Codifica Binaria. Problema della rappresentazione. Danilo Ardagna Politecnico di Milano 21/5/2012

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1 Codifica Binaria Danilo Ardagna Politecnico di Milano 2/5/22 Problema della rappresentazione! Come vengono gestite le informazioni in un calcolatore?! Numeri interi! Numeri con la virgola! Caratteri! Immagini 2

2 Rappresentazione Unaria! La rappresentazione unaria è sicuramente la codifica più semplice dei numeri! La barretta I rappresenta il numero! La sequenza IIIIII denota il numero 6 e così via! La dimensione della rappresentazione cresce in modo lineare con il numero da rappresentare! Impraticabile per gestire numeri grandi 3 Numeri Romani! Minimizzare la dimensione della rappresentazione: simboli per multipli di 5! Alfabeto: {I V X L C D M}! Numeri naturali: combinazioni di tali simboli. Per evitare di usare nuovi simboli 4 viene codificato come 5- scritto IV ecc.! Problemi con numeri non multipli di 5 e numeri grandi! 9 rappresentato da X IX! 28 rappresentato da M CC LXXX I! 5. rappresentato da una sequenza di 5 M 4 2

3 Rappresentazione decimale! Codifica posizionale basata sul numero! Alfabeto: { }! I numeri si leggono da sinistra a destra e sono associati a potenze di (mille, diecimila, ecc)! Es. la sequenza 532 rappresenta il numero! 5 x x 2 + x + 2 x! La notazione posizionale può essere utilizzata in qualsiasi altra base 5 Codifica BINARIA! Usata dal calcolatore per tutte le informazioni! Alfabeto: { }! BIT ( BInary digit ):! unità ELEMENTARE di informazione! Facile da implementare: dispositivi che assumono due stati! Acceso/spento! Due valori di tensione V A e V B! Numeri binari naturali: la sequenza di bit b i (cifre binarie): b n b n- b, avendosi b i {, } rappresenta in base 2 il valore: b n 2 n - + b n- 2 n b 2 6 3

4 Numeri Binari Naturali! Con n bit codifichiamo 2 n numeri: da a 2 n -! Con Byte (cioè una sequenza di 8 bit):! bin = dec! bin = 2 3 = 8 dec! bin = = 43 dec! bin = Σ n =,2,3,4,5,6,7,8 2 n - = 255 dec! Conversione bin/dec e dec/bin! bin/dec - Σ i 2 i : bin = ( )= 29 dec! dec/bin - metodo dei resti 7 Conversione da Decimale a Binario Naturale Si calcolano i resti delle divisioni per due In pratica basta:. Decidere se il numero sia pari (resto ) oppure dispari (resto ), e annotare il resto 2. Dimezzare il numero (trascurando il resto) 3. Ripartire dal punto. fino a ottenere come risultato della divisione 9 : 2 9 : 2 4 : 2 2 : 2 : 2 9 dec = bin 8 4

5 Metodo dei resti 29 : 2 = 4 () 4 : 2 = 7 () 7 : 2 = 3 () 3 : 2 = () : 2 = () 76 : 2 = 38 () 38 : 2 = 9 () 9 : 2 = 9 () 9 : 2 = 4 () 4 : 2 = 2 () 2 : 2 = () : 2 = () 29 dec = bin Del resto 76 = 9x4 = Per raddoppiare, in base due, si aggiunge uno zero in coda, così come si fa in base dieci per decuplicare 76 dec = bin 9 Conversioni rapide bin à dec! In binario si definisce una notazione abbreviata, sulla falsariga del sistema metrico-decimale: K = 2 =.24 3 (Kilo) M = 2 2 = (Mega) G = 2 3 = (Giga) T = 2 4 = (Tera)! È curioso (benché non sia casuale) come K, M, G e T in base 2 abbiano valori molto prossimi ai corrispondenti simboli del sistema metrico decimale, tipico delle scienze fisiche e dell ingegneria! L errore risulta < % 5

6 Altri Esempi! 2 24 = = 6 M, leggi 6 milioni! 2 35 = = 32 G, leggi 32 miliardi! 2 48 = = 256 T, leggi 256 bilioni, o anche = = 256 K G, leggi 256 mila miliardi! 2 32 = = 4 G Aumento e Riduzione dei Bit in Binario Naturale! Aumento dei bit! premettendo in modo progressivo un bit a sinistra, il valore del numero non muta 4 dec = bin = bin = bin = bin 5 dec = bin = bin = bin = bin! Riduzione dei bit! cancellando in modo progressivo un bit a sinistra, il valore del numero non muta, ma bisogna arrestarsi quando si trova un bit! 7 dec = bin = bin = bin STOP! 2 dec = bin = bin = bin = bin STOP! 2 6

