Le Geometrie non euclidee

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1 Le Geometrie non euclidee Un introduzione elementare Riccardo Dossena Liceo Scientifico G. Novello Codogno (LO) 12 marzo 2015

2 Euclide di Alessandria Euclide (circa 300 a.c.)

3 Euclide di Alessandria 1 Epoca: intorno al 300 a.c. Epoca ellenistica (323 a.c. 31 a.c.) Periodo aureo del pensiero matematico greco (Euclide, Archimede, Apollonio) Euclide (circa 300 a.c.)

4 Euclide di Alessandria 1 Epoca: intorno al 300 a.c. Epoca ellenistica (323 a.c. 31 a.c.) Periodo aureo del pensiero matematico greco (Euclide, Archimede, Apollonio) 2 Le poche notizie ci sono pervenute da Proclo (V sec. d.c.) nel suo Commento al primo libro degli Elementi di Euclide Euclide (circa 300 a.c.)

5 Euclide di Alessandria Euclide (circa 300 a.c.) 1 Epoca: intorno al 300 a.c. Epoca ellenistica (323 a.c. 31 a.c.) Periodo aureo del pensiero matematico greco (Euclide, Archimede, Apollonio) 2 Le poche notizie ci sono pervenute da Proclo (V sec. d.c.) nel suo Commento al primo libro degli Elementi di Euclide 3 Visse al tempo di Tolomeo I, fondatore del Museo (letteratura, matematica, astronomia, medicina)

6 Gli Elementi: la struttura 13 Libri

7 Gli Elementi: la struttura 13 Libri Primi 10: Geometria piana Ultimi 3: Geometria solida

8 Gli Elementi: la struttura 13 Libri Primi 10: Geometria piana Ultimi 3: Geometria solida Libri I IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei cerchi;

9 Gli Elementi: la struttura 13 Libri Primi 10: Geometria piana Ultimi 3: Geometria solida Libri I IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei cerchi; Libro V: teoria delle proporzioni (tra grandezze sia commensurabili che incommensurabili);

10 Gli Elementi: la struttura 13 Libri Primi 10: Geometria piana Ultimi 3: Geometria solida Libri I IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei cerchi; Libro V: teoria delle proporzioni (tra grandezze sia commensurabili che incommensurabili); Libro VI: le figure simili;

11 Gli Elementi: la struttura 13 Libri Primi 10: Geometria piana Ultimi 3: Geometria solida Libri I IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei cerchi; Libro V: teoria delle proporzioni (tra grandezze sia commensurabili che incommensurabili); Libro VI: le figure simili; Libri VII VIII IX: libri aritmetici teoria dei numeri (numeri primi, perfetti, divisioni successive);

12 Gli Elementi: la struttura 13 Libri Primi 10: Geometria piana Ultimi 3: Geometria solida Libri I IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei cerchi; Libro V: teoria delle proporzioni (tra grandezze sia commensurabili che incommensurabili); Libro VI: le figure simili; Libri VII VIII IX: libri aritmetici teoria dei numeri (numeri primi, perfetti, divisioni successive); Libro X: la classificazione degli incommensurabili;

13 Gli Elementi: la struttura 13 Libri Primi 10: Geometria piana Ultimi 3: Geometria solida Libri I IV: proprietà fondamentali delle figure rettilinee e dei cerchi; Libro V: teoria delle proporzioni (tra grandezze sia commensurabili che incommensurabili); Libro VI: le figure simili; Libri VII VIII IX: libri aritmetici teoria dei numeri (numeri primi, perfetti, divisioni successive); Libro X: la classificazione degli incommensurabili; Libri XI XII XIII: la geometria solida e il metodo di esaustione.

14 Il Primo Libro Termini (23)

15 Il Primo Libro Termini (23) Punto è ciò che non ha parti.

16 Il Primo Libro Termini (23) Punto è ciò che non ha parti. Linea è lunghezza senza larghezza.

17 Il Primo Libro Termini (23) Punto è ciò che non ha parti. Linea è lunghezza senza larghezza. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.

18 Il Primo Libro Termini (23) Punto è ciò che non ha parti. Linea è lunghezza senza larghezza. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti. Angolo piano è l inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non siano in linea retta.

19 Il Primo Libro Termini (23) Punto è ciò che non ha parti. Linea è lunghezza senza larghezza. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti. Angolo piano è l inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non siano in linea retta. Quando una retta innalzata su un altra retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata.

20 Il Primo Libro Termini (23) Punto è ciò che non ha parti. Linea è lunghezza senza larghezza. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti. Angolo piano è l inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non siano in linea retta. Quando una retta innalzata su un altra retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata. Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall una e dall altra parte, non s incontrano fra loro da nessuna delle due parti.

21 Il Primo Libro Postulati

22 Il Primo Libro Postulati Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.

23 Il Primo Libro Postulati Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. E che una retta terminata (= finita) si possa prolungare continuamente in linea retta.

24 Il Primo Libro Postulati Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. E che una retta terminata (= finita) si possa prolungare continuamente in linea retta. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza (= raggio).

25 Il Primo Libro Postulati Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto. E che una retta terminata (= finita) si possa prolungare continuamente in linea retta. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro e ogni distanza (= raggio). E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro.

26 Il Primo Libro Il quinto postulato

27 Il Primo Libro Il quinto postulato E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.

28 Il Primo Libro Il quinto postulato E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti. Ipotesi: α + β < 2 retti Tesi: r e s si incontrano t β r α s P

29 Il Primo Libro Nozioni comuni

30 Il Primo Libro Nozioni comuni Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro.

31 Il Primo Libro Nozioni comuni Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali.

32 Il Primo Libro Nozioni comuni Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.

33 Il Primo Libro Nozioni comuni Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali. E cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali.

34 Il Primo Libro Nozioni comuni Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali. E cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali. Ed il tutto è maggiore della parte.

35 Il Teorema di Pitagora: culmine del primo libro Proposizione 47 (Teorema di Pitagora) Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto.

36 Il Teorema di Pitagora: culmine del primo libro Proposizione 47 (Teorema di Pitagora) Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto. Proposizione 48 (Inverso del Teorema di Pitagora) Se in un triangolo il quadrato di uno dei lati è uguale alla somma dei quadrati dei rimanenti due lati del triangolo, l angolo che è compreso fra i rimanenti lati del triangolo è retto.

