Docente: prof. Giordani D. Anno Scolastico 2015/2016 PROGRAMMA DI ALGEBRA CAPITOLO 3 GLI INSIEMI E LA LOGICA

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1 PROGRAMMA di MATEMATICA SVOLTO Docente: prof. Giordani D. Classe 1 O sezione sportivo Anno Scolastico 2015/2016 PROGRAMMA DI ALGEBRA CAPITOLO 3 GLI INSIEMI E LA LOGICA Concetto di insieme e sua rappresentazione, sottoinsiemi propri ed impropri, insieme delle parti; operazioni con gli insiemi: intersezione, unione, differenza, insieme complementare; prodotto cartesiano, partizione di un insieme, quantificatore universale ed esistenziale; simboli insiemistici. CAPITOLO 1 I NUMERI NATURALI E I NUMERI INTERI Proprieta' delle operazioni definite in un insieme: commutativa, associativa, elemento neutro, elementi simmetrici, proprietà distributiva. Gli insiemi numerici N, Z, Q, I, R e le loro relazioni insiemistiche. Proprieta' delle operazioni in N e legge di annullamento del prodotto. Numeri primi, scomposizione in fattori primi, M.C.D. e m.c.m.. Le potenze e le 5 proprieta' delle potenze. Le espressioni con i numeri naturali e l'applicazione delle proprietà delle potenze. L'insieme Z dei numeri relativi: la rappresentazione dei numeri interi su una retta, le operazioni e le loro proprietà; le potenze con base negativa; le leggi di monotonia. Le espressioni con i numeri relativi e l'applicazione delle proprietà delle potenze. CAPITOLO 2 I NUMERI RAZIONALI L'insieme Q dei numeri razionali: frazioni equivalenti, proprietà invariantiva e semplificazione di frazioni, confronto tra numeri razionali, la rappresentazione dei numeri razionali sulla retta, le operazioni e le loro proprietà, le potenze con esponente intero negativo. Le espressioni con i numeri razionali e l'applicazione delle proprietà delle potenze. Le percentuali, le proporzioni e loro proprieta', problemi con percentuali e proporzioni. Dalle parole alle espressioni: problemi con le frazioni. La trasformazione dei numeri decimali limitati e dei numeri periodici in frazione e viceversa. CAPITOLO 4 LE RELAZIONI E LE FUNZIONI Le relazioni binarie, proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva, le relazioni di equivalenza: classi di equivalenza ed insieme quoziente. La proprietà antiriflessiva e antisimmetrica, le relazioni di ordine stretto e di ordine largo, le relazioni di ordine parziale e di ordine totale. Le funzioni: definizione, dominio, codominio, funzione suriettiva, iniettiva, biiettiva. Coordinate cartesiane sulla retta e nel piano: tabella e grafico per rappresentare una qualsiasi funzione per punti. La funzione di proporzionalità diretta e la funzione di proporzionalità inversa. La funzione lineare: forma esplicita, coefficiente angolare, termine noto, grafico della retta, rette parallele e rette perpendicolari. La funzione quadratica: la parabola con asse di simmetria coincidente con l'asse y e vertice nell'origine. CAPITOLO 5 I MONOMI E I POLINOMI I monomi: definizione, grado, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza, MCD, mcm. I polinomi: definizione, grado, addizione, sottrazione, moltiplicazione; espressioni con polinomi. I prodotti notevoli: quadrato di un binomio, quadrato di un trinomio, somma per differenza, cubo di un binomio; il triangolo di Tartaglia. La divisione tra due polinomi; la divisione con la regola di Ruffini; il teorema del resto e la sua applicazione per scomporre la differenza di due cubi e la somma di due cubi. PAG.1/3

2 CAPITOLO 6 LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI E LE FRAZIONI ALGEBRICHE La scomposizione in fattori dei polinomi: riconoscimento di un prodotto notevole, teorema degli zeri e scomposizione con Ruffini; scomposizione a fattor comune, scomposizione a fattor parziale. M.C.D. e m.c.m. fra polinomi. Frazioni algebriche: condizioni di esistenza, semplificazione, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza. CAPITOLO α INTRODUZIONE ALLA STATISTICA La popolazione, i caratteri (qualitativi e quantitativi), le modalità. Le tabelle di frequenza: la frequenza assoluta e la frequenza relativa. La rappresentazione grafica dei dati. Gli indici di posizione centrale; media aritmetica, media ponderata, moda e mediana. Gli indici di variabilità: il campo di variazione, la varianza e la deviazione standard. La distribuzione gaussiana: la curva di Gauss; il grafico e la sua relazione con la deviazione standard. CAPITOLO 7 LE EQUAZIONI LINEARI Equazioni: la forma normale di