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1 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Matematica (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova scritta dell Dicembre 006. Studiare la funzione f(x) = e x +4x+3 e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda). Svolgere uno dei seguenti esercizi, a scelta del candidato. Data la funzione f : [, 3] R definita da 3e x se x [, ] f(x) = 4(x + ) x + x se x ], 3] determinare il valore della media integrale. 3. Determinare i valori di x R per i quali la serie diverge. n= 3x + 6x 5 n n + log n Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!

2 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Insegnamento di Matematica c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali Correzione della prova dell Dicembre 006 Esercizio Per la determinazione del dominio di f abbiamo D = R. Inoltre, decomponendo il valore assoluto si trova per la funzione l espressione f(x) = e x +4x+3 e x 4x 3 se x ], 3] [, + [, se x ] 3, [. Per la ricerca degli eventuali asintoti abbiamo lim f(x) = lim e x +4x+3 = +, x x in quanto l esponente diverge a + e così anche la funzione; lim f(x) = lim e x +4x+3 = +, x + x + in quanto l esponente diverge a + e così anche la funzione. Dunque il grafico non presenta asintoti orizzontali. Possiamo quindi effettuare la ricerca degli eventuali asintoti obliqui; si ha f(x) lim x x = lim x e x +4x+3 x = e x +4x+3 x = lim + 4x + 3 = (+ )( ) =, x x + 4x + 3 x dove il penultimo passaggio è conseguenza del confronto tra infiniti notevoli. Alagomante f(x) lim x + x = +, dunque il grafico non presenta asintoti obliqui. Lo studio della derivata prima fornisce f (x) = e x +4x+3 x + x + 4x + 3 e x 4x 3 x x 4x 3 se x ], 3[ ], + [= D, se x ] 3, [= D. Osserviamo che la derivata in x = e x = 3 non esiste, infatti, lim f (x) = lim e x +4x+3 x + x 3 x 3 x + 4x + 3 =,

3 in quanto l esponenziale tende a mentre la frazione è il rapporto fra una quantità negativa ed una che tende a 0 mantenendosi sempre positiva, lim f (x) = lim e x 4x 3 x x 3 + x 3 + x 4x 3 = + in quanto l esponenziale tende a mentre la frazione è il rapporto fra una quantità positiva ed una che tende a 0 mantenendosi sempre positiva, lim f (x) = lim e x +4x+3 x + x + x + x + 4x + 3 = + in quanto l esponenziale tende a mentre la frazione è il rapporto fra una quantità positiva ed una che tende a 0 mantenendosi sempre positiva, lim f (x) = lim e x 4x 3 x x x x 4x 3 = in quanto l esponenziale tende a mentre la frazione è il rapporto fra una quantità negativa ed una che tende a 0 mantenendosi sempre positiva. Quindi per la ricerca di eventuali massimi e minimi abbiamo C 3 = {x D \ D } =, C = {x D : f (x)} = { 3; }, C = {x D : f (x) = 0} = { }. Studiamo ora il segno della derivata prima. e x +4x+3 Osserviamo che, in D D x + 4x + 3 è sempre positivo, quindi in D il segno della derivata è dato da x +, mentre in D è dato da x. Quindi f (x) > 0 in ] 3, [ ], + [ e f (x) < 0 in ], 3[ ], [. Dunque, in conseguenza del Teorema di Lagrange, f è crescente in ] 3, [ e in ], + [, decrescente in ], 3[ e in ], [, ammette minimo in x = 3 e in x = e massimo in x =. Il grafico quindi risulta 3

4 Esercizio Per definizione di media integrale si ha f(c) = 3 3 f(x)dx. Poiché f è una funzione continua, per determinare tale valore possiamo calcolare l integrale indefinito e poi fare ricorso alla formula di Newton- Leibnitz. Per le proprietà di linearità dell integrale abbiamo 3 f(x)dx = f(x)dx + 3 f(x)dx = Calcoliamo i due integrali indefiniti 3e x 4(x + ) dx; x + x dx = 4 Il primo è un integrale immediato 3e x dx = 3e x + c. 3e x dx + Per quanto riguarda il secondo calcoliamo l integrale x + x + x dx 3 x + x + x dx. 4(x + ) x + x dx. che è un integrale di una funzione razionale fratta con il denominatore di secondo grado che si annulla nei punti x = e x =. Quindi il denominatore si può scrivere come prodotto (x + )(x ) e dunque l integranda ammette una rappresentazione x + (x + )(x ) = A x + + B x, dove A e B si ricavano dal sistema { A + B = A + B =. Risolvendolo si trovano i valori A = 3, B =. Sostituendo tali valori nella 3 decomposizione dell integranda, l integrale si trasforma in x + x + x dx = 3 x + dt + 3 x dx che è la somma di due integrali immediati, e nell intervallo in considerazione conduce a x + x + x dx = 3 log(x + ) + log(x ) + c. 3 4

5 Pertanto si ha f(c) = { ( (3e x + c) log(x + ) + 8 ) } 3 log(x ) + c 3 = = (3( e ) + 43 ) log 5. Esercizio 3 Osserviamo che la serie data è a termini positivi, quindi non può essere indeterminata. Tramite il Criterio del Rapporto Asintotico abbiamo che la serie sicuramente diverge per 3x + 6x 5 >. Infatti, indicato con a n il termine generale della serie, abbiamo a n+ lim = lim n + a n n + in quanto 3x + 6x 5 n+ n + log n (n + ) + log(n + ) 3x + 6x 5 n = 3x + 6x 5, lim n + n + log n (n + ) + log(n + ) =, essendo numeratore e denominatore due infiniti dello stesso ordine. La disuguaglianza 3x + 6x 5 > risulta verificata in ], [ ] 3 3, 3 + [ ] + [ 3, Osserviamo che per i punti in cui 3x + 6x 5 =, punti in cui il Criterio del Rapporto Asintotico non fornisce informazioni, la serie diventa n= Osserviamo che, per ogni n in N, generalizzata n n= n= n + log n converge. n + log n. n + log n <. Poiché la serie armonica n converge, per il Criterio del Confronto anche la serie 5

