S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II. Esercizi svolti di Fisica generale II - Anno 1997

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1 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Esercizi svolti di Fisica generale II - nno ) Esercizio n del /3/997 Calcolare il lavoro necessario per trasportare un elettrone dal punto (,,) al punto B (2,2,2) nel campo generato da: a) una carica puntiforme di valore Q = 0 9 C posta nell origine delle coordinate; b) una distribuzione lineare infinita di densitá di carica λ = 0 9 C/m giacente sull asse z; c) una distribuzione piana uniforme di densitá σ = 0 9 C/m 2 giacente sul piano z = 0 E conveniente calcolare il lavoro come q(v B V ) pertanto calcoliamo il potenziale nei vari casi a) Q Φ(x,y,z) = k x2 + y 2 + z 2 ( Φ = V B V = kq ) ( = kq ) = Quindi = kq 3 ( 2 ) = kq 2 3 L B = kq e 2 3 = J b) Poichè il filo è infinitamente lungo, il campo elettrico dipende solo dalla distanza del punto campo dal filo Siccome conosciamo il campo elettrico, si ha: W = q E dr = L B = + e Ma d 2 = 2 e d = 3, segue L B = 2kλ e ln2 = J ESFIS97 - E dr = e 2k λ r dr = 2kλ e ln d 2 d

2 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II c) nalogamente, essendo E z = σ 2ǫ 0 L B = + e E dr = σ e dz = σ e = J 2ǫ 0 2ǫ 0 dove Per cui: NB Il quesito b) si può svolgere anche nel seguente modo: L B = e r = x 2 + y 2 = ˆr = + e E dr = e 2kλ E dr con E = 2k λ r ˆr r x2 + y = xˆx + yŷ E = 2kλ 2 x 2 + y 2 xdx B x 2 + y 2 + e 2kλ y dy x 2 + y 2 Poichè l integrale non dipende dal cammino percorso ed il campo non dipende da z come percorso scegliamo il seguente: z y M B (,,) B (2,2,2) x M = MB = { } x 2 e y = { } y 2 e x = 2 ESFIS97-2

3 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II Segue + e 2 E dr = e 2kλ xdx 2 x e 2kλ y dy 4 + y 2 = = e 2kλ 2 [ ln(x 2 + ) ] 2 + e 2kλ [ ln(4 + y 2 ) ] 2 2 = ( = kλ e ln ln 8 ) = kλ e ln4 = 5 = 2kλ e ln 2 CVD ESFIS97-3

4 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 97-2) Esercizio n 2 del /3/997 Calcolare la carica totale e il vettore momento di dipolo di una sottile barra disposta lungo l asse z ( a z +a) avente densitá lineare di carica λ = cz, essendo c una costante reale z y +a a x Si ha: Q = λdr = +a a +a λdz = c z dz = c [ z 2 ] +a a 2 = a 2 c( a 2 a 2) = 0 Quindi il momento di dipolo non dipende dall origine delle coordinate p = V r ρ( r )d 3 r = cẑ = ẑ 3 c [ z 3] +a a +a a z z dz = cẑ = ẑ 3 c( a 3 + a 3) = 2 3 ca3 ẑ Se c > 0 allora p è diretto verso z positivo +a a z 2 dz = ESFIS97-4

5 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 97-3) Esercizio n 3 del /3/997 Il gas argo (Z=8), in condizioni di pressione e temperatura normali, ha una costante dielettrica relativa ǫ r =,00044 Calcolare il raggio dell atomo di argon nonché lo spostamento fra il baricentro del nucleo e quello delle cariche negative quando l atomo é sottoposto ad un campo elettrico esterno di modulo E = 0 4 V/m pressione normale (0 5 Pa) e a temperatura normale (0 0 C) una mole di gas occupa un volume di 224 litri Quindi il numero di atomi per unità di volume è: N : = N : = N = N atomi = = m 3 Sia ǫ r = 00044, calcoliamo la polarizzabilità α con la formula di Clausius-Mossotti: α = 3ǫ 0(ǫ r ) N(ǫ r + 2) = Del resto α = k a3 = a = (kα) /3 = m Lo spostamento b fra il baricentro del nucleo e quello delle cariche negative è dato da: b = k a 3 Ze E ext = E ext = = m dove Z = 8 NB: Il calcolo del raggio non dipende da Z; mentre b dipende da Z ESFIS97-5

