é una relazione del tipo z = k x

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1 XIII FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1.- Domo e rappresetazoe. Esstoo problem e qual ua qual ua quatta' dpede da due o pu' parametr varabl. Cos' ad esempo chmca: pv = RT da cu p = RT V é ua relazoe del tpo z = k x y. La pressoe d u gas dpede sa dalla temperatura che dal volume el quale é racchuso (costat che sao ed R). I questo caso s dce che p é fuzoe delle due varabl T e V ed geerale s scrve: z = f(x,y) dove f e' detta fuzoe multvarata o fuzoe d pu' varabl. I umer x ed y soo dett varabl dpedet e z la varable dpedete. Il domo D della fuzoe f e' u seme d coppe (x,y) che dao a z valor real: D = {(x,y)/xryr}. Il codomo della fuzoe sarà l'seme C d tutt valor z real: C = {z/ zr }. Il grafco d ua fuzoe d due varabl s puo' rappresetare u sstema ortogoale utaro d coordate cartesae trdmesoale medate ua superfce dello spazo. Traccare prospettva ua superfce dello spazo rveste sempre de problem. S rcorre qud alla rappresetazoe delle tersezo della superfce co pa coordat (tracce) e co de pa parallel al pao xy (z = cost.) otteedo così sul pao xy u sstema d solee o lee d lvello. Fg Tracce d ua superfce su pa coordat.. Lmt e cotutà. S defsce faclmete l cocetto d toro crcolare d raggo r d P(x 0, y 0 ) del domo D come l'seme de put (x,y) che hao da P dstaza ferore ad r: I (P ) ( x, y) / ( x x ) ( y y ) r r

2 D cosegueza s estedoo maera ovva le defzo d lmte e d cotutà d ua fuzoe. Sa P 0 u puto del domo della f(p) o u puto d accumulazoe per esso. Def..1. S dce che f(p) tede e a L per P tedete a P 0 se comuque preso u toro I r (L) s può determare u toro crcolare d raggo s d P 0 tale che per tutt put d I s (P 0 ) s abba che f(p)i r (L). Quado questo accade s scrve: lm f ( P) L PP Def... S dce che la fuzoe f è cotua P 0 se lm f ( P) f ( P ) 0 PP Dervate parzal. Pochè la fuzoe f(x,y) dpede da due varabl, s può calcolare la dervata della fuzoe f rspetto a cascua d esse. Queste due dervate vegoo dette dervate parzal rspetto alle varabl x ed y: f x f x h y f x y lm (, ) (, ) h0 h = f x f y f x y k f x y lm (, ) (, ) k0 k = f y Se quest lmt esstoo e le fuzo f x ed f y soo cotue el puto P 0 s dce che la fuzoe f(x,y)è dervable el puto P 0. Il calcolo formale delle dervate parzal è molto semplce, rcalcado quello delle dervate ordare e teedo solo presete che l'altra varable va cosderata come ua costate. Il sgfcato della dervata rmae qud quello d pedeza d ua retta ma questa volta f x e f y rappresetao la pedeza d due rette pa parallel a pa xz ed yz rspettvamete. Le rette taget dvduao u pao che è tagete alla superfce rappresetata dalla fuzoe f(x,y) el puto P 0. Quado s calcolao le dervate secode, s possoo avere due stuazo dverse: o s derva la dervata prma rspetto alla stessa varable, o s derva rspetto all'altra varable. Nel prmo caso s avrao le dervate parzal secode: f x f xx e f y f yy el secodo s avrao le dervate secode mste: f f x y xy S può dmostrare che se le dervate secode mste soo cotue esse soo ugual (teorema d Schwartz). Le dervate parzal prme d ua fuzoe u puto P 0 permettoo d scrvere l equazoe del pao tagete alla superfce P 0 : z = f(x 0,y 0 ) + f x (x 0,y 0 )(x - x 0 ) + f y (x 0,y 0 ) (y - y 0 ) 114

3 Se ua fuzoe z = f(x,y) è dervable volte u toro d P 0 s può scrvere l suo svluppo sere d Taylor (fermados al secodo terme): f(x,y) = f(x 0,y 0 ) + f x (x 0,y 0 )(x - x 0 ) + f y (x 0,y 0 ) (y - y 0 ) + ½[f xx (x - x 0 ) + f xy (x-x 0 )(y-y 0 ) + + f yy (y -y 0 ) ]+R Lo scarto della superfce dal suo pao tagete è qud dato, prma approssmazoe da: (x,y) =½[f xx (x - x 0 ) + f xy (x - x 0 )(y - y 0 ) + f yy (y - y 0 ) ] Equazoe d secodo grado l cu grafco è dato da ua superfce detta Quadrca. Se (x,y) è postva u puto P 0 essa sta tutta sopra l pao tagete u toro del puto; se è egatva sta sotto; se è uguale a 0, o s può dre ete e bsoga rcorrere a term d orde superore. 4. Massm e mm. S possoo faclmete estedere dal caso udmesoale cocett d massmo e d mmo relatvo e assoluto. Def S dce che ua fuzoe f(x,y) ha u massmo relatvo el puto P 0 (x 0,y 0 ), se esste u toro crcolare I r (P 0 ), per tutt put del quale PP 0 s ha che f(p)<f(p 0 ). Se vece f(p)>f(p 0 ) l puto s drà d mmo. Codzoe ecessara, (ma o suffcete) perché u puto sa d massmo o d mmo relatvo è che le dervate prme rspetto alla x ed alla y sao etrambe ugual a 0. Per determare put d massmo e d mmo bsoga dvduare put cu s aullao le dervate prme (put stazoar): f f x y ( x, y) 0 ( x, y) 0 E ecessaro po cosderare lo scarto della superfce co l suo pao tagete, (x,y), che prma approssmazoe è dato da ua forma quadratca. Per lo studo de put stazoar e delle forme quadratche s rcorre percò ad ua quattà uova, detta determate Hessao e defta base alle dervate secode: H(x,y) = f f xx yx f f xy yy = f xx f yy - f xy f yx = f xx f yy - f xy la quale c permette d dscrmare sulla atura del puto esame a secoda del sego che assume H(x,y) el puto P. Percò se u puto P 0 (x 0,y 0 ) s aullao le dervate prme s possoo avere tre stuazo: H(x 0,y 0 ) 0. a) Se H > 0 la forma quadratca s dce defta, l puto s dce ellttco e la cocavtà della curva sarà dretta verso l alto se (x,y) è postvo, verso l basso se è egatvo. I questo caso s avrà u puto d mmo o d massmo. La superfce, u toro del puto P 0 115