un'equazione e il suo grado, equazioni equivalenti, primo e secondo principio di equivalenza e conseguenze; metodo per risolvere un'equazione di 1 grado. Identità, verifica della soluzione di un'equazione; equazioni a coefficienti frazionari. Equazioni fratte: campo di esistenza ed accettabilità delle soluzioni. Problemi risolubili tramite equazioni; problemi geometrici risolubili algebricamente. La classificazione di un'equazione: l'equazione indeterminata e l'equazione impossibile. Equazioni letterali: risoluzione e discussione. Equazioni letterali fratte: risoluzione e discussione. CAPITOLO 8 LE DISEQUAZIONI LINEARI Le disequazioni lineari: definizione, soluzioni e loro rappresentazione; disequazioni equivalenti; primo principio di equivalenza delle disequazioni e legge del trasporto; secondo principio di equivalenza per le disequazioni. Risoluzione di disequazioni di 1 grado anche indeterminate o impossibili. Risoluzione di disequazioni di grado maggiore di 2 composte da polinomi scomponibili in fattori e risoluzione di disequazioni fratte: schema del segno e rappresentazione delle soluzioni. Sistemi di disequazioni (comprendenti pure disequazioni fratte): schema dei sistemi e rappresentazione delle soluzioni. LABORATORIO DI INFORMATICA GEOGEBRA: gestione del software e del suo menù, tracciamento di punti, rette, poligoni, formattazione delle figure geometriche, aggiunta di testo, utilizzo del software per le trasformazioni geometriche; utilizzo del software per tracciare grafici di funzioni lineari, quadratiche di proporzionalità diretta ed inversa. Foglio di calcolo del freeware Libre Office: compilazione di una tabella e sua formattazione, utilizzo delle formule ed applicazione alla statistica; elaborazione di dati. PROGRAMMA DI GEOMETRIA CAPITOLO 1 LA GEOMETRIA DEL PIANO Enti primitivi, definizioni, postulati, teoremi, lemmi e corollari; postulati di appartenenza della retta; postulati di appartenenza del piano; postulato di ordinamento della retta. La semiretta, il segmento, segmenti consecutivi ed adiacenti, poligonale, semipiano, angolo, figura concava e convessa. Congruenza delle figure, lunghezza dei segmenti, confronto di segmenti, addizione, sottrazione e multipli di segmenti. Punto medio e sua costruzione con riga e compasso. Confronto di angoli, ampiezza degli angoli, addizione e sottrazione di angoli, multipli di angoli, bisettrice e sua costruzione con riga e compasso. Angoli complementari, supplementari, esplementari. Teorema con dimostrazione: " due angoli complementari dello stesso angolo sono congruenti". Angoli opposti al vertice e teorema con dimostrazione: " due angoli opposti al vertice sono congruenti". PAG.2/3

3 CAPITOLO 2 I TRIANGOLI I triangoli e la loro classificazione; gli angoli esterni; mediane, altezze e bisettrici di un triangolo; i punti notevoli di un triangolo: ortocentro, baricentro, incentro. Primo, secondo e terzo criterio di congruenza dei triangoli. Teorema del triangolo isoscele con dimostrazione; teorema inverso; teorema della bisettrice con dimostrazione; applicazione del teorema del triangolo isoscele e del teorema della bisettrice al triangolo equilatero: i tre angoli sono congruenti, ogni bisettrice è anche mediana ed altezza. Teorema dell'angolo esterno, relazione tra lato maggiore ed angolo maggiore; teorema delle relazioni fra i lati di un triangolo. I poligoni. CAPITOLO 3 PERPENDICOLARI E PARALLELE. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI Rette perpendicolari: esistenza ed unicità della perpendicolare, piede della perpendicolare, distanza punto-retta, asse di un segmento. Rette parallele; angoli alterni, angoli corrispondenti ed angoli coniugati; il teorema delle rette parallele ed il teorema inverso. Teorema dell'angolo esterno, teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, teorema della somma degli angoli interni di un poligono convesso, teorema della somma degli angoli esterni di un poligono convesso con relative dimostrazioni. Il parallelogramma: definizione, le proprietà dei parallelogrammi (con dimostrazioni ), i criteri per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma. Definizione e proprietà del rettangolo con dimostrazione; teorema inverso. Definizione e proprietà del rombo con dimostrazione; teoremi inversi. Definizione e proprietà del quadrato. I trapezi e la loro classificazione; il teorema del trapezio isoscele ed il suo inverso. Fascio improprio di rette; teorema del fascio di rette