6 Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Anno Accademico Matematica (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova teorica del Dicembre 006 Nome e Cognome... Rispondere ai seguenti quesiti:. Nell equazione della parabola in figura, y = ax + bx + c i. c = 0 e a e b sono discordi ii. c = 0 e a e b sono concordi iii. b = c = 0 iv. a < 0 e c > 0 (l alternativa i è corretta). log e log sono i. opposti ii. simmetrici iii. reciproci iv. uguali. (l alternativa i è corretta) 6

7 3. Se (a n ) n è una successione regolare e se b n = 3a n a n+ è tale che allora è certamente falso che i. l = 0 ii. l = + iii. l = lim b n = lim a n = l iv. nessuna delle precedenti, tutte e tre le opzioni precedenti sono possibili (l alternativa iii è corretta) 4. Dati p, q N, l affermazione è vera solo se i. p =, q = ; ii. p =, q = ; iii. p = q = ; iv. mai. lim n + (l alternativa iv è corretta) qn p + p sin n pn q + q arctgn = 5. La f : R R definita da { 3x 7 se x xo f(x) = 3x + 9x 4 se x > x o i. è continua se x o = 0 ii. è continua se x o = iii. è continua per ogni scelta di x o iv. non è mai continua (l alternativa ii è corretta) 7

8 6. La derivata destra della funzione il cui grafico è rappresentato in figura i. esiste ed è positiva ii. dove esiste è positiva iii. non esiste iv. nessuna delle precedenti alternative è corretta. (l alternativa ii è corretta) 7. L applicazione con b > 0 f(x) = i. è derivabile ma non continua; ii. è continua ma non derivabile; iii. è derivabile e quindi continua; iv. nessuna delle precedenti. (l alternativa iv è corretta) { x + bx + se x > 0 bx se x 0 8

9 8. Sia f : [a, b] R una funzione convessa. Allora i. Epif è convesso; ii. Ipof è convesso; iii. il grafico di f é convesso; iv. nessuna delle precedenti; (l alternativa i è corretta) I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti a loro scelta. Data f : [, 3] R definita da f(x) = x la funzione g(x) = x è i. la funzione integrale ii. la primitiva iii. una primitiva iv. l integrale indefinito (l alternativa iii è corretta). Il Teorema della media integrale discende i. dalla Proprietà di linearità dell integrale ii. dalla Proprietà di monotonia dell integrale iii. dalla Proprietà di additività dell integrale iv dal Teorema di Torricelli-Barrow (l alternativa ii è corretta) 3. Data una funzione f : D R, la serie i. converge per ogni x D ; (f(x)) n n= ii. converge per ogni x D tale che f(x) < ; iii. converge per ogni x D tale che f(x) ; iv. nessuna delle precedenti. (l alternativa iv è corretta) 9

10 4. La serie i. diverge per ogni a R; ii. diverge per ogni a 0 ; iii. diverge per ogni a 0; iv. diverge per ogni a > 0. n= a n + n (l alternativa ii è corretta) 0

11 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Matematica (c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova scritta del 6 Marzo 007. Studiare la funzione f(x) = e x x 3x 6 e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda). Svolgere inoltre uno dei seguenti esercizi. Calcolare l espressione della funzione f(x) = x 0 3 log(x + ) 0 k determinare poi il valore di k in modo tale che f(x)dx = Determinare il comportamento della serie n= 6 n n + log n. Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE!

12 Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Anno Accademico Matematica (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova teorica del 6 Marzo 007 Nome e Cognome... Rispondere ai seguenti quesiti:. L insieme delle soluzioni della disequazione è i. una coppia di semirette; ii. l insieme di due semirette; iii. l unione di due semirette; iv. la somma di due semirette. x 6x + 4 > 0. La funzione f : [0, + ) [0, + ) definita da f(x) = [x] (parte intera di x) i. è positiva e crescente ii. è non negativa e crescente iii. è positiva e non decrescente iv. è non negativa e non decrescente 3. Se A =]3, 5[ quale punto non appartiene ad A? i. 3 ii. 5 iii. 4 iv. nessuna delle precedenti opzioni è corretta 4. Data a n = n + n n per quali valori di ε > 0 la disequazione a n < ε è verificata per tutti gli n 9? i. per ogni ε ]0, + ) ] ) ii. per ogni ε 0, +

13 ] iii. per ogni ε 0, [ 0 ] iv. per ogni ε 0, ] 0 5. Siano (a n ) n e (b n ) n due successioni con (a n ) n divergente e (a n b n ) n convergente. Qual è l affermazione falsa? i. (b n ) n è regolare ii. (b n ) n è convergente iii. (b n ) n è infinitesima iv. nessuna delle precedenti 6. Sia f : R R un applicazione derivabile in un punto x o interno al dominio, e sia g l applicazione definita da { f(x) se x < xo g(x) = f(x o ) + f (x o )(x x o ) se x x o. Allora i. g è continua ma non derivabile in x o ; ii. g è derivabile ma non continua in x o ; iii. g è continua e quindi derivabile in x o ; iv. g è derivabile e quindi continua in x o. 7. Sia f : [a, b] R una funzione continua e siano m = min{f(x), x [a, b]}, m = min{ f(x), x [a, b]} i minimi assoluti di f e di f (che esistono per il Teorema di Weierstrass). Qual é l implicazione corretta? i. f = f = m = m ma non viceversa; ii. m = m = f = f ma non viceversa; iii. f = f m = m ; iv. nessuna delle precedenti. 8. Sia f : [a, b] R una funzione convessa. Allora i. Epif è convesso; ii. Ipof è convesso; iii. Epif Ipo f è convesso; iv. nessuna delle precedenti; 3

