INSIEMI: descrizione e rappresentazione, elementi e appartenenza. Sottoinsiemi, insieme vuoto. Unione, intersezione, complemento. Prodotto cartesiano.

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "INSIEMI: descrizione e rappresentazione, elementi e appartenenza. Sottoinsiemi, insieme vuoto. Unione, intersezione, complemento. Prodotto cartesiano."

Transcript

1 INSIEMI: descrizione e rappresentazione, elementi e appartenenza. Sottoinsiemi, insieme vuoto. Unione, intersezione, complemento. Prodotto cartesiano. 1. Si assegna un insieme quando: a) si elencano i suoi elementi b) si definisce una proprietà 1.1. Si elenchino gli elementi dei seguenti insiemi: Insieme degli articoli della lingua italiana. Insieme delle regioni italiane. Insieme delle ossa del cingolo pelvico. Insieme dei numeri primi, pari e diversi da 2. Insieme dei multipli di 3 compresi tra 10 e Si descrivano con una proprietà i seguenti insiemi: L insieme dei numeri dispari, {5,7,9,11,13,15}, {Parco Colle Oppio, Parco Egerio, Parco S Andrea, Parco San Gregorio, Parco San Sebastiano, Parco degli Scipioni} {1,4,9,16,25,,n 2, } {1,3,6,10,15,21,28,.} {1,5,12,22,35,51, } {1,2,3,5,8,13,21,34, Le seguenti espressioni quali insiemi definiscono? {x N: z tale che x = z-3 } {x N: z si ha x+z = z} {x N: x = x 2 } {x N: x-1 è pari} {x N: x 2 +x =1} {x N: z N tale che x =2z+1 } {x N: z N tale che z = 2x} 2. Sottoinsiemi, unione, intersezione. Uguaglianze. Dualità Dati gli insiemi X = {a,c,d}, Y = {a,b,d,e}, Z = {a,b} quali delle seguenti espressioni sono corrette? Z Y

2 X Y a Z a X (X Z) Y X Z Y Z Y X Z = a Z Y 2.2. Dati gli insiemi: A ={x Z: la divisione di x per 4 ha resto 2}, B = {x Z: n N tale che (x-18) = 4n }, dimostrare che A=B 2.3. Si dimostri che B C = se e solo se B= e C= Sia B un sottoinsieme di X. Si dimostri che se A B =A per ogni sottoinsieme A allora B =. 2.5.Dimostrare che la legge di cancellazione è falsa. Ossia se A B = A C non necessariamente si ha B = C Dimostrare che l unione (A B) di due sottoinsiemi di X è contenuta in tutti i sottoinsiemi di X contenenti sia A che B, mentre l intersezione (A B) contiene tutti i sottoinsiemi di X contenuti sia in A che in B (A B) C è uguale ad A (B C)? 2.8. Siano X ed Y due insiemi tali che esiste un insieme Z per cui X Z = Y Z e X Z = Y Z, dimostrare che necessariamente X = Y Si considerino l insieme A degli interi divisibili per 3, l insieme B degli interi divisibili per 5, l insieme B degli interi divisibili per 20. Determinare A B, A B, A B C, A B C, (A B) C e (A B) C. 3. Differenza De Morgan : e 3.2. Dimostrare che Differenza simmetrica si definisce come segue: A B =(A-B) (B-A). Dimostrare che ( ) 3.4. Verificare che la differenza simmetrica è associativa, commutativa e soddisfa la proprietà distributiva rispetto all intersezione ma non rispetto all unione Definire una operazione analoga alla differenza simmetrica (ossia associativa e commutativa) che sia distributiva rispetto all unione ma non rispetto all intersezione Dimostrare che se e solo se

3 3.7. Si dimostri che è equivalente ad ognuna delle seguenti condizioni: i), ii) se e sono sottoinsiemi di X, Calcolare: 4. Prodotto cartesiano 4.1. E vera l identità (AxA)xA = Ax(AxA)? Ogni sottoinsieme di un prodotto cartesiano è un insieme prodotto? 4.2. Dei seguenti insiemi determinare quelli prodotto e indicarne i fattori : {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(2,1)}, l insieme dei punti della superficie di un cilindro, l insieme dei punti della superficie di una piramide a base quadrata Verificare le seguenti identità: (A B) C =(A C) (B C) (A B) (C D)=(A C) (B D) 4.4. Si rappresenti graficamente la relazione x 2 +y 2 = 5 tra numeri reali e la relazione x 2 +y 2 = 5 tra numeri interi Determinare una coppia di relazioni che siano la prima inclusa nella seconda Siano A={Lazio,Liguria,Puglia,Toscana,Sicilia,Sardegna} e B= {Carbonia,Cesano,Imperia,Manfredonia, Narni, Orvieto,Parma,Piombino, Veroli}, rappresentare graficamente la relazione La città x appartiene alla regione y Rappresentare graficamente le relazioni R tra numeri reali definite da: (x,y) R se e solo se -1 x 1/2 e 1< y<2 (x,y) R se e solo se y=x 2 (x,y) R se e solo se x>y (x,y) R se e solo se 1 y x LOGICA ELEMENTARE 1. Quali dei seguenti enunciati sono proposizioni?: 1.1. Il Baltico è un fiume 1.2. Domani piove e fra 3 giorni andrò al mare 1.3. Viva l Italia! 1.4. E ora della merenda

4 1.5. Fai merenda! 1.6. Petrarca è il mio poeta preferito 1.7. Sogno o son desto? 1.8. Roma è nel Lazio e Dante è vivo 1.9. Tutte le ciambelle riescono con il buco 1.10.Nell aula c è qualcuno che si è addormentato Il gatto ha la coda, il cane no 1.12.Tutti i gatti sono grigi 1.13.Non tutto il male vien per nuocere 1.14.Se domani c è il sole mi metto la gonna nuova 1.15.Non sei simpatico Lucia mangia il gelato o la torta 1.17.Prendi il coltello o le forbici 1.18.Se il voto è minore di 18 si è bocciati 2. Per ognuna delle seguenti proposizioni trovare la forma logica: 2.1. Condizione necessaria perché n si primo è che sia dispari o uguale a Condizione sufficiente affinché un rombo sia un quadrato è che abbia un angolo di Condizione necessaria e sufficiente affinché un numero sia divisibile per 3 è che la somma delle sue cifre sia divisibile per Per ogni numero n, il numero 2n è pari 2.5. Il raccolto sarà rovinato se cadrà la grandine 2.6. Piove ma il sole sta ancora splendendo 2.7. Se aumentano le tasse o la spesa pubblica diminuisce, allora quest anno non ci sarà inflazione Se non si ritira la merce entro 4 giorni bisogna andare al magazzino Per laurearsi in Matematica bisogna superare 12 esami e vincere al totocalcio.

