Modelli di variabili casuali

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1 Modell d varabl casual Un modello d v.c. è una funzone f() che assoca ad ogn valore d una v.c. X la corrspondente probabltà. Obettvo: calcolo della probabltà per tutt valor che X può assumere Per le v.c. dscrete: f() = p( ) Per ogn possble valore della v.c. X, la funzone p( ) fornsce la probabltà che X sa uguale ad. Per le v.c. contnue: f() Per ogn possble valore della v.c. X, la funzone f() fornsce la probabltà che X assuma valor compres n un ntorno nfntesmale d.

2 V.c. Unforme dscreta X ~ Udn È generata da una prova assmlable all estrazone d una pallna da un urna contenente n pallne dentche ma numerate da 1 a n p 1 n 1,,,n p() 1/n n 1 p n Moment: Funzone d rpartzone E X Var X n 1 n 1 1 p F k k 1 k n F() n

3 Esempo Il rsultato del lanco d un dado è descrtto da una v.c. Unforme dscreta d parametro n = 6. Determnare: a) l valore atteso e la varanza d X b) la probabltà d avere un rsultato nferore a 3 c) la probabltà d avere un rsultato superore a 4 Soluzone X ~ Ud6 a) n 1 7 EX 3,5 n Var X b) P(X < 3) = P(1) + P() = /6 = c) P(X > 4) = P(5) + P(6) = /6 = 0.333

4 V.c. d Bernoull X ~ Ber p Regola cas rconducbl ad una prova che s può concludere con possbl rsultat: E = successo, con probabltà p E = nsuccesso, con probabltà 1-p = numero d success n 1 prova p p 1 p n 1 p 1 1 0,1 p() p 1-p 0 1 Funzone d rpartzone F() 0, k 0 F k 1 p, 0 k 1 k 0 1, k p 0 1

5 Moment: E X p 0 1 p 1 p p Var X p 0 p 1 p 1 p p p 1 p p 1 p p p p p p p p p p 1 p 3 3 N.B.: la varanza è massma se p = 0,5

6 V.c. Bnomale X ~ Bn n,p n p p 1 p n 1 p 1 n 0,1,,n Regola cas rconducbl ad n prove con rsultato dcotomco, con probabltà costante p d successo (schema dell estrazone con rpetzone o con remmssone d n pallne da un urna). È la somma d n v.c. bernoullane ndpendent p() = probabltà d success n n prove p(0) = p(x = 0) = p(1) = p(x = 1) = p(n) = p(x = n) = Probabltà che n n prove non s verfch alcun successo Probabltà che n n prove s verfch 1 successo Probabltà che n n prove s verfchno n success

7 Qund: n = numero d prove = numero d success n n prove n = numero d nsuccess n n prove La funzone d probabltà deve tener conto d tutte le possbl sequenze d success ed nsuccess (prncpo della probabltà totale per event ncompatbl). n Numero d possbl sequenze d success ed nsuccess (corrspondente al numero d element dello spazo degl event) Quant sono mod d combnars d una specfca sequenza? n! n! n! n element pres ad Qual è la probabltà d ognuna delle sequenze? p 1 p n

8 Moment: E X E X X X... X 1 3 n E X E X... E X p p.. p np 1 n VAR X VAR X X X... X p 1 p p 1 p... p 1 p 1 3 n np 1 p npq N.B. La v.c. Bnomale regola la frequenza assoluta (X = numero d success n n prove). Essa può essere trasformata per ottenere la v.c. frequenza relatva: Y = proporzone d success n n prove Y ~ 1 Bnn;p n 1 1 EY EX np p n n 1 1 p 1 p Var Y Var X np 1 p n n n

9 Esempo Una macchna d precsone produce pezz d rcambo per macchne agrcole con una percentuale par al 10% d pezz dfettos. Su una produzone d 5 pezz, s rchede: a) qual e la probabltà d avere meno d 3 pezz dfettos? b) qual e la probabltà d avere tra e 4 pezz dfettos? c) qual e la probabltà d avere al pù pezz dfettos? d) qual e la probabltà d avere almeno 4 pezz dfettos? e) dsegnare la funzone d probabltà e d rpartzone della v.c. che descrve rsultat dell espermento f) calcolare la meda e la varanza della dstrbuzone. Soluzone La varable casuale numero d pezz dfettos (successo) su 5 pezz prodott (prove) segue la dstrbuzone Bnomale, con parametr n = 5 e p = 0,1 (10%) X ~ Bn 5;0,1 n p p 1 p n

