Prova scritta di Analisi Matematica I 15/09/2010

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1 Prova scritta di Aalisi Matematica I VO 5/09/00 ) Data la fuzioe f ( ) + a) disegare il grafico illustrado i passaggi fodametali b) Euciare e dimostrare il Teorema di Rolle e se possibile applicarlo a f () ell itervallo [,] ) Determiare il carattere della serie si ) Defiizioe di itegrale improprio o geeralizzato i [ a, ] Utilizzadola dire se g( ) è itegrabile i seso improprio ell itervallo [,] l e 4) Formula di Taylor e di Mac-Lauri Calcolare il seguete limite utilizzado gli sviluppi di Mac-Lauri si lim 0 l( + ) 5) Calcolare l area della porzioe di piao compresa tra il grafico della fuzioe f ( ), l asse e la retta di equazioe (Si cosiglia di disegare il domiio di itegrazioe) Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I (NO) ore 5/09/00 ) Data la fuzioe f ( ) e e disegare il grafico illustrado i passaggi fodametali ) Defiizioe di massimo e di miimo relativo per ua fuzioe f() Euciare e dimostrare il Teorema di Fermat ) Defiizioe di serie umerica covergete e serie umerica covergete assolutamete e illustrare co u esempio il legame tra covergeza ordiaria e covergeza assoluta Dire ioltre se la seguete serie coverge ( ) 4) Data la fuzioe g ( ) e calcolare e classificare i puti di o derivabilità e quelli co g ( ) 0 Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I (NO) ore /0/0

2 ) Data la fuzioe f ( ) arctg, disegare il grafico illustrado i passaggi fodametali ) Defiizioe di derivata prima i u puto 0 e suo sigificato geometrico Utilizzado tale defiizioe calcolare la derivata di f ( ) e el puto ) Serie geometrica e sua covergeza Studiare il carattere della serie e se possibile + 0 calcolare la somma 4) Euciare e dimostrare il Teorema di Rolle Dire se è applicabile alla fuzioe h ( ) ell itervallo [-,] e i caso affermativo calcolare il puto i questioe Prova scritta di Aalisi Matematica I (NO) ore (A) /0/0 ) Data la fuzioe f ( ) a) determiare il campo di esisteza e il comportameto ai suoi estremi, b) studiare la derivata prima e determiare i puti di massimo e miimo, c) studiare la covessità e determiare i puti di flesso, d) tracciare il grafico ) Defiizioe di massimo e miimo assoluti Codizioi sufficieti per la loro esisteza Dire se g ( ) ha massimo e miimo i [-,] ) Serie umeriche: defiizioe di serie covergete, divergete e idetermiata Studiare il carattere della serie ( ) 4) Euciare e dimostrare il teorema di Rolle Data la fuzioe f ( ) ( ) ( ) dire se è applicabile i [,] e i caso affermativo calcolare c Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I (NO) ore (B) /0/0 ) Data la fuzioe f ( ) log tg, a) determiare il campo di esisteza e il comportameto agli estremi, b) trovare gli evetuali puti a tagete orizzotale, c) disegare il grafico ) Euciare il Teorema della formula di Taylor Scrivere l espressioe del Resto elle forme di Lagrage e Peao Approssimare il umero e dopo aver scritto la formula di Mac- Lauri co il resto di ordie

