Insegnamento di Fondamenti di Infrastrutture viarie

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1 Insegnamento di Fondamenti di Infrastrutture viarie Territorio ed infrastrutture di trasporto La meccanica della locomozione: questioni generali Il fenomeno dell aderenza e l equazione generale del moto Dall equazione generale del moto alle caratteristiche di moto Sistemi di trazione e motori di trazione Trazione ferroviaria: studio di una fase completa di moto Trazione stradale: studio di una fase completa di moto La frenatura in ferrovia e su strada Legislazione e Normativa Norme funzionali e geometriche per la costruzione delle strade Andamento planimetrico di un tracciato stradale: 1) elementi del tracciato planimetrico, rettifili e curve circolari, pendenza trasversale in curva, curve a raggio variabile 2) allargamento in curva e diagramma di velocità Distanze di visibilità e andamento altimetrico di un tracciato stradale Volume del solido stradale: metodi di calcolo

2 Fondamenti di Infrastrutture viarie Volume del solido stradale Generalità Il quaderno delle sezioni Il diagramma delle aree Il diagramma dei volumi Determinazione analitica del volume del solido stradale

3 Volume del solido stradale Generalità Il problema della determinazione (misura e distribuzione) dei volumi lungo il tracciato stradale è di fondamentale importanza, sia per stabilire il costo dello scavo o del riporto, sia per ricavare il costo del trasporto dei movimenti di terra lungo l asse stradale. Per solido stradale s intende il solido delimitato dal piano di campagna, dalla piattaforma stradale, dalle scarpate del rilevato o della trincea e dalle due sezioni terminali del tronco considerato. Se assimiliamo il solido stradale ad un prismoide il suo volume è calcolabile con la formula del Torricelli: V = d/6 (F 1 + F 2 + 4F m ) Dove: F 1 e F 2 sono le aree delle sezioni d estremità (poste a distanza d) e F m è l area della sezione a distanza d/2 dalle sezioni d estremità. In questo caso occorre conoscere non solo le aree delle sezioni d estremità, ma anche l area della sezione F m.

4 Volume del solido stradale Il quaderno delle sezioni Le sezioni trasversali sono ottenute con piani verticali normali all asse stradale posti in corrispondenza dei singoli picchetti individuati in planimetria e che caratterizzano il modello del terreno (profilo longitudinale dell asse stradale). Nella figura 1 di due sezioni successive viene riportata la collocazione planimetrica e le sezioni trasversali (entrambe in rilevato). Per il progetto preliminare si utilizzano di solito le sezioni ricavate dalla carta a curve di livello, mentre per quello definitivo è sempre opportuno che ci si serva delle sezioni direttamente rilevate sul terreno. Per un conteggio analitico delle diverse parti (sterro e riporto) che caratterizzano una sezione trasversale occorre predisporre, oltre alla loro rappresentazione grafica anche delle tabelle analitiche per il calcolo degli sterri e dei riporti. Nelle sezioni trasversali, oltre all asse verticale in corrispondenza del picchetto dell asse stradale, è bene indicare il cassonetto relativo alla sovrastruttura stradale in quanto la sua area trasversale inciderà solo per la sua quota parte in trincea (e non in per la quota parte in rilevato). In figura 2 è riportato un esempio di sezione trasversale.

5 Diagrammi dei volumi Esempio di due sezioni trasversali successive Due sezioni successive: collocazione planimetrica e sezioni trasversali (entrambe in rilevato).