4 avrà l'adameto d u parabolode ellttco co la cocavtà rvolta verso l'alto(mmo) se f xx ed f yy soo etrambe postve e verso l basso (massmo) se soo etrambe egatve. z y x Fg Parabolode ellttco. b) Se H < 0 la forma quadratca s dce defta d sego. Essa attraversa l pao tagete P 0 che s dce puto perbolco. I P 0 s avrà u puto d sella. z y x Fg Parabolode perbolco (puto d sella). c) Se H = 0 l puto vee detto parabolco, la forma quadratca s dce semdefta. I u puto parabolco può accadere ua qualuque delle stuazo precedet. No s può dre ulla e bsoga rcorrere ad altr metod d aals. z y x Fg Puto parabolco.. 116

5 XIV EQUAZIONI DIFFERENZIALI 1. Struttura geerale d ua E.D. Se ad u pazete vegoo sommstrat 100 mg. d u farmaco, la quattà d sostaza presete el sague dmusce el tempo co ua legge che s vuole determare. Sa Q 0 la quattà zale e Q(t) la quattà presete al tempo t, dopo u tervallo t s avrà u decremeto dovuto a t, a Q(t) e ad altr fator dpedet dal tempo e rappresetabl medate u coeffcete a per cu: Q(t + t) = Q(t) - aq(t) t Q( t t) Q( t) = aq(t) e al lmte per t0 s ottee: Q'(t) = aq(t) t C s trova perco' d frote ad ua uguaglaza del tpo y' = a y che vee detta equazoe dfferezale del prmo orde e dalla quale s vuole determare l espressoe della fuzoe y = (x) che la soddsfa detcamete e che vee detta soluzoe o tegrale della equazoe dfferezale. Sa y = s(t) lo spazo percorso da u moble al tempo t e g l accelerazoe a cu esso è sottoposto. Per defzoe d accelerazoe s avrà: s (t) = g dalla quale s vuole determare la legge del moto s(t). Questa è ua equazoe dfferezale del secodo orde. Ua qualsas fuzoe che stablsce u legame tra le varabl e le dervate d ua fuzoe prede l ome d equazoe dfferezale (E.D.) Le equazo dfferezal s dstguoo ordare e a dervate parzal, e a secoda dell'orde massmo delle dervate esse preset s possoo dstguere equazo dfferezal del prmo, secodo... -esmo orde. Quelle del prmo orde avrao la forma geerca f(x,y,y')=0 detta forma mplcta metre se è possble esplctare rspetto alla y s può portare l E.D. ella sua forma ormale: y = f(x,y). La soluzoe d ua E.D. del prmo orde sarà la fuzoe y = (x) tale che f(x,(x),'(x))0 Og soluzoe d ua E.D., se esste sarà defta a meo d ua costate e prede l ome d tegrale geerale o soluzoe dell equazoe dfferezale. Al varare d ua costate d tegrazoe l'tegrale geerale d ua equazoe dfferezale rappreseta ua famgla d curve cascua delle qual è detta tegrale o soluzoe partcolare. f(x,k) k=cost 0 x Fg Ua famgla dcurve.. 117