37 Dimostrazione della proposizione 47 Sia ABC rettangolo in B B1 B A1 A C A2 C2

38 Dimostrazione della proposizione 47 B1 Sia ABC rettangolo in B costruiamo i quadrati sui lati B A1 A C A2 C2

39 Dimostrazione della proposizione 47 Sia ABC rettangolo in B costruiamo i quadrati sui lati A1 B1 B consideriamo la parallela ad AA 2 per B e i triangoli AA 1 C e ABA 2 A P C A2 P2 C2

40 Dimostrazione della proposizione 47 Sia ABC rettangolo in B costruiamo i quadrati sui lati A1 B1 A B P C consideriamo la parallela ad AA 2 per B e i triangoli AA 1 C e ABA 2 i due triangoli sono congruenti A2 P2 C2

41 Dimostrazione della proposizione 47 Sia ABC rettangolo in B costruiamo i quadrati sui lati A1 B1 A B P C consideriamo la parallela ad AA 2 per B e i triangoli AA 1 C e ABA 2 i due triangoli sono congruenti A2 P2 C2

42 Dimostrazione della proposizione 47 Sia ABC rettangolo in B costruiamo i quadrati sui lati A1 B1 A B P C consideriamo la parallela ad AA 2 per B e i triangoli AA 1 C e ABA 2 i due triangoli sono congruenti area di AA 1 C = 1 2 AA 1 AB A2 P2 C2

43 Dimostrazione della proposizione 47 Sia ABC rettangolo in B costruiamo i quadrati sui lati A1 B1 A B P C consideriamo la parallela ad AA 2 per B e i triangoli AA 1 C e ABA 2 i due triangoli sono congruenti area di AA 1 C = 1 2 AA 1 AB area di ABA 2 = 1 2 AA 2 AP A2 P2 C2

44 Dimostrazione della proposizione 47 Sia ABC rettangolo in B costruiamo i quadrati sui lati A1 B1 A B P C consideriamo la parallela ad AA 2 per B e i triangoli AA 1 C e ABA 2 i due triangoli sono congruenti area di AA 1 C = 1 2 AA 1 AB area di ABA 2 = 1 2 AA 2 AP dunque AA 2 AP = AA 1 AB A2 P2 C2

45 Dimostrazione della proposizione 47 Sia ABC rettangolo in B costruiamo i quadrati sui lati A1 B1 A B P C consideriamo la parallela ad AA 2 per B e i triangoli AA 1 C e ABA 2 i due triangoli sono congruenti area di AA 1 C = 1 2 AA 1 AB area di ABA 2 = 1 2 AA 2 AP dunque AA 2 AP = AA 1 AB A2 P2 C2

46 Dimostrazione della proposizione 47 Sia ABC rettangolo in B costruiamo i quadrati sui lati A1 B1 A B P C consideriamo la parallela ad AA 2 per B e i triangoli AA 1 C e ABA 2 i due triangoli sono congruenti area di AA 1 C = 1 2 AA 1 AB area di ABA 2 = 1 2 AA 2 AP dunque AA 2 AP = AA 1 AB A2 P2 C2 analogamente per il quadrato su BC

47 Dimostrazione della proposizione 48 B D A C Sia ABC tale che BC 2 = AB 2 + AC 2

48 Dimostrazione della proposizione 48 B D A C Sia ABC tale che BC 2 = AB 2 + AC 2 sia AD la perpendicolare ad AB in A

49 Dimostrazione della proposizione 48 B D C A C Sia ABC tale che BC 2 = AB 2 + AC 2 sia AD la perpendicolare ad AB in A riportiamo AC = AC

50 Dimostrazione della proposizione 48 B ABC è rettangolo, dunque per il teorema di Pitagora BC 2 = AB 2 + AC 2 D C A C Sia ABC tale che BC 2 = AB 2 + AC 2 sia AD la perpendicolare ad AB in A riportiamo AC = AC

51 Dimostrazione della proposizione 48 B ABC è rettangolo, dunque per il teorema di Pitagora BC 2 = AB 2 + AC 2 D C A C ma anche BC 2 = AB 2 + AC 2 Sia ABC tale che BC 2 = AB 2 + AC 2 sia AD la perpendicolare ad AB in A riportiamo AC = AC

52 Dimostrazione della proposizione 48 B ABC è rettangolo, dunque per il teorema di Pitagora BC 2 = AB 2 + AC 2 D C A C ma anche BC 2 = AB 2 + AC 2 Sia ABC tale che BC 2 = AB 2 + AC 2 sia AD la perpendicolare ad AB in A riportiamo AC = AC da cui BC = BC

53 Dimostrazione della proposizione 48 B ABC è rettangolo, dunque per il teorema di Pitagora BC 2 = AB 2 + AC 2 D C A C ma anche BC 2 = AB 2 + AC 2 Sia ABC tale che BC 2 = AB 2 + AC 2 sia AD la perpendicolare ad AB in A riportiamo AC = AC da cui BC = BC allora ABC = ABC per il 3 criterio di congruenza

54 Dimostrazione della proposizione 48 B ABC è rettangolo, dunque per il teorema di Pitagora BC 2 = AB 2 + AC 2 D C A C ma anche BC 2 = AB 2 + AC 2 Sia ABC tale che BC 2 = AB 2 + AC 2 sia AD la perpendicolare ad AB in A riportiamo AC = AC da cui BC = BC allora ABC = ABC per il 3 criterio di congruenza in particolare BAC = BAC entrambi retti

55 Il problema dell evidenza del quinto postulato Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29

56 Il problema dell evidenza del quinto postulato Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29 proposizioni proposizione 31

57 Il problema dell evidenza del quinto postulato Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29 proposizioni proposizione 31 = GEOMETRIA ASSOLUTA

58 Il problema dell evidenza del quinto postulato Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29 proposizioni proposizione 31 = GEOMETRIA ASSOLUTA proposizioni V postulato + proposizioni 29 48

59 Il problema dell evidenza del quinto postulato Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29 proposizioni proposizione 31 = GEOMETRIA ASSOLUTA proposizioni V postulato + proposizioni = GEOMETRIA EUCLIDEA

60 Il problema dell evidenza del quinto postulato Euclide usa il V postulato solo a partire dalla proposizione 29 proposizioni proposizione 31 = GEOMETRIA ASSOLUTA proposizioni V postulato + proposizioni = GEOMETRIA EUCLIDEA Domanda... Perché Euclide ha esitato così tanto a usare il V postulato?

