NUMERI COMPLESSI. = 2 + 5i A3) Calcolare in forma trigonometrica le soluzioni complesse dell equazione iz 4 9 = 0

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1 NUMERI COMPLESSI A) Calcolare in forma cartesiana ( + i) 3 = A) ( + 5i) (3 + 4i) Calcolare in forma cartesiana = + 5i A3) Calcolare in forma trigonometrica le soluzioni complesse dell equazione iz 4 9 = A4) Calcolare le soluzioni in campo complesso dell equazione ( e z ) + e 4 = A5) Calcolare in forma cartesiana ( 3 + i) ( 3 i) = A6) Calcolare (in forma trigonometrica) le soluzioni in campo complesso dell equazione z 3 +8i = A7) Calcolare in forma cartesiana ( + i ) 3 ( i ) 3 A8) Se z C, e z i = e 4 i, allora e z = A9) Calcolare in forma trigonometrica le soluzioni complesse dell equazione z 4 + 9i = A) Calcolare le soluzioni complesse z dell equazione e z = e cos(5) e sin(5)i A) Se z C, e z = 5 ( cos(3) + i sin(3) ), allora e i z = A) Calcolare le soluzioni complesse z dell equazione e z + i sin(4) = cos(4) A3) Calcolare le soluzioni complesse dell equazione e z( cos() + i sin() ) = e 5 A4) Calcolare le soluzioni complesse dell equazione e iz = e iz A5) Sia z = + i. Calcolare (esplicitando parte reale e parte immaginaria) A6) Calcolare l area dell insieme { z C : z 4 3i <, Im(z) 3} A7) Calcolare l area dell insieme { z C : z 4 3}. A8) Sia z = i. Calcolare la parte immaginaria di z. A9) Determinare le soluzioni z C dell equazione z + z = 3 + i A) Quanto vale ( + i ) 8? iz = A) Calcolare le soluzioni complesse (esplicitando parte reale e parte immaginaria) dell equazione z + z + iz = 3 A) Se z C, z 3 = 3 ( cos(π/4) + i sin(π/4) ), allora z 6 = A3) Se e z = cos(π/8) i sin(π/8) allora z vale: A4) Calcolare le soluzioni complesse dell equazione z 8 = iz A5) Risolvere l equazione e iz = 5i: A6) Quanto vale e π 4 i? A7) Quanto vale e i7π/? A8) Quanto vale cos(π/4) cos(3π/4) sin(π/4) cos(3π/4)?

2 A9) Calcolare (esplicitando parte reale e parte immaginaria) ( + i) = A3) Calcolare le soluzioni complesse (esplicitando parte reale e parte immaginaria) dell equazione z =. A3) Se cos t + 3 sin t = ρ cos(t + θ) per t R, ρ e π/ < θ π/ allora ρ e θ valgono: A3) Scrivere e π i+3 nella forma a + ib. A33) Sia z = 3i. Calcolare z. A34) Calcolare le soluzioni complesse dell equazione z = A35) Calcolare le soluzioni z C dell equazione z 3 = 7 ( cos() + i sin() ) 3 A36) Scrivere e π 3 i nella forma a + ib. A37) Calcolare nella forma a + ib. ( + i) 3 A38) Calcolare le soluzioni complesse dell equazione z + i = nella forma z = a + ib.

3 SERIE DI POTENZE B) Calcolare il raggio R e la somma S della serie di potenze B) Calcolare la somma della serie di potenze n n! (z 5)n+ = (n + ) 3 n z n. B3) Calcolare il centro, raggio di convergenza e la somma della serie di potenze B4) Calcolare il raggio R e la somma S della serie di potenze B5) Calcolare il raggio R e la somma S della serie di potenze (z + 3) n 3 n. ( 5) n (z ) n. B6) Scrivere lo sviluppo in serie di potenze centrato in di f(z) = z B7) Calcolare il raggio R e la somma S della serie di potenze (3z + 4) n. B8) Calcolare il raggio di convergenza R e la somma S della serie B9) Sapendo che n a n z n = B) Sapendo che a n z n = cos(3z ) calcolare a n z n = cos( z) calcolare ( ) n a n z n+ = B) Calcolare il raggio R e la somma S della serie di potenze Sapendo che n a n z n n= a n z n = sin(z + 5) calcolare n7 n z n. B) Scrivere lo sviluppo in serie di Laurent centrato in di f(z) = z sin z B3) Calcolare il raggio di convergenza e la somma della serie di potenze B4) Calcolare + (i/) n = 3 + ( ) n (n + )! zn n (z ) 4n 4 n (z + 3) 4n

4 B5) Si consideri lo sviluppo in serie di potenze di cos(3z) := + a nz n. Allora a 4 vale: B6) Calcolare il raggio di convergenza e la somma della serie di potenze + 5 n z n B7) Calcolare + (πi) n n! = B8) Scrivere lo sviluppo in serie di potenze centrato in di f(z) = sin(z) z B9) Calcolare il raggio R e la somma S della serie di potenze n 4 n z n. B) Calcolare il raggio R e la somma S della serie di potenze B) Sia e z = a n z n. Calcolare a 4 = n= e in (3z 3) n. 4