7 Numeri Interi in Modulo e Segno! Numeri binari interi (positivi e negativi) in modulo e segno! il primo bit a sinistra rappresenta il segno del numero (bit di segno), i bit rimanenti rappresentano il valore! per il segno positivo! per il segno negativo! Esempi con n = 9 (8 bit + un bit per il segno)! m&s = + =! m&s = = 8 dec! m&s = = -8 dec! e così via 3 Osservazioni sul Modulo e Segno! Il bit di segno è applicato al numero rappresentato, ma non fa propriamente parte del numero in quanto tale! il bit di segno non ha significato numerico! Distaccando il bit di segno, i bit rimanenti rappresentano il valore assoluto del numero! che è intrinsecamente positivo! Inefficiente: due codifiche per lo! Complessità di implementazione (sottrazione) 4 7

8 Il Complemento a 2 (C 2 )! Numeri interi in complemento a 2: il C 2 è un sistema binario, ma il primo bit (quello a sinistra, il più significativo) ha peso negativo, mentre tutti gli altri bit hanno peso positivo! La sequenza di bit: b n b n- b rappresenta in C 2 il valore: b n (-2 n- )+ b n- 2 n b 2 Il bit più a sinistra è ancora chiamato bit di segno 5 Numeri a 3 Bit in C 2! C2 = = dec! C2 = = dec! C2 = = 2 dec! C2 = = 2+ = 3 dec! C2 = = -4 dec! C2 = = -4+ = -3 dec! C2 = = -4+2 = -2 dec! C2 = = = - dec N.B.: in base al bit di segno lo zero è considerato positivo 6 8

9 Interi relativi in m&s e in C 2 Se usiamo Byte: da 28 a 27 dec. 27 m&s C Invertire un Numero in C 2! L inverso additivo (o opposto) di un numero rappresentato in C 2 si ottiene:! Invertendo (negando) ogni bit del numero! Sommando alla posizione meno significativa! Esempio:! C2 = = 8+2+ = dec! + = C2 = = = - dec! Si provi a invertire C2 = -5 dec! Si verifichi che con due applicazioni dell algoritmo si riottiene il numero iniziale [ ( A) = A ] e che lo zero in C 2 è (correttamente) opposto di se stesso [ = ] 8 9

10 Conversione da Decimale a C 2! Se D dec :! Converti D dec in binario naturale! Premetti il bit alla sequenza di bit ottenuta! Esempio: 54 dec bin C2! Se D dec < :! Trascura il segno e converti D dec in binario naturale! Premetti il bit alla sequenza di bit ottenuta! Calcola l opposto del numero così ottenuto, secondo la procedura di inversione in C 2! Esempio: -54 dec 54 dec bin bin + C2! Occorrono 9 bit sia per 54 dec che per -54 dec 9 Osservazioni sul C 2! Il segno è incorporato nel numero rappresentato in C 2, non è semplicemente applicato (come in m&s)! Il bit più significativo rivela il segno: per numero positivo, per numero negativo (il numero zero è considerato positivo), ma! Se il numero e negativo, NON si può distaccare il bit più significativo e dire che i bit rimanenti rappresentano il valore assoluto del numero! Implementazione hardware della somma semplificata 2

11 Intervalli di Rappresentazione! Binario naturale a n bit: [, 2 n )! Modulo e segno a n 2 bit: (-2 n-, 2 n- )! C 2 a n 2 bit: [-2 n-, 2 n- )! In modulo e segno, il numero zero ha due rappresentazioni equivalenti (..,..)! L intervallo del C 2 è asimmetrico 2 Lunghezza della Rappresentazione! log 2 valore = # di bit per rappresentare il valore (in binario naturale).! Esempio: log 2 74 dec = 6,2 = 7 bit! In generale: log B valore = # di cifre per rappresentare il valore in base B! Esempio: log 74 dec =,8 = 2 cifre! E per il C 2? Se valore< log 2 (abs(valore)-) 22