61 Il problema dell evidenza del quinto postulato Concezione classica I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi viene edificata.

62 Il problema dell evidenza del quinto postulato Concezione classica I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi viene edificata. Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti

63 Il problema dell evidenza del quinto postulato Concezione classica I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi viene edificata. Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti t β r α s P 1

64 Il problema dell evidenza del quinto postulato Concezione classica I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi viene edificata. Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti t α β s r P 1 P 2 Il punto P si allontana sempre più...

65 Il problema dell evidenza del quinto postulato Concezione classica I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi viene edificata. Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti t α β s r P 1 P 2 P 3 Il punto P si allontana sempre più...

66 Il problema dell evidenza del quinto postulato Concezione classica I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi viene edificata. Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti t β r P 4?... finché non è più osservabile! α s P 1 P 2 P 3

67 Il problema dell evidenza del quinto postulato Concezione classica I postulati sono principi veri di per sé, che garantiscono con la loro evidenza il contenuto veritiero della scienza che a partire da essi viene edificata. Il quinto postulato non soddisfa questa condizione. Infatti t α β s r P 1 P 2 P 3 P 4?... finché non è più osservabile! Non possiamo controllare che la retta r non interseca più s quando α + β = 2 retti.

68 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizione 17 (Inverso del V postulato) In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti.

69 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizione 17 (Inverso del V postulato) In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque presi, è minore di due retti. Ipotesi: r e s si incontrano Tesi: α + β < 2 retti t β r α s P

70 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizioni 27 e 28 Se due rette r e s formano con una trasversale t due angoli coniugati interni supplementari (oppure angoli alterni interni o angoli corrispondenti uguali), allora r e s sono parallele.

71 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizioni 27 e 28 Se due rette r e s formano con una trasversale t due angoli coniugati interni supplementari (oppure angoli alterni interni o angoli corrispondenti uguali), allora r e s sono parallele. t r α β ε Ipotesi: β + γ = 2 retti s γ

72 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizioni 27 e 28 Se due rette r e s formano con una trasversale t due angoli coniugati interni supplementari (oppure angoli alterni interni o angoli corrispondenti uguali), allora r e s sono parallele. t r α β ε Ipotesi: β + γ = 2 retti oppure α = γ s γ

73 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizioni 27 e 28 Se due rette r e s formano con una trasversale t due angoli coniugati interni supplementari (oppure angoli alterni interni o angoli corrispondenti uguali), allora r e s sono parallele. t r s α γ β ε Ipotesi: β + γ = 2 retti oppure α = γ oppure ε = γ

74 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizioni 27 e 28 Se due rette r e s formano con una trasversale t due angoli coniugati interni supplementari (oppure angoli alterni interni o angoli corrispondenti uguali), allora r e s sono parallele. t r s α γ β ε Ipotesi: β + γ = 2 retti oppure α = γ oppure ε = γ Tesi: r e s non si incontrano

75 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizione 31 (Esistenza della parallela) Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data.

76 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizione 31 (Esistenza della parallela) Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data. r α P s Q α Dati s e il punto P esterno ad essa

77 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizione 31 (Esistenza della parallela) Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data. r α P consideriamo su s un qualsiasi punto Q s Q α Dati s e il punto P esterno ad essa

78 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizione 31 (Esistenza della parallela) Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data. r s α α P consideriamo su s un qualsiasi punto Q uniamo P e Q e consideriamo l angolo α Q Dati s e il punto P esterno ad essa

79 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizione 31 (Esistenza della parallela) Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data. r s Q α α P consideriamo su s un qualsiasi punto Q uniamo P e Q e consideriamo l angolo α costruiamo su PQ con vertice P un angolo uguale ad α (prop. 23) Dati s e il punto P esterno ad essa

80 Alcune proposizioni di geometria assoluta Proposizione 31 (Esistenza della parallela) Costruire per un punto dato una retta parallela ad una retta data. r s Q α α P Dati s e il punto P esterno ad essa consideriamo su s un qualsiasi punto Q uniamo P e Q e consideriamo l angolo α costruiamo su PQ con vertice P un angolo uguale ad α (prop. 23) r e s formano con PQ angoli alterni interni uguali, dunque sono parallele (prop. 27)

81 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28) Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali.

82 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato r Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28) Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali. α t β ε Ipotesi: r e s non si incontrano s γ

83 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28) Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali. t r α β ε Ipotesi: r e s non si incontrano Tesi: β + γ = 2 retti s γ

84 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28) Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali. t r s α γ β ε Ipotesi: r e s non si incontrano Tesi: β + γ = 2 retti e α = γ

85 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28) Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali. t r s α γ β ε Ipotesi: r e s non si incontrano Tesi: β + γ = 2 retti e α = γ e ε = γ

86 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato r Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28) Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali. t ε s δ α γ β Se fosse β + γ < 2 retti, r e s si incontrerebbero per il V postulato

87 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato r Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28) Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali. t ε s δ α γ β Se fosse β + γ > 2 retti, si avrebbe α + δ < 2 retti quindi, sempre per il V postulato, r e s si incontrerebbero

88 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato r Proposizione 29 (Inversa delle prop. 27 e 28) Se r e s sono parallele, allora formano con una trasversale t angoli coniugati interni supplementari, angoli alterni interni e angoli corrispondenti uguali. t ε α β Dunque β + γ = 2 retti s δ γ

89 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo) In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti.

