Lezione I Vettori geometrici e spazi vettoriali

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1 .. Lezione I Vettori geometrici e spazi vettoriali A. Bertapelle 2 ottobre 2012

2 Vettori geometrici Definizione naïf di vettore Un vettore geometrico è un ente dotato di direzione, lunghezza e verso. Si considera poi il caso particolare del vettore nullo che non ha né direzione, né verso e lunghezza 0.

3 Segmenti orientati Vettori geometrici Un segmento orientato (non banale) AB è segmento su cui siano fissati nell ordine l inizio A e la fine B. A B Si ha AB BA. Un segmento orientato banale è del tipo AA (ossia un punto).

4 Relazione di equivalenza Sia A un insieme. Una relazione di equivalenza su A è una rel. a b che sia: riflessiva: a a; simmetrica : a b b a; transitiva : a b, b c a c. Una classe di equivalenza è un sottoinsieme di A del tipo [a] = {x A x a} Si ha [a] [b] [a] = [b]. A / indica l insieme delle classi di equivalenza.

5 Segmenti equipollenti. Definizione.. Due segmenti orientati non banali si dicono equipollenti se sono paralleli, di uguale lunghezza e orientati concordemente. Tutti i segmenti orientati banali sono considerati tra loro. equipollenti. Un segmento orientato non banale non è equipollente ad alcun segmento orientato banale. La relazione di equipollenza sull insieme A dei segmenti orientati è una relazione di equivalenza e scriveremo AB CD per dire che i due segmenti orientati sono equipollenti.

6 Due segmenti orientati non banali e distinti AB e CD sono equipollenti se, e solo se, ABDC è un parallelogramma. B D A C Si noti che ABCD non è un parallelogramma!

7 Vettori geometrici. Definizione.. Un vettore geometrico è una classe di equivalenza [AB] di segmenti orientati rispetto alla relazione di equipollenza. Viene indicato. con AB. 0 = AA = [AA] indica il vettore geometrico nullo. Fissato un punto O un qualsiasi vettore geometrico è rappresentato da un (unico) segmento orientato avente punto iniziale in O.

8 O V = A / indica l insieme dei vettori geometrici.

9 Somma di vettori geometrici Definiamo +: V V V, ( AB, BC) AC Se uno dei vettori è nullo si ha: perché 0 = AA = BB AB + 0 = AB = 0 + AB

10 B C A D Regola del parallelogramma: AB + BC = AB + AD è la diagonale del parallelogramma individuato dai segmenti AB e AD.

11 Moltiplicazione per uno scalare : R V V, (α, AB) α AB = AC ove per α 0 e AB 0 si ha: i punti A, B, C sono allineati, α AB = AC, il verso dei due vettori è concorde se α > 0, discorde altrimenti. Si pongono: 0 AB = 0 per ogni vettore AB e α0 = 0 per ogni α R.

12 Esempio: α = 1/3 B A C

13 Proprietà della somma e del prodotto per uno scalare (V, +) è un gruppo commutativo ossia S1) ( AB + BC) + CD = AB + ( BC + CD) (associatività) S2) AB + 0 = AB = 0 + AB (esiste el. neutro) S3) AB + BA = 0 = BA + AB (esiste el. opposto) S4) AB + CD = CD + AB (commutatività)

14 Proprietà della somma e del prodotto per uno scalare e inoltre dati α, β R, M1) α(β AB) = (αβ) AB (associatività) M2) (α + β) AB = α AB + β AB (distributività) M3) α( AB + CD) = α AB + α CD (distributività) M4) 1 AB = AB

15 Definizione di spazio vettoriale Uno spazio vettoriale su un campo C (ad es. Q,R,C,{0, 1}) è un insieme V dotato di due operazioni +: V V V, (v, w) v+w e : C V V, (α, v) αv tali che per ogni scelta di u, v, w in V valgano S1) (v + w) + u = v + (w + u) (associatività) S2) v + 0 = v = 0 + v (esiste el. neutro 0) S3) v + ( v) = 0 = ( v) + v (esiste el. opposto) S4) v + w = w + v (commutatività)

16 Definizione di spazio vettoriale e inoltre M1) α(βv) = (αβ)v (associatività) M2) (α + β)v = αv + βv (distributività) M3) α(v + w) = αv + αw (distributività) M4) 1v = v per ogni scelta di α, β in C e di v, w in V. Gli elementi di uno spazio vettoriale vengono detti vettori.