I(, ) a φ(1)

17 Esempio Al contrario, se eseguiamo prima lo swap I(1, ) e poi I(, ), il costo di quest ultimo cambia: c Φ' I(, ) = 4. a φ() a φ() b b b 1 a φ() b b b 1 a φ() a φ(1) Φ' = Φ I(1, ) a φ(1)

18 Scelta della sequenza di swap Informalmente, quando si esegue (a partire dalla permutazione ottima) uno swap la cui freccia inferiore punta in su (punta in giù) il costo degli swap inferiori (superiori) non cambia. a φ(j) a φ(j)

19 Classificazione degli swap Definizione. Un nodo j è detto di Tipo 1 se a Φ(j) Tipo se > a Φ(j) Uno swap è detto di Tipo 1 se il suo nodo inferiore è di tipo 1 Tipo se il suo nodo inferiore è di tipo a φ(k) a φ(k) b k a φ(j) b k Tipo 1 Tipo a φ(j)

20 Scelta della sequenza di swap È possibile ottenere un tour ammissibile senza modificare i costi degli archi inter-ciclo c Φ I(j, k) mediante la seguente: Regola: eseguire gli swap di tipo 1 in ordine decrescente di indici seguiti dagli swap di tipo in ordine crescente di indici

21 Esempio job a j stato iniziale b 0 stato finale a 0 Step 1: job a j a Φ*(j) φ*(j)

22 Esempio Step : Step : 6 5 arco (1,) (,) (,4) (4,5) (5,6) a Φ*(j) a Φ*(j+1) c Φ I(j, j+1)

23 Esempio Step 4: Step 5: arco (1,) (,) (,4) a Φ*(j) tipo (4,5) 6

24 Step 6: arco (1,) (,) (,4) a Φ*(j) tipo Step 7: Esempio (4,5) 6 j 1 =, j = 1 k 1 =, k = 4 Φ** = Φ* I(, ) I(1, )I(, 4) I(4, 5) città φ*(j) φ*(j)i(,) φ*(j)i(,)i(1,) φ*(j)i(,)i(1,)i(,4) φ*(j)i(,)i(1,)i(,4)i(4,5)

25 Tour ottimo città φ*(j)i(,)i(1,) I(,4)I(4,5)