6 Diagrammi dei volumi Esempio di sezione trasversale

7 Volume del solido stradale Il metodo delle sezioni ragguagliate Se si ipotizza che F m = (F 1 + F 2 )/2 la formula del Torricelli diventa: V = d/2 (F 1 + F 2 ) Dove: F 1 e F 2 sono le aree delle sezioni d estremità (poste a distanza d). In questo caso occorre tener presente che il metodo delle sezioni ragguagliate fornisce un volume maggiore rispetto a quello del Torricelli. Tale metodo è utilizzato per costruire il diagramma delle aree: in ascissa vengono riportate le distanze (tra sezioni stradali), in ordinata vengono riportate le aree delle sezioni stradali. La congiungente delle ordinate relative alle sezioni di diversa area ha un andamento lineare (tra due sezioni) riducendosi quindi ad una spezzata. Per convenzione le aree di sterro si riportano nell ordinata positiva (verso l alto), le aree di riporto nell ordinata negativa (verso il basso). L area sottesa al diagramma delle aree tra due sezioni rappresenta il volume del solido stradale tra le due sezioni stesse.

8 Costruzione del diagramma delle aree 1 Occorre distinguere tra sezioni omogenee (entrambe di riporto o di sterro), sezioni non omogenee (una di sterro e l altra di riporto) e sezioni parzializzate (mezza costa). Sezioni omogenee: Con riferimento alla figura 3 (3 sezioni in sterro: F 0, F 1, F 2 ) il diagramma delle aree è dato dalla spezzata congiungente le trae ordinate (aree) relative alle tre sezioni in sterro considerate (distanti rispettivamente d 1 e d 2 ). Il volume di sterro, graficamente rappresentato dall area sottesa alla spezzata congiungente gli estremi superiori delle 3 ordinate (gli estremi inferiori appoggiano sull ascissa), è dato dall espressione: V = d 1 (F 0 + F 1 )/2 + d 1 (F 1 +F 2 )/2. Sezioni non omogenee: Metodo delle sezioni ragguagliate Con riferimento alla figura 4 (un sezione di sterro e l altra di riporto) il diagramma delle aree, che in questo caso individua due distinti volumi (aree): uno di sterro e l altro di riporto, interseca l ascissa in un punto P di passaggio (in corrispondenza del quale V = 0). In questo caso: V s = d 1 F 1 /2 e V r = d 1 F 2 /2.

9 Metodo delle sezioni ragguagliate Sezioni omogenee e non omogenee Diagramma delle aree: sezioni omogenee. Diagramma delle aree: sezioni non omogenee.

10 Costruzione del diagramma delle aree 2 Sezioni parzializzate (vedi figura 5): Metodo delle sezioni ragguagliate Nel caso in cui una sezione (la 1) è omogenea (riporto) mentre l altra (la 2) è parzializzata (a mezza costa), la costruzione del diagramma delle aree avviene per passi successivi (figura 3): a) Poste le sezioni una (la 2) sotto l altra (la 1) (rispetto la congiungente dei rispettivi assi stradali), rispetto al punto T si traccia la verticale y-y che divide la sezione 1 in due parti A 1 e A 2 (entrambe aree di riporto) cui corrispondono nella sezione 2 rispettivamente le due parti B 1 (area di sterro) e B 2 (area di riporto). b) Poste le due sezioni 1 e 2 alla distanza d lungo una retta orizzontale, prima si riportano in ordinata le due aree A 1 e B 1 e se ne congiungono le estremità per determinare il punto di passaggio P (in quanto le due aree non sono omogenee), poi si riportano in ordinata le due aree omogenee A 2 e B 2 congiungendone le estremità. (Vedi casi precedenti, ma rappresentati sovrapponendone i diagrammi). c) Abbassata da P la verticale sino in P, resta da sommare nella sezione 1 all area A 2 l area A 1 e congiungere il nuovo estremo con P.

11 Metodo delle sezioni ragguagliate Sezioni parzializzate Determinazione del volume del solido stradale tra una sezione in rilevato e la successiva a mezza costa. Costruzione del diagramma delle aree nel caso di sezioni parzializzate.

12 Sezioni parzializzate: Metodo delle sezioni ragguagliate Costruzione del diagramma delle aree 3 In figura 6 è rappresentato un caso più complesso: Successione di tre sezioni: 1) in trincea 2) e 3) a mezza costa. Diagramma delle aree delle tre sezioni.