14 I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti a loro scelta. Se f : [, 5] R è definita da f(x) = x 3 allora g(x) = x4 è i. l integrale ii. la funzione integrale iii. la primitiva iv. nessuna delle precedenti. Data f : [a, b] R, e detta P una primitiva di f, quale implicazione si può inserire al posto dei puntini tra le affermazioni f(x) 0 per ogni x [a, b]... P è non decrescente in [a, b]? i. = ma =; ii. = ma iii. ; iv. nessuna delle precedenti 3. Sia (a n ) n una successione in R e sia s n la successione delle somme parziali della serie a n. Quale tra le seguenti implicazioni può essere n= correttamente inserita al posto dei puntini? i. = ma =; ii. = ma ; iii. ; (s n ) n è crescente... a n > 0 per ogni n > iv. nessuna delle precedenti. 4. Quale criterio non si può applicare alla serie n= i. il Criterio di Leibnitz; ( ) n n + log 0 3 3n 4 + n? ii. il Criterio di convergenza assoluta; iii. il Criterio del Rapporto; iv. la Condizione sufficiente sul termine generale. 4

15 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Insegnamento di Matematica c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali Correzione della prova del 6 Marzo 007 Esercizio Per la determinazione del dominio di f abbiamo D = R \ {x R : x 3x 6 = 0} = R \ {x, x }, dove x = 3 33 e x = Per la ricerca degli eventuali asintoti abbiamo lim f(x) = x lim x e x x 3x 6 = 0, quindi il grafico presenta un asintoto orizzontale per x. lim f(x) = x + lim x + e x x 3x 6 = +, in quanto la funzione è un rapporto fra due infiniti di cui il numeratore è di ordine superiore rispetto al denominatore. Dunque il grafico non presenta asintoti orizzontali per x +. Possiamo quindi effettuare la ricerca degli eventuali asintoti obliqui; si ha f(x) lim x + x = lim e x x + x(x 3x 6) = + in quanto la funzione è un rapporto fra due infiniti di cui il numeratore è di ordine superiore rispetto al denominatore. Dunque il grafico non presenta asintoti obliqui. Per gli eventuali asintoti verticali, si ha lim ( x 3 33 ( x 3 33 ) f(x) = lim ) e x x 3x 6 = +, in quanto il denominatore tende a 0 matenendosi di segno costantemente positivo ed il numeratore tende ad una quantità positiva. Dunque il grafico presenta un asintoto verticale x = x. lim ( x 3 33 ) + f(x) = lim ( x 3 33 ) + e x x 3x 6 =, in quanto il denominatore tende a 0 matenendosi di segno costantemente negativo mentre il numeratore tende ad una quantità positiva. Dunque il grafico presenta un asintoto verticale x = x. lim ( x ) f(x) = lim ( x ) e x x 3x 6 =,

16 in quanto il denominatore tende a 0 matenendosi di segno costantemente negativo mentre il numeratore tende ad una quantità positiva. Dunque il grafico presenta un asintoto verticale x = x. lim ( x ) + f(x) = lim ( x ) + e x x 3x 6 = +, in quanto il denominatore tende a 0 matenendosi di segno costantemente positivo ed il numeratore tende ad una quantità positiva. Dunque il grafico presenta un asintoto verticale x = x. Il calcolo della derivata prima fornisce f (x) = e x x 8x 9 (x 3x 6). Quindi per la ricerca di eventuali massimi e minimi, in virtù del Teorema di Fermat, si ha C 3 = {x D \ D } =, C = {x D : f (x)} =, C = {x D : f (x) = 0} = {x 3, x 4 }, dove x 3 = e x 4 = +. Studiamo ora il segno della derivata prima. Osserviamo che questo è dato e x dal segno di x 8x 9, essendo (x sempre positivo. Pertanto 3x 6) si ha f (x) > 0 in ], x 3 [ ]x 4, + [ e f (x) < 0 in ]x 3, x 4 [. Per il Teorema di Lagrange si ha che f cresce in ], x [, ]x, x 3 [ e ]x 4, + [, decresce in ]x 3, x [ e ]x, x 4 [ ed ammette massimo relativo in x 3 e minimo relativo in x 4. Quindi il grafico risulta Esercizio Dal calcolo del determinante otteniamo f(x) = ( x 3k) log(x + ) + 3 e in virtù della proprietà di additività dell integrale abbiamo f(x)dx = 0 (( x 3k) log(x+)+3)dx+ 0 ((x 3k) log(x+)+3)dx. Il calcolo dei due integrali indefiniti (( x 3k) log(x + ) + 3)dx; ((x 3k) log(x + ) + 3)dx 6

17 fornisce negli intervalli considerati (x + ) (( x 3k) log(x+)+3)dx = [ ] log(x + ) +(+3k)(x+)(log(x+) )+3x+c e ((x 3k) log(x+)+3)dx = (x + ) [ log(x + ) ] +(3k )(x+)(log(x+) )+3x+c. Quindi f(x)dx = 7 4 log 3 log 3 3k(3 log 3 4), pertanto si tratta di risolvere l equazione in k 7 4 log 3 log 3 3k(3 log 3 4) = 0 che fornisce k = ( 7 4 log 3 ) log 3 3(3 log 3 4). Esercizio 3 Osserviamo che la serie data risulta a termini positivi, infatti, per ogni n in N +, 6 n > 0 e n + log n n > 0. Pertanto la serie non può essere indeterminata, ma deve necessariamente convergere o divergere. Osserviamo inoltre che lim n + 6 n n + log n = +, 7

18 in quanto rapporto di due infiniti con il numeratore di ordine superiore rispetto al denominatore. Pertanto, in virtù del criterio della condizione Necessaria per la convergenza della seria, la serie data risulta essere divergente. Lo schema delle risposte ai quesiti a risposta multipla è dato da iii. iv. 3 iv. 4 ii. 5 iv. 6 iv. 7 iii. 8 i. iv. iii. 3 iii. 4 iii. 8

19 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Matematica (c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali Prova scritta del Giugno 007. Studiare la funzione x e x + e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda). Svolgere inoltre uno dei seguenti esercizi. Data la funzione f : [0, ] R definita da f(x) = x log(x + 3) se x [0, ] x x + se x ], ] determinare l espressione della funzione integrale. 3. Stabilire il comportamento della serie ( π ) 3n+ n 3. + n= Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 9