10 Probabltà elementar: 5 p p 1 p 5 con !! 5! ! 0 5 p 0 p 1 p 0,1 0, , , ! 5! ! 1 4 p 1 p 1 p 0,1 0, 9 5 0,1 0, , ! 4! 5 3 5! 3 p p 1 p 0,1 0, , 01 0,79 0, 079! 3! 5 3 5! 3 p 3 p 1 p 0,1 0, , 001 0, 81 0, !! ! 4 1 p 4 p 1 p 0,1 0, 9 5 0, , 9 0, ! 1! ! 5 0 p 5 p 1 p 0,1 0, 9 1 0, , ! 0!

11 Dat n = 5 e p = 0,1, la v.c. X = numero d pezz dfettos su 5 prodott è defnta così: p() F() 0 0, , ,3805 0, ,0790 0, , , , , , Totale 1 a) P(X < 3) = P(0) + P(1) + P() = 0, , ,079 = 0,99144 b) P( X 4) = P() + P(3) + P(4) = 0, , ,00045 = 0,08145 c) P(X ) = P(0) + P(1) + P() = 0, , ,079 = 0,99144 d) P(X 4) = P(4) + P(5) = 0, ,00001 = 0,00046

12 e) Rappresentazon grafche p() F() Funzone d probabltà Funzone d rpartzone f) Moment = np = 5 0,1 = 0,5 = np(1-p) = 5 0,1 0,9 = 0,45

13 Rappresentazone grafca della v.c. Bnomale La forma della dstrbuzone vara al varare d n e p. A partà d n, man mano che p s avvcna a 0,5 è va va pù smmetrca. p = 0.1 n = 10 p=0.3 n = 10 p=0.5 n = 10

14 V.c. d Posson X ~ Po p e! 0,1,, n 1 0 p 1 Moment: EX Var X Regola l numero d event regstrat n un ambto crcoscrtto, temporale o spazale. Non è drettamente generata da una successone bernoullana ma rappresenta l lmte d una v.c. Bnomale per n e p 0. S rfersce a: Event dcotomc Event d tpo dscreto msurat su un ntervallo contnuo Event rar o poco probabl Event che s manfestano alla cadenza costante (= numero d event che n meda s manfestano n ogn sottontervallo t) X : numero d event n un ntervallo t : cadenza con la quale s verfcano Condzon: 1) Event che s verfcano n ntervall dsgunt sono ndpendent (v.c. senza memora ); ) La probabltà che s verfch un evento n un pccolo ntervallo è proporzonale alla lunghezza dell ntervallo. t

15 Esempo Alle casse d un supermercato s presentano n meda 3 clent al mnuto. Sapendo che l numero d clent che arrvano alle casse è rappresentato da una varable casuale d Posson, s determn: a) la dstrbuzone d probabltà; b) la probabltà che n 1 mnuto arrvno pù d 4 clent; c) la probabltà che n 5 mnut non arrv nessuno; d) la probabltà che 3 clent arrvno n 15 second. Soluzone Il numero d clent n arrvo alle casse n un mnuto s dstrbusce come una varable casuale d Posson con meda 3: Qund: a) 3 0 e 3 P(X 0) 0! , 3 1 e 3 P(X 1) , 1! 3 e 3 P(X )! 0.40, 3 3 e 3 P(X 3) 3! 0.40, 3 4 e 3 P(X 4) 4! , e così va X ~ Po 3

16 b) P(X 4) 1 P(X 4) P(X 4) P(X 0) P(X 1) P(X ) P(X 3) P(X 4) P X c) = 3, t = 1 mnuto Se: t 1 = 5 mn = 5t 1 X ~ Po 15 e 15 0! P(X1 0) e = allora: 1 = 5 = 53 = 15 d) = 3, t = 1 mnuto Se: t = 15 sec = t/4 allora: = /4 = 3/4 = 0,75 X ~ Po 0,75 0,75 3 e 0,75 0, 47 0, 4 P(X 3) 0, 039 3! 6

17 Formula rcorsva: Rprendendo l esempo: P X 1 P X 1 X ~ P 3 Una volta calcolata: P(X 0) S possono dedurre le altre probabltà come: 3 P X , 1 3 P X , 3 P X , 3 3 P X , 4 e così va.

