FISICA GENERALE T-A 23 luglio 2012 prof. spighi (CdL ingegneria Energetica)

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1 ISICA GENEAE T-A 3 luglio 1 pof. spighi (Cd ingegneia Enegetica) 1) Un punto ateiale si uove nello spazio secondo la seguente legge oaia: x( t) = t + 3 t; ( t) = t + 5; z( t) = t; deteinae: a) la velocità istantanea vettoiale; b) l acceleazione istantanea vettoiale; l angolo foato dai vettoi velocità ed acceleazione al tepo t = s ) Un disco igido ed oogeneo, di assa = 1 kg, aggio =.1 otola senza stisciae su di un piano oizzontale scabo lungo la diezione î. Nell eo supeioe del disco è applicata una foza costante = 1iˆ N. Deteinae le espessioni delle seguenti quantità: a) il odulo dell acceleazione del cento di assa del disco; b) la foza di attito fonita dal piano oizzontale scabo; il oento angolae del disco (ispetto al suo cento di assa) al tepo t = 5 s supponendo che la sua velocità nell istante iniziale sia nulla. Il oento di inezia di un disco (assa M e aggio ) ispetto al suo c è: Idisco = 1 M ^ i 3) Una pallina di assa = 1 g è vincolata a uovesi su una guida a foa di anello cicolae di aggio = 1 c posta in un piano veticale. anello è esso in otazione attono al diaeto veticale con una velocità angolae ω=14 ad/s. Calcolae ispetto a un sistea solidale con la assa (vedi figua): a) l angolo ϕ ispetto alla veticale in cui si tova la pallina in condizioni di equilibio; b) la eazione vincolae della guida sulla pallina Az 4) Data la foza ˆ Axz ˆ Ax ( x,, z) = i + j k ˆ deteinae: 3 a) le diensioni fisiche della costante A e die se il capo è consevativo nel doinio >; b) nel caso il capo sia consevativo calcolane l enegia potenziale in un punto P(x,,z) in tale doinio ponendo lo zeo dell enegia potenziale nel punto (1,1,1); il lavoo copiuto dalla foza quando sposta il punto di applicazione da (1,1,1) a S(,,). ω φ x 5) Un asta di lunghezza = 5 c e assa M =.5 kg è incenieata ad un eo ad un uo taite un peno pivo di attito, ente l alto eo è tenuto oizzontalente da una coda fissata al uo a distanza coe in figua. Una assa puntifoe = kg è posta a distanza / 3 dal peno. Calcolae, in condizioni di equilibio: a) odulo, diezione e veso della tensione della fune; b) odulo, diezione e veso della eazione vincolae del peno; Se ad un ceto istante la coda si spezza, deteinae: l acceleazione angolae del sistea nell istante iniziale. 1 Il oento di inezia di un asta (assa M e lunghezza ) ispetto al suo c è: Iasta = M 1 /3 6) Enunciae e discutee il teoea di König pe l enegia cinetica.

2 Soluzioni copito: Esecizio 1: a) Velocità istantanea: vx ( t) = t + 3 v ( t) = 4t vz ( t) = v( t) = t + 3 i + 4t j + k ( ) ˆ ˆ ˆ b) Acceleazione istantanea ax ( t) = a ( t) = 4 az ( t) = a( t) = iˆ + 4 ˆj Angolo ta velocità ed acceleazione al tepo t = s : v() = 7iˆ + 8 ˆj + kˆ a() = iˆ + 4 ˆj Possiao utilizzae il podotto scalae v( t) a( t) = v( t) a( t) cosα ( i ˆ ˆ j kˆ ) ( i ˆ ˆ j) v( t) a( t) cosα = che pe t = s v( t) a( t) cosα = = = o α =.8 Esecizio : a,b) Il poblea si isolve scivendo le equazioni cadinali della eccanica. Sul sistea agiscono 4 foze (figua a lato) e decido di poe la foza di attito con veso opposto al oto (se saà coetto otteò un valoe positivo, altienti se otteò un valoe negativo significheà che il veso deve essee invetito). tot= a c dove totemtot sono ispettivaente la isultante delle foze e Mtot= Iα tot= + att+ P+ = ac dei oenti delle foze. Mtot= Iα att P ^ i