90 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo) In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti. C E γ Consideriamo il triangolo ABC α β γ α A B D

91 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo) In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti. C E γ Consideriamo il triangolo ABC prolunghiamo il lato AB α β γ α A B D

92 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo) In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti. C E γ Consideriamo il triangolo ABC prolunghiamo il lato AB A α β B γ α D tracciamo per B la parallela BE al lato AC (prop. 31)

93 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo) In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti. γ C E gli angoli corrispondenti α sono uguali (prop. 29) α β γ α A B D

94 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo) In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti. γ C E gli angoli corrispondenti α sono uguali (prop. 29) gli angoli alterni interni γ sono uguali (prop. 29) α β γ α A B D

95 Alcune proposizioni dipendenti dal V postulato Proposizione 32 (Somma degli angoli interni di un triangolo) In ogni triangolo, se si prolunga uno dei lati, l angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ed opposti, e la somma dei tre angoli interni del triangolo è uguale a 2 retti. γ C E gli angoli corrispondenti α sono uguali (prop. 29) gli angoli alterni interni γ sono uguali (prop. 29) A α β B γ α D l angolo esterno ĈBD è uguale ad α + γ e α + β + γ = 2 retti

96 Proposizioni equivalenti al V postulato Unicità della parallela Dati un punto e una retta non passante per il punto, esiste al più una retta passante per il punto e parallela alla retta data.

97 Proposizioni equivalenti al V postulato Unicità della parallela Dati un punto e una retta non passante per il punto, esiste al più una retta passante per il punto e parallela alla retta data. P s

98 Proposizioni equivalenti al V postulato Unicità della parallela Dati un punto e una retta non passante per il punto, esiste al più una retta passante per il punto e parallela alla retta data. r P s

99 Proposizioni equivalenti al V postulato Unicità della parallela Dati un punto e una retta non passante per il punto, esiste al più una retta passante per il punto e parallela alla retta data. r P s L esistenza della parallela è sancita dalla proposizione 31 della geometria assoluta

100 Proposizioni equivalenti al V postulato Unicità della parallela Dati un punto e una retta non passante per il punto, esiste al più una retta passante per il punto e parallela alla retta data. r P s L esistenza della parallela è sancita dalla proposizione 31 della geometria assoluta L unicità è equivalente al V postulato

101 Proposizioni equivalenti al V postulato Somma degli angoli di un poligono La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 2 retti, di un quadrilatero è uguale a 4 retti, di un pentagono è uguale a 6 retti, ecc...

102 Proposizioni equivalenti al V postulato Somma degli angoli di un poligono La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 2 retti, di un quadrilatero è uguale a 4 retti, di un pentagono è uguale a 6 retti, ecc... Esistenza di triangoli simili non uguali Dato un triangolo qualsiasi se ne può costruire un altro ad esso simile (cioè con gli stessi angoli) di lato assegnato.

103 Proposizioni equivalenti al V postulato Somma degli angoli di un poligono La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 2 retti, di un quadrilatero è uguale a 4 retti, di un pentagono è uguale a 6 retti, ecc... Esistenza di triangoli simili non uguali Dato un triangolo qualsiasi se ne può costruire un altro ad esso simile (cioè con gli stessi angoli) di lato assegnato. Teorema di Pitagora Nei triangoli rettangoli il quadrato del lato opposto all angolo retto è uguale alla somma dei quadrati dei lati che comprendono l angolo retto.

104 Proposizioni equivalenti al V postulato Altre proposizioni

105 Proposizioni equivalenti al V postulato Altre proposizioni Il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta V postulato

106 Proposizioni equivalenti al V postulato Altre proposizioni Il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta V postulato Esiste un quadrilatero con somma degli angoli interni uguale a 4 retti V postulato

107 Proposizioni equivalenti al V postulato Altre proposizioni Il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta V postulato Esiste un quadrilatero con somma degli angoli interni uguale a 4 retti V postulato In particolare l esistenza di un rettangolo è equivalente al V postulato.

108 Il quadrilatero birettangolo isoscele Consideriamo una base AB D C A B

109 Il quadrilatero birettangolo isoscele Consideriamo una base AB tracciamo due segmenti uguali AD e BC perpendicolari ad AB D C A B

110 Il quadrilatero birettangolo isoscele Consideriamo una base AB tracciamo due segmenti uguali AD e BC perpendicolari ad AB uniamo C con D D C A B

111 Il quadrilatero birettangolo isoscele Consideriamo una base AB tracciamo due segmenti uguali AD e BC perpendicolari ad AB uniamo C con D D C A B Domanda... Che tipo di quadrilatero si ottiene?

112 Il quadrilatero birettangolo isoscele Consideriamo una base AB tracciamo due segmenti uguali AD e BC perpendicolari ad AB uniamo C con D D C A B Domanda... Che tipo di quadrilatero si ottiene? Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti...

113 Il quadrilatero birettangolo isoscele I triangoli DAB e CBA sono uguali per il 1 criterio, per cui DB = AC D C A B Domanda... Che tipo di quadrilatero si ottiene? Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti...

114 Il quadrilatero birettangolo isoscele I triangoli DAB e CBA sono uguali per il 1 criterio, per cui DB = AC per il 3 criterio sono uguali ADC e BDC, dunque sono uguali gli angoli in C e in D del quadrilatero D A C B Domanda... Che tipo di quadrilatero si ottiene? Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti...

115 Il quadrilatero birettangolo isoscele I triangoli DAB e CBA sono uguali per il 1 criterio, per cui DB = AC per il 3 criterio sono uguali ADC e BDC, dunque sono uguali gli angoli in C e in D del quadrilatero ma per concludere che sono retti ci serve il V postulato! Domanda... Che tipo di quadrilatero si ottiene? D A C B Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti...

116 Il quadrilatero birettangolo isoscele Ĉ e D sono retti D C A B Domanda... Che tipo di quadrilatero si ottiene? Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti...

117 Il quadrilatero birettangolo isoscele Ĉ e D sono retti la somma degli angoli interni del quadrilatero è uguale a 4 retti D C A B Domanda... Che tipo di quadrilatero si ottiene? Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti...

118 Il quadrilatero birettangolo isoscele Ĉ e D sono retti la somma degli angoli interni del quadrilatero è uguale a 4 retti V postulato D A C B Domanda... Che tipo di quadrilatero si ottiene? Si ottiene un rettangolo se e solo se vale il V postulato, infatti...