6 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 97-4) Esercizio n 4 del /3/997 Un elettrone é iniettato in un campo di induzione magnetica B con velocitá v 0 = 0 7 m/s in una direzione giacente nel piano della pagina e formante un angolo di 30 0 con B Se la lunghezza l é 0 m, calcolare il valore di B perché l elettrone passi per il punto P v P O B l L elettrone descriverà un elica avente l asse coincidente con la direzione del campo magnetico Tale traiettoria incontrerà il punto P dopo una distanza minima pari al passo dell elica, cioè: 2πm p = v oz qb = 0m B = v 0 cos πm 3 q 0 = 2π = Wb/m 2 = 3094Gauss ESFIS97-6

7 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 97-5) Esercizio n del 22//997 Un elettrone é lanciato orizzontalmente con velocitá iniziale v 0 = 0 7 m/s nel campo elettrico uniforme esistente fra due lastre conduttrici parallele Il campo elettrico é diretto verticalmente verso il basso L elettrone entra nel campo elettrico in un punto a metá distanza fra le due lastre Determinare: a) l intensitá del campo elettrico, se l elettrone emergente dal campo sfiora l elettrodo superiore; b) la direzione e la velocitá dell elettrone quando esso emerge dal campo 2 cm cm v 0 Consideriamo un sistema di riferimento con l asse x lungo la direzione v 0 e con l origine posta nella posizione iniziale dell elettrone 2 cm cm v 0 E x punto di uscita Le equazioni del moto sono: x = v 0 t, y = 2 Nel punto di uscita x = L e y = d, quindi: ee m t2 = y = ee x 2 2 m v0 2 d = 2 ee m L 2 v 2 0 = E = 2mv2 0d el 2 = (2 0 2 ) 2 = 4234V/m Nel punto di uscita le componenti della velocità sono: v x = v 0 = 0 7 m/s e v y = ee m t = ee m ESFIS97-7 L v 0 = m/s

8 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II v y α v v x Segue v = v 2 x + v 2 y = m/s = v y = v x tanα = tanα = 05 = α = 26 0,56 ESFIS97-8

9 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 97-6) Esercizio n 2 del 22//997 Le armature di un condensatore piano sono separate da un dielettrico di costante dielettrica ǫ r = 3 Il modulo del campo elettrico nel dielettrico é 0 6 V/m Calcolare: a) la densitá superficiale delle cariche libere sulle armature; b) la polarizzazione nel dielettrico; c) la densitá superficiale delle cariche indotte sulla superficie del dielettrico ǫ r = 3 E(nel dielettrico ) = 0 6 V/m E = E 0 ǫ r = E 0 = ǫ r E = V/m Si ha: a) σ = ǫ 0 E 0 = = C/m 2 b) P = χe = ǫ 0 (ǫ r )E = C/m 2 c) σ ind = P n = P = C/m 2 ESFIS97-9

10 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 97-7) Esercizio n 3 del 22//997 Un deutone descrive una traiettoria circolare di raggio 40 cm in un campo magnetico di induzione 5 Wb/m 2 Calcolare: a) la velocitá del deutone; b) il tempo necessario per compiere mezza rivoluzione Da quale differenza di potenziale dovrebbe essere accelerato il deutone per acquistare la stessa velocitá? Il deutone é costituito da un protone e da un neutrone (m d = Kg) Dalla formula (8233) si ha: R = mv o qb dove R = 40cm, B = 5Wb/m 2, q = C, m d = Kg v o = qbr m = = m/s Il periodo del moto circolare è: Infine per il quesito c) si ha: T = 2π m qb = s T 2 = s 2 mv2 = qv = V = mv2 2q = V olt ESFIS97-0

11 SBarbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II 97-8) Esercizio n 4 del 22//997 Due spire circolari, ognuna di raggio a, in ciascuna delle quali circola una corrente di eguale intensitá e nello stesso verso, sono poste, con i loro piani paralleli, ad una distanza b Trovare l induzione magnetica al centro di ciascuna spira z O a 2 b b z z P I O a Consideriamo l origine O I B z = µ 0 4π I 2πa 2 (a 2 + z 2 ) 3/2 cioè: Nel punto O cioè z = 0, si ha: B 2z = µ 0 4π I 2πa 2 [ a 2 + (b z) 2] 3/2 B(O) = µ 0 4π I2πa2 Nel punto O cioè z = b, si ha: B(O ) = µ 0 4π I2πa2 [ [ a 3 + (a 2 + b 2 ) 3/2 B(O ) = B(O) (a 2 + b 2 ) 3/2 + a 3 ] ] Fine Esercizi Fisica II ESFIS97 -

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