18 Convergenza della v.c. Bnomale alla v.c. Posson Quando n è elevato è complcato calcolare la probabltà de valor = 0, 1,,, n d un modello Bnomale, che rchederebbe fattoral e potenze d ordne elevato. Per n elevato e p vcno a 0 la dstrbuzone d Posson con parametro = np rappresenta una buona approssmazone della legge Bnomale d parametr n e p. Teorema: All aumentare del numero delle prove, la varable casuale Bnomale converge ad una varable casuale d Posson con parametro =np X ~ B n,p X ~ Po np n p0 n lmp X n n lm p 1 p n e!

19 Esempo Una fabbrca d coccolato promuove una campagna pubblctara per la vendta d un nuovo tpo d coccolatn consstente nel sostture 5 coccolatn ver, facent parte d una partta d 1000, con 5 coccolatn d oro. I coccolatn sono confezonat n modo casuale n scatole da 0 e vendut al pubblco. Qual è la probabltà che un acqurente trov uno o pù coccolatn d oro n una scatola? Soluzone Saremmo d fronte ad una v.c. Bnomale: X ~ B0, 0,005 che poché p è molto pccolo, può essere trattata come una v.c. d Posson: X ~ Po 0,1 = np = 00,005 = 0,1 Coccolatn d oro n una scatola Prob. Bnomal Prob. Possonane Dfferenze (val. ass.) 0 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,

20 Rappresentazone grafca della v.c. d Posson La forma della dstrbuzone vara al varare d. A partà d n (della Bnomale), man mano che cresce ( p s avvcna a 0,5) è va va pù smmetrca = = =4

21 Convergenza della v.c. Bnomale alla v.c. Normale Teorema d De Movre-Laplace Sa X ~ B(n, p). All aumentare d n s ha: X np lm P z P Z z np(1 p) n X ~ N np, np 1-p Z ~ N 0, 1 ossa: X np ~ N 0, 1 np(1 p) p = 0,3 n = 10 p = 0,3 n = 50

22 Esempo Un meteorologo rtene che la probabltà che a Napol n un gorno del mese d novembre pova sa 0,166. Determnare la probabltà che nel mese d novembre v sano: a) al massmo 7 gorn d pogga; b) pù d 6 gorn d pogga; c) tra 7 e 10 gorn d pogga; d) tra e 10 gorn. Soluzone n è grande: a) 7 5 P X 7 P Z P Z 0,98,04 F 0,98 0,8365 b) X ~ B30, 0,166 X ~ N30 0,166, 30 0,166 0,834 X ~ N5, 4, P X 6 P Z P Z 0, 49,04 1 P Z 0, 49 1 F 0, ,6879 0,311

23 c) P 7 X 10 P Z,04,04 P 0,98 Z, 45 F, 45 F 0,98 0,999 0,8365 0,1564 d) P X 10 P Z,04,04 P 1,47 Z,45 F,45 F 1,47 F, 45 1 F 1, 47 0, ,99 0,91 3

24 Schema delle varabl casual Varable casuale Normale X N(, ) Unforme contnua X U(a, b) f Modello Caratterstche E(X) Var(X) 1 f e 1 b a Smmetra ntorno alla meda = 1,,, + Probabltà costante a b b a 1 Unforme dscreta X Ud(n) p 1 n = 1,,, n Probabltà costante n 1 n 1 1 Bernoull X Ber(p) p p 1 p 1 Successo n 1 prova p P(1-p) Bnomale X B (n, p) n p p 1 p n Numero d success n n prove np np(1-p) Posson X Po() p e! Numer d success n un ntervall d tempo

25 Schema delle approssmazon Varable casuale Condzone Varable casuale approssmata E(X) Var(X) Bnomale X B (n, p) n grande p pccolo Posson X Po(np) np np Bnomale X B (n, p) n grande X N (np, np(1-p)) np np(1-p)