19. Lezione. f (x) =,
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- Rosangela Roberto
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1 IST. DI MATEMATICA I [A-E] mercoledì 30 novembre Lezione Formula di Taylor e punti stazionari. Sia f (x 0 ) = 0 come decidere se x 0 è punto di minimo o di massimo? Con la formula di Taylor si ha 1 f (x) = f (x 0 )+ (m + 1)! f (m+1) (c)(x x 0 ) m+1 1 f (x 0 )+ (m + 1)! f (m+1) (x 0 )(x x 0 ) m+1 essendo m+1 il primo intero in cui si incontra una derivata diversa da zero. La parità di m + 1 permette di decidere se ci sia un massimo o un minimo oppure un flesso: m + 1 dispari flesso, m + 1 pari massimo o minimo La scelta, nel secondo caso se si tratti di un minimo o di un massimo lo dice il segno di f (m+1) (x 0 ) Comportamento asintotico. Sia f definita su un intervallo ilitato, (a, + ): è in genere interessante conoscere informazioni sui valori f (x) per x +. Essi possono essere tali che esista finito f (x) = l, produrre valori via via più grandi positivi via più grandi negativi f (x) =, f (x) = + o via essere tale che per valori x via via più grandi positivi o più grandi negativi riesca f (x) ax + b. Nel primo caso, esistenza del ite finito, si parla di asintoto orizzontale: tale circostanza significa infatti che il grafico della funzione è una curva sempre più vicina alla retta orizzontale y = l. Nel secondo caso si parla di divergenza all infinito. Nel terzo caso ( f (x) {ax + b}) = 0 si parla di asintoto obliquo: in questo caso infatti il grafico di f si avvicina semptre più a quello della retta obliqua y = ax + b.
2 2 ESEMPIO f (x) = sin(x) tenuto conto che 1 + x2 sin(x) x ± 1 + x 2 = 0 si riconosce che la retta orizzontale y = 0 è asintoto orizzontale di f. ESEMPIO Sia f (x) = x m + 5x 4 7x 3 + x 6, un polinomio di grado m: se m è pari allora f (x) = +, x ± se m è dispari allora x f (x) =, f (x) = + ESEMPIO Sia f (x) = 3x con obliqua y = 3x + 5 è asintoto obliquo di f. = 0 allora la retta NOTA: L esistenza di asintoti orizzontali o obliqui corrispondono a funzioni che per x abbastanza grande somigliano a polinomi di primo grado. Possono essere interessanti anche accostamenti diversi: per esempio la funzione f (x) = sin(x) + e x per x abbastanza grande somiglia sempre più alla sin(x). ovvero Ricerca di asintoti obliqui. f (x) ax + b f (x) a + b x x f (x) a = x b = ( f (x) ax) ESEMPIO Sia f (x) = x3 x 2 : la divisione tra polinomi produce + 1 x 3 = (x 2 x 3 + 1)x x x = x x x L addendo x/(x 2 +1) ha ite zero e quindi la retta obliqua y = x è asintoto obliquo di f. La situazione delle funzioni razionali: sia f (x) = N(x) D(x) con N(x) e D(x) polinomi rispettivamente di gradi n e d.
3 19. LEZIONE 3 se i due gradi sono uguali allora c è l asintoto orizzontale y = q essendo q il quoziente dei due coefficienti di grado massimo, se il polinomio a numeratore N(x) è di grado maggiore di più di 1 del grado del polinomio D(x) a denominatore allora f diverge, se il polinomio a numeratore N(x) è di grado di 1 superiore del grado del polinomio D(x) a denominatore allora esiste l asintoto obliquo Ordini di grandezza. Consideriamo due funzioni f (x) = x 2 e = x 4 : per entrambe vale la divergenza f (x) = = + è innegabile tuttavia che la seconda diverga più rapidamente della prima f (x) È altrettanto evidente che a sua volta la f (x) diverga più rapidamente della h(x) = x. Il confronto tra funzioni diversamente divergenti è affidato alle proprietà del quoziente: f (x) = + corrisponde a dichiarare che è una funzione divergente di grado superiore a quello di f Analogamente se date due funzioni f e g divergenti riesce f (x) = l 0 si dice che le due funzioni divergono con lo stesso grado, mentre se f (x) = 0 si dice che la funzione f diverge con un grado maggiore di quello di g ovvero analogamente si dice che g diverge con un grado minore di quello di f Ordini di infinito e di infinitesimo. f e g si dicono dello stesso ordine se f (x) x = l 0 C 1 f (x) C 2 ESEMPIO Tutte le funzioni razionali con numeratore e denominatore dello stesso grado.
4 Ordine α. DEFINIZIONE f si dice di ordine α rispetto a g se f (x) α e sono dello stesso ordine. I casi più rilevanti: e x ln(x) Inesistenza di una scala che attribuisca ad ogni funzione divergente un ordine: e x è di ordine superiore ad ogni α, infatti e x α R : x α = + ln(x) è di ordine inferiore ad ogni α, infatti α R : ln(x) x α = Ordine superiore. Se f e g sono divergenti e se f (x) = 0 allora f e f + g sono dello stesso ordine Gli infiniti campione. DEFINIZIONE La funzione f (x) = x si dice infinito campione di ordine 1. Le funzioni f α (x) = x α si dicono infiniti campione di ordine α. ESEMPIO La funzione f (x) = 1 + x 2 ha ordine I simboli di Landau. Chi è più grande per x x oppure 1000x 2? ESEMPIO f = o(g) f (x) = 0 f = O(g) C 1 f (x) C 2 f (x) = 1 = 1 ( ) x 2 2x + o x
5 19. LEZIONE 5 ESEMPIO f (x) = 10x + 1 = O( x) x Ordini di infinito in un punto.
y = x 3 infinitesimo per x 3 lim = l 0 allora f(x) è dello stesso ordine di g(x), ossia tendono a DEF. Una funzione y = f(x) si dice infinitesimo per
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