6 Per dvduare tra le fte soluzo quella del problema esame, bsoga possedere ulteror formazo ed mporre ua codzoe medate valor zal della o della sua dervata modo da determare modo uvoco la costate arbtrara d tegrazoe.. Itegrazoe d ua equazoe dfferezale del prmo orde. Ache le equazo dfferezal del prmo orde s dstguoo u gra umero d tp, che s dfferezao a secoda della loro struttura e che s rsolvoo cascua co u metodo dverso. I pù comu soo: Equazo a varabl separabl. y' = A(x)B(y) Equazo lear: y' + a(x) y = f(x) Equazo d Beroull: y' + p(x) y + q(x) y = 0 Il tpo pù comue elle applcazo bologche e d soluzoe pù facle è costtuto dalle equazo dfferezal a varabl separabl. Questo soo quelle elle qual è possble separare le due varabl su due membr della eguaglaza. Gl esemp pù comu soo: a) y' = a y b) y' = a y + b c) y' = a y + b y + c d) y' = k y/x a) S cosder la equazoe dfferezale dy = a y. Per la defzoe d dfferezale s dx può scrvere formalmete: dy = a y dx. Dvdedo per y ed tegrado ambedue membr s ottee: dy = a dx ; log y = ax + c y dove c'è ua costate arbtrara. Per cu y = e ax+c e poedo e c = k s ottee y = k e ax che è ua fuzoe espoezale co dato coeffcete a e costate arbtrara k. Assegato a s ottee al varare d k ua famgla d curve. Esempo 1. Se l umero degl dvdu d ua popolazoe al tempo t è N(t) essa aumeta modo proporzoale ad N(t) secodo u coeffcete d ataltà. D cosegueza N'(t) = N(t). Da questo s deduce che N(t) = e t+c = N 0 e t dove N 0 = e c è l umero d dvdu all'zo delle osservazo (t = 0). b) S cosder la equazoe y' = ay + b y' = a y + b dy -- = a(y + p) p = b/a dx dy y p = a dx; da cu, tegrado : log(y + p) = ax + c; e y = k e ax -p. Esempo. Se la popolazoe d cu all'esempo precedete è soggetta ad mmgrazoe (che suppoamo costate) l suo cremeto sarà: N'(t) = N(t) + ν per cu la soluzoe sarà: N(t) = k e λt -. Se N0 è l umero d dvdu al tempo t = 0 otteamo k = N 0 +. per cu la soluzoe geerale dveta: N(t) = N 0 e λt + ( e λt - 1) 118

7 c) S cosder l'equazoe y' = a y + b y + c. Da questa s rcava: dy = dx. Suppoedo che l dscrmate del deomatore ay by c sa > 0 e che y 1 e y sao le sue radc, s possoo tegrare due membr otteedo: l y y = a(y - y 1 ) +C da cu fe s ha y = y 1 + y y1 a( yy1 ) x y y 1 k e dove k=-e C 1 Esempo 3. Suppoamo che ua popolazoe la quale aumeta secodo u tasso d cremeto o possa crescere oltre u lmte massmo L. Avremo qud la relazoe seguete: N'(t) = N(t)(L - N(t)). Dalla soluzoe precedete, poedo: x = t; a = -; y 1 = 0;y = L; k = e c otteamo: L 1 N( t) Lt ( 1) t 1 ke 1 e Esempo 4. I ua popolazoe d dvdu sa, etra u fettvo. Voglamo determare co quale legge s dffode l'fezoe. Se s(t) è l umero de sa e c(t) è l umero de cotagos. co l ragoameto precedete s ottee s(t) + c(t) =+1 c' = c(l-c) Sosttuedo L = + 1 s ottee la fuzoe cercata. I questo caso dovrà essere k=. 1 C( t). ( 1) t 1 e Moltssme soo le applcazo d queste equazo el campo della aals de sstem bologc, ecoometrc, fsc e chmc: lo svluppo d ua popolazoe sotto vare potes, l raffreddameto d u corpo, l dffoders d ua malatta cotagosa, l test d u farmaco attumorale ecc.ecc.. 3. Il problema de valor zal d Cauchy. L tegrale geerale d ua equazoe dfferezale del prmo orde è determato a meo d ua costate arbtrara d tegrazoe al varare della quale s ottegoo fte soluzo partcolar corrspodet a ua famgla d curve del pao. Se tra le fte curve s vuole dvduare ua partcolare bsoga determare la costate d tegrazoe modo da soddsfare ua data codzoe. Questo problema vee detto problema de valor zal o problema d Cauchy e cosste ella soluzoe del sstema: y' f ( x, y) y( x0 ) y0 e permette d determare la curva che passa per l puto y Equazo lear. S dstguoo d solto tre cas: a) Equazo lear del prmo orde. Esse hao la forma: 119

8 y' + a(x) y = f(x) y' + a(x) y = 0 e la prede l ome d omogeea assocata. L tegrale geerale della equazoe leare completa è dato dalla somma dell tegrale geerale della omogeea assocata pù u tegrale partcolare della equazoe completa. L tegrale geerale della omogeea s trova faclmete co l metodo delle varabl separabl se a(x) è tegrable: dy a(x) dx log y = a(x) dx c y y 1 (x) = a(x)dxc a(x)dx e c 1 e U tegrale partcolare della completa s trova poedo: g(x)=h(x) y 1 (x) e sosttuedo h (x) y 1 (x) + h(x) y 1 (x)+h(x) y 1 (x) a(x) = f(x) raccogledo a fattor comue: h (x) y 1 (x) + h(x) [y 1 (x)+ y 1 (x) a(x)] = f(x) poché y 1 (x)+ y 1 (x) a(x) =0 rmae h (x) y 1 (x) = f(x) da cu s rcava h (x) =f(x)/ y 1 (x) e qud f(x) h(x) y (x) dx. 1 La fuzoe cercata qud sarà g(x) = y 1 (x) f(x) y (x) dx e qud l tegrale geerale 1 della equazoe completa è: y(x) = y 1 (x) + g(x). b) Equazo lear d orde qualuque: Quato detto per le equazo del prmo orde vale ache per quelle d orde qualuque: y () + a 1 y (-1) + a y (-) +...a y = f(x) e le loro omogeee assocate: y () + a 1 y (-1) + a y (-) +...a y = 0 I geerale la loro rsoluzoe è u problema puttosto complesso. Nelle applcazo, molto spesso coeffcet a k soo costat. c) Equazo lear del secodo orde a coeffcet costat: y" + b y' + c y = f(x) L tegrale geerale della equazoe completa è la somma dell tegrale geerale della omogeea assocata co u tegrale partcolare della equazoe completa. Le soluzo della omogeea assocata y" + b y'+c y = 0 s trovao rsolvedo la equazoe algebrca caratterstca + b +c = 0 Se > 0 e 1, soo le radc della equazoe caratterstca, allora le fuzo y 1 = e 1x e y = e x formao u sstema fodametale. Se = 0 allora 1 = = per cu y 1 = e x e y = xe x Se < 0 allora 1 e soo complesse cougate per cu 1 = + e = - D cosegueza y 1 (x) = e (+)x = e x (cos x + se x) y (x) = e (-)x = e x (cos x - se x) 10