12 Operazioni Numeri Binari Naturali Algoritmo di addizione a propagazione dei riporti È l algoritmo decimale elementare, adattato alla base 2 Pesi Riporto Addendo + 77 dec Addendo 2 = 56 dec Somma 233 dec addizione naturale (a 8 bit) 23 Operazioni Numeri Binari Naturali overflow Riporto perduto Pesi Riporto Addendo + 25 dec Addendo 2 = 56 dec Somma 25 dec! overflow risultato errato! addizione naturale con overflow 24 2

13 Riporto e overflow (addizione naturale)! Si ha overflow quando il risultato corretto dell addizione eccede il potere di rappresentazione dei bit a disposizione! 8 bit nell esempio precedente! Nell addizione tra numeri binari naturali si ha overflow ogni volta che si genera un riporto addizionando i bit della colonna più significativa (riporto perduto ) 25 Operazioni Numeri in C 2 Pesi Riporto Addendo + 77 dec Addendo 2 = dec Somma 23dec addizione algebrica (a 8 bit) L algoritmo è identico a quello naturale (come se il bit di segno non fosse negativo) 26 3

14 Operazioni Numeri in C2 ancora overflow nessun riporto perduto Pesi Riporto Addendo + 77 dec Addendo 2 = 92 dec Somma 87dec! Overflow: risultato negativo! risultato errato! addizione algebrica con overflow 27 Riporto e overflow in C 2 (addizione algebrica)! Si ha overflow quando il risultato corretto dell addizione eccede il potere di rappresentazione dei bit a disposizione! La definizione di overflow non cambia! Si può avere overflow senza riporto perduto! Capita quando da due addendi positivi otteniamo un risultato negativo, come nell esempio precedente! Si può avere un riporto perduto senza overflow! Può essere un innocuo effetto collaterale! Capita quando due addendi discordi generano un risultato positivo (si provi a sommare +2 e -7) 28 4

15 Rilevare l overflow in C 2! Se gli addendi sono tra loro discordi (di segno diverso) non si verifica mai! Se gli addendi sono tra loro concordi, si verifica se e solo se il risultato è discorde! addendi positivi ma risultato negativo! addendi negativi ma risultato positivo 29 Rappresentazione Ottale ed Esadecimale! Ottale o in base otto (oct):! Si usano solo le cifre oct = 5 oct 8 dec oct 8 dec + 4 oct 8 dec = 348 dec! Esadecimale o in base sedici (hex):! Si usano le cifre -9 e le lettere A-F per i valori -5 B7F hex = B hex 6 dec hex 6 dec + F hex 6 dec = = dec 6 dec dec 6 dec + 5 dec 6 dec = 2943 dec! Entrambe queste basi sono facili da convertire in binario, e viceversa 3 5

16 Conversioni hex à bin! Converti: bin = bin bin bin bin bin = = hex 3 hex D hex 5 hex B hex = = 3D5B hex Converti: A7B4C hex A hex 7 hex B hex 4 hex hex C hex = = bin bin bin bin bin bin = = bin Si provi a convertire anche oct à bin, dec à hex, dec à oct 3 Numeri Frazionari in Virgola Fissa!, bin (in binario), bin = = /2 + /8 + /6 = =,5 +,25 +,625 =,6875 dec! Si può rappresentare un numero frazionario in virgola fissa (o fixed point) nel modo seguente: 9,6875 dec =, virgola fissa poiché si ha: 9 dec = bin e,6875 dec =, bin proporzione fissa: 5 bit per la parte intera, 4 bit per quella frazionaria 32 6

17 Numeri Frazionari in Virgola Fissa! La sequenza di bit rappresentante un numero frazionario consta di due parti di lunghezza prefissata! Il numero di bit a sinistra e a destra della virgola è stabilito a priori (alcuni bit potrebbero restare nulli)! È un sistema di rappresentazione semplice, ma poco flessibile, e può condurre a sprechi di bit! Per rappresentare in virgola fissa numeri molto grandi (oppure molto precisi) occorrono molti bit 33 Numeri Frazionari in Virgola Mobile! La rappresentazione in virgola mobile (o floating point) è usata spesso in base (si chiama allora notazione scientifica):,37 8 notazione scientifica per intendere 3.7. dec! La rappresentazione binaria si basa sulla relazione R virgola mobile = M 2 E Segno Esponente Mantissa! La mantissa e sempre.x, per cui si salva solo X. 34 7