119 L opera di Gerolamo Saccheri ( ) Nell opera Euclides ab omni naevo vindicatus (1733) il padre gesuita Gerolamo Saccheri tenta di dimostrare il V postulato

120 L opera di Gerolamo Saccheri ( ) Nell opera Euclides ab omni naevo vindicatus (1733) il padre gesuita Gerolamo Saccheri tenta di dimostrare il V postulato La strategia è quella di dimostrare che in un quadrilatero birettangolo isoscele gli angoli in C e in D non possono essere altro che retti (ricordiamo che devono essere uguali) D C A B

121 L opera di Gerolamo Saccheri ( ) Nell opera Euclides ab omni naevo vindicatus (1733) il padre gesuita Gerolamo Saccheri tenta di dimostrare il V postulato La strategia è quella di dimostrare che in un quadrilatero birettangolo isoscele gli angoli in C e in D non possono essere altro che retti (ricordiamo che devono essere uguali) D C A tal fine tenta di provare che l ipotesi che siano ottusi o acuti porta a contraddizioni A B

122 L opera di Gerolamo Saccheri ( ) Ipotesi dell angolo retto D C A B

123 L opera di Gerolamo Saccheri ( ) Ipotesi dell angolo retto D C = Geometria EUCLIDEA A B

124 L opera di Gerolamo Saccheri ( ) Ipotesi dell angolo retto D C = Geometria EUCLIDEA A B Ipotesi dell angolo ottuso D C A B

125 L opera di Gerolamo Saccheri ( ) Ipotesi dell angolo retto D C = Geometria EUCLIDEA A B Ipotesi dell angolo ottuso D C = Contraddizione! A B

126 L opera di Gerolamo Saccheri ( ) Ipotesi dell angolo retto D C = Geometria EUCLIDEA A B Ipotesi dell angolo ottuso D C A B = L ipotesi dell angolo ottuso è completamente falsa, perché distrugge se stessa

127 L ipotesi dell angolo acuto Saccheri si appresta ora a distruggere l ipotesi dell angolo acuto

128 L ipotesi dell angolo acuto Saccheri si appresta ora a distruggere l ipotesi dell angolo acuto A tal fine dimostra molte proprietà delle rette che valgono sotto tale ipotesi, con l obiettivo di trovarvi una contraddizione

129 L ipotesi dell angolo acuto Saccheri si appresta ora a distruggere l ipotesi dell angolo acuto A tal fine dimostra molte proprietà delle rette che valgono sotto tale ipotesi, con l obiettivo di trovarvi una contraddizione Ipotesi dell angolo acuto D C A B

130 L ipotesi dell angolo acuto Saccheri si appresta ora a distruggere l ipotesi dell angolo acuto A tal fine dimostra molte proprietà delle rette che valgono sotto tale ipotesi, con l obiettivo di trovarvi una contraddizione Ipotesi dell angolo acuto D C = Geometria IPERBOLICA (non euclidea) A B

131 L ipotesi dell angolo acuto Sotto l ipotesi dell angolo acuto...

132 L ipotesi dell angolo acuto Sotto l ipotesi dell angolo acuto... non vale il V postulato

133 L ipotesi dell angolo acuto Sotto l ipotesi dell angolo acuto... non vale il V postulato non vale l unicità della parallela

134 L ipotesi dell angolo acuto Sotto l ipotesi dell angolo acuto... non vale il V postulato non vale l unicità della parallela dati una retta r e un punto P esterno ad essa esistono almeno due rette per P che non intersecano r

135 L ipotesi dell angolo acuto Sotto l ipotesi dell angolo acuto... non vale il V postulato non vale l unicità della parallela dati una retta r e un punto P esterno ad essa esistono almeno due rette per P che non intersecano r quindi esistono infinite rette per P che non intersecano r (almeno quelle comprese fra queste due)

136 L ipotesi dell angolo acuto Data una retta r e un punto P esterno ad essa esistono rette secanti e rette non secanti P m n r

137 L ipotesi dell angolo acuto Data una retta r e un punto P esterno ad essa esistono rette secanti e rette non secanti P m rette secanti n r

138 L ipotesi dell angolo acuto Data una retta r e un punto P esterno ad essa esistono rette secanti e rette non secanti P m n r rette secanti rette non secanti (iperparallele)

139 L ipotesi dell angolo acuto Data una retta r e un punto P esterno ad essa esistono rette secanti e rette non secanti P m n r rette secanti rette non secanti (iperparallele) rette non secanti che separano le rette secanti da quelle non secanti (parallele)

140 L ipotesi dell angolo acuto Data una retta r e un punto P esterno ad essa esistono rette secanti e rette non secanti P m n r rette secanti rette non secanti (iperparallele) rette non secanti che separano le rette secanti da quelle non secanti (parallele) Esistono esattamente due rette m e n parallele a r nei suoi due versi

141 L ipotesi dell angolo acuto Si dimostra che... Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva

142 L ipotesi dell angolo acuto Si dimostra che... Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva h s nel verso di parallelismo le rette parallele si avvicinano sempre più senza mai incontrarsi (hanno cioè un comportamento asintotico) H r

143 L ipotesi dell angolo acuto Si dimostra che... Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva h s nel verso opposto a quello di parallelismo le rette divergono indefinitamente e non tutte le perpendicolari a una di esse incontrano anche l altra H r

144 L ipotesi dell angolo acuto Si dimostra che... Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva h s nel verso opposto a quello di parallelismo le rette divergono indefinitamente e non tutte le perpendicolari a una di esse incontrano anche l altra H r Questo induce Saccheri a dire che...

145 L ipotesi dell angolo acuto Si dimostra che... Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva h s nel verso opposto a quello di parallelismo le rette divergono indefinitamente e non tutte le perpendicolari a una di esse incontrano anche l altra H r Questo induce Saccheri a dire che... L ipotesi dell angolo acuto è assolutamente falsa, perché ripugna alla natura della linea retta

146 L ipotesi dell angolo acuto Si dimostra che... Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva h s nel verso opposto a quello di parallelismo le rette divergono indefinitamente e non tutte le perpendicolari a una di esse incontrano anche l altra H r Ma non c è contraddizione!