20 Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Anno Accademico Matematica (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova teorica del Giugno 007 Nome e Cognome... Rispondere ai seguenti quesiti:. Se log = 3, 9754 allora log 0 9, 84 è uguale a i. =, 9754 (cioè 3, 9754 ) ii. 3, 9574 = 0, (cioè ) 00 iii. = 6, (cioè ( ) 3, 9754) iv nessuna delle precedenti risposte è corretta. Nella figura è rappresentata la parabola di equazione y = ax + bx + c. Stabilire qual è l affermazione corretta i. abc > 0 ii. abc = 0 iii. abc < 0 iv. non si può stabilire nulla sul prodotto abc. 3. Dato D =]a, b[ [b +, + ), allora i. b D \ D ; ii. b D \ D; iii. b D D ; 0

21 iv. b D D. 4. Sia (a n ) n [, + ) una successione tale che lim a n a n+ = 0. n + Quale delle seguenti affermazioni è impossibile? i. lim n = + ; n + ii. lim n = ; n + iii. lim n = 0; n + iv. nessuna delle precedenti. 5. Quanto fa ( lim n? n + n) i. e ii. e iii. e iv e 6. La derivata sinistra della funzione il cui grafico é rappresentato in figura i. non esiste in x = ; ii. è continua in x = ;

22 iii. è continua solo da destra in x = ; iv. é continua solo da sinistra in x =. 7. Sia f : [a, b] R una funzione derivabile. L affermazione: se f (x) 0 per ogni x ]a, b[ allora f è crescente in [a, b] i. sussiste per il Teorema della Permanenza del Segno; ii. sussiste per il Teorema di Lagrange; iii. sussiste per il Teorema della Media; iv. sussiste solo sotto ipotesi aggiuntive. 8. Data la funzione f : [0, + ) R definita da { ax se x [0, a] f(x) = a x se x ]a, + ) con 0 < a <, qual è l affermazione falsa? i. f è continua ii. f è derivabile iii. f è concava iv nessuna, sono vere tutte e tre. I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti a loro scelta. Sia (a n ) n una successione in ]0, + ) tale che a n converge. Detta n= (s n ) n la successione delle somme parziali, la serie i. converge; ii. diverge; iii. è indeterminata; n= iv. non si può stabilirne il comportamento. s n. La serie converge in virtù n= n n 4 +

23 i. del Criterio del Rapporto; ii. del Criterio del Confronto; iii. del Criterio di Leibnitz; iv. del fatto che lim n + n n 4 + = Sia f : [a, b] R una funzione continua. Allora ogni primitiva di f soddisfa le ipotesi i. del Teorema di derivazione dell inversa ii. del Teorema della Permanenza del Segno iii. del Teorema di Rolle iv. del Teorema della Media 4. La successione n n log xdx è i. monotòna ma non regolare ii. monotòna e convergente iii. monotòna e divergente iv nessuna delle precedenti 3

24 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Insegnamento di Matematica c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali Correzione della prova del Giugno 007 Esercizio Per la determinazione del dominio di f abbiamo D = R \ { }. Inoltre, decomponendo il valore assoluto si trova per la funzione l espressione f(x) = e x 4 x+ se x [4, + [, e 4 x x+ se x ], [ ], 4[. Per la ricerca degli eventuali asintoti abbiamo lim f(x) = lim e 4 x x+ = e, x x in quanto l esponente risulta essere rapporto di due infiniti dello stesso ordine; lim f(x) = lim e x 4 x+ = e, x + x + in quanto l esponente risulta essere rapporto di due infiniti dello stesso ordine; lim f(x) = lim e 4 x x+ = 0, x x in quanto l esponente risulta essere una frazione il cui numeratore tende ad una quantità positiva, mentre il denominatore tende a 0 mantenendosi di segno negativo, pertanto l esponente tende a e quindi l esponenziale a 0; lim f(x) = x + lim e x 4 x+ = +, x + in quanto l esponente risulta essere una frazione il cui numeratore tende ad una quantità positiva, mentre il denominatore tende a 0 mantenendosi di segno positivo, pertanto l esponente tende a + così come l esponenziale. Lo studio della derivata prima fornisce f (x) = e x 4 x+ e 4 x x+ 0 (x + ) se x ]4, + [= D, 0 (x + ) se x ], [ ], 4[= D. Osserviamo che la derivata in x = 4 non esiste, infatti, lim f (x) = lim e 4 x 0 x+ x 4 x 4 (x + ) = 0, 4

25 mentre lim f (x) = lim e x 4 0 x+ x 4 + x 4 + (x + ) = 0. Osserviamo inoltre che la derivata non si annulla mai, quindi C = {x D : f (x) = 0} =, C = {x D : f (x)} = {4}, C 3 = {x D \ D } =, inoltre banalmente f (x) > 0 in D e f (x) < 0 in D. Dunque, in conseguenza del Teorema di Lagrange, f è crescente in ]4, + [ e decrescente in ], [ e in ], 4[ ed ammette minimo in x = 4. Il grafico quindi risulta Esercizio Osserviamo che la funzione data non è continua in x =, infatti, f(x) = lim x ln(x + 3) = ln 4, lim x x x lim f(x) = lim x + x + x + = 0. Per definizione di funzione integrale abbiamo x t ln(t + 3)dt se x [0, ], x 0 F (x) = f(t)dt = 0 x t t ln(t + 3)dt + dt se x ], ]. 0 t + 5