5 ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI 1) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali: 3,14; 12/7; 5/8; 0,1 3; 5/8; π; 12/7; 0,13; 10 1 ; 0, Inserire poi nel precedente ordinamento i seguenti numeri reali: 2/15; 157/50; 10/16. 2) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali: 2; 20/9; 16/17; 1, 4; 20/9; 1,414; 16/17; 0, Inserire poi nel precedente ordinamento i seguenti numeri reali: 32/34; 13/9; 707/500; ) Dato un asse orientato e un unità di misura, dire qual è il numero reale c corrispondente al punto medio tra i punti di coordinate a = 3 e b = 8 (e poi: a = 2 e b = 11; a = 4 e b = 1; a = π e b = 8. In formula c =...?). 4) Completare le seguenti uguaglianze: e quindi a β o a = β?... 2 (32) = 2 α α =..., (2 3 ) 2 = 2 β β =..., 5) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0): 72, 3 72, 80, 3 80, a 5 b 7 c 6, 3 a 5 b 7 c 6, 4 a 7 b 15 c 22. [Esempio: 24 = 2 6] Come cambierebbero le espressioni precedenti se c fosse negativo? 6) Scrivere in forma diversa i seguenti numeri reali (a,b,c IR e a,b,c > 0): , , , , (a 5 b 7 c 6 ) 3 4, (a 5 b 7 c 6 ) 4 3, (a 7 b 15 c 22 ) 2 5. ( a 3 b 4 c 2 5 ) 2 ( a 3, 1 b 3 4c 2 ) 2 3.

6 [Esempio: = 2 3 2(3 2 ) 3 2 = ] Si osservi inoltre che c 2 3 = (c 2 ) 1 3 = (c 1 3) 2 = c 4 6 = (c 1 6) 4 ma quest ultima uguaglianza perderebbe di significato se si prendesse c < 0. Per evitare confusioni useremo un esponente razionale solo se la base è positiva (infatti se c > 0, quindi c 0, potremo considerare come esponenti anche razionali negativi poiché si definisce c 1 = 1/c cioè come l elemento inverso, e più in generale ad esempio c 2 3 = (c 2 3) 1 ). 7) Visualizzare sull asse reale i seguenti insiemi e, se possibile, scriverli in forma più semplice (esempio: [1, 5] ]3, 8[= [1, 8[): ]2,π] [ 2,3[; [ 3,+ [ IZ ; ] 5, 5] ]3,+ [; ] 5, 5] ]3,+ [; [ 8,8] \ [ 2,π] 8) Dalle proprietà dei reali deriva la seguente proprietà (che indica come si comporta la relazione d ordine rispetto al prodotto): a, b, c IR, se a b e c 0 a c b c. Osserviamo inoltre che 2 < 2 2 = 4, 3 > 3 2 = 9 e invece 1 2 > (1 2 )2 = 1 4, 1 3 > (1 3 )2 = 1 9, ecc.. Con l aiuto delle precedenti osservazioni, dopo averne completato l enunciato, dimostrare implicazioni della forma: (i) Se...a... a a 2 ; (ii) Se...a... a a 2. 9) Per ognuna delle seguenti implicazioni dire se è vera o falsa (giustificare la risposta utilizzando eventualmente la proprietà dei reali enunciata nell esercizio precedente): a < b a 2 < b 2, a, b IR, a < b a 2 < b 2, a, b 0, a < b a 2 < b 2, a, b 0. 10) (i) Scrivere un equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radice un numero x naturale; (ii) Scrivere un equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radice un numero x intero ma non naturale; 2

7 (iii) Scrivere un equazione di primo grado ax+b = 0 che abbia come radice un numero x razionale ma non intero; (iv) Scrivere un equazione di primo grado ax + b = 0 che abbia come radice un numero x irrazionale; 11) Scrivere un equazione di secondo grado ax 2 + bx + c = 0 che abbia almeno una radice x del tipo richiesto in ciascuno dei punti dell esercizio precedente e esaminare a quale insieme numerico appartenga l altra radice. 12) Verificare che x = 1 è soluzione dell equazione x 2 + 2x = x. Allora quale dei seguenti passaggi è scorretto e perchè? x 2 + 2x = x a) = x 2 + 2x + 1 = x + 1 b) (x + 1) 2 = x + 1 c) = x + 1 = 1 = d) x = 0 13) Scrivere in rappresentazione decimale la seguente uguaglianza Cosa se ne deduce? = 1. 14) Ricordando che nei reali valgono in particolare le seguenti proprietà: (i) Esiste l elemento neutro rispetto alla somma 0 (cioè a IR a + 0 = a), (ii) Proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma (cioè a, b, c IR (a + b) c = a c + b c), dimostrare che (i) e (ii) implicano la seguente proprietà: a IR a 0 = 0 3

8 ESERCIZI su PRODOTTI NOTEVOLI e POLINOMI 1) Scrivere un polinomio che abbia tutte e sole le seguenti radici semplici: ±1/2, ±2. Ce ne sono altri? Scriverne uno che, oltre alle precedenti radici abbia anche la radice semplice 0. Scriverne uno che abbia una radice semplice, una con molteplicità 2 e una con molteplicità 3. 2) Dato il polinomio di 2 o grado p(x) := 2 x x 2, determinare il vertice e l asse di simmetria della parabola che ne è il grafico, le sue radici (se esistono nei reali) e dire se nell insieme {y = p(x) : x IR} esista un minimo o un massimo. Ripetere l esercizio per i seguenti polinomi: 5x 2 2x + 1; 3x 2 + 2x 1; 3x 4 x 2. 3) Esistono infiniti polinomi di 2 o grado aventi come radici x = 2 e x = 1 5. Scrivere tali polinomi (in dipendenza da un parametro) e ripetere l analisi effettuata nell esercizio precedente, discutendo quali elementi dipendano dal valore del parametro e quali no. 4) Determinare il polinomio di 2 o grado il cui grafico passi per i punti (1,3) e (2,8) ed abbia come asse di simmetria l asse x = 4. 5) Sia A il punto di incontro tra la retta y = 2x 4 e la bisettrice del primo e terzo quadrante (retta y = x). Determinare la retta passante per A e per il vertice della parabola passante per A, per B = ( 2,10) e per l origine. 6) Utilizzare i prodotti notevoli per scrivere diversamente le seguenti espressioni: x 4 1, x 4 4, x 3 5, 2x )Calcolare 99 3 trasformandolo in una semplice somma algebrica con la formula del cubo, essendo 99 3 = (100 1) 3. 8) Scomporre i seguenti polinomi nel prodotto di polinomi di primo o, se necessario, di secondo grado (a coefficienti reali): 2x 3 x 2 7x + 6, x 3 + x + 2, 2x 3 + 3x 2 11x 6, 12x 3 + 4x 2 3x 1, 2x 3 2x 2 + x, 2x 4 3x 2 2, 2x 6 15x ) Dopo aver effettuato una divisione tra polinomi, scrivere diversamente il seguente rapporto: 2x 3 + x 2 3x + 1 x 2 4, (x 2).