parallele. Geometria dello spazio: posizione di due rette nello spazio; posizione di due piani nello spazio; posizioni di un piano e di una retta nello spazio, distanza di un punto da un piano. Diedro, ampiezza di un diedro; piani perpendicolari. I poliedri: il prisma e il prisma retto, il parallelepipedo, il cubo. L'angoloide; i cinque poliedri regolari. CAPITOLO 7 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Le isometrie: traslazione, simmetria assiale, simmetria centrale, rotazione. CAPITOLO 4 LA CIRCONFERENZA, I POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI La circonferenza, il cerchio, la circonferenza passante per tre punti non allineati. Le parti della circonferenza e del cerchio; gli angoli al centro e le figure a essi corrispondenti; i teoremi sulle corde. Le posizioni reciproche di una retta rispetto ad una circonferenza. Teorema:" se una retta è tangente ad una circonferenza di centro O in un suo punto H, allora è perpndicolare al raggio OH"; tangenti ad una circonferenza da un punto esterno: enunciato del teorema e corollario. Le posizioni reciproche tra due circonferenze; proprietà delle circonferenze secanti; proprietà delle circonferenze tangenti. Gli angoli alla circonferenza e i corrispondenti angoli al centro: enunciato del teorema e dei due importanti corollari. Poligoni inscritti in una circonferenza ( ovvero circonferenza circoscritta ad un poligono): definizione e disegno; il teorema sui poligoni inscritti ed il suo inverso. Poligoni circoscritti ad una circonferenza (ovvero circonferenza inscritta ad un poligono): definizione e disegno; il teorema sui poligoni circoscritti ed il suo inverso. Punti notevoli di un triangolo: circocentro, incentro, baricentro, ortocentro. Teorema sui quadrilateri inscritti ed il teorema inverso. Teorema sui quadrilateri circoscritti ed il teorema inverso. I poligoni regolari e le circonferenze circoscritta ed inscritta: centro, apotema e raggio. La piramide e i solidi di rotazione. Siena, 4 giugno 2016 L'insegnante: prof. Giordani PAG.3/3

4 PROGRAMMA di MATEMATICA SVOLTO Docente: prof. Giordani Daniela Classe 2 S Anno Scolastico 2015/2016 PROGRAMMA DI ALGEBRA CAPITOLO 10 I SISTEMI LINEARI Sistemi lineari: definizione, grado, metodo grafico. Riduzione in forma normale; metodo di sostituzione; metodo del confronto. Metodo di riduzione; metodo di Cramer e determinante. Sistemi determinati, indeterminati ed impossibili. Problemi risolubili con sistemi lineari. Sistemi di tre equazioni in tre incognite e regola di Sarrus. Sistemi numerici fratti; sistemi letterali. CAPITOLO 9 IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA Il piano cartesiano, la formula della distanza, le coordinate del punto medio, l'equazione delle rette passanti per l'origine, le equazioni delle bisettrici dei quadranti, le equazioni delle rette parallele agli assi coordinati. L'equazione generale della retta, la forma esplicita ed implicita, condizioni di appartenenza di un punto ad una retta, il coefficiente angolare; rette parallele e rette perpendicolari. I fasci propri ed impropri di rette: retta passante per un punto parallela/perpendicolare ad una retta data. L'equazione della retta passante per due punti; formula della distanza puntoretta; baricentro di un triangolo. Parabola: vertice, asse di simmetria, concavità e convessità; grafico nel piano cartesiano. CAPITOLO 11 I NUMERI REALI E I RADICALI Dai razionali ai reali: i numeri irrazionali. Radice con indice n, espressione di una radice sotto forma di potenza, proprietà invariantiva e semplificazione di radici; moltiplicazione o divisione di radici con lo stesso indice di radice, moltiplicazione o divisione di radici con indici diversi; potenza di una radice; radice di una radice. Trasporto dentro e fuori il segno di radice; la razionalizzazione. Addizione e sottrazione di radicali; equazioni e disequazioni di 1 grado a coefficienti irrazionali; sistemi lineari a coefficienti irrazionali; applicazione alla geometria analitica. CAPITOLO 12 LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Le equazioni di secondo grado: il discriminante e la formula risolutiva (con dimostrazione); equazioni pure, spurie e monomie; formula ridotta per le equazioni di 2 grado (con dimostrazione). Problemi di 2 grado; le equazioni di 2 grado fratte; le relazioni tra coefficienti e somma e prodotto delle soluzioni di un'equazione di 2 grado; la regola di Cartesio; la scomposizione di un trinomio di 2 