26 Calcoliamo separatamente gli integrali indefiniti t t + dt, t ln(t + 3)dt. Per il primo integrale si ha banalmente ( t t + dt = 3 ) dt = t 3 ln(t + ) + c; t + mentre per il secondo t ln(t+3)dt = t ln(t+3) t ( t + 3 dt = t ln(t+3) t ) dt = t 9 ln(t+3)+ t + 3 t Quindi troviamo x 9 ln(x + 3) + x (3 ) x + 9 ln 3 se x [0, ], F (x) = x 3 ln(x + ) 4 ln ln 3 se x ], ]. Esercizio 3 Osserviamo che la serie data è a termini positivi, pertanto non può essere indeterminata. Inoltre, indicato con a n il termine generale della serie, a n = ( π ) 3n+ n 3, questo converge a 0, + lim a ( π ) 3n+ n = lim n + n + n 3 + = 0, in quanto il numeratore tende a 0, essendo π <, mentre il denominatore tende a +. Per il criterio del rapporto abbiamo a n+ lim n + a n ( π ) 3n+4 lim n + (n + ) 3 + quindi la serie risulta convergente. n 3 + ( π ) 3n+ = ( π ) 3 <. 6

27 7

28 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Matematica (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova scritta del 7 Luglio 007. Studiare la funzione e tracciarne il grafico. ( ) 3x f(x) = log x Svolgere inoltre uno dei seguenti esercizi. Data la funzione f : [5, 6] R definita da ( x ) + 8x 4 f(x) = log x + determinare l espressione dell integrale indefinito. 3. Data la serie f(n) n= dove f è la funzione dell Esercizio, - stabilire il segno del termine generale; - determinarne il comportamento. Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 8

29 Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Anno Accademico Matematica (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova teorica del 7 Luglio 007 Nome e Cognome... Rispondere ai seguenti quesiti:. Nella figura è rappresentata la parabola di equazione y = ax + bx + c. Stabilire qual è l affermazione falsa i. a > b ii. b > c iii. c > a iv. nessuna delle precedenti. Nella tabella vengono rappresentate le classi di peso in funzione del 9

30 BMI (Body Mass Index) il cui valore individuale è dato dal rapporto BMI = P h dove P è il peso dell individuo espresso in Kg, e h l altezza espressa in metri. Se un individuo che pesa 70 kg si trova in sovrappeso secondo la tabella del B.M.I. vuol dire che la sua altezza h è 4 70 i. 5 < h < 9, ii. 5 < h < 9, iii. ± 9, 9 < h < ± iv 9, 9 < h < 5 sin n 3. lim n + n i. è uguale a 0; ii. è uguale a ; iii. non esiste; iv. esiste ma non fa nè 0 nè. log( + x) 4. Se lim = 3 allora x 0 sin αx i. α = 3; ii. α = 3 ; iii. α = 3; iv. non è possibile che il limite faccia Qual è l enunciato corretto? i. Sia f : [a, b] R derivabile. Se esiste x o [a, b] tale che f (x o ) = 0 allora x o è di massimo o di minimo. ii. Sia f : [a, b] R derivabile. minimo, allora f (x o ) = 0. Se x o [a, b] è di massimo o di iii. Sia f : [a, b] R derivabile. Se esiste x o ]a, b[ tale che f (x o ) = 0 allora x o è di massimo o di minimo. iv. Sia f : [a, b] R derivabile. Se x o ]a, b[ è di massimo o di minimo, allora f (x o ) =

31 6. Sia f : R R una funzione derivabile e decrescente. Allora i. è derivabile e decrescente in R; f(log x) g(x) = e ii. è derivabile e decrescente in ]0, + ); iii. è derivabile ma non decrescente, perchè l esponenziale con base e > è crescente; iv. non è detto che sia derivabile, perchè l esponente non è derivabile nel suo dominio. 7. Sia f : [0, ] R + 0. Quale tra le seguenti implicazioni può essere correttamente inserita al posto dei puntini? f ammette un asintoto verticale... f([0, ]) è illimitato superiormente i. = ma =; ii. = ma ; iii. ; iv. nessuna delle precedenti. 8. Siano f, g : R R due funzioni, con f convessa e g concava. Allora f g è i. convessa; ii. concava; iii. non è mai tutta convessa o tutta concava, ammette sempre almeno un flesso; iv. non si può stabilire, dipende da chi sono f e g. I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti a loro scelta. Data una serie a n convergente, se (b n ) n è una successione in ]0, + ) tale che n= a n lim = allora anche n + b n b n converge. E vero? n= i. sì, per il Criterio asintotico del confronto ii. no, il limite deve essere strettamente minore di iii. non è detto, perchè non sappiamo se anche la prima serie è a termini non negativi iv nessuna delle alternative precedenti è corretta 3

32 . Dat un numero reale a 0, che comportamento ha la serie ( ) n a? i. converge; ii. diverge; iii. è indeterminata; iv. dipende dal segno di a. 3. P è una primitiva di f : [a, b] R se i. P = f; ii. f = P ; iii. P = b a iv. P (a) = 0. f(x)dx; 4. Sia f : [0, ] R derivabile e tale che f() = 0. Allora qual è l uguaglianza corretta? i. ii. iii. iv f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx = xp (x)dx con P primitiva di f; xf (x)dx; xf (x)dx; xf(x)dx. n= 3

33 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Insegnamento di Matematica c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali Correzione della prova del Giugno 007 Esercizio Per la determinazione del dominio di f abbiamo D =], 0[ ], + [. Per la ricerca degli eventuali asintoti abbiamo lim x f(x) = lim x log ( 3x x ) = +, in quanto l argomento del logaritmo risulta essere una frazione il cui numeratore tende ad una quantità negativa, mentre il denominatore tende a 0 mantenendosi di segno negativo, pertanto la frazione tende a + e così anche il logaritmo; lim x f(x) = lim x log ( ) 3x x = +, in quanto l argomento del logaritmo risulta essere una frazione il cui numeratore tende ad una quantità positiva, mentre il denominatore tende a 0 mantenendosi di segno positivo, pertanto la frazione tende a + e così anche il logaritmo; ( ) 3x lim f(x) = lim log x 0 x 0 x =, in quanto l argomento del logaritmo tende a 0; lim f(x) = x + lim log x + ( 3x x ) =, in quanto l argomento del logaritmo risulta essere rapporto di due infiniti con denominatore di ordine superiore. Quindi f presnta tre asintoti verticali per x =, x = e x = 0, mentre non presenta asintoti orizzontali. Per la ricerca degli eventuali asintoti obliqui abbiamo f(x) lim x + x = lim x + log ( 3x x x ) = 0, in quanto rapporto di due infiniti di cui il denominatore di ordine superiore. Quindi la funzione non ammette asintoti obliqui. Il calcolo della derivata prima fornisce, per ogni x in D, f (x) = x x(x ), 33