9 Ripetere l esercizio per i rapporti che seguono (per x...): x 4 3x 3 x 2 + x 1 2x 2 + x 1, 5x 3 3x 12 x 2 2x 2, x x 2 2x + 1, x 3 1 3x 2 + x. 10) Dire se il polinomio 2x 3 +3x 2 3x 2 è divisibile per il polinomio x 2 +x 2 (quindi se la divisione ha resto nullo), senza effettuare la divisione stessa. Ripetere l esercizio considerando come primo polinomio x 3 3x 2 x + 3 e poi le coppie: x 3 x 2 x 2 e x 2 4; x 3 + 3x 2 4x 12 e x 2 + x 6. 11) Fattorizzare i seguenti polinomi: x 3 +2x 2 +2x+1; 2x 4 5x 3 +5x 2; x 3 2x 2 + 2x 1; 12x 5 13x 4 25x x x 12. Si osservi che polinomi del tipo ax 3 + bx 2 + bx + a hanno sempre la radice x = 1, e polinomi del tipo ax 3 +bx 2 bx a hanno sempre la radice x = +1. Inoltre si osservi che se x è una radice, anche 1/x lo è (qui supponiamo a 0, quindi anche le radici sono non nulle). Analogo discorso vale per polinomi di grado maggiore dispari. 12) Fattorizzare i seguenti polinomi: 6x 4 13x x 6, 4x x 3 17x 4. Si osservi che polinomi del tipo ax 4 +bx 3 bx a (con coefficiente nullo per il coefficiente del termine di grado 2) hanno sempre le radici x = ±1. Inoltre si osservi che se x è una radice, anche 1/x lo è (qui supponiamo a 0, quindi anche le radici sono non nulle). Analogo discorso vale per polinomi di grado maggiore pari. 5

10 Esercizi sulle funzioni 1) Data la funzione f(x) = x + 1, determinarne l insieme di definizione. Calcolare successivamente l immagine dell insieme [2, 3] tramite f. 2) Data la funzione f(x) = (x + 1) 2, determinarne l insieme di definizione. Calcolare successivamente l immagine dell insieme [ 2, 1] tramite f. 3) Determinare insieme di definizione ed immagine della funzione il cui grafico è il seguente: 4) Determinare insieme di definizione ed immagine della funzione il cui grafico è il seguente: 1

11 2 5) Data la funzione f(x) = 2x + 3, verificare che è iniettiva su [0, 1], calcolare l immagine di [0, 1] tramite f e scrivere l inversa di f. 6) Data la funzione f(x) = (x 1) 2, verificare che non è iniettiva su [0, 2], determinare un intervallo contenuto in [0, 2] su cui f è iniettiva, calcolare l immagine di tale intervallo tramite f e scrivere l inversa di f. 7) Data la funzione f(x) = x+1, verificare che è iniettiva su [2, 4], x 1 calcolare l immagine di [2, 4] tramite f e scrivere l inversa di f. 8) Disegnare il grafico dell inversa della funzione il cui grafico è il seguente: 9) Dopo aver verificato che non è invertibile la funzione il cui grafico è il seguente:

12 verificare che la funzione è invertibile sia per x positivo che per x negativo, e disegnare i grafici delle due funzioni inverse. 10) Disegnare i grafici della somma, della differenza e del prodotto delle due funzioni il cui grafico è il seguente: 3 11) Date f(x) = 2x + 1 e g(x) = (x 1) 2 dire quale dei due grafici che seguono è quello di f(g(x)), e quale quello di g(f(x)): 12) Verificare che f(x) = (x 1) 3 è monotona su tutto l insieme di definizione.

13 4 13) Verificare che f(x) = (x 1) 2 non è monotona su tutto l insieme di definizione, e determinare un intervallo di monotonia. 14) Verificare che f(x) = x + 1 è monotona sull insieme x > 1. Lo è x in [ 1, 1]? 15) Verificare che f(x) = x 2 3x 4 è una funzione pari, e che f(x) = 1 + x 3 6x 19 è una funzione dispari. 16) Verificare che f(x) = x + 1 è dispari. x 17) Data la funzione il cui grafico è il seguente: dopo aver verificato che non è né pari, né dispari, determinare α e β tali che f(x + α) + β sia dispari. 18) Verificare che la funzione f(x) = x [x] è periodica di periodo 1 ([x] è la parte intera di x, il più grande numero intero minore di x: [2.3] = 2, [π] = 3, [ 1.2] = 2). 19) Risolvere l equazione x 1 = x 2. 20) Risolvere l equazione x 1 + x 2 = x 3. 21) Risolvere l equazione x 1 + x 2 = x 3 + x 4. 22) Semplificare il più possibile le seguenti espressioni: log 2 (4 x ) log 3 (6 x ) log 9 (3 x ). 23) Semplificare il più possibile le seguenti espressioni: 4 log 2 (x) 12 log 3 (x) 2 log 4 (x).

14 Esercizi sulle funzioni 1) Data la funzione f(x) = x + 1, determinarne l insieme di definizione. Calcolare successivamente l immagine dell insieme [2, 3] tramite f. 2) Data la funzione f(x) = (x + 1) 2, determinarne l insieme di definizione. Calcolare successivamente l immagine dell insieme [ 2, 1] tramite f. 3) Determinare insieme di definizione ed immagine della funzione il cui grafico è il seguente: 4) Determinare insieme di definizione ed immagine della funzione il cui grafico è il seguente: 1

15 2 5) Data la funzione f(x) = 2x + 3, verificare che è iniettiva su [0, 1], calcolare l immagine di [0, 1] tramite f e scrivere l inversa di f. 6) Data la funzione f(x) = (x 1) 2, verificare che non è iniettiva su [0, 2], determinare un intervallo contenuto in [0, 2] su cui f è iniettiva, calcolare l immagine di tale intervallo tramite f e scrivere l inversa di f. 7) Data la funzione f(x) = x+1, verificare che è iniettiva su [2, 4], x 1 calcolare l immagine di [2, 4] tramite f e scrivere l inversa di f. 8) Disegnare il grafico dell inversa della funzione il cui grafico è il seguente: 9) Dopo aver verificato che non è invertibile la funzione il cui grafico è il seguente:

16 verificare che la funzione è invertibile sia per x positivo che per x negativo, e disegnare i grafici delle due funzioni inverse. 10) Disegnare i grafici della somma, della differenza e del prodotto delle due funzioni il cui grafico è il seguente: 3 11) Date f(x) = 2x + 1 e g(x) = (x 1) 2 dire quale dei due grafici che seguono è quello di f(g(x)), e quale quello di g(f(x)): 12) Verificare che f(x) = (x 1) 3 è monotona su tutto l insieme di definizione.

17 4 13) Verificare che f(x) = (x 1) 2 non è monotona su tutto l insieme di definizione, e determinare un intervallo di monotonia. 14) Verificare che f(x) = x + 1 è monotona sull insieme x > 1. Lo è x in [ 1, 1]? 15) Verificare che f(x) = x 2 3x 4 è una funzione pari, e che f(x) = 1 + x 3 6x 19 è una funzione dispari. 16) Verificare che f(x) = x + 1 è dispari. x 17) Data la funzione il cui grafico è il seguente: dopo aver verificato che non è né pari, né dispari, determinare α e β tali che f(x + α) + β sia dispari. 18) Verificare che la funzione f(x) = x [x] è periodica di periodo 1 ([x] è la parte intera di x, il più grande numero intero minore di x: [2.3] = 2, [π] = 3, [ 1.2] = 2). 19) Risolvere l equazione x 1 = x 2. 20) Risolvere l equazione x 1 + x 2 = x 3. 21) Risolvere l equazione x 1 + x 2 = x 3 + x 4. 22) Semplificare il più possibile le seguenti espressioni: log 2 (4 x ) log 3 (6 x ) log 9 (3 x ). 23) Semplificare il più possibile le seguenti espressioni: 4 log 2 (x) 12 log 3 (x) 2 log 4 (x).