grado; le equazioni parametriche. La parabola: intersezioni con l'asse delle ascisse, intersezione con l'asse delle ordinate; grafico accurato della parabola. CAPITOLO β INTRODUZIONE ALLA PROBABILITA' e CALCOLO COMBINATORIO Definizione classica di probabilità, evento certo, evento impossibile; evento contrario, unione di eventi, intersezione di eventi. Eventi compatibili ed eventi incompatibili, probabilità dell'unione di eventi ( sia incompatibili che compatibili). La probabilità condizionata, eventi indipendenti ed eventi dipendenti, la probabilità del prodotto logico di eventi ( sia indipendenti che dipendenti). Calcolo combinatorio: raggruppamenti, disposizioni semplici, il fattoriale, permutazioni semplici, combinazioni semplici. PAG.1/3

5 CAPITOLO 13 COMPLEMENTI DI ALGEBRA Equazioni di grado maggiore di due risolubili con la scomposizione in fattori; ripasso dei concetti della classe prima (anche il metodo di Ruffini ). Le equazioni monomie, binomie, le equazioni trinomie (biquadratiche come caso particolare). I sistemi di 2 grado: risoluzione grafica ed algebrica; posizione reciproca retta-conica; punti di intersezione tra una retta ed una parabola; determinazione delle equazioni delle rette tangenti a una parabola data, passanti per un punto P esterno o appartenente alla parabola. Problemi risolubili con sistemi di 2 grado anche di tipo geometrico. Sistemi a coefficienti letterali, sistemi fratti; sistemi simmetrici, sistemi riconducibili a sistemi simmetrici. Le equazioni irrazionali e i teoremi di equivalenza: teorema sull'elevamento al quadrato dei membri di un'equazione, teorema sull'elevamento al cubo dei membri di un'equazione. La risoluzione di equazioni irrazionali, risoluzione di equazioni irrazionali con più radicali; problemi di geometria analitica con equazioni irrazionali. CAPITOLO 14 LE DISEQUAZIONI DI 2 GRADO Le disequazioni di 2 grado risolte con il metodo grafico; disequazioni di grado maggiore di due con polinomi scomponibili in fattori di 1 e 2 grado; disequazioni fratte con polinomi di 2 grado, sistemi di disequazioni con polinomi di 2 grado; dominio di una funzione irrazionale. Le disequazioni irrazionali e la loro risoluzione. Equazioni e disequazioni con valori assoluti: generalizzazione con polinomi di 2 grado. LABORATORIO DI INFORMATICA GEOGEBRA: costruzione ed analisi di fasci propri ed impropri di rette; costruzioni geometriche ed equivalenze di poligoni; costruzione di figure solide e loro cattura in files d'immagine. LIBRE OFFICE CALC: applicazione allo sport "traiettoria di un pallone" e "rigore", elaborazione di dati e loro rappresentazione tramite un diagramma cartesiano. WEB: utilizzo del CLOUD per caricare files e gestione della loro condivisione e della bacheca. PROGRAMMA DI GEOMETRIA CAPITOLO 5 L'EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE L'equivalenza tra superfici è una relazione di equivalenza; le figure equiscomponibili. L'equivalenza di due parallelogrammi con dimostrazione; l'equivalenza fra parallelogramma e triangolo con dimostrazione; l'equivalenza tra trapezio e triangolo con dimostrazione; l'equivalenza tra poligono circoscritto e triangolo con dimostrazione. Il primo teorema di Euclide con dimostrazione; il teorema di Pitagora con dimostrazione; il secondo teorema di Euclide con dimostrazione. Problemi geometrici risolubili algebricamente. CAPITOLO 6 LA MISURA E LE GRANDEZZE PROPORZIONALI Il teorema di Talete; le aree dei poligoni, le relazioni fra le misure degli elementi di un triangolo rettangolo, i triangoli rettangoli con angoli di 45, i triangoli rettangoli con angoli di 30 e di 60. La misura delle superfici e dei volumi dei poliedri. CAPITOLO 7 LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE I vettori e la relazione di equipollenza; introduzione alle trasformazioni geometriche. Le isometrie: traslazione, simmetria assiale, simmetria centrale, rotazione. Le omotetie dirette ed inverse. CAPITOLO 8 LA SIMILITUDINE Poligoni simili; criteri di similitudine dei triangoli. Applicazione dei criteri di similitudine dei triangoli: la proporzionalità tra basi ed altezze di triangoli simili; il teorema delle corde con dimostrazione; il teorema delle secanti con dimostrazione; il teorema della secante e della tangente con dimostrazione. La sezione aurea, il numero aureo, il PAG.2/3