34 C = {x D : f (x) = 0} =, C = {x D : f (x)} =, C 3 = {x D\D } =. Per ciò che concerne il segno della derivata prima osserviamo che per ogni x in D x(x ) > 0, e che x < 0. Quindi f (x) < 0 per ogni x in D e per le conseguenze del Teorema di Lagrange f risulta decrescente in ], 0[ e in ], + [. Il grafico quindi risulta Esercizio Osserviamo che f(x)dx = log x + 8x 4 = (log(x + 8x 4) log(x + ))dx = x + = (log(x ) + log(x + 4 5) log(x + ))dx da cui segue f(x)dx = (x+4+ 5)(log(x+4+ 5) )+(x+4 5)(log(x+4 5) ) (x+)(log(x+) )+ = (x+4) log(x +8x 4)+ ( 4 ) 5 5 log + x + 4 (x+) log(x+) x 6+c. 5 Esercizio 3 Osserviamo che ( ) 3x log x = 0 3x x = x = 3 ± 7. Quindi f(n) < 0 per ogni n 4 quindi la serie risulta definitivamente negativa e pertanto non può essere indeterminata. Inoltre per quanto studiato nell Esercizio lim f(n) = lim f n + x + N f(x) =, quindi la serie, non potendo convergere nè essere indeterminata, risulta divergente. 34

35 Soluzione della prova teorica: i. iv. 3 i. 4 ii. 5 iv. 6 ii. 7 i. 8 i. i. iii. 3 i. 4 iii. 35

36 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Matematica (c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova scritta del 0 Settembre 007. Studiare la funzione f(x) = x+ x e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda). Svolgere inoltre uno dei seguenti esercizi. Tra tutte le primitive della funzione f(x) = determinare quella che vale in x =. 3. Stabilire il comportamento della serie ( ( ) n n= n + n ). [ ) x( + log x) in, + Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 36

37 Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Anno Accademico Matematica (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova teorica del 0 Settembre 007 Nome e Cognome... Rispondere ai seguenti quesiti:. Dal confronto tra i due grafici in figura si deduce che g : [a, a + ] R è definita da A. g(x) = f(x) + a B. g(x) = f(x + a) C. g(x) = f(x) + D. g(x) = f[x (a + )]. La funzione f(x) = ax + x + A. è monotòna solo se a > 0 B. è monotòna solo se a = 0 C. è monotòna solo se a < 0 D. non è mai monotòna n p + 3n Se p > e lim n + n p+q + n p = qual è l unica possibilità? + A. p = q B. p = q C. q = 0 D. n = 37

38 4. Se a n sin n n, allora A. lim a n 0 B. se esiste lim a n allora è 0 C. se esiste lim a n allora è D. se esiste lim a n allora è 5. Se f : R R è definita da f(x) = { ax se x < 0 bx se x 0 quale tra le seguenti implicazioni può essere correttamente inserita al posto dei puntini tra le affermazioni i. = ma =; ii. = ma ; iii. ; iv. nessuna delle precedenti. x = 0 punto di minimo... ab 0? 6. Quante sono le soluzioni dell equazione f (x) = f(b) f(a) b a nel caso della funzione rappresentata nel grafico? A. solo 38

39 B. C. 3 D. infinite 7. Sia f : R R derivabile, e sia g(x) = arcotge f(x). Qual è l affermazione falsa? A. g è positiva B. g è derivabile C. g è non decrescente D. g è definita in tutto R 8. Se nel grafico seguente è rappresentata la derivata seconda f, qual è il grafico di f? 39

40 I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti a loro scelta. Se lim a n = 0 e lim a n+ = 3 allora la serie A. converge B. diverge C. è indeterminata D. non lo si può stabilire. Per quali valori di t la serie A. solo per t > 0 B. per nessun valore di t C. per qualsiasi valore di t n= t n n converge? n= D. nessuna delle affermazioni precedenti è corretta 3. Se f : [0, ] R è continua, e A. 3 B. 6 0 a n f(x)dx = 3 quanto fa f(x + )dx? C. 3 D. non fa niente, perchè la scrittura non ha senso, dato che il dominio di f è [0, ], non [, 4]. 4. Se P è una primitiva di e f(x) allora A. P (x) = e f(x) B. P (x) = f(x)e f(x) C. P (x) = e f (x) D. P (x) = f (x)e f(x) 40

41 Correzione della prova scritta del 0 Settembre 007 Esercizio. Il dominio della funzione è (, 0[ ]0, + ). x La funzione può equivalentemente scriversi come f(x) = x + x. Per la determinazione di eventuali asintoti del grafico, osserviamo che si ha lim f(x) = 0 in quanto l esponente tende a ; si tratta infatti del rapporto tra due polinomi, di cui il numeratore è di grado superiore al denominatore. Quindi l asse x è un asintoto orizzontale per il grafico quando x. Anche lim f(x) = 0 perchè anche in questo caso l esponente diverge a ; x 0 infatti il denominatore tende a 0 mantenendosi negativo, mentre il numeratore tende a. Invece lim f(x) = + perchè in questo caso, con un ragionamento analogo al precedente, l esponente tende a +. Dunque l asse x 0 + y è un asintoto verticale per il grafico della funzione. Infine lim f(x) = + perchè anche in questo caso l esponente diverge a x + + in virtù di considerazioni analoghe a quelle relative al limite in. Per determinare l eventuale presenza di asintoti obliqui, calcoliamo il limite f(x) lim. E sufficiente trasformare la funzione come x + x x + x = e log x + x = e x + x log. Moltiplicando e dividendo per l esponente, e ricordando che l esponenziale è sempre di ordine superiore al proprio esponente si trova log lim x + x + x e x + x log x + x in quanto prodotto di due infiniti. Pertanto la funzione non ha asintoti obliqui. Il calcolo della derivata prima fornisce log = + f (x) = log x + x x x che è definita in tutto il campo di esistenza della funzione. Quindi, grazie al Teorema di Fermat, i massimi e i minimi possono trovarsi solo tra gli zeri della derivata prima. Poichè un esponenziale non è mai nulla, la derivata prima si annulla solo se si annulla il terzo fattore, cioè solo se x = ±. Anche per lo studio del segno della derivata prima si riduce allo studio del segno del numeratore dell ultimo fattore; ora x > 0 per x < e per x > ; quindi, per il Teorema di Lagrange, la funzione risulterà crescente 4