5 FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA C) Per n calcolare l integrale in campo complesso z U n = z 3 zn dz = C 6() C) Sia il triangolo di vertici 3i,, 3i orientato in senso antiorario. Calcolare l integrale 4z z 4 4 dz. C3) Per n Z calcolare l integrale in campo complesso ( z n + z ) dz = z + C () C4) Determinare il tipo di singolarità in di (cos(z) )/z 5. C5) Sia la circonferenza di centro 3i e raggio. Calcolare l integrale e πz z (z + 9) dz. C6) Sia il quadrato di vertici,, + i, i orientato in senso antiorario. Calcolare l integrale 4z 4 z dz. C7) Sia la circonferenza di centro 3i e raggio. Calcolare la parte reale R dell integrale (9 + z)e πz z (z + 9) dz. C8) Sia la circonferenza di centro 6i e raggio /. Calcolare l integrale 4 e πz dz. 5

6 D) Sia u(t) = (e it ). Calcolare π D) Sia u(t) = + n= SERIE DI FOURIER π/ π/ u(t) dt= 5 π cos(nt) + sin(nt). Calcolare u(t)e 5it dt= n n π π D3) Sia u(t) = cos(t) + sin(t) cos(3t) + sin(4t). Calcolare π u (t) dt = D4) Sia cos(t) = D5) Sia sin(7πt) = + n= + n= û n e int. Calcolare û = û n e inπt. Calcolare û 7 = D6) Sia û k := te kπit dt. Calcolare + (Non occorre calcolare esplicitamente û k ) D7) Calcolare π/4 ( + cos(4t) + 3 sin(8t)) dt π π/4 k= ûk. D8) Sia rect(t) = a + a n cos(nt) + b n sin(nt) nell intervallo ( π, π). Calcolare n= 4 a + a n n= D9) Sia sign(t) = a + a n cos(nt) + b n sin(nt) nell intervallo ( π, π). Calcolare n= b n n= D) Sia u(t) = + + k= ( 6 k cos(5kt) + 4 k sin(5kt) ). Calcolare il periodo di u e lo sviluppo in serie di Fourier di u in forma esponenziale. D) Sia u(t) = π u(t) sin(6t) dt = k= k sin(kt). Calcolare D) Sia u(t) = + 3 cos(3t) + 5 sin(6t). Calcolare π u(t)e 6it dt = D3) Sia u(t) = + sin(t) + cos(t) + 3 sin(3t). Calcolare π D4) Sia u(t) = u(t) dt = n= π 4 in eint. Calcolare u(t) dt = π 6

7 TRASFORMATE DI FOURIER E) Sapendo che H(t)e 4t πift dt = + e πit 4 + πit dt = 4+πif calcolare E) Sia u(t) = ( + t 5 cos t)e t e û = F [u]. Calcolare + û(f) df = E3) Sia û = F [u] e ˆv = F [v]. Sapendo che û() = 4 e v(t) = u(t/), quanto vale ˆv()? E4) La trasformata di Fourier del segnale u è calcolare u(t) = û(f) = (f) sinc(f); E5) Sapendo che la trasformata di Fourier di u è û(f) = f +f, calcolare la trasformata di Fourier 6 di u. E6) Calcolare + sinc (f)e π 3 if df = E7) Sapendo che la trasformata di Fourier di u è û(f) = (f )e πf, calcolare + u(t) dt E8) Calcolare + ( d dt e πt) e πit dt = 7

8 F) Calcolare l anti trasformata di Laplace di U(s) = e 4s+ (s 3) TRASFORMATE DI LAPLACE F) Calcolare la trasformata di Laplace di u(t) = H(t )e 4t F3) Calcolare l anti trasformata di Laplace di U(s) = d ds ( e 5s s 3 ) F4) Calcolare la trasformata di Laplace di u(t) = H(t 3) U(s) = F5) Calcolare l anti trasformata di Laplace di U(s) = d ( e s ) ds s 3 F6) Calcolare la trasformata di Laplace di u(t) = th(t 5)(t 5) F7) Calcolare la trasformata di Laplace di u(t) = H(t)e t+. U(s) = F8) Sapendo che la trasformata di Laplace di u è U(s) = e s s, calcolare la trasformata di Laplace di v(t) = tu(t). F9) Calcolare / (t ) e st dt = F) Sapendo che la trasformata di Laplace di u è U(s) = s di v(t) = tu(t). s 4 + F) Calcolare la trasformata di Laplace di u(t) = H(t)t sin(4t) F) Calcolare l antitrasformata di Laplace di U(s) = s+ s. F3) Calcolare l anti trasformata di Laplace di U(s) = d ds, calcolare la trasformata di Laplace ( ) s + 9 F4) Sia U(s) la trasformata di Laplace di H(t)e t4 +3t. Calcolare l antitrasformata di Laplace di U (s + 3). F5) Calcolare t 3 e 4t dt = F6) Sapendo che la trasformata di Laplace di u è U(s) = Fourier v(t) = u( t). s, calcolare la trasformata di + 3s + F7) Calcolare la trasformata di Laplace di u(t) = H(t)te t U(s) = F8) La trasformata di Laplace del segnale u è U(s) = s log s (s 4) +s ; sapendo che u è derivabile in tutto R, calcolare la trasformata di Laplace di u. F9) Sia u(t) = H(t)( cos 3 t)e t e U(s) = L[u]. Calcolare 3+i 3 i U(s)e πs ds = F) Calcolare la trasformata di Laplace di u(t) = H(t) cos(t + π/3). U(s) = F) Calcolare l antitrasformata di Laplace di U(s) = e s s s 4. 8