147 L ipotesi dell angolo acuto Si dimostra che... Il parallelismo (in un verso) è una relazione simmetrica e transitiva h s nel verso opposto a quello di parallelismo le rette divergono indefinitamente e non tutte le perpendicolari a una di esse incontrano anche l altra H r Saccheri, inconsapevolmente, ha dimostrato molte proprietà della GEOMETRIA IPERBOLICA

148 Kant: la necessità della geometria euclidea La Critica della ragion pura (1781) Lo spazio è un intuizione pura a priori, cioè un inevitabile necessità del pensiero. Immanuel Kant ( )

149 Kant: la necessità della geometria euclidea La Critica della ragion pura (1781) Lo spazio è un intuizione pura a priori, cioè un inevitabile necessità del pensiero. La percezione sensoriale degli oggetti esterni è necessariamente euclidea. Immanuel Kant ( )

150 Kant: la necessità della geometria euclidea La Critica della ragion pura (1781) Lo spazio è un intuizione pura a priori, cioè un inevitabile necessità del pensiero. La percezione sensoriale degli oggetti esterni è necessariamente euclidea. Immanuel Kant ( ) La geometria euclidea è costituita da enunciati sintetici a priori: apportano nuova conoscenza (sintetici) e hanno carattere di certezza indipendentemente dai nostri sensi (a priori).

151 Lambert: un precursore della geometria non euclidea Se l ipotesi dell angolo acuto fosse vera, ciò darebbe luogo a una bizzarra nuova geometria. Johann Heinrich Lambert ( )

152 Gauss: un precursore prudente Princeps Mathematicorum Carl Friedrich Gauss ( ) Da una lettera a F.W. Bessel (27 gennaio 1829) Nelle ore libere ho pensato anche a un altro tema [... ] e cioè ai primi fondamenti della geometria [... ] la mia convinzione, che non possiamo fondare la geometria completamente a priori, è divenuta, se possibile, ancora più salda...

153 Gauss: un precursore prudente Princeps Mathematicorum Carl Friedrich Gauss ( )... Nel frattempo, non mi deciderò ancora per molto tempo a elaborare per una pubblicazione le mie molto estese ricerche sull argomento, e ciò forse non avverrà mai durante la mia vita, perché temo gli strilli dei Beoti, qualora volessi completamente esprimere le mie vedute.

154 I fondatori riconosciuti della geometria iperbolica János Bolyai ( ) Nikolaj Ivanovič Lobačevskij ( )

155 La geometria iperbolica GEOMETRIA IPERBOLICA

156 La geometria iperbolica GEOMETRIA IPERBOLICA è la geometria non euclidea per eccellenza, perché si ottiene da quella euclidea sostituendo il V postulato con la sua negazione

157 La geometria iperbolica GEOMETRIA IPERBOLICA è la geometria non euclidea per eccellenza, perché si ottiene da quella euclidea sostituendo il V postulato con la sua negazione Assioma di Lobačevskij Dati in un piano una retta e un punto esterno ad essa, per il punto passano almeno due rette che non incontrano la retta data.

158 I modelli della geometria iperbolica Concezione moderna Gli assiomi non sono né veri né falsi, ma sono suscettibili di molteplici interpretazioni.

159 I modelli della geometria iperbolica Concezione moderna Gli assiomi non sono né veri né falsi, ma sono suscettibili di molteplici interpretazioni. Ogni sistema assiomatico è caratterizzato da un certo linguaggio e da un insieme di assiomi specifici che stabiliscono relazioni e proprietà di alcuni concetti assunti come primitivi, ossia senza definizione.

160 I modelli della geometria iperbolica Concezione moderna Gli assiomi non sono né veri né falsi, ma sono suscettibili di molteplici interpretazioni. Ogni sistema assiomatico è caratterizzato da un certo linguaggio e da un insieme di assiomi specifici che stabiliscono relazioni e proprietà di alcuni concetti assunti come primitivi, ossia senza definizione. Lo stesso sistema, detto ipotetico-deduttivo, stabilendo una rete di rapporti tra concetti non definiti, è suscettibile di svariate interpretazioni, ossia ha molteplici modelli.

161 I modelli di Beltrami Il primo modello della geometria iperbolica: la pseudosfera (1868) Eugenio Beltrami ( )

162 Il modello di Beltrami-Klein Σ Σ è una circonferenza euclidea

163 Il modello di Beltrami-Klein Σ P Σ è una circonferenza euclidea un punto iperbolico è un punto interno a Σ

164 Il modello di Beltrami-Klein Σ P Σ è una circonferenza euclidea un punto iperbolico è un punto interno a Σ una retta iperbolica è una corda di Σ (estremi esclusi) r

165 Il modello di Beltrami-Klein Σ Σ è una circonferenza euclidea n P r m un punto iperbolico è un punto interno a Σ una retta iperbolica è una corda di Σ (estremi esclusi) m e n sono le due parallele a r

166 Il modello di Beltrami-Klein Σ Σ è una circonferenza euclidea n P a r b m un punto iperbolico è un punto interno a Σ una retta iperbolica è una corda di Σ (estremi esclusi) m e n sono le due parallele a r a e b sono rette secanti

167 Il modello di Beltrami-Klein Σ Σ è una circonferenza euclidea t s n P a r b m un punto iperbolico è un punto interno a Σ una retta iperbolica è una corda di Σ (estremi esclusi) m e n sono le due parallele a r a e b sono rette secanti s e t sono rette iperparallele

168 Il modello di Beltrami-Klein Σ s P con questa interpretazione tutti gli assiomi della geometria iperbolica sono veri nel modello t n r m a b

169 Il modello di Beltrami-Klein t Σ s n P a r b m con questa interpretazione tutti gli assiomi della geometria iperbolica sono veri nel modello se ci fosse una contraddizione nella geometria iperbolica, questa risulterebbe nel modello, cioè sarebbe una contraddizione della geometria euclidea!