42 nella semiretta (, ] e nella semiretta [, + ), mentre sarà crescente negli intervalli [, 0[ e ]0, ]. In conclusione in x = si ha un massimo locale ed in x = un minimo locale. Infine il grafico della funzione sarà Esercizio. Effettuando la sostituzione t = + log x, dt = dx ci si x riconduce al integrale immediato x( + log x) dx = dt = log t + c = log( + log x) + c t (si osservi che + log x è positiva nell intervallo considerato, quindi non vi è più bisogno del modulo). Poichè la funzione integranda è continua, ricordando il Teorema di Torricelli-Barrow, l integrale indefinito fornisce tutte le primitive dell integranda. Rimane da determinare c in modo tale che la corrispondente primitiva assuma valore in x =, cioè occorre risolvere l equazione in c log( + log ) + c = cioè c = log =. Pertanto la primitiva richiesta è P (x) = log( + log x) +. Esercizio 3. Poichè il fattore esponenziale è comunque di segno positivo, la serie è a segni ( alterni. ) Ricordando lo studio di funzione dell Esercizio, risulta n + n = f( n ). Poichè lim n + n =, risulta 4

43 lim n + f( n ) = 0, ed inoltre la successione è decrescente, perchè segue l andamento del grafico di f per valori che divergono a. In conclusione sono verificate entrambe le condizioni del Criterio di convergenza di Leibnitz e dunque la serie converge. In alternativa( si può) studiare la convergenza assoluta della serie, osservando che a n = n + n e che Quindi a n n = n. n n lim a n = 0 n e dato che la serie geometrica a denominatore converge (perchè di ragione < ), per il Criterio del Confronto, converge anche la serie a n il che n= equivale a dire che la serie assegnata converge anche assolutamente. Infine le risposte corrette alle domande a risposta multipla sono 43

44 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Matematica (c.l. in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova scritta del 8 Settembre 007. Studiare la funzione f(x) = x3 x e tracciarne il grafico (non è richiesto lo studio della derivata seconda). Svolgere inoltre uno dei seguenti esercizi. Stabilire qual è il più grande tra i numeri log 3 ( ) x log x dx Stabilire il comportamento della serie [ ( )] n + sin n n log n. n= ( 3 ) x x + dx e Motivare tutte le risposte, altrimenti esse non verranno valutate. Consegnare una sola copia, ordinata, numerando e contrassegnando col proprio nome e cognome e corso di laurea tutti i fogli consegnati (non più di due). Compiti privi degli estremi di identificazione non verranno corretti. Non riconsegnare la traccia del compito. E ASSOLUTAMENTE VIETATO COPIARE! 44

45 Facoltá di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Anno Accademico Matematica (Corsi di Laurea in Scienze Geologiche ed in Scienze Naturali) Prova teorica del 8 Settembre 007 Nome e Cognome... Rispondere ai seguenti quesiti:. Il grafico in figura rappresenta la funzione g(x) = ax 3 + c. Qual è l affermazione corretta? A. a > 0 e c > 0 B. a > 0 e c < 0 C. a < 0 e c > 0 D. a < 0 e c < 0. Data la funzione f : R R definita da { ax se x > 0 f(x) = bx se x < 0 quale tra le seguenti affermazioni può essere correttamente inserita al posto dei puntini tra le seguenti affermazioni f ha un flesso in x = 0... ab < 0? 45

46 i. = ma =; ii. = ma ; iii. ; iv. nessuna delle precedenti. 3. Se I è un intervallo di estremi a < b (non importa se è aperto o chiuso), e se 0 I qual è l affermazione impossibile? A. a = 0 B. a > 0 C. b = 0 D. b > 0 4. Se (a n ) n e (b n ) n sono due successioni, con lim a n = 0 e lim b n = + quale tra le seguenti successioni non può convergere a 0? A. il prodotto a n b n B. la somma a n + b n C. il quoziente a n b n D. nessuna delle precedenti opzioni è accettabile, perchè possono convergere a 0 tutte e tre 5. Dati due numeri reali α e β, se ( sin α + ) n lim n + β + n allora è impossibile che A. α = 0 e β 0 B. α 0 e β 0 C. α = β = 0 = D. nessuna delle opzioni precedenti è impossibile perchè il limite fa per forza 6. Se f : R R ammette la derivata in x o allora A. f è continua solo in x o B. f è continua almeno in x o C. f è continua in un intorno di x o D. f è continua in tutto R perchè le funzioni derivabili sono continue 46