3 ) Euciare e dimostrare il criterio del cofroto per la covergeza di ua serie umerica + Utilizzadolo studiare la covergeza della seguete serie + cos + 4) Defiizioe di fuzioe cotiua i u puto Trovare il valore di b R affiché la e fuzioe f ( ) + > 0, + b 0 Prova scritta di Aalisi Matematica I /0/0 (NO) ore )Defiizioe di fuzioe derivabile i u puto Data la fuzioe + l( + ) 0 a + < 0 per quali valori di R è derivabile ) Data la fuzioe f ( ) a) determiare il campo di esisteza e ricerca degli asitoti, b) studiare la cresceza e decresceza, c) studiare la derivata secoda e determiare i puti di flesso, d) tracciare il grafico dire ) Serie geometrica: per quali valori della ragioe è covergete, divergete o idetermiata (dimostrazioe) Studiare il carattere della serie ( ) 4) Euciare s dimostrare il teorema di Lagrage Dire se è applicabile a f ( ) + i [-,] e i caso affermativo calcolare c Prova scritta di Aalisi Matematica I (NO) ore 5/06/0 ) Defiizioe di fuzioe iversa Euciare e dimostrare il teorema della derivata della fuzioe iversa Utilizzadolo calcolare la derivata di f()arcsi ) Euciato del Teorema di Weierstass : trovare u itervallo dove siao verificate le ipotesi per la fuzioe f ( ) e calcolare il ma e miimo assoluti e ) Data la fuzioe si f ( ) e, [ 0,π ],, tracciare il grafico illustrado i passaggi fodametali 4) Defiizioe di serie umerica covergete e codizioe ecessaria per la sua covergeza + Dire se coverge la seguete serie e +

4 Prova scritta di Aalisi Matematica I (NO) ore 5/06/0 ) Defiizioe di serie umerica covergete e somma della serie Dire per quali valori di R coverge la seguete serie geometrica (si ) e calcolare la sua somma ) Euciare e dimostrare il Teorema di Rolle: trovare u itervallo dove siao verificate le ipotesi per la fuzioe f ( ) e e e calcolare il puto 0 ) Data la fuzioe f ( ) e,, tracciare il grafico illustrado i passaggi fodametali 4) Euciare le ipotesi per la validità della formula di Mc-Lauri Utilizzado tale formula calcolare il poliomio di Mc-Lauri di grado che approssima la fuzioe g( ) l + 4 Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I ( A) ore 0/06/0 ) Defiizioe di fuzioe derivabile i u puto e suo sigificato geometrico Calcolare l equazioe della retta tagete alla curva di equazioe y arctg(/) i ) Studiare il grafico della fuzioe f() l, illustrado i passaggi fodametali ) Defiizioe di fuzioe ifiitesima e cofroto tra ifiitesimi Utilizzadolo calcolare il + si + tg seguete limite lim 0 cos + l( + ) 4) Euciare e dimostrare il criterio del cofroto per le serie umeriche Utilizzadolo dire se si coverge la seguete serie Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I ( B) ore 0/06/0 ) Defiizioe di fuzioe cotiua i u puto, classificare (co degli esempi) i vari puti di discotiuità per ua fuzioe f() Dire per quali valori di k > 0 è cotiua i 0 la 0 seguete fuzioe f( ) kcos < 0 ) Studiare il grafico della fuzioe f() l, illustrado i passaggi fodametali

5 ) Defiizioe di fuzioe ifiita e cofroto tra ifiiti Utilizzadolo calcolare il seguete + l limite lim e + 4) Euciare e dimostrare il criterio del rapporto per le serie umeriche Utilizzadolo dire se e coverge la seguete serie! Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I ( A) ore 4/07/0 ) Dire sotto quali ipotesi ua fuzioe f() si può approssimare co u poliomio i u itoro di u puto 0 Determiare il poliomio di grado che approssima la fuzioe f( ) ell itoro di 0 0 ) Studiare il grafico della fuzioe f() l(- ), illustrado i passaggi fodametali ) Euciare il Teorema degli zeri Dire se la fuzioe f() l soddisfa il Teorema ell itervallo,e e 4) Dimostrare che ua serie a termii postivi o può essere idetermiata Dire se coverge la seguete serie 0 + Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I ( B) ore 4/07/0 ) Dire sotto quali ipotesi ua fuzioe f() si può approssimare co u poliomio i u itoro di u puto 0 Determiare il poliomio di grado che approssima la fuzioe f ( ) + ell itoro di 0 0 ) Studiare il grafico della fuzioe f ( ) e illustrado tutti i passaggi fodametali Classificare ioltre i puti di o derivabilità ) Euciare e dimostrare il Teorema di Rolle Dire se la fuzioe f() l soddisfa il Teorema ell itervallo,e e 4) Defiizioe di serie umerica covergete, divergete, idetermiata Studiare la covergeza della serie geometrica ( ) al variare di R e calcolare la somma Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I ( A) ore 9/09/0