18 Precorsi di Matematica A.A Esercizi di trigonometria N.B. I seguenti esercizi devono essere svolti senza utilizzare la calcolatrice. Gli angoli sono misurati in radianti. Esercizio 1. Cos è un radiante? Perché si dice che la misura di un angolo è un numero puro? Esercizio 2. Disegnare un angolo di (circa) un radiante e dire se il suo seno è positivo o negativo. Esercizio 3. Disegnare un angolo di (circa) 7 radianti e dire se il suo coseno è positivo o negativo. Esercizio 4. Si consideri una circonferenza di raggio pari a 3.6 metri. Determinare la lunghezza dell arco di tale circorferenza che insiste su un angolo di 1/2 radiante. Esercizio 5. Si consideri una circonferenza di raggio pari a 3.6 metri. Calcolare l area del settore circolare corrispondente ad un angolo di 1/2 radiante. Esercizio 6. Disegnare l angolo (gli angoli) il cui coseno vale 1/4. Quanto vale il seno? Esercizio 7. Disegnare l angolo (gli angoli) il cui seno vale 1/4. Quanto vale il coseno? Esercizio 8. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 4 metri e forma con l ipotenusa un angolo di π/6. Determinare la lunghezza dell altro cateto. Esercizio 9. Si vuole determinare l altezza di una torre. A questo scopo ci si pone a distanza di 30 metri dalla base e si osserva che la torre (dalla base alla cima) copre un angolo di π/3 della visuale. Quanto è alta la torre? Esercizio 10. In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 6 metri e forma con l ipotenusa un angolo di π/5. Determinare la lunghezza dell ipotenusa.

19 Esercizio 11. Si vuole determinare la pendenza di un piano inclinato in un ghiacciaio. A questo scopo se ne misura prima la lunghezza che risulta essere di 300 metri. Successivamente si lascia cadere un disco d acciaio (di massa pari ad un chilo) dalla cima che raggiunge il fondo dopo 20 secondi. Qual è la pendenza? Quale sarebbe stata la pendenza se la massa del disco fosse stata di 2 chili? Nel risolvere l esercizio si trascuri l attrito del disco con il ghiaccio e si assuma che l accelerazione di gravità valga 10 metri/(secondi) 2. Esercizio 12. Si consideri un triangolo in cui due lati sono rispettivamenti lunghi 6 e 8 metri e formano tra loro un angolo di 2π/5. Determinare la lunghezza del terzo lato. Esercizio 13. Si consideri una baia nelle cui punte sono posti due fari. Si vuole determinare la distanza tra i due fari. A questo scopo ci si pone in un punto in mezzo alla baia e si osservano i due fari rispettivamente alla distanza di 1 e 1.5 chilometri. Si osserva inoltre che i due fari coprono un angolo pari a 3π/4 della visuale. Qual è la distanza tra i due fari? Esercizio 14. Disegnare l angolo (gli angoli) la cui tangente vale 2. Quanto vale il seno? Esercizio 15. Disegnare l angolo (gli angoli) la cui tangente vale 2. Quanto vale il coseno? Esercizio 16. Calcolare sin α cos ( π 2 α) + cos α sin ( π 2 α) Esercizio 17. Risolvere l equazione sin x = 1 2 Esercizio 18. Risolvere l equazione cos x = 1

20 Esercizio 19. Risolvere l equazione sin x = 4 3 Esercizio 20. Risolvere l equazione tan 2 x tan x = 0 Esercizio 21. Risolvere l equazione sin x + cos x = 0 Esercizio 22. Risolvere l equazione sin x cos x cos x = 0 Esercizio 23. Verificare l identità sin(α + β) sin(α β) = sin 2 α sin 2 β Esercizio 24. Calcolare l area di un triangolo avente due lati che formano tra loro un angolo di π/6 ed aventi lunghezza rispettivamente pari a 4 cm. e 7 cm.

21 Esercizi sulle disequazioni 1. Per quali valori di λ R la radice x dell equazione è tale che 1 x 3? 2x + 1 = 3λ 2. Studio della funzione y = f(x) ax 2 +bx+c. Relazioni fra coefficienti e radici. 3. x 3 2x 2 x + 2 > x 3 + x 2 41x + 27 < x 3 + x 30 > x + 1 x x 1 x 2 + x > x 2 + 4x 5 x 2 x 6 0 1

22 9. x 3 3x 2 + 2x x 2 3x (x + 1) x 2 8x + 15 x + 5 x 2 6x + 5 3(x + 1) x 2 4x x 1 1 x x x 2 1 x x + 8 x + 1 x + 7 x 1 > x + 4 x x x + 1 < 2x2 + 10x 4x x 2 x 1 > x 3 x + 3 4x x < Fissato λ, sotto quali condizioni per i coefficienti dell equazione f(x) ax 2 + bx + c = 0, a 0 risulta a)x 1 < λ < x 2? b)x 1 < x 2 < λ? 17. Per quale limitazione su k, l equazione x 2 +5x (2k 1) = 0 ammette due radici: x 1, x 2, con x 1 < 3 < x 2? 2

23 18. Per quale limitazione su k, l equazione x 2 + (2 3k)x (k 5 4 ) = 0 ammette due radici: x 1, x 2, con x 1 < x 2 < 2? 19. Per quale limitazione su k, l equazione f(x) (k+7)x 2 +(k 1)x+1 = 0 k 7 ammette due radici: x 1, x 2, con x 1 < 1 x 2? 20. Per quale limitazione su k, l equazione f(x) x 2 +(2k 1)x 3k = 0 ammette due radici: x 1, x 2, con x 1 < 3 < x 2? 21. x 1 x x 2 3x + 2 < x x x + 2x 1 > x 1 < 2. 2x 25. x + 3 x x 3 2x x 4 x 3 < x 2 x + 1 x + 3 3

24 29. x 2 > x x 4 + x + 4 < x > 3/4 + x 32. 3x 3x 1 > log x 2 > log 2 x > 16 log x log 3 (x 2 + 5x + 3) > log 1/2 (x 2 + x 2) > log 1/2 (x 1 x) > log 1/2 3/ cosx < 1/ sin x < 3/ cosx sin x > 1. 4

25 41. 2 cos 2x + 2 sin 2 x cosx > cotx > 3 sin 2 x. 5

ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI. 1) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali:

ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI. 1) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali: ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI ) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali:,4; 2/7; 5/8; 0, ; 5/8; π; 2/7; 0,; 0 ; 0,00 0. Inserire poi nel precedente ordinamento i seguenti numeri reali: 2/5;

Dettagli

ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI. 1) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali:

ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI. 1) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali: ESERCIZI SUGLI INSIEMI NUMERICI 1) Mettere in ordine crescente i seguenti numeri reali: 3,14; 1/7; 5/8; 0,1 3; 5/8; π; 1/7; 0,13; 10 1 ; 0,0031 10 3. Inserire poi nel precedente ordinamento i seguenti