6 rettangolo aureo. Rapporto tra i perimetri di poligoni simili; rapporto tra aree di poligoni simili; i poligoni regolari con uguale numero di lati ed il loro raggio, apotema e perimetro. Lunghezza di un arco di circonferenza, area di un settore circolare; area del settore circolare in funzione dell'arco; i lati dei poligoni regolari inscritti in una circonferenza. Aree e volumi dei solidi di rotazione. Nel corso dell'anno è stato svolto il seguente argomento non ancora trattato del VOLUME N 1 DI ALGEBRA CAPITOLO 8 LE DISEQUAZIONI LINEARI Definizione di valore assoluto, la funzione valore assoluto ed il suo grafico nel piano cartesiano. Equazioni e disequazioni con valori assoluti: casi particolari x =a, x <a, x >a, f(x) =a, f(x) <a, f(x) >a, caso generale, caso con più valori assoluti. Si è ripassato più volte la prima parte del capitolo 8, in quanto prerequisito per lo svolgimento del resto del programma e argomento su cui gli allievi hanno mostrato di avere difficoltà: CAPITOLO 8 LE DISEQUAZIONI LINEARI Le disequazioni lineari: definizione, soluzioni e loro rappresentazione; disequazioni equivalenti; primo principio di equivalenza delle disequazioni e legge del trasporto; secondo principio di equivalenza per le disequazioni. Disequazioni di 1 grado: risoluzione e notazione della soluzione di una disequazione con gli intervalli. Risoluzione di disequazioni lineari letterali. Risoluzione di disequazioni di grado maggiore di 2 composte da polinomi scomponibili in fattori e risoluzione di disequazioni fratte: schema dei segni con cura dello studio dei capisaldi e rappresentazione delle soluzioni. Sistemi di disequazioni (comprendenti pure disequazioni fratte): schema dei sistemi con cura dello studio dei capisaldi e rappresentazione delle soluzioni. Siena, 4 giugno 2016 L'insegnante: prof. Giordani PAG.3/3

7 PROGRAMMA di MATEMATICA SVOLTO Docente: prof. Giordani D. Classe 3 B Anno Scolastico 2015/2016 PROGRAMMA 1) GEOMETRIA ANALITICA CAPITOLO 1 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Ripasso di disequazioni fratte, disequazioni di 2 grado e superiore con scomposizione in fattori, sistemi di disequazioni. Le equazioni e le disequazioni con il valore assoluto. Le equazioni e le disequazioni irrazionali. CAPITOLO 3 LA RETTA Le coordinate di un punto su un piano, distanza fra due punti, coordinate del punto medio di un segmento, coordinate del baricentro di un triangolo. L'equazione di una retta, condizione di allineamento di tre punti, retta passante per due punti, forma esplicita ed implicita dell'equazione di una retta, coefficiente angolare note le coordinate di due punti, l'equazione di una retta passante per un punto e di coefficiente angolare noto, equazioni delle bisettrici dei quadranti. Le rette parallele e le rette perpendicolari, posizione reciproca di due rette, la distanza di un punto da una retta. Luoghi geometrici, l'equazione dell'asse di un segmento, le equazioni delle bisettrici di un angolo. I fasci di rette: il fascio proprio ed il fascio improprio. Fasci generati dalla combinazione lineare delle equazioni di due rette: fasci propri ed impropri; la retta esclusa; lo studio di un fascio di rette. Le disequazioni in due variabili: rappresentazione delle soluzioni nel piano cartesiano; rappresentazione di poligoni nel piano cartesiano tramite sistemi di disequazioni. CAPITOLO 4 LA CIRCONFERENZA La circonferenza come luogo geometrico, l'equazione della circonferenza dato il centro ed il raggio, l'equazione normale di una circonferenza: formule delle coordinate del centro e formula del raggio; la condizione di realtà; dall'equazione al grafico. Le curve dedotte dalla circonferenza: rappresentazione nel piano cartesiano delle soluzioni di equazioni con il valore assoluto; rappresentazione nel piano cartesiano di funzioni irrazionali; dal grafico all'equazione; le disequazioni di 2 grado in due variabili: rappresentazione dei punti del piano cartesiano corrispondenti alle soluzioni delle disequazioni; rappresentazione di regioni del piano con sistemi di disequazioni di grado maggiore di 1. Posizioni reciproche retta-circonferenza, i loro punti di intersezione, rette tangenti ad una circonferenza: 1 metodo DELTA=0; 2 metodo distanza retta-centro uguale al raggio; 3 metodo retta tangente in P come perpendicolare al raggio PC. Determinare l'equazione di una circonferenza. La posizione di due circonferenze, i fasci di circoferenze: circonferenze generatrici, circonferenza esclusa, asse radicale, asse centrale, punti base, circonferenze degeneri; lo studio di un fascio di circonferenze. Laboratorio di informatica: uso di geogebra per rappresentare fasci di circonferenze e fasci di rette. CAPITOLO 2 LE FUNZIONI Definizione, classificazione, grafico di una funzione, funzioni definite per casi, dominio e codominio, zeri, segno, funzioni iniettive, suriettive, biiettive, funzioni crescenti e decrescenti, funzioni pari e dispari; funzione inversa, la composizione di due funzioni. Cenni alle successioni ed alle progressioni. PAG.1/3

