Prova di matematica proposta dal Ministero Seconda proposta

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1 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 89 Problema Prova di matematica proposta dal Ministero Seconda proposta Della parabola f ( x) = ax bx c si hanno le seguenti informazioni, tutte localizzate nel punto x = : f ( ) =, f '( ) =, f ''( ) =. a) Determinata la parabola, si scrivano le euazioni delle tangenti ad essa condotte per il punto P dell asse y di modo che valga 6 l angolo APB $, essendo A e B i rispettivi punti di tangenza ; b) accertato che il punto P ha ordinata, si scriva l euazione della circonferenza passante per A, B e P ; c) si calcolino le aree delle due parti in cui la circonferenza risulta divisa dall arco di parabola di estremi A e B. Soluzione Quesito a Della parabola f ( x) = ax bx c si hanno le seguenti informazioni, tutte localizzate nel punto x = : f ( ) =, f '( ) =, f ''( ) =. Determinata la parabola, si scrivano le euazioni delle tangenti ad essa condotte per il punto P dell asse y di modo che valga 6 l angolo APB $, essendo A e B i rispettivi punti di tangenza. Le derivate della funzione f ( x) = ax bx c sono: f (x)=axb f (x)=a. Imponendo le tre condizioni date nel testo, si ricavano i tre parametri a,b,c. f()= c= f ()= b= f ()= a= Quindi la parabola richiesta ha euazione: f( x) = x. La parabola ha asse di simmetria coincidente con l asse delle ordinate (x=), il vertice si trova nel punto V(,) ed essendo a=> volge la concavità verso l alto.

2 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 9 Il fascio di rette avente il centro nel punto P(,) appartenente all asse delle y, ha euazione: y=mx. Per determinare le rette tangenti alla parabola dobbiamo imporre che il delta dell euazione di secondo grado, che si ottiene risolvendo il sistema formato dall euazione della retta y=mx e dall euazione della parabola, sia uguale a zero. y = mx x mx = y = x = m ( ) = m =± La condizione di esistenza impone. Con uesta condizione, le euazioni delle due rette sono: y = ( ) x y = ( ) x La condizione che l angolo APB = 6 tangente alla parabola sia ( ) impone che il coefficiente angolare della retta = tg 6 = ( ) = = Quindi le euazioni delle rette tangenti sono: y = x P ; y = x Per trovare le coordinate dei punti B e A bisogna risolvere il sistema formato dall euazione della retta tangente e della parabola. Si ottiene

3 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 9 7 y = x y = x y = y = x y x x x x = = = x= uindi B Quesito b 7 ;, per simmetria A 7 ;. Accertato che il punto P ha ordinata, si scriva l euazione della circonferenza passante per A, B e P. Per accertarsi che il punto P ha ordinata, bisogna risolvere il sistema formato dalle due tangenti y = x P ; y = x Per trovare l euazione della circonferenza si può imporre il passaggio della circonferenza x y ax by c = per i tre punti 7 A ; si ottiene:, B 7 ; e P ; ; 9 a 7b c = 6 9 a 7b c = 6 b c = 6 Sottraendo membro a membro le prime due euazioni e risolvendo si ha: a = a = 9 a 7b 5 c = b = 6 6 b 9 c = c = Quindi l euazione della circonferenza richiesta è x y y = 6 5 La circonferenza ha raggio uguale a e il centro si trova nel punto C ;

4 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 9 Quesito c Si calcolino le aree delle due parti in cui la circonferenza risulta divisa dall arco di parabola di estremi A e B. L area della regione di piano delimitata dalla circonferenza e dalla parte interna alla parabola, si può calcolare sommando l area del segmento parabolico AVB e l area del segmento circolare ad una base ADB. L area del segmento parabolico è data dai dell area del rettangolo in cui è inscritto: 7 =. L area del segmento circolare di base AB è data dall area del settore circolare ACB meno l area del triangolo ACB, tenendo conto che l angolo ACB=, cioè π 7 5 π =. π π Sommando le due aree si ha: = dell angolo giro: In alternativa, si può risolvere l integrale definito 5 ( ), Area = x x dx = x x dx nel uale l euazione della circonferenza è stata scritta in forma 5 esplicita x y = da cui y = ± x e si è sfruttata la simmetria della figura rispetto all asse y. L integrale indefinito x dx si può calcolare per sostituzione: 5

5 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 9 x =sent dx =cost dt e t =arcsen x, si ha Quindi x dx = arcsen( x) x x x x ( ) Area = x x dx arcsen x x x = = x x π π = arcsen x x x = = π Area = Tenendo conto che l area del cerchio è A= π r = π π π La seconda area richiesta è Area = π =.