9 da cu s vede che ache y 1 *(x) = (y 1 + y )/ = e x cos x; y *(x) = (y 1 - y )/ = e x se x soo soluzo dell'equazoe data. I geerale y(x) = c 1 y* 1 (x) +c y' (x) + g(x) dove g(x) è u tegrale partcolare della equazoe completa che deve essere determato separatamete. Se G(x) = 0 s ha: y(x) = c 1 e x cos x + c e x se x dove, poedo c 1 =A cos e c =A se s ottee: y(x) = A e x cos (x - ). 5. L'equazoe fodametale della Damca Lear soo alcue mportat equazo dfferezal che dervao dal prcpo fodametale della damca: f = ma. Pochè l'accelerazoe è la dervata secoda dello spazo y(t) rspetto al tempo, possamo scrvere: my"-f = 0. Moto armoco semplce. : my" + ky = 0; dove poedo t = x; = 0; = y(t) = A cos ( k t - ). I asseza d attrto (pedolo el vuoto). m k s ottee: m Moto armoco smorzato: my" + y' + k y = 0; dove (<1) è l coeffcete d smorzameto: y(t) = A e t cos ( k t - ). Oscllazo smorzate. m Oscllazo forzate: my" + by' + k y = F cos t. Oscllazo smorzate ma co mpulso perodco (altalea). 11

10 APPENDICE I. CORRELAZIONE E REGRESSIONE 1. Relazo tra varabl aleatore. Sappamo tutt come c sa u legame molto stretto tra la lughezza del raggo e quella della crcofereza d u cercho, tato che, ota l'ua, possamo faclmete calcolare l'altra. E' aalogamete tutva la essteza d u legame tra altezza e peso d u dvduo, ache se questa o può esprmers co fuzoe matematca esatta. No pesamo che all'aumetare della statura aumeta ache l peso e, ache se sappamo che o è sempre così possamo affermare che meda questo succede. Se fe pesamo al laco cotemporaeo d due dad e c domadamo se c'è ua relazoe tra put che escoo sul prmo e quell che escoo sul secodo dado, la rsposta è che se due dad o soo truccat, la relazoe o c'è. Se s rappresetao le coppe d valor come put d u pao cartesao s ota che el prmo caso ess stao tutt su d ua retta, el secodo, put soo spars el pao, ma soo pù addesat attoro ad ua retta. Nel terzo caso vece soo spars el pao modo omogeeo. Ne prm due cas s può qud potzzare u legame d tpo fuzoale tra le due varabl. Nel prmo caso esso è certo, el secodo esso è probable e può ver determato co metod statstc.. Regressoe. Due varabl aleatore s dcoo fuzalmete dpedet se soo legate da ua relazoe d tpo y = (x). Questa dpedeza o regressoe è determata dal valore de parametr che caratterzzao la fuzoe, ochè ovvamete dalla struttura della (x) stessa. Il caso pù semplce e pù comuemete cosderato è quello cu la fuzoe è leare, y = ax + b, el qual caso ache la dpedeza o regressoe d y rspetto ad x vee detta leare. Tale dpedeza sarà determata dalla coosceza de parametr a e b qual vegoo determat medate l metodo de mm quadrat. 3. Il metodo de mm quadrat. Voledo determare se c'è ua correlazoe tra età e pressoe arterosa è stato preso cosderazoe u gruppo d 1 doe: Età (X) Press.s.(Y) S vuole determare se tra queste due varabl aleatore esste u legame (correlazoe) e se s può determare la fuzoe (regressoe) che lo esprme. Cosderado la varable X come ua varable determstca, coè cosderado valor x 1, x,... x come assegat possamo pesare valor y 1, y,... y come le determazo 1

11 d tate varabl aleatore Y 1, Y,... Y avet speraza matematca Y 1,Y,...Y e varaza. La fuzoe 1 Y Y L(Y 1, Y,... Y ) = 1 1 e rappreseta la probabltà d presetars che ha u dato campoe y 1, y,... y e l suo logartmo Log (L) = log 1 1 Y Y 1 1, vee detta fuzoe d verosmglaza e sarà massma quado sarà mma la quattà Q(y 1, y,... y Y Y, a, b) = 1 dove Y = a X + b e Y Y e 1 = =...= = (potes d mportaza fodametale che afferma come al varare d X la varaza d Y rmae costate) Q(y 1, y,... y, a, b) = 1 1 ax b Y I valor d a e b s trovao aullado l sstema: x y a x b x 0 Q a Q y a x b 0 b da cu s rcava: a x b x x y a x b y Come s vede s tratta d u sstema d due equazo due cogte rsoluble co metod dell'algebra leare. Da esso s rcavao: a = x y x y x x b = che soo coeffcet d massma verosmglaza. 1, x y x x y x x 13