170 Il modello di Beltrami-Klein Σ s P t m n a r b Felix Klein ( )

171 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ Σ è una circonferenza euclidea m r n

172 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ P Σ è una circonferenza euclidea un punto iperbolico è un punto interno a Σ m r n

173 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ Σ è una circonferenza euclidea un punto iperbolico è un punto interno a Σ P r m una retta iperbolica è un arco di circonferenza ortogonale a Σ (estremi esclusi) n

174 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ Σ è una circonferenza euclidea un punto iperbolico è un punto interno a Σ P r m una retta iperbolica è un arco di circonferenza ortogonale a Σ (estremi esclusi) n m e n sono le due parallele a r

175 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ Σ è una circonferenza euclidea un punto iperbolico è un punto interno a Σ n a P r m b una retta iperbolica è un arco di circonferenza ortogonale a Σ (estremi esclusi) m e n sono le due parallele a r a e b sono rette secanti

176 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ t è una retta iperparallela t P m r n b a

177 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ t è una retta iperparallela t P B m ABP è un triangolo iperbolico, in cui la somma degli angoli interni è minore di 2 retti A r n b a

178 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ t è una retta iperparallela t n A a P r B m b ABP è un triangolo iperbolico, in cui la somma degli angoli interni è minore di 2 retti anche con questa interpretazione tutti gli assiomi della geometria iperbolica sono veri nel modello

179 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ t P m B A r n a b Henri Poincaré ( )

180 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ anche i diametri di Σ sono rette iperboliche

181 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ anche i diametri di Σ sono rette iperboliche

182 Il modello di Beltrami-Poincaré Σ anche i diametri di Σ sono rette iperboliche con il modello di Beltrami-Poincaré riusciamo a visualizzare il quadrilatero birettangolo isoscele

183 Proprietà visibili nel modello di Beltrami-Poincaré Σ T il triangolo RST è un triangolo limite formato da tre rette parallele R S

184 Proprietà visibili nel modello di Beltrami-Poincaré Σ T il triangolo RST è un triangolo limite formato da tre rette parallele più il triangolo diventa piccolo... R S

185 Proprietà visibili nel modello di Beltrami-Poincaré Σ T il triangolo RST è un triangolo limite formato da tre rette parallele più il triangolo diventa piccolo più assomiglia a un triangolo euclideo R S

186 Proprietà visibili nel modello di Beltrami-Poincaré R Σ T S il triangolo RST è un triangolo limite formato da tre rette parallele più il triangolo diventa piccolo più assomiglia a un triangolo euclideo ma sempre la somma degli angoli interni è minore di 2 retti

187 Proprietà visibili nel modello di Beltrami-Poincaré Σ T anche se i lati aumentano, l area del triangolo è limitata da quella del triangolo limite R S

188 Proprietà visibili nel modello di Beltrami-Poincaré Σ T anche se i lati aumentano, l area del triangolo è limitata da quella del triangolo limite inoltre... R S in geometria iperbolica non esistono triangoli simili non uguali

189 La sistemazione hilbertiana della geometria Nel 1899 David Hilbert, nell opera Grundlagen der Geometrie, introdusse un sistema d assiomi per la geometria euclidea piana e solida rispondente alle esigenze dell assiomatica moderna David Hilbert ( )

190 La sistemazione hilbertiana della geometria Nel 1899 David Hilbert, nell opera Grundlagen der Geometrie, introdusse un sistema d assiomi per la geometria euclidea piana e solida rispondente alle esigenze dell assiomatica moderna Gruppi di assiomi I. Assiomi di appartenenza (8) David Hilbert ( )

191 La sistemazione hilbertiana della geometria Nel 1899 David Hilbert, nell opera Grundlagen der Geometrie, introdusse un sistema d assiomi per la geometria euclidea piana e solida rispondente alle esigenze dell assiomatica moderna Gruppi di assiomi I. Assiomi di appartenenza (8) II. Assiomi di ordinamento (4) David Hilbert ( )

192 La sistemazione hilbertiana della geometria Nel 1899 David Hilbert, nell opera Grundlagen der Geometrie, introdusse un sistema d assiomi per la geometria euclidea piana e solida rispondente alle esigenze dell assiomatica moderna Gruppi di assiomi I. Assiomi di appartenenza (8) II. Assiomi di ordinamento (4) III. Assiomi di congruenza (5) David Hilbert ( )

193 La sistemazione hilbertiana della geometria Nel 1899 David Hilbert, nell opera Grundlagen der Geometrie, introdusse un sistema d assiomi per la geometria euclidea piana e solida rispondente alle esigenze dell assiomatica moderna David Hilbert ( ) Gruppi di assiomi I. Assiomi di appartenenza (8) II. Assiomi di ordinamento (4) III. Assiomi di congruenza (5) IV. Assioma della parallela: per un punto passa una sola parallela a una retta non contenente il punto (Playfair)

194 La sistemazione hilbertiana della geometria Nel 1899 David Hilbert, nell opera Grundlagen der Geometrie, introdusse un sistema d assiomi per la geometria euclidea piana e solida rispondente alle esigenze dell assiomatica moderna David Hilbert ( ) Gruppi di assiomi I. Assiomi di appartenenza (8) II. Assiomi di ordinamento (4) III. Assiomi di congruenza (5) IV. Assioma della parallela: per un punto passa una sola parallela a una retta non contenente il punto (Playfair) V. Assiomi di continuità (2)

195 La geometria sferica P Consideriamo una sfera di centro O C O

196 La geometria sferica P C Consideriamo una sfera di centro O dati A e B sulla sfera... O A B

197 La geometria sferica P Consideriamo una sfera di centro O C dati A e B sulla sfera... O A B... il tragitto più breve da A a B è l arco di circonferenza massima (geodetica) ottenuta intersecando la sfera col piano passante per A, B, O

198 La geometria sferica P GEOMETRIA SFERICA C O A B

199 La geometria sferica P GEOMETRIA SFERICA i punti sono punti della sfera O A B le rette sono circonferenze massime i segmenti archi di circonferenze massime

200 La geometria sferica P GEOMETRIA SFERICA C i punti sono punti della sfera O A B le rette sono circonferenze massime i segmenti archi di circonferenze massime ABP e ABC sono triangoli con somma degli angoli interni maggiore di 2 retti

201 La geometria sferica sulla sfera possiamo costruire il quadrilatero birettangolo isoscele...

202 La geometria sferica sulla sfera possiamo costruire il quadrilatero birettangolo isoscele...

203 La geometria sferica sulla sfera possiamo costruire il quadrilatero birettangolo isoscele...

204 La geometria sferica sulla sfera possiamo costruire il quadrilatero birettangolo isoscele...

205 La geometria sferica sulla sfera possiamo costruire il quadrilatero birettangolo isoscele corrispondente all ipotesi dell angolo ottuso! (con somma degli angoli maggiore di 4 retti)

206 La geometria sferica sulla sfera possiamo costruire il quadrilatero birettangolo isoscele corrispondente all ipotesi dell angolo ottuso! (con somma degli angoli maggiore di 4 retti) per la coerenza della geometria sferica non basta modificare solo il V postulato!