6 ) Defiizioe di massimo e miimo relativo per ua fuzioe f() Euciare e dimostrare il Teorema di Fermat e dire se è applicabile alla fuzioe y, i R, motivado la risposta e ) Studiare il grafico della fuzioe f( ), illustrado i particolare gli asitoti, la cresceza, la cocavità e l esisteza di flessi ) Verificare che della fuzioe f() cos( ) si può scrivere lo sviluppo di Mc-Lauri e scriverlo co resto di Peao di ordie 0 4) Codizioe ecessaria e codizioe sufficiete per la covergeza di ua serie umerica Utilizzado u criterio sufficiete dire se coverge la seguete serie Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I (B) ore 9/09/0 ) Defiizioe di fuzioe crescete e decrescete Euciare e dimostrare la codizioe sufficiete affiché questa proprietà si verifichi Fare u esempio ) Studiare il grafico della fuzioe f () e, illustrado i particolare gli asitoti, la cresceza, la cocavità e l esisteza di flessi ) Verificare che della fuzioe f() si( ) si può scrivere lo sviluppo di Mc-Lauri e scriverlo co resto di Peao di ordie 9 4) Codizioe ecessaria e codizioe sufficiete per la covergeza di ua serie umerica Utilizzado u criterio sufficiete trovare per quali reali coverge la seguete serie e Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I ( A) ore /09/0 ) Codizioi sufficieti affiché per ua fuzioe f() si possa scrivere lo sviluppo di Mac- Lauri di ordie Defiizioe di resto Scrivere lo sviluppo della fuzioe f()arctg, co il resto di Lagrage di ordie 5 ) Data la fuzioe f() + l(-), a Determiare il campo di esisteza, b Studiare la cresceza e decresceza, c Studiare la derivabilità i, d Disegare il grafico ) Calcolare l ordie di ifiitesimo di ciascua fuzioe presete el limite π si ( ) + cos lim e poi calcolare il limite π π π ( ) + tg( ) 4) A scelta risolvere uo dei segueti quesiti: + a Studiare il carattere seguete serie + si

7 b Euciare e dimostrare il teorema della derivazioe della fuzioe composta Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I (NO) ore //0 ) Defiizioe di fuzioe cotiua i u puto Utilizzadola dire per quale valore di k R la seguete fuzioe è cotiua i l f( ) k ) Data la fuzioe f( ) l determiare a) campo di esisteza e comportameto ai suoi estremi, b) u itervallo i cui essa è mootoa crescete o decrescete, c) massimi, miimi, flessi, (se esistoo) d) disegare il grafico ) Determiare per quali valori del parametro k coverge la serie l ( k ) e calcolare la somma 0 4) Euciare la formula di Taylor, utilizzadola scrivere il poliomio di grado 0 che approssima la fuzioe f ( ) si( ) ell itoro di 0 Prova scritta del modulo di Aalisi Matematica I (NO) ) Data la fuzioe f ( ) l( ) //0 tg, calcolare a) campo di esisteza e comportameto agli estremi del campo; b) puti critici e cresceza/decresceza; c) covessità ed evetuali flessi; d) disegare il grafico ) Defiizioe di fuzioe cotiua i u itervallo [a,b] Euciare il Teorema di Weierstrass e applicarlo alla fuzioe h ( ) i [-,] ) Euciare il Teorema della derivata della fuzioe composta e dimostrarlo utilizzado il limite del rapporto icremetale Trovare la derivata di g ( ) Euciare la formula di Taylor e di Mac-Lauri co il resto di Peao Applicarla alle fuzioi arctg yarctg e ysi i 0, e calcolare il limite lim si 0