18 Dentro al calcolatore... Informazione e Memoria! Una parola di memoria è in grado di contenere una sequenza di n bit! Di solito si ha: n = 8, 6, 32 o 64 bit! Una parola di memoria può dunque contenere gli elementi d informazione seguenti:! Un carattere (o anche più d uno)! Un numero intero in binario naturale o in C 2! Un numero frazionario in virgola mobile! Alcuni bit della parola possono essere non usati! Lo stesso può dirsi dei registri della CPU 35 Per Esempio indirizzi parole da 32 bit un carattere ASCII, probabilmente è un dato quattro caratteri ASCII impacchettati nella stessa cella Z bit non usati A (in bin. nat.) (in C 2 ) 4 9,758 (in virg. mob.) la cella resta parzialmente inutilizzata potrebbe essere un dato o ancora una sequenza di caratteri! probabilmente è un dato un istruzione? (perché no?) 5... probabilmente è un dato 36 8

19 Algebra di Boole ed Elementi di Logica Cenni all Algebra di Boole! L algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà 8), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche! Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso! Si può rappresentare vero con il bit e falso con il bit (convenzione di logica positiva) 38 9

20 Operazioni Logiche Fondamentali! Operatori logici binari (con 2 operandi logici)! Operatore OR, o somma logica! Operatore AND, o prodotto logico! Operatore logico unario (con operando)! Operatore NOT, o negazione, o inversione! Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato 39 Operatori Logici di Base e loro Tabelle di Verità A B A or B (somma logica) A B A and B (prodotto logico) Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione A not A (negazione) 4 2

21 Espressioni Logiche (o Booleane)! Come le espressioni algebriche, costruite con:! Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C = oppure! Operatori logici: and, or, not! Esempi: A or (B and C) (A and (not B)) or (B and C)! L operatore not precede l operatore and, che a sua volta precede l operatore or (A and (not B)) or (B and C) = A and not B or B and C! Per ricordarlo, si pensi OR come + (più), AND come (per) e NOT come - (cambia segno) 4 Tabelle di verità delle Espressioni Logiche A B NOT ( ( A OR B) AND ( NOT A ) ) Specificano i valori di verità per tutti i possibili valori delle variabili 42 2

22 Tabella di verità di un espressione logica A and B or not C A B C X = A and B Y = not C X or Y and = not = or = and = not = or = and = not = or = and = not = or = and = not = or = and = not = or = and = not = or = and = not = or = 43 Due esercizi A B NOT ( ( A OR B) AND ( NOT A ) ) 44 22

23 Due esercizi A B C ( B OR NOT C ) AND ( A OR NOT C ) 45 A che cosa servono le Espressioni Logiche?! A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento! A = è vero che è maggiore di 2? (sì o no, qui è no) =! B = è vero che 2 più 2 fa 4? (sì o no, qui è sì) =! A and B = è vero che sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia 4? Si ha che A and B = and =, dunque no! A or B = è vero che sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4? Si ha che A or B = and =, dunque sì! OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici, perché funzionano come le congiunzioni coordinanti o ed e, e come la negazione non, del linguaggio naturale! Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sull uso di o, e e non (non è molto, ma è utile) 46 23

24 Equivalenza tra espressioni! Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si indica con ) se hanno la medesima tabella di verità. La verifica è algoritmica. Per esempio: A B not A and not B not (A or B) and = not = and = not = and = not = and = not = Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi stati di verità a fronte delle medesime variabili 47 Proprietà dell Algebra di Boole! L algebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità! (cioè formulabili come equivalenze tra espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili)! Esempio celebre: le Leggi di De Morgan not (A and B) = not A or not B ( a legge) not (A or B) = not A and not B (2 a legge) 48 24

25 Ancora sulle Proprietà! Alcune proprietà somigliano a quelle dell algebra numerica tradizionale:! Proprietà associativa: A or (B or C) = (A or B) or C (idem per AND)! Proprietà commutativa: A or B = B or A (idem per AND)! Proprietà distributiva di AND rispetto a OR: A and (B or C) = A and B or A and C! e altre ancora! Ma parecchie altre sono alquanto insolite! Proprietà distributiva di OR rispetto a AND: A or B and C = (A or B) and (A or C)! Proprietà di assorbimento (A assorbe B): A or A and B = A! Legge dell elemento : not A or A =! e altre ancora 49 25

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