Dettagli

Frazioni. 8 Esercizi di Analisi Matematica Versione Argomenti: Operazioni sulle frazioni Tempo richiesto: Completare la seguente tabella: a b

Frazioni. 8 Esercizi di Analisi Matematica Versione Argomenti: Operazioni sulle frazioni Tempo richiesto: Completare la seguente tabella: a b 8 Esercizi di Analisi Matematica ersione 2006 razioni Argomenti: Operazioni sulle frazioni Difficoltà: Tempo richiesto: Completare la seguente tabella: a b a + b a b 1/3 1/2 1/3 1/2 1/3 1/2 a b a a + b

Dettagli

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y

Funzioni. iniettiva se x y = f (x) f (y) o, equivalentemente, f (x) = f (y) = x = y Funzioni. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti) si chiama funzione da A a B una qualunque corrispondenza (formula, regola) che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Dettagli

f(x) = sin cos α = k2 2 k

f(x) = sin cos α = k2 2 k 28 Maggio 2015 Il punteggio viene attribuito in base alla correttezza e completezza nella risoluzione dei quesiti, nonché alle caratteristiche dell esposizione: chiarezza, ordine ed organicità. La sufficienza

Dettagli

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI

UNITÀ DIDATTICA 2 LE FUNZIONI UNITÀ DIDATTICA LE FUNZIONI. Le funzioni Definizione. Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di R. Si chiama funzione di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere a ogni elemento A uno ed un solo

Dettagli

Domande di Analisi Matematica tratte dai Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi.

Domande di Analisi Matematica tratte dai Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi. Domande di Analisi Matematica tratte dai Test di autovalutazione o di recupero dei debiti formativi. (1) Sia A l insieme dei numeri dispari minori di 56 e divisibili per 3. Quale delle seguenti affermazioni

Dettagli

Università degli Studi di Perugia - Facoltà di Ingegneria Secondo test d ingresso A.A. 2011/ Settembre 2011

Università degli Studi di Perugia - Facoltà di Ingegneria Secondo test d ingresso A.A. 2011/ Settembre 2011 Università degli Studi di Perugia - Facoltà di Ingegneria Secondo test d ingresso A.A. 2011/2012-16 Settembre 2011 1. Quale tra i seguenti numeri è razionale? A. 2 3. B. 2 + 3. C. π. D. 2 8. E. 8. 2. Quali

Dettagli

1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE

1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE 1. FUNZIONI IN UNA VARIABILE Definizione: Dati due insiemi A, B chiamiamo funzione da A in B ogni, f, applicazione (legge, corrispondenza) che associa ad ogni elemento di A uno ed uno solo elemento di

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

Funzioni e grafici. prof. Andres Manzini

Funzioni e grafici. prof. Andres Manzini Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione Definizione Si dice funzione (o applicazione)

Dettagli

Facoltà di Ingegneria Università di Pisa

Facoltà di Ingegneria Università di Pisa Facoltà di Ingegneria Università di Pisa Esame Debiti Formativi del 19/12/2005 1. 100 6 =... (A) 10 64 (B) 10 6 (C) 10 12 (D) 10 7 2. cos(120 ) + cos(60 ) =... (A) cos(60 ) (B) cos(180 ) (C) 0 (D) 1. log

Dettagli

Introduzione. Test d ingresso

Introduzione. Test d ingresso Indice Introduzione Test d ingresso v vii 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5 Intervalli... 12 1.6 Valoreassolutoedistanza...

Dettagli

Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento)

Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento) Soluzioni agli Esercizi di Geometria e Algebra per Ingegneria Aerospaziale (nuovo ordinamento) Relazioni 1) Quali delle seguenti relazioni sono di equivalenza? x, y R {0} xry x/y Q x, y Z xry x + y è divisibile

Dettagli

Introduzione alla II edizione. Introduzione. Test d ingresso

Introduzione alla II edizione. Introduzione. Test d ingresso Indice Introduzione alla II edizione Introduzione Test d ingresso v vii ix 1 Insiemi e numeri 1 1.1 Insiemi... 1 1.2 Operazionicongliinsiemi... 3 1.3 Insieminumerici,operazioni... 7 1.4 Potenze... 11 1.5

Dettagli

Coordinate cartesiane nel piano

Coordinate cartesiane nel piano Coordinate cartesiane nel piano O = (0, 0) origine degli assi x ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi x, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi

Dettagli

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.

Conoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto. Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la

Dettagli

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE

FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE FUNZIONI E INSIEMI DI DEFINIZIONE In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: ) un insieme X detto insieme di definizione I.d.D. (o dominio) di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge

Dettagli

Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s

Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s Problema 1 Esame di maturità scientifica, corso di ordinamento a. s. -4 Sia f la funzione definita da: f()=- Punto 1 Disegnate il grafico G di f()=-. La funzione f()=- è una funzione polinomiale (una cubica).

Dettagli

--- Domande a Risposta Multipla --- Numeri, Frazioni e Potenze

--- Domande a Risposta Multipla --- Numeri, Frazioni e Potenze Corso Zero di Matematica per FARMACIA A.A. 009/0 Prof. Massimo Panzica Università degli Studi di Palermo FARMACIA CORSO ZERO DI MATEMATICA 009/0 --- Domande a Risposta Multipla --- Numeri, Frazioni e Potenze

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Funzioni Esercizi e complementi

Funzioni Esercizi e complementi Funzioni Esercizi e complementi e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Novembre 05. Indice Esercizi Insiemi ininiti 6 Suggerimenti e risposte 9 Esercizi. Scrivere la deinizione di unzione e ornire almeno un

Dettagli

CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA

CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA CORSO DI AZZERAMENTO DI MATEMATICA 1 LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali e reali) CALCOLO LETTERALE RICHIAMI DI TRIGONOMETRIA I NUMERI COMPLESSI ELEMENTI DI GEOMETRIA

Dettagli

Nome Cognome. Classe 3D 25 Febbraio Verifica di matematica

Nome Cognome. Classe 3D 25 Febbraio Verifica di matematica Nome Cognome. Classe D Febbraio Verifica di matematica ) Data l equazione: k 6 a) Scrivi per quali valori di k rappresenta un ellisse, precisando per quali valori è una circonferenza b) Scrivi per quali

Dettagli

k 2k x y 5k 1 0 e 2k 1 2k 1 x ky 3 k 0 ky 2k 1 x 3 k 2k 1 3 k

k 2k x y 5k 1 0 e 2k 1 2k 1 x ky 3 k 0 ky 2k 1 x 3 k 2k 1 3 k 6/5/04 test ) 6 0 Il denominatore è sempre positivo in quanto somma di un valore assoluto e di una radice, entrambi positivi Resta da trovare il dominio che dipende dal radicando - che è maggiore o uguale

Dettagli

D. 1 Il prodotto di a = 12,37 e b = 25,45

D. 1 Il prodotto di a = 12,37 e b = 25,45 Settembre 005 Aritmetica D. Il prodotto di a =,7 e b = 5,45 A 4, 867 B 4, 65 C 45, 650 D 4, 865 E 4, 8655 D. L inverso del numero numero: A 5 B 5 + 5 C + 5 D E D. I numeri 5 è il,4,5,0,00, si ordinano

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al più un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale

FUNZIONI. y Y. Def. L insieme Y è detto codominio di f. Es. Siano X = R, Y = R e f : x y = 1 x associo il suo inverso). (ad un numero reale FUNZIONI Siano X e Y due insiemi. Def. Una funzione f definita in X a valori in Y è una corrispondenza (una legge) che associa ad ogni elemento X al piú un elemento in Y. X Y Def. L insieme Y è detto codominio

Dettagli

Richiami sugli insiemi numerici

Richiami sugli insiemi numerici Richiami sugli insiemi numerici denota l insieme vuoto cioè l insieme privo di elementi. N = {1, 2, 3,...} denota l insieme dei numeri naturali. Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} denota l insieme dei numeri

Dettagli

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti Ripasso delle matematiche elementari: esercizi proposti I Equazioni e disequazioni algebriche Esercizi sui polimoni.............................. Esercizi sulle equazioni di grado superiore al secondo............