12 N.B. Il metodo de mm quadrat può essere applcato e pù svarat camp della sceza, ma matee l propro sgfcato solo se vee verfcata la potes fodametale per la quale la varaza della y rmae costate su tutto l campo d defzoe della x. 4. La covaraza. Il coeffcete della varable X, e coe` l coeffcete agolare della retta d regressoe, vee detto coeffcete d regressoe della varable Y rspetto alla varable X. Esso msura l grado d dpedeza tra le due varabl. Il parametro b e` vece d secodara mportaza, per cu molte volte puo` essere utle elmarlo da calcol. Questo vee fatto cambado l`orge de sstem d rfermeto delle varabl X ed Y e precsamete prededo come orge degl ass cartesa valor med X e Y delle varabl stesse. I questo modo, al posto della successoe d coppe d valor (X,Y )s prede cosderazoe la successoe d coppe d scart (x, y ) forte dalle relazo X - X=x Y - Y= y Coscchè elle equazo ormal le sommatore s aullao per la propretà degl scart dalla meda artmetca. Pertato dalla prma equazoe s rcava b = 0 e dalla secoda: a = x y x Questa espressoe del coeffcete d regressoe è d fodametale mportaza tutta la teora. E' bee però teere presete che la forma questoe s ha quado le varabl x e y soo gl scart de valor orgar dalle rspettve mede artmetche. Approfttado d tale crcostaza, all'espressoe del coeffcete d regressoe s può dare ua forma acora pù espressva dvdedo umeratore e deomatore per (l umero delle coppe d valor (x,y). S ottee così: x y a = dove l deomatore o è altro che la varaza della varable dpedete. Il umeratore, per aaloga possamo dcarlo co. Esso è la meda de prodott degl x, y scart delle due varabl dalle rspettve mede. Per questa sua caratterstca l'espressoe vee detta covaraza ossa varaza coguta delle due varabl. Pertato l'equazoe del coeffcete d regressoe s può scrvere x a = xy x. Questa relazoe s può esprmere dcedo che l coeffcete d regressoe (leare) d ua varable Y rspetto ad X è uguale al rapporto tra la covaraza delle due varabl e la varaza della varable dpedete X. E' sotto questa forma che l coeffcete d regressoe goca u ruolo mportatssmo ache ella teora della correlazoe. Ifatt, modo del tutto aalogo a quello f quì seguto, s può cosderare la regressoe della varable X rspetto alla Y: X = (Y). Nell'potes d ua dpedeza leare la relazoe sarà: X = a'y + b'. Rpetedo l ragoameto precedete e cosderado acora gl scart dalle mede s trova: 14

13 a'= xy y S osserva che umerator de due coeffcet d regressoe a e a' soo ugual. Questo s spega otado che la covaraza è ua quattà cu le varabl etrao modo smmetrco. 5. Correlazoe. La correlazoe è u aspetto pù geerale della regressoe quato cosdera la relazoe tercedete tra due varabl seza porre la codzoe d ua dpedeza d atura causale tra le varabl stesse. Essa vee cosderata l'terdpedeza delle due varabl, seza specfcare quale delle due varabl dpeda dall'altra. Su questa terpretazoe s basa l calcolo d ua mportatssma gradezza statstca, l coeffcete d correlazoe r. Alla sua defzoe s pervee mmedatamete partedo da coeffcet d regressoe leare: xy r = a a' x y Questa relazoe può eucars dcedo che l coeffcete d correlazoe tra due varabl è uguale al rapporto tra la covaraza delle due varabl e l prodotto de rspettv scart quadratc med. Alcue propretà del coeffcete d correlazoe s vedoo drettamete dalla sua espressoe. Esso è u umero che ha lo stesso sego della covaraza poché l deomatore è costtuto da gradezze che vegoo prese co sego postvo ed oltre s dmostra che l suo valore è compreso ell'tervallo -1 e +1 estrem clus. Il valore -1 s rfersce al caso cu gl scart corrspodet delle due varabl soo tutt ugual e d sego cotraro. Il valore +1 quado soo tutt ugual e dello stesso sego. I quest cas s dce che la correlazoe è massma e sarà postva o egatva a secoda che r sa uguale a ±1. Se r vece è uguale a 0, s dce che la correlazoe è ulla. 5. Il test d Studet. Valor d r prossm a 0 suggerscoo dpedeza tra X e Y, ma pochè l coeffcete d correlazoe può varare per effetto del campoameto (e coè per la legge del caso) bsoga cotrollare la sua sgfcatvtà. Essa dpede sa dal valore d rche dal umero d coppe d valor osservat : maggore è, more deve essere r per u certo lvello d sgfcatvtà. U metodo coveete per verfcare la sgfcatvtà d u coeffcete è l seguete: la varable aleatora t r = r 1 r segue la dstrbuzoe t d Studet co - grad d lbertà. Nell'esempo del par. 4. s trova che r = ed = 1, per cu t r = Guardado la tabella della t d Studet s ota che per 10 grad d lbertà, la probabltà che t è 0.01; pochè l valore d t trovato è molto pù grade, la probabltà d otteere per caso u coeffcete così grade è acora pù pccola. Percò s può affermare che c'è ua relazoe postva tra età e pressoe arterosa ad u lvello d cofdeza del 95%. 15

