Geometria dei triangoli, senza assioma delle parallele

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1 Storia della matematica Università di Roma 13 Marzo Roma (UniRoma) 13 Marzo / 25

2 , senza assioma delle L angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni opposti (Proposizione 16) Due angoli di un triangolo sono [complessivamente] minori di due angoli retti, comunque vengano presi (Proposizione 17) Qualora due triangoli abbiano due lati rispettivamente uguali tra loro ma l angolo compreso tra le rette uguali uno maggiore dell altro, avranno anche una base maggiore dell altra (Proposizione 24) Secondo criterio di congruenza : qualora due triangoli abbiano due angoli rispettivamente uguali e uguale o il lato compreso fra gli angoli uguali o un lato che è opposto a uno degli angoli uguali, avranno uguali anche i lati e l angolo restanti (Proposizione 25) Se una retta incidente su altre due forma angoli interni uguali tra loro, le rette saranno (Proposizione 27) (UniRoma) 13 Marzo / 25

3 Proposizione 16 Prolungato un lato di ogni triangolo, l angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni e opposti (UniRoma) 13 Marzo / 25

4 Proposizione 17 Due angoli di ogni triangolo sono complessivamente minori di due angoli retti, comunque vengano presi 2 retti = ĈBA + ĈBD > (Prop. I.16) > ĈBA + ĈAB. (UniRoma) 13 Marzo / 25

5 La geometria iperbolica nel modello di (Poincaré) Punti: all interno di un cerchio ; Retta (segmento) per due punti A e B: l intersezione di con la circonferenza per A, B e i punti A e B ottenuti per inversione circolare di A e B rispetto al bordo di. Angolo iperbolico tra due curve che si intersecano in un punto è l angolo euclideo tra le rispettive tangenti. Cerchio iperbolico dei centro P e raggio PQ: si costruisce l asse iperbolico del segmento intersecando il cerchio per il punto P inverso di P rispetto a per i punti di tangenza delle rette tangenti condotte da P a ; si prende l inverso Q di Q rispetto all asse, si inverte rispetto all asse il cerchio di centro O passante per Q (UniRoma) 13 Marzo / 25

6 Retta iperbolica (UniRoma) 13 Marzo / 25

7 Triangoli iperbolici (UniRoma) 13 Marzo / 25

8 Cerchio iperbolico (UniRoma) 13 Marzo / 25

9 La geometria Punti: punti sulla superficie di una sfera Σ); Retta (segmento) per due punti A e B: l intersezione di Σ con il piano π pasante per A, B e il centro O della sfera (per due punti un segmento, ma non uno solo). Angolo sferico tra due curve che si intersecano in un punto è l angolo euclideo tra le rispettive tangenti. Cerchio sferico dei centro P e raggio PQ: intersezione di Σ con il piano per Q, ortogonale a OP. (UniRoma) 13 Marzo / 25

10 Segmento sferico (UniRoma) 13 Marzo / 25

11 Triangolo Sferico (UniRoma) 13 Marzo / 25

12 Cerchio sferico (UniRoma) 13 Marzo / 25

13 In questa forma (cfr. [R4]) valgono per la geometria euclidea, iperbolica ed ellittica. Si richieda di poter condurre una linea retta da qualsiasi punto a ogni altro punto Si richieda di poter prolungare ogni retta per dritto e con continuità E di descrivere un cerchio con qualunque centro e raggio Si richieda che tutti gli angoli 1 retti 2 siano uguali tra loro 1 Un angolo piano è l inclinazione di due linee che si incontrano reciprocamente in un piano e non giacciono sulla stessa retta. 2 Quando una linea retta innalzata su un altra linea retta forma angoli adiacente uguali tra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto. (UniRoma) 13 Marzo / 25

14 Un lacuna nella dimostrazione della proposizioni 16 La proposizione 16, che dovrebbe dipendere dai soli 1-4 (e dai inespressi relativi alle proposizioni 1, 4 e 8) dovrebbe quindi valere anche nella geometria. Controesempio (UniRoma) 13 Marzo / 25

15 Qual è la ragione? Rifacendo la dimostrazione di I.16 si vede che sulla sfera la retta CF può essere esterna all angolo ECD. Controesempio (UniRoma) 13 Marzo / 25