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti

Rilevazione degli apprendimenti Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 00-0 PROVA DI MATEMATICA Scuola secondaria di II grado Classe... Studente... Simulazioni di prove costruite secondo il Quadro di riferimento Invalsi pubblicato

Dettagli

d) l/2. Risposta esatta (indicare in parentesi la lettera corrispondente all alternativa esatta): (d)

d) l/2. Risposta esatta (indicare in parentesi la lettera corrispondente all alternativa esatta): (d) Su ciascuna delle facce di un cubo di lato l si appoggia una piramide retta avente come base la faccia del cubo Che altezza deve avere la piramide affinché la somma dei volumi del cubo e delle piramidi

Dettagli

CORSO ZERO DI MATEMATICA

CORSO ZERO DI MATEMATICA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice

Dettagli

Nel Sistema Internazionale l unità di misura dell angolo è il radiante

Nel Sistema Internazionale l unità di misura dell angolo è il radiante Scienze Motorie Grandezze fisiche Il Sistema Internazionale di Unità di Misura 1) Nel Sistema Internazionale il prefisso Giga equivale a a) 10 15 b) 10 12 c) 10 9 d) 10 6 e) 10 3 Nel Sistema Internazionale

Dettagli

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Calcolo letterale 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (b) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (XX) (c) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 49a bc

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO PROVA DI AMMISSIONE AI CORSI DI LAUREA IN Fisica Matematica Informatica Ingegneria dell Informazione e Organizzazione d Impresa, Ingegneria dell Informazione e delle Comunicazioni

Dettagli

Syllabus delle conoscenze e abilità per il modulo Matematica di base comune a tutti i corsi di laurea scientifici

Syllabus delle conoscenze e abilità per il modulo Matematica di base comune a tutti i corsi di laurea scientifici Syllabus delle conoscenze e abilità per il modulo Matematica di base comune a tutti i corsi di laurea scientifici Numeri numeri primi, scomposizione in fattori massimo divisore comune e minimo multiplo

Dettagli

Campo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f.

Campo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. Campo di Esistenza Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. ESERCIZIO. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) = 9+2x. Soluzione:

Dettagli

Analisi e Geometria 1

Analisi e Geometria 1 Analisi e Geometria Politecnico di Milano Ingegneria Esercizi Numeri complessi. Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi. a) z + i) i) + i) i) b) z + i) i) + i) + + i) i) + i) + i) c) z

Dettagli

1 Insiemi. 1.1 Operazioni sugli insiemi. Domande Debito Formativo di MATEMATICA. Sommario

1 Insiemi. 1.1 Operazioni sugli insiemi. Domande Debito Formativo di MATEMATICA. Sommario Domande Debito Formativo di MATEMATICA Sommario Insiemi.... Operazioni sugli insiemi... Strutture numeriche, aritmetiche.... Ordinamento numeri reali, razionali, interi.... Il m.c.m. e M.C.D. tra numeri....

Dettagli

Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni

Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni Precorso CLEF-CLEI, esercizi di preparazione al test finale con soluzioni ARITMETICA 1. Scomporre in fattori primi 2500 e 5600. Soluzione: Osserviamo che entrambi i numeri sono multipli di 100 = 2 2 5

Dettagli

Teoria degli Insiemi

Teoria degli Insiemi Teoria degli Insiemi Docente: Francesca Benanti Ottobre 2017 1 Teoria degli Insiemi La Teoria degli Insiemi è una branca della matematica creata alla fine del diciannovesimo secolo principalmente dal matematico

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti

Rilevazione degli apprendimenti Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 00-0 PROVA DI MATEMATICA Scuola secondaria di II grado Classe... Studente... Simulazioni di prove costruite secondo il Quadro di riferimento Invalsi pubblicato

Dettagli

(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono.

(a) Le derivate parziali f x. f y = x2 + 2xy + 3 si annullano contemporaneamente in (1, 2) e ( 1, 2). Le derivate seconde di f valgono. Esercizio 1 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y + xy 2 + y (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di

Dettagli

Corso di Analisi Matematica I numeri reali

Corso di Analisi Matematica I numeri reali Corso di Analisi Matematica I numeri reali Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 57 1 Insiemi e logica 2 Campi ordinati 3 Estremo

Dettagli

Test A Teoria dei numeri e Combinatoria

Test A Teoria dei numeri e Combinatoria Test A Teoria dei numeri e Combinatoria Problemi a risposta secca 1. Determinare con quanti zeri termina la scrittura in base 12 del fattoriale di 2002. 2. Determinare quante sono le coppie (x, y) di interi

Dettagli

Funzioni reali di variabile reale

Funzioni reali di variabile reale Funzioni reali di variabile reale Lezione per Studenti di Agraria Università di Bologna (Università di Bologna) Funzioni reali di variabile reale 1 / 50 Funzioni Definizione Sia A un sottoinsieme di R.

Dettagli

Alcune nozioni di trigonometria 1

Alcune nozioni di trigonometria 1 Alcune nozioni di trigonometria. Angoli In un sistema di assi cartesiani ortogonali la misura degli angoli si effettua a partire dal semiasse positivo delle x, assumendo come positivo il verso antiorario.

Dettagli

TEST NUMERO 1. Domanda numero 1 Siano a, b, c numeri interi positivi arbitrari. Una sola delle identitá seguenti è falsa. Quale? Risposte 1 a b+c = ac

TEST NUMERO 1. Domanda numero 1 Siano a, b, c numeri interi positivi arbitrari. Una sola delle identitá seguenti è falsa. Quale? Risposte 1 a b+c = ac TEST NUMERO 1 COGNOME NOME... Gli studenti sono pregati di apporre il loro cognome e nome come indicato e di mettere un segno sopra al numero della risposta scelta nell elenco sotto le domande. Domanda

Dettagli

EQUAZIONI DISEQUAZIONI

EQUAZIONI DISEQUAZIONI EQUAZIONI DISEQUAZIONI Indice 1 Background 1 1.1 Proprietà delle potenze................................ 1 1.2 Prodotti notevoli................................... 1 2 Equazioni e disequazioni razionali

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi proposti

FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi proposti FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi proposti. Risolvere la disequazione x x +. è soddisfatta x IR ]. Disegnare i grafici di (a) y = x + x + 3 ; (b) y = x x

Dettagli

ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI

ELEMENTI di TEORIA degli INSIEMI ELEMENTI di TEORI degli INSIEMI & 1. Nozioni fondamentali. ssumeremo come primitivi il concetto di insieme e di elementi di un insieme. Nel seguito gli insiemi saranno indicati con lettere maiuscole (,,C,...)