14 APPENDICE II. MATRICI E DETERMINANTI Ua tabella d umer, real o compless, formata da m rghe ed coloe vee detta matrce m ed ha la forma: a a.... a 1, 1 1, 1, a a.... a, 1,, a a a m, 1 m, m, = A x 1 x.... x = X b 1 b.... b m = B dove a,k è l k-esmo elemeto della -esma rga. Se =1 la tabella s rduce ad ua sola coloa e prede l ome d vettore coloa. Se m=1 s ha u vettore rga. D solto le matrc s dcao co lettere mauscole metre loro elemet co lettere muscole mute d dce. Se m= la matrce s dce quadrata. Se gl a,k = 0 per k la matrce s dce dagoale. Se oltre gl a, = 1 la matrce s dce utà e vee dcata co I,k = 1 se k 0 se k smbolo d Kroecker. La somma e la dffereza d due matrc A e B s possoo calcolare solamete hao le stesse dmeso e s ha c,k = a,k b,k. Il prodotto tra due matrc s può esegure dvers mod. Il pù frequete è quello rghe per coloe. Se A è ua matrce quadrata ( ) ed X u vettore coloa b = k1 a x, k k el qual caso l umero delle coloe del prmo vettore è uguale a quello delle rghe del secodo. Il prodotto allora è u vettore coloa. Percò u sstema leare s può scrvere: A X = B. Scambado tra d loro le rghe co le coloe d ua matrce (mx) s ottee ua uova matrce A t, co m coloe ed rghe, detta trasposta d A e tale che a t,k = a k,. Se A è ua matrce quadrata, s può trovare ua matrce A -1 tale che A A -1.= I. Questa vee detta la matrce versa d A. S dce prodotto assocato d ua matrce l prodotto d elemet comuque pres purchè a due a due o apparteet alla stessa rga o alla stessa coloa. Determate d ua matrce quadrata è la somma degl! prodott assocat cascuo preso co l propro sego o co l sego cambato a secoda che la permutazoe degl dc sa d classe par o dspar. Ua permutazoe s dce d classe par o dspar se tale è l umero delle verso che essa forma co quella fodametale. 16

15 asse mmagaro S possoo dmostrare faclmete le seguet propretà: 1) Ua matrce quadrata e la sua trasposta hao determat ugual. ) Se tutt gl elemet d ua rga o d ua coloa soo ull l determate è ullo. 3) Se s scambao tra loro due rghe o due coloe l determate camba sego. 4) Se ua matrce s moltplcao tutt gl elemet d ua rga per uo stesso umero k l determate vee moltplcato per k. 5) Se ua matrce due rghe soo ugual o proporzoal, oppure se ua rga è combazoe leare d altre due, l determate è uguale a 0. APPENDICE III. NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA. U umero complesso vee defto da ua coppa d umer real x e y dett rspettvamete parte reale e parte mmagara del umero complesso: = x + y Il umero complesso s può qud rappresetare come u puto P d u pao (pao complesso) avete ascssa la sua parte reale ed ordata quella mmagara. Il umero complesso = x - y è detto l complesso cougato d e poedo x = cos e y = s s ottee = x + y = La quattà = 1 y P 0 x 0 3 asse reale Fg. 1.III.- Il pao complesso. vee detta l modulo del umero complesso e l agolo = ata y x l suo argometo. Dat due umer compless: (cos + s ) e (cos + s ) s può defre l loro prodotto cos se da dove s può calcolare l quadrato (cos + s ) e la poteza -esma (cos + s ) (formula d De Movre) e qud ache la radce -esma. Ifatt se = z allora è la radce d z. Per cu se: z (cos + s ) r (cos + s ) = r (cos + s ) = (cos + s ) e qud: r = r = 1/ e oltre: = + h h 17

16 h 1/ [cos h s h per h = 0,1,,...-1 Percò, og umero complesso z 0 ha e soltato radc -esme algebrche dstte che s ottegoo poedo h = 0, 1,, Così, ad esempo, s possoo calcolare le radc quarte dell utà che rsultao: 4 1 1,, -1, -. Defzoe d espoezale el campo complesso. Per og umero complesso = x + y s poe: e x+y = e x (cos y + s y). Percò, se x = 0 e y = cos y + s y = f(y). Da qu s vede che: e (y+k) = e y e qud la fuzoe espoezale, el campo complesso è perodca d perodo e z+ = e z. Pochè: e -y = cos y - s y s rcavao le: cos y = e y e y s y = e y y e che soo dette formule d Eulero. S possoo così trovare cos m y e s y e s può defre ache l logartmo aturale el campo complesso. Posto e w = z s ha w k = l z + [arg(z)+k] co k tero relatvo qualuque. Per k = 0 s ottee w 0 = l z + arg(z) che vee detto logartmo prcpale del umero complesso z. Percò l z = l z + arg(z). 18

