Appunti di Trigonometria per il corso di Matematica di base

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1 Appunti di Trigonometria per il corso di Matematica di base di Giovanna Neve Diploma accademico di primo livello per il corso di Tecnico di Sala di Registrazione Conservatorio C. Pollini Padova

2 Indice 1. Il seno di un angolo Il coseno di un angolo La tangente di un angolo Periodicità delle funzioni trigonometriche Risoluzione dei triangoli rettangoli Rappresentazione grafica delle funzioni trigonometriche... 8 / 9

3 1. Il seno di un angolo Su un piano cartesiano Oxy si costruisca un cerchio di raggio r col centro sull'origine. Scelto sulla circonferenza un punto P appartenente al I quadrante, siano OH l'ascissa e PH l'ordinata del punto P. Il raggio passante per P forma un angolo α col semiasse positivo x. y P II O r H I verso positivo misura angoli x III IV fig. 1 Si definisce seno dell'angolo α il rapporto tra l'ordinata di P e il raggio del cerchio e si legge senα. Si ha cioè senα = PH 1 PO (1) Si vede subito che se, ad esempio, α = 45, sen α =. Infatti i questo caso il triangolo PHO è metà di un quadrato di lato PH e avente r come diagonale. E' noto che la diagonale del quadrato è data dal prodotto del lato per. Cioè PO = PH da cui: senα = PH = 1 = PO P r 45 O H fig. x Analogamente sarebbe facile dimostrare che sen 0 = 0 1 Il rapporto tra due grandezze omogenee, come sono due segmenti, è un numero puro, cioè un numero privo di dimensioni, ovvero di unità di misura. Se invece si esegue ad esempio il rapporto tra uno spazio ed un tempo (grandezze non omogenee) si ottiene non un numero puro, bensì una grandezza, nel caso specifico una velocità. E la velocità ha una sua unità di misura (metri al secondo, km all'ora, ecc.). Il numero puro sottintende, non un'unità di misura, bensì la parola "volte" (es. se il segmento A diviso per il segmento B dà come risultato 3, significa che B sta 3 volte in A). Da quanto sopra si deduce che, se si misurano i segmenti in metri oppure in centimetri oppure in millimetri il seno di un determinato angolo non cambia. 3 / 9

4 sen 30 = 0,5 sen 60 = 3 sen 90 = 1 Per gli angoli intermedi, di non immediata deduzione, si ricorre alla calcolatrice. Il radiante è un angolo corrispondente ad un arco lungo come il raggio. Una circonferenza quanti raggi contiene? Tutti sanno che il rapporto tra circonferenza e raggio è π. Allora l'angolo giro (360 ) misura, in radianti, π. E quindi TAB. 1 un angolo di cioè pari a misura, in radianti, 180 1/ di angolo giro π 90 1/4 di angolo giro π/ 60 1/6 di angolo giro π/3 45 1/8 di angolo giro π/4 30 1/1 di angolo giro π/6 0 0 In generale la relazione tra la misura in gradi e la misura in radianti di un angolo è la proporzione: da cui si ricava: misura in gradi:180= misura in radianti : π α rad = α π / 180 () * * * Per completare il quadro, si osservi che quando α è maggiore di 90, il punto P si sposta sui quadranti successivi della circonferenza e fino a 180 l'ordinata PH è sempre positiva. Quando α supera i 180 le ordinate PH diventano negative e vi rimangono fino a che α non ha raggiunto i 360. Per α=360, come del resto per α=0, si ha che sen α = 0 perché PH si riduce a zero.. Il coseno di un angolo Con riferimento alla fig. 1, si definisce coseno dell'angolo α il rapporto tra l'ascissa di P e il raggio del cerchio e si legge cosα. Si ha cioè cosα = HO PO Con ragionamenti del tutto analoghi a quelli sviluppati sopra si trova che: (3) 4 / 9

5 e inoltre che: cos 45 = cos 0 = 1 cos 30 = 3 cos 60 = 0,5 cos 90 = 0 Anche per il coseno si possono prendere in considerazioni angoli α maggiori di 90 e si trova che da 90 a 70 il coseno è negativo (a 90 e a 70 il coseno è zero; a 180 è uguale a -1), mentre oltre i 70 e fino a 360 il coseno è positivo. Osservando la fig. 1, applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo OHP. Otteniamo: PH + OH = PO Dividendo membro a membro per PO si ottiene: PH PO + OH PO = 1 Ma applicando la (1) e la (3) si trova la relazione fondamentale tra seno e coseno: sen α + cos α = 1 (4) 3. La tangente di un angolo Con riferimento alla fig. 1, si definisce tangente dell'angolo α il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di P. Si ha cioè tangα = PH OH (5) Con riferimento alla fig. si vede che se α = 45, tang α = 1 perché rapporto tra i due lati di un quadrato. Si osservi inoltre che tangα = PH = PH OP = senα 1 OH OP OH = senα cosα cosα (6) 5 / 9