Dettagli

Syllabus: argomenti di Matematica delle prove di valutazione

Syllabus: argomenti di Matematica delle prove di valutazione Syllabus: argomenti di Matematica delle prove di valutazione abcdef... ABC (senza calcolatrici, senza palmari, senza telefonini... ) Gli Argomenti A. Numeri frazioni e numeri decimali massimo comun divisore,

Dettagli

1.4 Geometria analitica

1.4 Geometria analitica 1.4 Geometria analitica IL PIANO CARTESIANO Per definire un riferimento cartesiano nel piano euclideo prendiamo: Un punto detto origine i Due rette orientate passanti per. ii Due punti e per definire le

Dettagli

QUESTIONARIO INIZIALE DI AUTOVALUTAZIONE

QUESTIONARIO INIZIALE DI AUTOVALUTAZIONE QUESTIONARIO INIZIALE DI AUTOVALUTAZIONE relativo a TRIGONOMETRIA a cura di Mariacristina Fornasari, Daniela Mari, Giuliano Mazzanti, Valter Roselli, Luigi Tomasi 1 1) Un angolo misura 315 o. La sua misura

Dettagli

Programma svolto nell'a.s. 2016/2017 Disciplina: Matematica. Classe: 4D Docente: Prof. Ezio Pignatelli Programma sintetico.

Programma svolto nell'a.s. 2016/2017 Disciplina: Matematica. Classe: 4D Docente: Prof. Ezio Pignatelli Programma sintetico. Programma svolto nell'a.s. 2016/2017 Disciplina: Matematica. Classe: 4D Docente: Prof. Ezio Pignatelli Programma sintetico. 1. Funzione esponenziale e logaritmica. a) Riepilogo delle proprietà delle potenze.

Dettagli

SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO

SENO, COSENO E TANGENTE DI UN ANGOLO Goniometria e trigonometria Misurare gli angoli nel sistema circolare L unità di misura del sistema circolare è il radiante def. Un radiante è la misura di un angolo alla circonferenza che sottende un

Dettagli

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi. CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi. CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2016/2017 Paola Rubbioni 1 1 Logica matematica Corsi Introduttivi - a.a. 2016/2017 2 Serve

Dettagli

Matematica per le scienze sociali Elementi di base. Francesco Lagona

Matematica per le scienze sociali Elementi di base. Francesco Lagona Matematica per le scienze sociali Elementi di base Francesco Lagona University of Roma Tre F. Lagona (francesco.lagona@uniroma3.it) 1 / 24 Outline 1 Struttura del corso 2 Algebra booleana 3 Algebra degli

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti

Rilevazione degli apprendimenti Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 00-0 PROVA DI MATEMATICA Scuola secondaria di II grado Classe... Studente... Simulazioni di prove costruite secondo il Quadro di riferimento Invalsi pubblicato

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Teoria in sintesi 14

Teoria in sintesi 10. Teoria in sintesi 14 Indice L attività di recupero Funzioni goniometriche Teoria in sintesi 0 Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche in seno e coseno Obiettivo Determinare massimo e minimo di funzioni goniometriche

Dettagli

Versione di Controllo

Versione di Controllo Università degli Studi di Trento test di ammissione ai corsi di laurea in Fisica - Matematica - Informatica Ingegneria dell Informazione e Organizzazione d Impresa Ingegneria dell Informazione e delle

Dettagli

L1 L2 L3 L4. Esercizio. Infatti, osserviamo che p non può essere un multiplo di 3 perché è primo. Pertanto, abbiamo solo due casi

L1 L2 L3 L4. Esercizio. Infatti, osserviamo che p non può essere un multiplo di 3 perché è primo. Pertanto, abbiamo solo due casi Sia p 5 un numero primo. Allora, p è sempre divisibile per 4. Scriviamo p (p ) (p + ). Ora, p 5 è primo e, quindi, dispari. Dunque, p e p + sono entrambi pari. Facciamo vedere anche che uno tra p e p +

Dettagli

6. La disequazione A. per nessun x R;

6. La disequazione A. per nessun x R; Università degli Studi di Perugia - Facoltà di Ingegneria Terzo test d ingresso A.A. 0/0-6 Dicembre 0. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? A. la funzione y = x è monotona crescente; B. le funzioni

Dettagli

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013

Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.

Dettagli

Esercizi Matematica 3

Esercizi Matematica 3 Esercizi Matematica 3 Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [1/13] Introduzione Gli esercizi presentati in questo volume, seguono la stessa struttura capitolo, sezione,

Dettagli

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013

Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 Verifiche di matematica classe 3 C 2012/2013 1) È assegnato il punto P 1 (3; 1), calcolare le coordinate dei punti: P 2 simmetrico di P 1 rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante P 3 simmetrico

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 02 - I Numeri Reali Anno Accademico 2013/2014 D. Provenzano, M.

Dettagli

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni

Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni Cenni di logica matematica e di teoria degli insiemi Paola Rubbioni CORSI INTRODUTTIVI Dipartimento di Ingegneria di Perugia a.a. 2017/2018 1 Corsi Introduttivi - a.a. 2017/2018 2 1 Logica matematica Serve

Dettagli

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.matefilia.it ORDINAMENTO 010 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 In cima ad una roccia a picco sulla riva di un fiume è stata costruita una torretta d osservazione alta 11 metri. Le ampiezze degli angoli

Dettagli

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite

Concentriamo la nostra attenzione sull insieme dei numeri razionali Q. In Q sono definite Lezioni del 22 e 24 settembre. Numeri razionali. 1. Operazioni, ordinamento. Indichiamo con N, Z, Q gli insiemi dei numeri naturali, interi relativi, e razionali: N = {0, 1, 2,...} Z = {0, ±1, ±2,...}

Dettagli

PROVA DI VALUTAZIONE AI SENSI DEL DM 270/ Gennaio 2011

PROVA DI VALUTAZIONE AI SENSI DEL DM 270/ Gennaio 2011 COMPITO NUMERO Corso di Laurea in Matematica (A.A. 2011-2012) PROVA DI VALUTAZIONE AI SENSI DEL DM 270/2004 9 Gennaio 2011 NOME............................. COGNOME............................. DATA DI

Dettagli

Esercizio L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11. L equazione log 116 x = 1 4. ha soluzione [1] [5] 2 [4] 1 2 [2] 4 [3] Risposta

Esercizio L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L11. L equazione log 116 x = 1 4. ha soluzione [1] [5] 2 [4] 1 2 [2] 4 [3] Risposta L equazione log 116 x = 1 4 ha soluzione [1] 1 4 [2] 4 [3] 1 2 [4] 1 2 [5] 2 Per la definizione di logaritmo, abbiamo «1 «1 1 4 1 4 1 4 1 x = = = 16 2 4 4 2 14 = 1 2. Si considerino le seguenti tre espressioni

Dettagli

Test di autovalutazione di Matematica - I parte

Test di autovalutazione di Matematica - I parte Test di autovalutazione di Matematica - I parte M1.1 Una circonferenza è individuata da: (A) due punti (C) quattro punti non allineati (E) cinque punti. (B)quattro punti allineati (D) tre punti non allineati

Dettagli

ISTITUTO TECNICO DEI TRASPORTI E LOGISTICA

ISTITUTO TECNICO DEI TRASPORTI E LOGISTICA ISTITUTO TECNICO DEI TRASPORTI E LOGISTICA NAUTICO SAN GIORGIO NAUTICO C.COLOMBO PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE IAA MATERIA : MATEMATICA INSEGNANTE : PROF. Simona TRESCA Programma di Algebra: U.D. 1 : I

Dettagli

Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)

Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi) Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................