8 CAPITOLO 5 LA PARABOLA La parabola come luogo geometrico: fuoco, direttrice, asse, vertice; equazioni delle parabole con asse di simmetria parallelo all'asse y e all'asse x: coordinate di vertice e fuoco, equazioni dell'asse di simmetria e della direttrice. La posizione di una retta rispetto a una parabola; le rette tangenti ad una parabola. Il segmento parabolico e la sua area. Come determinare l'equazione di una parabola. I grafici che contengono archi di parabola; rappresentazione nel piano cartesiano di funzioni irrazionali; la risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali; dal grafico all'equazione. I fasci di parabole: generatrici, punti base, parabole degeneri, lo studio di un fascio di parabole, come trovare l'equazione di un fascio di parabole. Problemi di geometria analitica applicati alla realtà: massimizzare o minimizzare una funzione. CAPITOLO 6 L'ELLISSE L'ellisse come luogo geometrico; l'equazione dell'ellisse con i fuochi appartenenti all'asse x; le simmetrie nell'ellisse; l'intersezione con gli assi cartesiani; il grafico dell'ellisse; le coordinate dei fuochi; l'eccentricità; l'ellisse con i fuochi appartenenti all'asse y. Le posizioni di una retta rispetto ad un'ellisse; le equazioni delle rette tangenti ad un'ellisse; la formula di sdoppiamento. Come determinare l'equazione di un'ellisse. L'ellisse traslata; il metodo del completamento del quadrato; l'area racchiusa da un'ellisse. CAPITOLO 5 L'IPERBOLE L'iperbole come luogo geometrico; l'equazione dell'iperbole con i fuochi appartenenti all'asse x; le simmetrie nell'iperbole; l'intersezione con gli assi cartesiani; il grafico dell'iperbole; le coordinate dei fuochi; l'eccentricità; l'iperbole con i fuochi appartenenti all'asse y. Le posizioni di una retta rispetto ad un'iperbole; le equazioni delle rette tangenti ad un'iperbole; la formula di sdoppiamento. Come determinare l'equazione di un'iperbole. L'iperbole traslata; il metodo del completamento del quadrato; l'iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria; l'iperbole equilatera riferita agli asintoti; la funzione omografica. 2) GONIOMETRIA CAPITOLO 10 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE La misura degli angoli: dai gradi sessagesimali ai gradi sessadecimali e viceversa; le operazioni fra angoli espressi in gradi; la misura in radianti; dai gradi sessagesimali ai radianti e viceversa; gli angoli orientati. Le funzioni seno e coseno, il loro periodo e i loro grafici, la prima relazione fondamentale; le funzioni tangente e cotangente, il loro periodo e i loro grafici. Il significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta. Le funzioni secante e cosecante. Le funzioni goniometriche di angoli particolari (30, 45, 60 ). Le funzioni goniometriche inverse. Le funzioni goniometriche e le trasformazioni: traslazione, simmetrie, valore assoluto, dilatazione e contrazione con relativo periodo, quadrato e radice quadrata. Il grafico della funzione reciproca; il grafico della funzione inversa; distinzione tra i grafici della funzione inversa e della funzione reciproca: grafico della funzione cosecante e grafico della funzione arcseno. PAG.2/3

9 CAPITOLO 11 LE FORMULE GONIOMETRICHE Le funzioni goniometriche di angoli associati: angoli opposti, angoli complementari, angoli che differiscono di un angolo retto, angoli supplementari, angoli che differiscono di un angolo piatto. Le formule di addizione e sottrazione; l'angolo tra due rette. Le formule di duplicazione; le formule di bisezione; cenni alle formule parametriche, alle formule di prostaferesi e alle formule di Werner. CAPITOLO 12 LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Le identità goniometriche; le equazioni goniometriche elementari, particolari equazioni goniometriche elementari, equazioni riconducibili a equazioni elementari; le equazioni lineari in seno e coseno: il metodo grafico; le equazioni omogenee di 2 grado, le equazioni riconducibili ad omogenee; i sistemi di equazioni goniometriche. Le disequazioni