13 Diagramma delle aree Diagramma delle aree con e senza aree di paleggio Una volta costruito il diagramma delle aree, prima di procedere al compenso trasversale, occorre aumentare le ordinate positive (di sterro) della differenza percentuale tra il volume dopo lo scavo e quello nel rilevato (figura 7). Semprechè i terreni provenienti dagli scavi risultino idonei per costruire i rilevati, si procede ad individuare quelle zone del diagramma delle aree che presentano contemporaneamente ordinate in sterro (trincea) e in riporto (rilevato). Per la ricerca del volume compensato trasversalmente (aree di paleggio) è sufficiente ribaltare i contorni del diagramma delle aree intorno all asse delle ascisse. L area priva di tratteggio rappresenta il volume compensato trasversalmente e l area tratteggiata rappresenta invece il volume depurato dai paleggi (figura 8). Nel caso che la strada sia interrotta da un ponte, il diagramma delle aree sarà anch esso interrotto tra le sezioni in corrispondenza delle due spalle.

14 Diagramma delle aree Aumenti (per scavo) e diminuzioni (per riporto) di volume per diversi tipi di terreno

15 Diagramma delle aree Diagramma delle aree con compensi trasversali e depurato

16 Volume del solido stradale Diagramma dei volumi o profilo di Brukner Integrando graficamente il diagramma delle aree depurato (dei paleggi) si ottiene il diagramma dei volumi (Brukner) che ha per ascisse le distanze fra le successive sezioni e per ordinate la somma algebrica dei volumi di terra dall origine alla sezione considerata. Tale diagramma (volumi) è di fondamentale importanza per lo studio di un progetto stradale. Infatti indica come si alternano i volumi di sterro e di riporto lungo la strada, così da poter stabilire il posizionamento dei cantieri di lavoro e le modalità di esecuzione dei compensi longitudinali (delle terre dalle zone di scavo verso le zone di riporto). In figura 9 sono rappresentati due esempi di diagramma dei volumi: a) con esubero di sterro (occorre quindi un luogo di deposito) b) con esubero di riporto (occorre quindi una cava di prestito). Il diagramma dei volumi corrisponde alla curva integrale del diagramma delle aree in cui i rami ascendenti corrispondono a tratti in trincea (sterri) ed i rami discendenti corrispondono a tratti in rilevato (riporti).

17 Diagrammi dei volumi Esempi a) con esubero di sterro (occorre quindi un luogo di deposito). b) con esubero di riporto (occorre quindi una cava di prestito).

18 Diagramma dei volumi Cantiere di compenso e distanza media del trasporto In figura 10 si mostra che si ha un cantiere di compenso quando il volume di sterro risulta uguale al volume di riporto e se ne illustra il tipico andamento del diagramma dei volumi. In presenza di un cantiere di compenso l area A (racchiusa tra la curva dei volumi e limitata dalla fondamentale) rappresenta il momento di trasporto (prodotto del volume per la distanza). Il rapporto tra l area A e l ordinata Y max (volume massimo di sterro che è utilizzato nel riporto) si chiama distanza media del trasporto ed è rappresentata in figura 11 dal segmento d m. La determinazione della distanza media esemplifica il calcolo del costo dei movimenti di materiale. Il costo complessivo di trasporto per tale cantiere di compenso è dato da: C = c γ d m Y max Dove: c = costo unitario della tkm, γ = peso specifico del materiale, d m = distanza media del trasporto, Y max = massimo volume di sterro utilizzato nel riporto.