Dettagli

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale

2. I numeri reali e le funzioni di variabile reale . I numeri reali e le funzioni di variabile reale Introduzione Il metodo comunemente usato in Matematica consiste nel precisare senza ambiguità i presupposti, da non cambiare durante l elaborazione dei

Dettagli

1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli

1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli 1) Ricava il dominio di ciascuna delle due funzioni e scrivilo attraverso intervalli A) 1 2 B) [ A) 2 x 1; B) (-, - 3) ( - 3, 0) ( 0, + ) ] 2) Riferendoti al grafico rappresentato completa a) Il dominio

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI - - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9. Esercizio. Determinare l insieme di disuguaglianze che descrive esattamente la regione di piano della figura

L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9. Esercizio. Determinare l insieme di disuguaglianze che descrive esattamente la regione di piano della figura Determinare l insieme di disuguaglianze che descrive esattamente la regione di piano della figura [1] y x, x 1 [2] y x, x 1 [3] y x, x 1 [4] y x, x 1 [5] y x, x 1 L insieme è simmetrico rispetto all origine

Dettagli

x 1 Fig.1 Il punto P = P =

x 1 Fig.1 Il punto P = P = Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi

Dettagli

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1. Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero

Dettagli

Il valore assoluto (lunghezza, intensita )

Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) Il valore assoluto (lunghezza, intensita ) = se 0 - se < 0 = 5 5-0, = 0 3, = 3 Il valore assoluto di un numero reale è quindi sempre un numero positivo. Geometricamente rappresenta la misura della distanza

Dettagli

Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia

Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia dott.ssa Marilena Ligabò November 24, 2015 1 Esercizi sulla notazione scientifica Esercizio 1.1. Eseguire il seguente calcolo utilizzando

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Dettagli

LICEO CLASSICO-SCIENTIFICO EUCLIDE CAGLIARI PROGRAMMA DIDATTICO

LICEO CLASSICO-SCIENTIFICO EUCLIDE CAGLIARI PROGRAMMA DIDATTICO LICEO CLASSICO-SCIENTIFICO EUCLIDE CAGLIARI Materia: Matematica Anno scolastico: 010 011 Classe: 1 A Insegnante: Maria Maddalena Alimonda PROGRAMMA DIDATTICO NUMERI NATURALI E NUMERI INTERI Operazioni

Dettagli

Elementi di teoria degli insiemi e funzioni tra insiemi

Elementi di teoria degli insiemi e funzioni tra insiemi Elementi di teoria degli insiemi e funzioni tra insiemi 1 / 50 Il concetto di insieme 2 / 50 Si considera il concetto di insieme come primitivo, cioè non riconducibile a nozioni più elementari. Più precisamente:

Dettagli

Matematica ed Elementi di Statistica. L insieme dei numeri reali

Matematica ed Elementi di Statistica. L insieme dei numeri reali a.a. 2010/11 Laurea triennale in Scienze della Natura Matematica ed Elementi di Statistica L insieme dei numeri reali Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili

Dettagli

PROGRAMMI EFFETTIVAMENTE SVOLTI DI FISICA della classe 1 F a.s. 2016/17 _ prof.ssa Stefania SCALI

PROGRAMMI EFFETTIVAMENTE SVOLTI DI FISICA della classe 1 F a.s. 2016/17 _ prof.ssa Stefania SCALI PROGRAMMI EFFETTIVAMENTE SVOLTI DI FISICA della classe 1 F CAPITOLO 1 LE GRANDEZZE FISICHE LE GRANDEZZE FISICHE La fisica e le leggi della natura Di che cosa si occupa la fisica Le grandezze fisiche Le

Dettagli

ANALISI B alcuni esercizi proposti

ANALISI B alcuni esercizi proposti ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la

Dettagli

Esercizi per le vacanze - Classe 3C Prof. Forieri Claudio. Disequazioni. + 3x. x x x

Esercizi per le vacanze - Classe 3C Prof. Forieri Claudio. Disequazioni. + 3x. x x x Esercizi per le vacanze - Classe C Prof. Forieri Claudio Disequazioni Risolvi le seguenti disequazioni: 1. ( 5)( + )( ) > 0. ( + 1) > 0. ( + 5) >. 1 1 1 + + < 0 ( 5)( + ) 5. > 0 1 6. + = 7. 1 > 1 ( + 1)(

Dettagli

SYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III

SYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III SYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Le equazioni di secondo grado e la loro risoluzione. La formula ridotta. Equazioni pure, spurie e monomie. Le relazioni

Dettagli

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che.

Definizione: Dato un sottoinsieme non vuoti di. Si chiama funzione identica o identità di in sé la funzione tale che. Esercitazioni di Analisi Matematica Prof.ssa Chiara Broggi Materiale disponibile su www.istitutodefilippi.it/claro Lezione 2: Funzioni reali e loro proprietà Definizione: Siano e due sottoinsiemi non vuoti

Dettagli

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE

ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE ULTERIORI ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE 1 Scrivi l equazione della retta tangente al grafico di f(x) = (1 + 2x) 4 nel suo punto di intersezione con l asse y 2 Scrivi l equazione della retta tangente

Dettagli

Istituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti

Istituto d Istruzione Superiore Francesco Algarotti Classe: 1 M Docente: Antonio M. Povelato CAPITOLO 1 - Insiemi e numeri naturali Concetti primitivi di insieme e di elemento. Relazioni di appartenenza, inclusione e eguaglianza tra insiemi. Rappresentazione

Dettagli

Analisi Matematica 1+2

Analisi Matematica 1+2 Università degli Studi di Genova Facoltà di Ingegneria - Polo di Savona via Cadorna 7-700 Savona Tel. +39 09 264555 - Fax +39 09 264558 Ingegneria Gestionale Analisi Matematica +2 A.A 998/99 - Prove parziali

Dettagli

2. Calcola, enunciando, descrivendo e applicando la definizione, la derivata della 2

2. Calcola, enunciando, descrivendo e applicando la definizione, la derivata della 2 Domande di matematica per l esame di stato per il liceo classico Analisi matematica 1. Spiega quando una funzione è un infinitesimo e quando è un infinito per x che tende a x 0. Quali sono i possibili

Dettagli

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica

Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 03 - I Numeri Reali Anno Accademico 2015/2016 M. Tumminello,

Dettagli