47 7. Data una funzione f : R R che ammette due asintoti orizzontali, quale di queste condizioni non assicura la limitatezza del codominio di f? A. f è continua B. f è derivabile C. f è monotòna D. nessuna delle precedenti, sono tutte e tre sufficienti 8. L applicazione f(x) = x nell intervallo [-,] soddisfa le ipotesi di quale di questi teoremi? A. Teorema di Fermat B. Teorema di Rolle C. Teorema di Lagrange D. nessuno dei precedenti I candidati rispondano inoltre a due tra i quesiti seguenti a loro scelta. Se lim a n = 0 e lim a n+ = 3 allora la serie a n. Se A. converge B. diverge C. è indeterminata D. non lo si può stabilire n= si ha n= x n n converge alla somma S, detta S la somma della serie A. S S perchè n per ogni n N n B. S < S certamente perchè la seconda serie diverge a + (é il prodotto di una serie convergente per una divergente a + ) C. S = 0 perchè x n n = x n n n 0 D. non si può stabilire nessun confronto, perchè dipende dal segno di x n. 3. In quale di questi casi la funzione f(x) = integrabile in [a, b]? A. a > 0 n= x n n x + π x + 3x + è certamente 47

48 B. a < 0 C. b > 0 D. b < 0 4. Se f : [0, ] R è una funzione continua, F è la sua funzione integrale e P una sua primitiva, qual è l affermazione errata? A. lim n n + f(x)dx converge a n 0 f(x)dx B. lim n n + f(x)dx converge a P () P (0) n C. lim n n + f(x)dx converge a F () n D. nessuna delle precedenti affermazioni è errata 48

49 Correzione della prova scritta del 8 Settembre 007 Esercizio. Il dominio della funzione è (, [ ], [ ], + ). La funzione può equivalentemente scriversi come f(x) = x 3 x per x (, [ ], + ) x 3 x per x ], [. Per la determinazione di eventuali asintoti del grafico, osserviamo che si ha lim f(x) = x in quanto rapporto tra due polinomi, di cui il numeratore è di grado superiore al denominatore. Inoltre f(x) lim x x = lim x 3 x x 3 x = stavolta perchè si tratta del rapporto tra polinomi aventi lo stesso grado, ed infine lim f(x) x = lim x 3 x(x ) x x x = 0 perchè si riduce al rapporto tra due polinomi di cui il numeratore di grado inferiore al denominatore. In conclusione la retta y = x è un asintoto obliquo per il grafico della funzione quando x ; e per ragioni di simmetria, gli stessi ragionamenti sussistono nella ricerca degli asintoti quando x +, ovvero y = x è un asintoto obliquo per il grafico anche per x +. Studiamo il comportamento in prossimità dei punti x = e x = ; ancora per ragioni di simmetria è sufficiente studiare solo il comportamento della funzione in prossimità di uno solo dei due, per l altro varrà un comportamento speculare. Consideriamo quindi il limite lim f(x) = x in quanto il denominatore tende a 0 mantenendosi positivo (ricordiamo che nella scrittura originaria, a denominatore era presente un valore assoluto...), mentre il numeratore tende a -; quindi si tratta di una funzione che per x < 0 assume valori negativi, e poichè il denominatore tende a 0, essa diverge, ma con segno negativo. Pertanto le rette x = e x = sono due asintoti verticali per il grafico della funzione. 49

50 Il calcolo della derivata prima fornisce x (x 3) (x ) se x (, [ ], + ) f (x) = x (x 3) (x ) se x ], [ che è definita in tutto il campo di esistenza della funzione. Quindi non vi sono punti di non derivabilità e, grazie al Teorema di Fermat, i massimi e i minimi possono trovarsi solo tra gli zeri della derivata prima. L equazione f (x) = 0 fornisce le tre soluzioni x = 3, x = 0, x = 3 Anche lo studio del segno della derivata prima si riduce allo studio del segno del numeratore per entrambe le espressioni, perchè il quadrato a denominatore è sempre positivo. Le soluzioni della disequazione f (x) > 0 sono le x ( 3[ ] 3 + ) per la prima espressione, mentre la seconda legge è di segno positivo in tutto ]-,[. Pertanto la funzione è crescente in ( 3], in ], [ ed in [ 3 + ), e decrescente in [ 3, [ ed in ], 3]. Se ne deduce che 3 è un punto di massimo locale, e 3 di minimo locale, mentre il punto x = 0 non è nè di massimo nè di minimo, e poichè in esso la derivata si annulla, si tratta di un punto di flesso a tangente orizzontale. Infine il grafico della funzione sarà 50

51 Esercizio. Dobbiamo intanto calcolare i due integrali indefiniti ( ) x x x + dx, log x dx. + Il primo è un integrale che si risolve con l immediata sostituzione t = x +, dt = xdx: Pertanto x x + dx = x x + dx = t dt = log t + c = log(x + ) + c (si noti che x + è sempre positivo, e quindi non è più necessario considerare il modulo). Il secondo integrale si riconduce, tramite un applicazione della Regola di integrazione per parti, all integrale di una funzione razionale fratta log ( x x + ) dx = x log ( x x + ) x + x dx. Ora l integrale a ultimo membro può decomporsi come x (x + x dx = + ) + x dx = + x dx dx = arcotgx x+c. In conclusione ( ) ( ) x x log x dx = x log + x arcotgx + x + c. + Per effettuare la scelta richiesta, occorre ora calcolare gli integrali definiti 3 x x + dx, 3 ( ) x log x dx. + Applicando la Formula di Newton-Leibnitz si ha Pertanto 3 x x + dx = log 4 log = log. log ( 3 ) x x + dx = log(log ). Invece, sempre con la Formula di Newton-Leibnitz, si trova che 3 ( ) x log x dx = ( ) ( ) 3 3 log π log 3 +π 4 = π log +log Si può infine effettuare il confronto utilizzando una calcolatrice tascabile, e si trova che il primo numero è negativo (come d altronde si può rilevare senza 5

52 bisogno della calcolatrice), il secondo è positivo, e quindi è il più grande dei due. Esercizio 3. Si tratta di una serie a termini positivi, in quanto l esponente n è sempre pari. Vista l espressione del termine generale, in cui compare n all esponente, risulta conveniente applicare il Criterio della Radice n an = [ log ( )] n + sin n n. Per calcolare il limite, osserviamo che per l argomento del logaritmo si ha e quindi n + sin n lim n n = lim n n + n sin n = 0 da cui e dunque la serie diverge. lim log n + sin n n n lim n n an = + = 5

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