16 Ricapitoliamo valgono nelle geometria euclidea, e iperbolica. La proposizione I.16 vale nella geometria euclidea e in quella ellittica. Dalla I.16 segue: la I.17; la somma degli angoli di un triangolo è minore o uguale a due retti; la retta per due punti è unica. (UniRoma) 13 Marzo / 25

17 La somma degli angoli di un triangolo è minore o uguale a due retti I triangoli ABF e AFC hanno somma totale degli angoli uguale a quella di ABC. ma almeno uno dei due ha angolo in B minore o uguale alla metà dell angolo in B del triangolo originale. Iterando il procedimento riusciamo a produrre triangoli con l angolo in B arbitrariamente piccolo e tali da avere la somma totale degli angoli uguale a quella del triangolo iniziale. Per il Teorema I.17 allora la somma totale degli angoli deve essere minore o uguale a due retti. (UniRoma) 13 Marzo / 25

18 La retta per due punti è unica Supponiamo per assurdo che A e B possano essere congiunti da due diverse rette. Sia P un punto appartenente solo alla prima e non alla seconda retta e Q un punto appartenente solo alla seconda e non alla prima retta. La somma dei angoli ÂPQ ÂQP, QPB e QBP dovrebbe valere retti per la proposizione 13 (Qualora una retta innalzata su un [altra] retta formi degli angoli, o formerà due angoli retti o angoli [complessivamente] uguali a due angoli retti). Ma questa somma deve anche essere minore a retti per la Prop. 17 (valida in geom. euclidea e iperbolica), da cui l assurdo. (UniRoma) 13 Marzo / 25

19 Sono rette quelle che essendo nello stesso piano e prolungate all infinito da entrambe le parti, in nessuna di esse si incontrano. Proposizione 27: Qualora una retta incidente su altre due rette formi angoli alterni uguali tra loro, le rette sono. Postulato quinto: [Si richieda che] qualora una retta incidente su [altre] due rette formi gli angoli interni dalla stessa parte [complessivamente minori di due angoli retti, le due rette prolungate all infinito si incontrano dalla parte in cui ci sono gli angoli minori di due retti. Proposizione 29: Una retta incidente su rette forma gli angoli alterni uguali, l angolo esterno uguale all angolo interno e opposto e gli angoli interni [che si trovano] dalla stessa parte [complessivamente] uguali a due angoli retti. Proposizione 31: costruzione della parallela a una retta per un punto Proposizione 32: prolungato uno dei lati di ogni triangolo, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni opposti e i tre angoli interni del triangolo sono complessivamente uguali a due retti. (UniRoma) 13 Marzo / 25

20 Osservazioni Il quinto postulato vale anche per la geometria sulla sfera. L esistenza di fa uso dell proposizione (postulato) 16 e vale quindi anche in geometria iperbolica. L assioma di Playfair (già presente in Proclo) recita: Data una qualunque retta e un punto P esterna ad essa, esiste una e una sola retta passante per P e parallela alla retta data. A differenza di quello di Euclide non vale sulla sfera. La proposizione 32 necessita sia dell esistenza che dell unicità. Con la sola esistenza si ha che la somma deve essere minore o uguali a due retti. Con la sola unicità (cioè senza esistenza) si ha che la somma deve essere maggiore o uguale a due retti. (UniRoma) 13 Marzo / 25

21 Parallelogrammi che siano posti su basi uguali e fra le stesse sono uguali tra loro (proposizione 36). (UniRoma) 13 Marzo / 25

22 Proposizione 46 (Costruzione del quadrato), Proposizione 47 (Teorema di ), Proposizione 48 (Inverso del teorema di ) (UniRoma) 13 Marzo / 25

23 iperbolico e sferico sferico Se ABC è un triangolo sferico retto in A e con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il coseno dell ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei cateti: cos(a/k) = cos(b/k) cos(c/k) (k costante opportuna). iperbolico Se ABC è un triangolo iperbolico retto in A e con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il coseno iperbolico dell ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni iperbolici dei cateti: cosh(a/k) = cosh(b/k) cosh(c/k) (k costante opportuna). (UniRoma) 13 Marzo / 25

24 La rete delle dipendenze per arrivare alla dimostrazioni (UniRoma) 13 Marzo / 25

25 Esercizio Prendere una dimostrazione del teorema di e determinare la rete di dipendenza necessarie per giungere alla dimostrazione. (UniRoma) 13 Marzo / 25