Corso multimediale di matematica
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- Florindo Micheli
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1 2006 GNIMETRIA rof. Calogero Contrino
2 Sia dato un generico angolo acuto ab di vertice e lati a, b. Si consideri su uno dei suoi lati (p.e. il secondo) una generica sequenza di punti (anche infinita),,. Si effettui la proiezione ortogonale dei punti,,. sull altro lato (nell esempio il primo) ottenendo la sequenza di punti H, H, H.. Nella figura così ottenuta si individuano i triangoli rettangoli,,. Tali triangoli risultano simili. vedi ertanto si ha : a) b) H H H... H... c) H H... H H H a rof Calogero Contrino 24/10/2014 2/8
3 Le catene di rapporti viste prima assumo valori che dipendono dal valore dell angolo in modo univoco, vale a dire per ogni ampiezza dell angolo acuto si ha uno ed un sol valore per ciascuna di esse, pertanto ognuna delle tre catene è una funzione dell angolo. A ciascuna di esse viene assegnata un nome specifico, in particolare si ha : definizione 1 Dicesi seno dell angolo (in simboli sen) il valore della catena di rapporti : H H... definizione 2 Dicesi coseno dell angolo (in simboli cos) il valore della catena di rapporti : H H... definizione 3 Dicesi tangente dell angolo (in simboli tg) il valore della catena di rapporti : H H... H H H a rof Calogero Contrino 24/10/2014 3/8
4 delle catene di rapporti viste prima si possono considerare i valori reciproci che individuano altre tre funzioni dell angolo cosi definite : definizione 4 Dicesi cosecante dell angolo (in simboli cosec) il valore della catena di rapporti :... H H definizione 5 Dicesi secante dell angolo (in simboli sec) il valore della catena di rapporti :... definizione 6 Dicesi cotangente dell angolo (in simboli cotg) il valore della catena di rapporti :... H H H H H a rof Calogero Contrino 24/10/2014 4/8
5 Le definizioni precedenti possono essere riformulate in relazione ad un generico triangolo rettangolo. In tal caso si ha : sen ; cos ; tg ; cosec ; sec ; cotg. definizione 1 In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti sen è il valore del rapporto tra le misure del cateto opposto all angolo e dell ipotenusa. definizione 2 In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti cos è il valore del rapporto tra le misure del cateto adiacente all angolo e dell ipotenusa. H definizione 3 In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti tg è il valore del rapporto tra le misure del cateto opposto e di quello adiacente all angolo. H H H a rof Calogero Contrino 24/10/2014 5/8
6 sen ; cos ; tg ; cosec ; sec ; cotg. Si completa la riformulazione delle definizioni : definizione 4 In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti cosec è il valore del rapporto tra le misure dell ipotenusa e del cateto opposto all angolo. definizione 5 In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti sec è il valore del rapporto ttra le misure dell ipotenusa e del cateto adiacente all angolo. H definizione 6 In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti cotg è il valore del rapporto tra le misure del cateto adiacente e di quello opposto all angolo. rof Calogero Contrino 24/10/2014 6/8
7 Le relazioni che esprimono sen, cos,cosec e sec nel caso di un triangolo rettangolo con ipotenusa unitaria diventano : sen ; cos sec ; cosec 1 ; 1 Le definizioni di sen e cos vengono ancora così riformulate : definizione 1 In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti sen è il valore della misura del cateto opposto all angolo. definizione 2 In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti cos è il valore della misura del cateto adiacente all angolo. H rof Calogero Contrino 24/10/2014 7/8
8 sen ; cos sec ; cosec 1 ; 1 Mentre quelle di cosec e sec diventano : definizione 4 In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti cosec è il reciproco del valore della misura del cateto opposto all angolo. definizione 5 In un triangolo rettangolo detto uno dei due angoli acuti sec è il reciproco del valore della misura del cateto adiacente all angolo. H rof Calogero Contrino 24/10/2014 8/8
9 Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche E importante evidenziare alcune relazioni che intercorrono tra le diverse funzioni goniometriche, alcune di esse sono ricavabili direttamente dalle definizioni precedenti ed in particolare si ha : sen cosec sen 1 cosec cos sec cos 1 sec tg cotg tg 1 cotg Inoltre : tg tg sen cos cotg cotg cos sen rof Calogero Contrino 24/10/2014 9/8
10 Relazioni fondamentali tra le funzioni goniometriche Un altra importante relazione si può determinare applicando il teorema di itagora al triangolo. H Si ha infatti successivamente : sen 2 + cos rof Calogero Contrino 24/10/ /8
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