19 Diagramma dei volumi Diagramma dei volumi del cantiere di compenso Cantiere di compenso e distanza media del trasporto

20 Diagramma dei volumi Ricerca della fondamentale di minima spesa Per quanto detto in precedenza, risulta evidente che le aree racchiuse dal diagramma dei volumi sono proporzionali alle entità dei trasporti. Quindi se il costo del trasporto è proporzionale al momento del trasporto, la distanza più economica è quella che rende minimo tale momento. Inoltre lo spostamento verticale dell orizzontale di riferimento produce una variazione del momento di trasporto nei singoli cantieri. Il problema quindi si riduce a ricercare la posizione dell orizzontale predetta che rende minimo il momento. In figura 13 si mostra come un abbassamento z provochi una variazione del costo di trasporto: in corrispondenza dei segmenti v 1, v 2, (valli) si avrà una riduzione, mentre in corrispondenza dei segmenti m 1, m 2, (monti) si avrà un aumento. La variazione di costo complessiva è quindi data da: S = (c 1 m 1 + c 2 m 2 c 1 v 1 c 2 v 2 ) z Perchè il costo S sia minimo, occorre che S = 0 e quindi: c 1 m 1 + c 2 m 2 = c 1 v 1 + c 2 v 2 Se il sistema di trasporto ed il relativo costo unitario sono uguali (c 1 =c 2 =c 1 =c 2 ), si ha: m 1 + m 2 = v 1 + v 2 In generale il minimo della funzione momento di trasporto corrisponderà con il minimo di v i - m i, cioè quando v i = m i. La fondamentale di minima spesa sarà quella per cui la somma dei segmenti v i (valli) sia eguale alla somma dei segmenti m i (monti). In figura 14 si riporta un esempio di diagramma dei volumi con secondarie di compenso.

21 Diagramma dei volumi Fondamentale di minima spesa

22 Diagramma dei volumi Diagramma dei volumi con secondarie di compenso

23 Diagramma dei volumi Metodo grafico per la costruzione del diagramma dei volumi Il diagramma delle aree (depurato) è costituito da una spezzata, per cui l area racchiusa fra essa e la fondamentale è, in ogni caso, scomponibile in rettangoli, in triangoli e in trapezi. Il diagramma dei volumi è un diagramma ottenuto per integrazione e quindi sarà costituito da una serie di archi di parabole. Nelle figure: 15, 16, e 17 sono rispettivamente le costruzioni dei diagrammi dei volumi nel caso di sezioni di area: rettangolare triangolare trapezoidale In figura 18 è illustrata la costruzione del diagramma dei volumi relativo ad un generico diagramma delle aree.

24 Diagramma dei volumi Esempio di costruzione del diagramma dei volumi

25 Volume del solido stradale Determinazione analitica del volume del solido stradale Per impostare il computo dei volumi di scavo e di riporto ci si serve di appositi stampati (vedere figura 19) nei quali il volume si determina applicando il metodo delle sezioni ragguagliate. Nella compilazione quindi della tabella occorrerà tenere conto delle tre diverse tipologie di sezioni a due a due considerate: 1) se le sezioni sono omogenee: V = d (A 1 + A 2 )/2 (sterro o riporto); 2) se le sezioni sono non omogenee: V s = d s A s / 2 (sterro), V r = d r A r / 2 (riporto) e tali sezioni determinano un punto di passaggio P tale per cui: d s + d r = d; 3) se le sezioni sono parzializzate (una sola delle due od entrambe): occorre tenere conto delle aree parzializzate corrispondenti. Una volta calcolati i volumi tra due sezioni, occorrerà determinare i volumi compensati là dove esiste la possibilità di compenso trasversale. La somma algebrica dei volumi compensati sarà positiva sin tanto che i volumi di scavo sono maggiori di quelli di riporto e diventerà negativa quando i volumi di riporto supereranno quelli di scavo. Tali valori, quindi, non sono altro che le successive ordinate del diagramma dei volumi.

26 Volume del solido stradale Tabella per il calcolo analitico dei volumi

Q4 Ripercorriamo dunque i casi fondamentali esaminati nei precedenti paragrafi relativi al calcolo analitico dei volumi.

Q4 Ripercorriamo dunque i casi fondamentali esaminati nei precedenti paragrafi relativi al calcolo analitico dei volumi. 4. Rappresentazione grafica dei volumi Il problema del calcolo dei volumi, oltre alla soluzione analitica proposta nei paragrafi 3 e 4, può essere anche sviluppato per via grafica con una semplice ed elegante

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