RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN EQUAZIONE

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1 RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI UN EQUAZIONE Introduzione Si vogliano individuare, se esistono, le radici o soluzioni dell equazione f(x)=0. Se f(x) è un polinomio di grado superiore al secondo o se è una espressione trascendente o mista, non sempre è possibile risolvere l equazione per via elementare, in tal caso si ricorre a metodi più complessi che consentono di determinare approssimativamente le soluzioni, con precisione elevata quanto si vuole. Intanto si osserva che, geometricamente, il problema si traduce nella determinazione dell ascissa di uno o più punti di intersezioni del grafico γ della funzione y= f(x) con l asse delle x. Se sulla funzione reale f(x), di variabile reale x, non si formula alcuna ipotesi, il problema esposto rimane molto generico; infatti l equazione potrebbe non ammettere soluzioni o ammetterne un numero finito oppure un numero infinito. Nella più ampia casistica, si supponga la f(x) continua, derivabile più volte e che ammetta un numero finito di radici in ogni intervallo finito del suo dominio. Sotto tali ipotesi il procedimento risolutivo si può articolare in due fasi: Determinazione degli intervalli dell asse reale all interno del quale esiste ed è unica la radice a di f(x)=0 (problema della separazione delle variabili); Applicazione di un algoritmo opportuno alla funzione in ciascuno degli intervalli trovati, che permetta di determinare lo zero appartenente a quell intervallo con l approssimazione che si vuole. La prima fase è comune ai vari metodi risolutivi. Per localizzare le radici può essere utile: uno studio sommario della funzione y = f(x), cercando di stabilire approssimativamente dove il grafico γ di questa interseca l asse delle x; cercare di scrivere la f(x) come differenza di due funzioni f(x) = ϕ(x) - g(x) studiare le due funzioni y 1 = ϕ(x) e y 2 = g(x) e, per via grafica, individuarne approssimativamente le loro intersezioni; studiare quando è possibile il segno di f(x) ad intervalli regolari, sufficientemente piccoli, sull asse reale ed evidenziare gli intervalli [a i,b i ] in cui la funzione cambia segno: se la funzione è continua e f (a i )*f (b i )<0, esisterà almeno un valore α ] a i,b i [ per cui f(α) = 0. Per localizzare la radice in intervalli più ristretti, ed essere così certi che tale radice è unica, si può utilizzare sia il metodo grafico sia quello numerico.

2 METODO DI BISEZIONE O DICOTOMICO Il principio su cui si basa questo metodo è quello di ridurre successivamente le dimensioni dell intervallo che contiene la radice cercata; una volta ottenuto un intervallo sufficientemente piccolo, poiché la radice cade all interno dell intervallo, se ne potrà determinare il valore con l approssimazione desiderata. Si consideri la funzione y = f (x), continua nell intervallo [a, b], e tale che f (a)* f (b) < 0 date le ipotesi, esiste almeno un valore α ] a,b [ per cui f(α) = 0 Se inoltre f (x) 0 " x ] a, b [, allora in tale intervallo la radice α è unica Sia x ] a, b [, detto m = a + b 2 il valore medio di a e b, allora: a 1 = [ a + (1- segno(f (a)* f(m))* a/2 + (1+ segno(f (a)* f(m))* b/2]/2 b 1 = [ b + (1- segno(f (a)* f(m))* a/2 + (1+ segno(f (a)* f(m))* b/2]/2 sono gli estremi del nuovo intervallo contenente la radice. Iterando il processo, si determineranno gli intervalli inscatolati [a 1,b 1 ], [a 2,b 2 ],., [a n,, b n ] e i valori m 1, m 1,.., m n, permanendo la condizione f (a n )* f (b n ) < 0 Si possono verificare due casi: 1. se per un certo n, f (m n )=0, allora la radice cercata è proprio α = m n 2. se f (m n ) 0 è possibile determinare intervalli sempre più piccoli [a n, b n ], che consentono di approssimare come si vuole il valore di α. Poiché ogni intervallo ha un ampiezza metà dell intervallo precedente, l errore che si commette nella valutazione di α, al passo n, è minore di b - a 2 n+1 METODO DELLE SECANTI Sia f(x)=0, l equazione di cui si vuole determinare la radice α. Se f(x) è continua nell intervallo [a, b] e f(a) * f(b) < 0, il punto α apparterrà all intervallo e i valori a e b si possono considerare come due prime approssimazioni di α.