6 cioè che la tangente di un angolo è il rapporto tra il seno e il coseno di quell'angolo. Ciò ci consente subito di scrivere il valore di tangα per i valori più comuni di α: TAB. α rad sen α cos α tang α π/6 1/ π/ π/3 3 1/ 3 90 π/ 1 0 no Si osservi che tang 90 non esiste, essendo il rapporto tra sen 90 (che è 1) e cos 90 (che è zero); ma un numero diviso per zero non ha significato. 4. Periodicità delle funzioni trigonometriche È facile osservare che le funzioni trigonometriche fin qui esaminate ripetono i loro valori non appena α ha superato un certo valore. E precisamente il seno e il coseno al variare di α da 0 a π assumono determinati valori; quando α riprende ad aumentare oltre π, il seno e il coseno tornano ad assumere per π + α gli stessi valori che avevano assunto per α. Si dice allora che la periodicità di sen α e di cos α è π. La tangente, invece, ripete i suoi valori dopo che α ha superato π, cioè tang (π + α) = tang α. Quindi la periodicità di tang α è π. 5. Risoluzione dei triangoli rettangoli Le tre funzioni trigonometriche sopra definite consentono di risolvere semplici problemi di geometria relativi ai triangoli rettangoli. In quanto non esiste numero che moltiplicato per zero dia 1. 6 / 9

7 Problema N.1: Un triangolo rettangolo ABC, retto in B, ha l'angolo in A di 0 e l'ipotenusa di 10 metri. Quanto misura il cateto opposto all'angolo A? A 10 0 C B Si osservi che questo triangolo è del tutto analogo al triangolo OHP della fig. 1. Se allora applichiamo a questo triangolo la definizione di seno possiamo scrivere. senα = PH PO da cui si ricava la formula di frequentissimo impiego: che si può così enunciare: PH = POsenα (7) Il cateto di un triangolo rettangolo è dato dall'ipotenusa moltiplicata per il seno dell'angolo opposto al cateto da determinare. Nel nostro caso, visto che, per la () 0 sono 0 π /180=0, rad, abbiamo: BC = AC sen α=10 sen 0, = 10 0,34 = 3,4 m Problema N.: Un piano inclinato forma con il piano orizzontale un angolo di 40. Sapendo che la misura della sua proiezione sul piano orizzontale misura 4 metri, quant'è la lunghezza del piano inclinato? A piano inclinato 40 piano orizzontale C B Dalla (3) si può ricavare un'altra formula di frequentissimo impiego: che si può così enunciare: HO = PO cos α (8) Un cateto di un triangolo rettangolo è dato dall'ipotenusa moltiplicata per il coseno dell'angolo adiacente al cateto da determinare. Nel nostro caso: da cui AC = 5, metri. AB=AC cos 40 4 = AC 0,766 7 / 9

8 Problema N 3: Un albero AC giacente su un piano orizzontale, è visto da un osservatore posto nel punto B che si trova a 1 metri dal piede dell'albero, con l'occhio per terra, sotto un angolo di 50. Quant'è l'altezza dell'albero? Dalla (5) e con riferimento alla fig. (1) si ricava un'altra formula di frequentissimo impiego: C h 50 PH = OH tang α (9) A 1 m B che si può così enunciare: In un triangolo rettangolo un cateto è uguale all'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al cateto da determinare. Nel nostro caso il cateto da determinare è AC; quello noto è AB e vale 1 metri, l'angolo opposto ad AC misura 50. Quindi: AC=AB tang 50 = 1 1,19 = 14,3 metri * * * Come si vede queste tre formule consentono di "risolvere" un triangolo rettangolo, nel senso che, noti due elementi (un lato ed un angolo), si possono determinare tutti gli altri. 6. Rappresentazione grafica delle funzioni trigonometriche Su un asse orizzontale rappresentiamo i valori dell'angolo α in gradi (o in radianti), verso destra i valori positivi e verso sinistra i valori negativi; su quello verticale rappresentiamo i valori di sen x, cos x e tang x. Verso l'alto i valori positivi e verso il basso i valori negativi. 8 / 9

9 sen x cos x tang x x Fig. 3 Un punto determinato da un valore di x e dal suo corrispondente di sen x (o di cos x, o di tang x) è un punto del diagramma di sen x (o di cos x, o di tang x). Come si vede in fig. 3, il diagramma di sen x comincia dal valore zero per x=0, cresce fino a raggiungere il valore 1 per x=90, decresce fino a -1, valore raggiunto per α=70 ed infine ritorna al valore zero raggiunto per x=360. Per x>360 ripete nuovamente il ciclo: è per questo che la sinusoide ha periodicità di 360 (cioè π). Il diagramma del coseno ha un andamento simile a quello del seno, solo che si sviluppa in anticipo di 90 rispetto al seno. Per esempio, il valore massimo viene raggiunto dal coseno per x=0, mentre dal seno viene raggiunto per x=90. Il diagramma della tangente ha un andamento profondamente diverso. Infatti: 1. per x=90 il diagramma non esiste (ricordare la definizione di tang α). a mano a mano che ci si avvicina a 90 da sinistra, i valori di tang x diventano sempre più grandi; 3. a mano a mano che ci si avvicina a 90 da destra, i valori di tang x diventano sempre più grandi in valore assoluto, ma negativi; 4. Il diagramma di tang x si ripete ogni 180 ; la sua periodicità, cioè, è di 180 (cioè di π). 9 / 9