17 APPENDICE IV. INFORMATICA U elaboratore elettroco d dat (computer) è ua maccha elettroca costruta per mmagazzare delle formazo (d carattere elettroco) ed esegure delle operazo co esse quado rceve cert comad (elettroc). L'formatca studa qual soo le operazo che la maccha è grado d fare, e qual soo comad (struzo) che gl s devoo dare per durla ad esegurle. Gl ord vegoo mpartt medate u metodo d comucazoe, che o chamamo l lguaggo del computer. U lguaggo è u seme d smbol, foc, grafc o elettroc, atto a trasmettere ord o formazo da u ete ad u altro. U computer è grado, per sua atura, d ecctare maera permaete delle ettà d memora modo da dvduare de umer d u opportuo sstema d formazo. I sostaza u computer è come u eorme casellaro, elle cu caselle (bytes) vegoo memorzzat de umer d u sstema esadecmale medate quattro smbol elemetar (bts) d u sstema baro (0, 1): A B C D E F Fg. 1. Mezzo byte formato da 4 bts. Queste coppe d umer esadecmal ( base 16) possoo dcare u umero o ua parte d esso, oppure ua struzoe. Ua struzoe è formata da u codce operazoe e da u operado ambedue esadecmale. Il computer è dsegato per esegure, al mometo dell'accesoe, delle struzo che stao ua parte partcolare della sua memora (BIOS), che rmae "vva" ache quado l computer è speto. Oltre al BIOS u computer è formato da altre due part fodametal la memora cetrale e l processore. Il processore è formato a sua volta da de regstr dove s possoo portare de dat dalla memora e tra qual s possoo esegure delle operazo artmetche. I regstr tegoo coto del rsultato delle operazo (P regstratore d stato) e d quale sarà la prossma struzoe ad essere eseguta (PC program couter) salvo terruzo (IRQ terrupt request) dovute a grav codzo d errore. Dobbamo ora chederc qual soo le operazo che l computer sa esegure e come le esegue. Le operazo cosstoo essezalmete el trasportare uo o due umer dalla 19

18 memora cetrale al processore (struzo d trasfermeto), el cofrotarl (soo ugual o o? operazo d cofroto), el sommare sottrarre o moltplcare e el trasferre l rsultato u'altra zoa d memora (operazo artmetche) ed operazo logche che predoo decso a secoda dello stato de regstr. Queste operazo molto elemetar vegoo esegute ad ua veloctà tale da costture delle sequeze che portao alla esecuzoe d procedure quato ma complesse. Al mometo della accesoe del computer l processore, trasfersce due bytes dalla memora cetrale alla propra ed esegue la struzoe che ess rappresetao. Eseguta questa prma struzoe prede esame la prossma coppa d bytes e così va. Vedamo che aspetto hao alcue d queste struzo: che esadecmale sarebbe 8 5 C D 6 o raggruppado 85 C7, 89 D6. La struzoe 85 vuol dre "porta el regstro dce X l coteuto della memora C7". La struzoe 89 vuol dre "porta el regstro dce Y l coteuto della memora D6". Potrà segure la struzoe "somma regstr X e Y" (l rsultato va automatcamete ell'accumulatore A) e quella che orda d trasferre l rsultato (accumulatore A) ella voce d memora 3F. Queste struzo scrtte lguaggo base soo esegubl mmedatamete dal computer ma dffcl da rcordare per o. Esse oltre dpedoo dal tpo d processore e qud varao da maccha a maccha. Soo stat percò creat de programm che avvcao l ostro modo d pesare (e d operare) a quello della maccha ec permettoo d scrvere u programma term memoc pù facl per o e s assumoo l compto d tradurl struzo del lguaggo base. Il prmo passo è stato quello d sostture umer co delle lettere che rcordassero l'operazoe da esegure: MOV per "porta", ADD (somma), SUB (sottra), MUL (moltplca), DIV (dvd). S è passat po a lguagg pù evolut e qud acora pù vc al ostro modo d ragoare. Quest programm, dett traduttor o complator, fatt per facltare le terazo uomomaccha, soo d dverso tpo: alcu pù vc alla maccha (assembler, C++), altr pù vc alle attvtà umae (Fortra, Basc, Pascal, Java, HTML) e vegoo utlzzat cascuo per svolgere compt dvers. Fortra per calcol matematc, Basc per calcol matematc e gestoe archv, HTML per la gestoe d page Web. I lguagg elemetar autao a creare lguagg pù compless. Og lguaggo ha u suo vocabolaro, ua sua stass e ua sua grammatca che devoo essere segute modo precso altrmet la maccha è struta a segalare modo mplacable la stuazoe d errore oppure s blocca. Negl ultm 0 a hao avuto molta dffusoe de programm che eseguoo de lavor partcolar. I pù popolar e cooscut soo quello per la elaborazoe test (Word) ed l foglo elettroco Excel, ma ce e soo ache tat altr come Autocad, per l dsego tecco, Arcvew per lagestoe del terrtoro, Mathcad, Derve, Mathematca per la esecuzoe d operazo matematche modo formale e calcol statstc. No c fermeremo soprattutto su Excel che permette d fare calcol, d vsualzzare rsultat, d traccare grafc d dat osservat e d effettuare calcol statstc d u certo teresse. 130

19 Ache se possamo pesare che, term geeral, la struttura tera d u processore sa rmasta grosso modo la stessa, l computer ha subto el tempo u cotuo cambameto. Questo è stato dotto essezalmete dall'aumeto della veloctà de processor, coè del tempo mpegato per esegure ua operazoe elemetare (ad esempo per portare u dato dalla memora cetrale al regstro X) che ha permesso d aumetare l umero delle operazo e qud la poteza d calcolo de sstem. Il processore Motorola 650 della fe degl a '70 aveva la veloctà d 1Mhz, ogg samo alla veloctà d 4000Mhz. Grosso modo quello che ora s fa u secodo s faceva pù d u'ora. Questo ha permesso d svluppare applcazo u tempo mpesabl e d corredare l'utà cetrale d umerose perferche: - etrata e uscta dat: motor, stampat, scaer, plotter; - memore d massa: dsch rgd, CD, DVD e aff; - collegameto co strumet ester d og geere; - l collegameto rete che porta tutto l modo sul ostro tavolo. e ultmamete s è arrvat all'mpego d pù processor coordat tra loro. No c occuperemo d u semplcssmo programma lguaggo HTML e d ua applcazoe del programma Excel alla elaborazoe statstca d dat osservat. 131