goniometriche elementari; le disequazioni goniometriche non elementari; le disequazioni goniometriche fratte e quelle sotto forma di prodotto; i sistemi di disequazioni goniometriche; disequazioni goniometriche irrazionali e/o con valori assoluti. Laboratorio di informatica: uso di geogebra per la risoluzioni di equazioni goniometriche. CAPITOLO 13 LA TRIGONOMETRIA I teoremi sui triangoli rettangoli e loro applicazioni: l'area di un triangolo qualsiasi in funzione del seno dell'angolo compreso tra due lati con dimostrazione; il teorema della corda con dimostrazione; il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo. Il teorema dei seni con dimostrazione; il teorema del coseno con dimostrazione; la risoluzione dei triangoli qualsiasi. Problemi con equazioni, disequazioni, funzioni. Siena, 9 giugno 2016 L'insegnante: prof. Giordani PAG.3/3

10 PROGRAMMA di MATEMATICA SVOLTO Docente: prof. Giordani D. Classe 3 E Anno Scolastico 2015/2016 PROGRAMMA 1) GEOMETRIA ANALITICA CAPITOLO 1 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Ripasso di disequazioni fratte, disequazioni di 2 grado e superiore con scomposizione in fattori, sistemi di disequazioni. Le equazioni e le disequazioni con il valore assoluto. Le equazioni e le disequazioni irrazionali. CAPITOLO 3 LA RETTA Le coordinate di un punto su un piano, distanza fra due punti, coordinate del punto medio di un segmento, coordinate del baricentro di un triangolo. L'equazione di una retta, condizione di allineamento di tre punti, retta passante per due punti, forma esplicita ed implicita dell'equazione di una retta, coefficiente angolare note le coordinate di due punti, l'equazione di una retta passante per un punto e di coefficiente angolare noto, equazioni delle bisettrici dei quadranti. Le rette parallele e le rette perpendicolari, posizione reciproca di due rette, la distanza di un punto da una retta. Luoghi geometrici, l'equazione dell'asse di un segmento, le equazioni delle bisettrici di un angolo. I fasci di rette: il fascio proprio ed il fascio improprio. Fasci generati dalla combinazione lineare delle equazioni di due rette: fasci propri ed impropri; la retta esclusa; lo studio di un fascio di rette. Le disequazioni in due variabili: rappresentazione delle soluzioni nel piano cartesiano; rappresentazione di poligoni nel piano cartesiano tramite sistemi di disequazioni. CAPITOLO 4 LA CIRCONFERENZA La circonferenza come luogo geometrico, l'equazione della circonferenza dato il centro ed il raggio, l'equazione normale di una circonferenza: formule delle coordinate del centro e formula del raggio; la condizione di realtà; dall'equazione al grafico. Le curve dedotte dalla circonferenza: rappresentazione nel piano cartesiano delle soluzioni di equazioni con il valore assoluto; rappresentazione nel piano cartesiano di funzioni irrazionali; dal grafico all'equazione; le disequazioni di 2 grado in due variabili: rappresentazione dei punti del piano cartesiano corrispondenti alle soluzioni delle disequazioni; rappresentazione di regioni del piano con sistemi di disequazioni di grado maggiore di 1. Posizioni reciproche retta-circonferenza, i loro punti di intersezione, rette tangenti ad una circonferenza: 1 metodo DELTA=0; 2 metodo distanza retta-centro uguale al raggio; 3 metodo retta tangente in P come perpendicolare al raggio PC. Determinare l'equazione di una circonferenza. La posizione di due circonferenze, i fasci di circoferenze: circonferenze generatrici, circonferenza esclusa, asse radicale, asse centrale, punti base, circonferenze degeneri; lo studio di un fascio di circonferenze. Laboratorio di informatica: uso di geogebra per rappresentare fasci di circonferenze e fasci di rette. CAPITOLO 2 LE FUNZIONI Definizione, classificazione, grafico di una funzione, funzioni definite per casi, dominio e codominio, zeri, segno, funzioni iniettive, suriettive, biiettive, funzioni crescenti e decrescenti, funzioni pari e dispari; funzione inversa, la composizione di due funzioni. Cenni alle successioni ed alle progressioni. PAG.1/3