207 Proprietà della geometria sferica Proprietà delle rette circonferenze massime

208 Proprietà della geometria sferica Proprietà delle rette circonferenze massime sono linee chiuse (la retta non è infinita)

209 Proprietà della geometria sferica Proprietà delle rette circonferenze massime sono linee chiuse (la retta non è infinita) per due punti diametralmente opposti passano infinite rette

210 Proprietà della geometria sferica Proprietà delle rette circonferenze massime sono linee chiuse (la retta non è infinita) per due punti diametralmente opposti passano infinite rette non esistono rette parallele!

211 Proprietà della geometria sferica Proprietà delle rette circonferenze massime sono linee chiuse (la retta non è infinita) per due punti diametralmente opposti passano infinite rette non esistono rette parallele! È necessario modificare opportunamente gli assiomi euclidei e sostituire al V postulato il seguente...

212 Proprietà della geometria sferica Proprietà delle rette circonferenze massime sono linee chiuse (la retta non è infinita) per due punti diametralmente opposti passano infinite rette non esistono rette parallele! È necessario modificare opportunamente gli assiomi euclidei e sostituire al V postulato il seguente... Assioma di Riemann Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune.

213 Proprietà della geometria sferica Proprietà delle rette circonferenze massime sono linee chiuse (la retta non è infinita) per due punti diametralmente opposti passano infinite rette non esistono rette parallele! È necessario modificare opportunamente gli assiomi euclidei e sostituire al V postulato il seguente... Assioma di Riemann Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune. Bernhard Riemann ( )

214 La geometria ellittica GEOMETRIA ELLITTICA

215 La geometria ellittica GEOMETRIA ELLITTICA è l altra geometria non euclidea vera e propria

216 La geometria ellittica GEOMETRIA ELLITTICA è l altra geometria non euclidea vera e propria Si vuole conservare l assioma euclideo: Per due punti distinti passa una e una sola retta

217 La geometria ellittica A Γ A Consideriamo una semisfera e il suo bordo Γ

218 La geometria ellittica A C Γ D A Consideriamo una semisfera e il suo bordo Γ C e D sono due punti della semisfera (non diametralmente opposti)

219 La geometria ellittica A C Γ D r A Consideriamo una semisfera e il suo bordo Γ C e D sono due punti della semisfera (non diametralmente opposti) r è l unica semicirconferenza massima che passa per C e D, e viene interpretata come la retta per C e D

220 La geometria ellittica A Γ r A i punti diametralmente opposti vengono identificati (cioè sono lo stesso punto!) C D

221 La geometria ellittica A C Γ D r A i punti diametralmente opposti vengono identificati (cioè sono lo stesso punto!) in questo modo per due punti distinti passa una e una sola retta

222 La geometria ellittica A Γ A Anche qui è necessario modificare altri assiomi euclidei oltre al V postulato. Infatti... r C D

223 La geometria ellittica A Γ A Anche qui è necessario modificare altri assiomi euclidei oltre al V postulato. Infatti... C D r le rette sono linee chiuse

224 La geometria ellittica A Γ A Anche qui è necessario modificare altri assiomi euclidei oltre al V postulato. Infatti... C D r le rette sono linee chiuse è soddisfatto l assioma di Riemann

225 La geometria ellittica A Γ A Anche qui è necessario modificare altri assiomi euclidei oltre al V postulato. Infatti... C D r le rette sono linee chiuse è soddisfatto l assioma di Riemann la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di 2 retti

226 Schema di riepilogo GEOMETRIA ASSOLUTA Appartenenza Ordinamento Congruenza Continuità

227 Schema di riepilogo GEOMETRIA ASSOLUTA Appartenenza Ordinamento Congruenza Continuità 1 parallela = GEOMETRIA EUCLIDEA (PARABOLICA)

228 Schema di riepilogo GEOMETRIA ASSOLUTA Appartenenza Ordinamento Congruenza Continuità 2 parallele = 1 parallela = GEOMETRIA IPERBOLICA GEOMETRIA EUCLIDEA (PARABOLICA)

229 Schema di riepilogo GEOMETRIA ASSOLUTA Appartenenza Ordinamento Congruenza Continuità nessuna parallela modifica Ordinamento modifica Appartenenza GEOMETRIA SFERICA 2 parallele = 1 parallela = GEOMETRIA IPERBOLICA GEOMETRIA EUCLIDEA (PARABOLICA)

230 Schema di riepilogo GEOMETRIA ASSOLUTA Appartenenza Ordinamento Congruenza Continuità nessuna parallela modifica Ordinamento modifica Appartenenza GEOMETRIA SFERICA 2 parallele = 1 parallela = nessuna parallela modifica Ordinamento = GEOMETRIA IPERBOLICA GEOMETRIA EUCLIDEA (PARABOLICA) GEOMETRIA ELLITTICA

231 Einstein: la teoria della relatività generale (1916) Albert Einstein ( )

232 Einstein: la teoria della relatività generale (1916) Albert Einstein ( ) 1 interpretazione I raggi di luce si incurvano in presenza di masse

233 Einstein: la teoria della relatività generale (1916) Albert Einstein ( ) 1 interpretazione I raggi di luce si incurvano in presenza di masse 2 interpretazione I raggi di luce viaggiano secondo le rette di una opportuna geometria ellittica (i cui parametri sono determinati dalle masse presenti)

234 Einstein: la teoria della relatività generale (1916) Albert Einstein ( ) Adottando la geometria euclidea, la teoria fisica risulta complicata 2 interpretazione I raggi di luce viaggiano secondo le rette di una opportuna geometria ellittica (i cui parametri sono determinati dalle masse presenti)

235 Einstein: la teoria della relatività generale (1916) Albert Einstein ( ) Adottando la geometria euclidea, la teoria fisica risulta complicata Adottando una geometria non euclidea, la teoria fisica risulta più semplice!

236 Le geometrie non euclidee e l arte Maurits Cornelis Escher ( ) Limite del cerchio III (1959)

237 Le geometrie non euclidee e l arte Maurits Cornelis Escher ( ) Limite del cerchio IV (1960)

238 Le geometrie non euclidee e l arte Maurits Cornelis Escher ( ) Limite del cerchio IV (1960)

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