3 La successiva approssimazione x 0 si trova servendosi di un procedimento d interpolazione del primo ordine, e precisamente interpolando l arco di curva che passa per i punti di coordinate [a, f(a)], [b,f(b)], con la quale la corda che unisce tali punti, e trovandone l ascissa del punto di intersezione con l asse x. L equazione della corda è: y - f(a) = x a f(b)-f(a) b a ovvero y = f(a) + (x-a). f(b)-f(a) b - a L ascissa x 0 del punto di intersezione con l asse x è data da: generalizzando x 0 = a f(b) - b f(a), f(b) - f(a) x n+1 = a f(x n ) - x n f(a) se f(a)*f (x)>0 (1) f(x n ) - f(a) oppure: x n+1 = x n f(b) - b f(x n ) se f(a)*f (x)<0. (2) f(b) - f(x n ) iterando la ricerca si perverrà alla successione x 0, x 1,x 2,.,x n, decrescente nel caso (1) o crescente nel caso (2), convergente al valore α cercato. y x 2 x 1 b= x 0 a α x

4 METODO DELLE APPROSSIMAZIONI SUCCESSIVE O DELLA FUNZIONE DI ITERAZIONE Sia α R una radice separata dell equazione f(x) = 0 (1) e [a,b] un intervallo che la contiene, si constata facilmente che la (1) è equivalente all equazione f(x) + x = x posto f(x) + x = ϕ(x) la (1) si trasforma in x = ϕ(x) (2) pertanto se α è soluzione della (1) allora è soluzione della (2), e si ha α = ϕ (α) α si dice punto fisso o punto unito di ϕ(x). Geometricamente la soluzione della (1) coincide con l ascissa del punto d intersezione di y = x e y = ϕ(x) Non tutte le ϕ(x) di iterazione generano successioni di {x n } convergenti ad α, la condizione affinchè ciò avvenga è che esista un opportuno intorno F di α dove la ϕ(x) sia continua con la sua derivata prima e che in tale intorno F sia : 0 < ϕ (x) q < 1 in tal caso per ogni x 0 F, esiste una successione {x n },contenuta in F e convergente ad α.

5 METODO DELLE TANGENTI Sia f(x) = 0, l equazione di cui si vuole determinare la radice α e sia [a, b] l intervallo che contiene α, sia inoltre f(x) una funzione almeno di classe due su [a,b]. A partire da un punto x 0 [a, b] si sostituisce a y = f(x) l equazione della tangente a f(x) nel punto [x 0, f(x 0 )], ossia Invece di risolvere f(x)=0 si risolve l equazione y =, f(x 0 ) +, f (x 0 )(x - x 0 ) che ha per soluzione, f(x 0 ) +, f (x 0 )(x - x 0 ) = 0 x 1 = x 0 - f (x 0 ) ( 1 ) f (x 0 ) con x 1 ascissa del punto di intersezione della tangente con l asse delle ascisse. Tale valore si considera una prima approssimazione di α. Ripetendo il procedimento descritto a partire da x 1, si otterrà una successiva approssimazione x 2 di α. Iterando n+1 volte il procedimento si può giungere alla formula ricorsiva seguente: x n+1 = x n - f (x n ) x 0 = a ( 2 ) f (x n ) Si ottiene una formula identica alla (2) partendo da x 0 = b anzicchè da a. Nell ipotesi che f (x) 0 "x [ a,b ] si dimostra che il procedimento è convergente a partire da un qualsiasi x 0 [ a,b ]. y O x o =a x 1 x 2 x b