11 CAPITOLO 5 LA PARABOLA La parabola come luogo geometrico: fuoco, direttrice, asse, vertice; equazioni delle parabole con asse di simmetria parallelo all'asse y e all'asse x: coordinate di vertice e fuoco, equazioni dell'asse di simmetria e della direttrice. La posizione di una retta rispetto a una parabola; le rette tangenti ad una parabola. Il segmento parabolico e la sua area. Come determinare l'equazione di una parabola. I grafici che contengono archi di parabola; rappresentazione nel piano cartesiano di funzioni irrazionali; la risoluzione grafica di equazioni e disequazioni irrazionali; dal grafico all'equazione. I fasci di parabole: generatrici, punti base, parabole degeneri, lo studio di un fascio di parabole, come trovare l'equazione di un fascio di parabole. Problemi di geometria analitica applicati alla realtà: massimizzare o minimizzare una funzione. CAPITOLO 6 L'ELLISSE L'ellisse come luogo geometrico; l'equazione dell'ellisse con i fuochi appartenenti all'asse x; le simmetrie nell'ellisse; l'intersezione con gli assi cartesiani; il grafico dell'ellisse; le coordinate dei fuochi; l'eccentricità; l'ellisse con i fuochi appartenenti all'asse y. Le posizioni di una retta rispetto ad un'ellisse; le equazioni delle rette tangenti ad un'ellisse; la formula di sdoppiamento. Come determinare l'equazione di un'ellisse. L'ellisse traslata; il metodo del completamento del quadrato; l'area racchiusa da un'ellisse. CAPITOLO 5 L'IPERBOLE L'iperbole come luogo geometrico; l'equazione dell'iperbole con i fuochi appartenenti all'asse x; le simmetrie nell'iperbole; l'intersezione con gli assi cartesiani; il grafico dell'iperbole; le coordinate dei fuochi; l'eccentricità; l'iperbole con i fuochi appartenenti all'asse y. Le posizioni di una retta rispetto ad un'iperbole; le equazioni delle rette tangenti ad un'iperbole; la formula di sdoppiamento. Come determinare l'equazione di un'iperbole. L'iperbole traslata; il metodo del completamento del quadrato; l'iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria; l'iperbole equilatera riferita agli asintoti; la funzione omografica. 2) GONIOMETRIA CAPITOLO 10 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE La misura degli angoli: dai gradi sessagesimali ai gradi sessadecimali e viceversa; le operazioni fra angoli espressi in gradi; la misura in radianti; dai gradi sessagesimali ai radianti e viceversa; gli angoli orientati. Le funzioni seno e coseno, il loro periodo e i loro grafici, la prima relazione fondamentale; le funzioni tangente e cotangente, il loro periodo e i loro grafici. Il significato goniometrico del coefficiente angolare di una retta. Le funzioni secante e cosecante. Le funzioni goniometriche di angoli particolari (30, 45, 60 ). Le funzioni goniometriche inverse. Le funzioni goniometriche e le trasformazioni: traslazione, simmetrie, valore assoluto, dilatazione e contrazione con relativo periodo, quadrato e radice quadrata. Il grafico della funzione reciproca; il grafico della funzione inversa; distinzione tra i grafici della funzione inversa e della funzione reciproca: grafico della funzione cosecante e grafico della funzione arcseno. PAG.2/3

12 CAPITOLO 11 LE FORMULE GONIOMETRICHE Le funzioni goniometriche di angoli associati: angoli opposti, angoli complementari, angoli che differiscono di un angolo retto, angoli supplementari, angoli che differiscono di un angolo piatto. Le formule di addizione e sottrazione; l'angolo tra due rette. Le formule di duplicazione; le formule di bisezione; cenni alle formule parametriche, alle formule di prostaferesi e alle formule di Werner. CAPITOLO 12 LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Le identità goniometriche; le equazioni goniometriche elementari, particolari equazioni goniometriche elementari, equazioni riconducibili a equazioni elementari; le equazioni lineari in seno e coseno: il metodo grafico; le equazioni omogenee di 2 grado, le equazioni riconducibili ad omogenee; i sistemi di equazioni goniometriche. Le disequazioni goniometriche elementari; le disequazioni goniometriche non elementari; le disequazioni goniometriche fratte e quelle sotto forma di prodotto; i sistemi di disequazioni goniometriche; disequazioni goniometriche irrazionali e/o con valori assoluti. Laboratorio di informatica: uso di geogebra per la risoluzioni di equazioni goniometriche. CAPITOLO 13 LA TRIGONOMETRIA I teoremi sui triangoli rettangoli e loro applicazioni: l'area di un triangolo qualsiasi in funzione del seno dell'angolo compreso tra due lati con dimostrazione; il teorema della corda con dimostrazione; il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo. Il teorema dei seni con dimostrazione; il teorema del coseno con dimostrazione; la risoluzione dei triangoli qualsiasi. Problemi con equazioni, disequazioni, funzioni. Siena, 9 giugno 2016 L'insegnante: prof. Giordani PAG.3/3