20 BIBLIOGRAFIA Atoo Avvataggat. Isttuzo d Matematca. Edzo C. E. A. Mlao Murray Spegel. Statstca. Edzo Schaumm. N. Dodero, P. Baroc, R. Mafred. Modul d Leamet d Matematca (per l treo de lce scetfc). Ed. Ghsett e Corv J. G. Kemey et alt. Matematca ed attvtà umae. Vol. I. Edz. Feltrell E. Batschelet. Itroducto to Mathematcs for Lfe Scetsts. Sprger Verlag

21 I N D I C E Captolo I Elemet d Teora degl sem Pag. 1 Itroduzoe 1.1 Defzo 1. Relazo tra sem 1.3 Operazo tra sem 1.4 Partzoe d u seme II Evet e Probabltà 9.1 Il metodo duttvo. Operazo logche tra evet.3 Dagramm d Ve.4 Evet logcamete dpedet.5 La probabltà.6 Probabltà subordate.7 Dstrbuzo d probabltà.8 Calcolo combatoro.9 Classe d ua permutazoe.10 Varabl aleatore e dstrbuzo.11 La dstrbuzoe beroullaa.1 La dstrbuzoe bomale.13 La speraza matematca.14 Varaza e scarto quadratco medo.15 La dstrbuzoe d Posso.16 Varabl aleatore cotue.17 La dstrbuzoe Normale o d Gauss. III La stma Stma de parametr d ua dstrbuzoe 3. Stma putuale 3.3 Stma tervallare 3.4 Teorema del lmte cetrale 3.5 Stma della meda d ua popolazoe 3.6 Dstrbuzoe campoara delle frequeze 3.7 Dstrbuzoe delle dffereze tra parametr IV Regole d decsoe Ipotes ed osservazo 4. Decso statstche. 4.3 Error d decsoe 4.4 Regole d decsoe e dstrbuzo 4.5 Test basat sulla dstrbuzoe ormale 4.6 Test ad ua o a due code 4.7 Teora de pccol campo 4.8 Grad d lbertà 4.9 La dstrbuzoe t d Studet 4.10 La dstrbuzoe F 4.11 La dstrbuzoe del V Isem umerc e coordate cartesae Itervall 133

22 5. Coppe ordate e prodott cartesa 5.3 Ascsse sulla retta 5.4 Coordate cartesae sul pao 5.5 Coordate polar. 5.6 Coordate cartesae ello spazo 5.7 Coordate sferche e cldrche VI Le Fuzo Relazo 6. Fuzo 6.3 Successo e sere 6.4 Rappresetazoe d ua fuzoe 6.5 Operazo algebrche tra fuzo 6.6 Fuzo composte 6.7 Fuzo verse e fzoe dettà 6.8 Cost e rcav Esercz VII I Lmt Il cocetto d lmte fto 7. Cotutà 7.3 Teorema fodametale su lmt 7.4 Cotutà d ua fuzoe composta 7.5 Acora su lmt 7.6 Lmte fto 7.7 I prcpal teorem su lmt 7.8 Dscotutà 7.9 Lmt d ua fuzoe razoale 7.10 Ift ed ftesm 7.11 Quattà ecoomca d rordo VIII Le Dervate Veloctà stataea 8. Tagete ad ua curva 8.3 Farmacocetca 8.4 Defzoe d dervata 8.5 Fuzo dfferezabl 8.6 Dervata della somma, dffereza e prodotto 8.7 Dervata d u polomo 8.8 Cotutà d fuzo dfferezabl 8.9 Dervata del quozete 8.10 Dervata d ua fuzoe composta 8.11 Esemp ed applcazo 8.1 Dervata d ua fuzoe versa 8.13 Tagete ad ua curva 8.14 Approssmazoe leare 8.15 Dfferezal 8.16 Dervate successve 8.17 Formule d Taylor e d Mc Laur 8.18 Regola d dell Hosptal. IX Studo d Fuzo

23 9.1 Massm e mm 9. Studo d curve pae 9.3 Cocavtà e covesstà 9.4 Schema per lo studo d ua fuzoe 9.5 Esemp ed esercz X Gl Itegral 94 Itroduzoe 10.1 Itegrale defto 10. Propretà dell tegrale defto 10.3 Superfc e dervate 10.4 Itegrale defto XI Fuzo Trascedet Espoezal e logartm 11. Dervate e tegral delle fuzo espoezal 11.3 Fuzo trgoometrche XII Tecche Elemetar d Itegrazoe Itegral mmedat 1. Itegrazoe per sosttuzoe 1.3 Itegrazoe d fuzo razoal XIII Fuzo d due varabl Domo e rappresetazoe 13. Lmt e cotutà 13.3 Dervate parzal 13.4 Massm e mm XIV Equazo dfferezal Struttura d ua E.D. 14. E.D. a varabl separabl 14.3 Il problema d Cauchy 14.4 Equazo lear Appedce I Correlazoe e Regressoe 1 A1.1 Relazo tra varabl aleatore A1. Regressoe A1.3 Il metodo de mm quadrat A1.4 La covaraza A1.5 Correlazoe A1.6 Il test d Studet II Matrc e determat 16 III Forma trgoometrca de umer compless 17 IV Iformatca 18 Bblografa 13 Idce