3 dove att, Pe sono ispettivaente la foza di attito, il peso del disco e la eazione del piano oizzontale. (Attenzione: non si può scivee att =µ Sg poiché qua è la foza assia dell attito statico, a sul disco potebbe agie anche solo una pate di essa (non lo sappiao a pioi), dunque la del poblea). att è un incognita Siviao le equazioni cadinali della eccanica lungo le vaie coodinate: ˆ Pia equazione della dinaica: i att= ac ˆj P= Seconda equazione della dinaica: ha coponente solo lungo z dove: 1 a c I=, α= k ˆ e M ( ) ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ tot= + att = k attk= + att k Mettendo insiee i pezzi: 1 Mtot= Iα ( ) ˆ acˆ 1 + att k= k + att= ac Mettiao insiee le elazioni ottenute: 1 3.3ˆ att= a c att= a c att= = in att= a c + ac= a c ˆ ac= = 13.3 i/ s 3 SSEVAZINE IMPTANTE: a foza di attito isulta negativa = 3.3ˆiN att dunque significa che l ipotesi che avevo fatto nella figua pecedente non è coetta e la vea situazione è quella appesentata a fianco. Quo è uno dei pochi casi in cui la foza di attito auenta l acceleazione (e dunque la velocità) del cento di assa confeato anche dal secondo isultato ottenuto. att 4 ˆ P ac= = 13.3 i/ s 3 dove si vede che ac> che è l acceleazione che si otteebbe in assenza di attito statico. Da un punto di vista fisico si spiega in quo odo: se non ci fosse l attito, la foza ceeebbe sia taslazione (pechè è una foza non nulla) che otazione (pechè ha un oento della foza non nullo) e la otazione saebbe aggioe di quella che invece si ha con l attito statico pedendo velocità taslazionale. attito statico peette al copo di otolae senza stisciae acquistando una aggioe velocità taslazionale. Siccoe l acceleazione del cento di assa è costante, il oto del cento di assa è unifoeente acceleato vc= v+ act= act Il oento angolae del disco ispetto al suo c è dato da: 1 v 1 c 1 4 K = Iω= = v+ act= t= t= 3.33 kg / s 3 3 ^ i

4 Esecizio 3: a,b) ω ispetto ad un sistea di ifeiento (sd) solidale con la pallina, con l oigine sulla pallina stessa e gli assi x, e z dietti coe in figua a lato ' (sd osso), sulla pallina di assa agiscono 3 foze: la foza peso e la foza centipeta (foze eali di coloe blu) ed una foza fittizia (vedeo quale di coloe osso). ispetto a quo sd la pallina è fea e dunque : = N+ P+ fitt = φ N ' dove: P= gj ˆ è la foza peso P N= Nsenϕˆi + Ncosϕˆj è la foza centipeta i = ω v ω ω ω a = a = ω i ˆ = ω senϕˆi ( ) fitt oo oo Sciviao la elazione N+ P+ fitt = Nsenϕ+ ω senϕ= Ncosϕ g= Da cui segue che 6 lungo i assi: N= ω Ncosϕ= g ϕ= e N=.196(.866 ˆ i +.5 ˆ j ) N= = = C ω g 9.81 cosϕ= = =.5 ω 14.1 x' [ N] Esecizio 4 a) a costante A ha le seguenti diensioni fisiche: [A] = [][]=[M] ][ ] [T - ] e unità di isua N oppue Kg / (s ). Il otoe del capo è nullo, dunque il capo è consevativo. b) Calcolando il lavoo su un caino ettilineo a tatti ta il punto (1,1,1) ed un punto geneico P(x,,z) x11 x1 xz = dx+ d+ dz= P x z 111 x11 x1 x11 x1 Az Axz Ax P= dx+ d dz = xz x11 x1

5 x11 x1 xz xz xz xz x xz x xz = A A A = Ax+ A A + Ax A + A = A x11 x1 xz dunque P= V(1,1,1) V( xz,, ) = A 1 xz da cui segue l enegia potenziale V( xz,, ) = A 1. Visto che il capo è consevativo, il lavoo ta i punti (1,1,1) e S(,,) si ottiene dalla elazione: = V( ) V( S) = V(1,1,1) V(,,) = S Esecizio 5 a,b) Bisogna ipoe le condizioni della statica alle foze che agiscono sul sistea. Innanzitutto sul sistea agiscono 4 foze (figua a lato): le foze peso dell asta e della assa, la tensione della coda e la eazione vincolae del peno (che non so coe è dietta ed è stata disegnata a caso). Tutte que foze sono applicate in punti divesi. Scegliao un sistea di ifeiento (sd) con oigine sul peno e assi x e coe in figua e valutiao il oento della foza ispetto al polo. Con ovvie consideazioni geoetiche si otttiene θ= 45. Mg g T θ x Condizioni di statica: = PA+ P+ T+ = M= ˆ ( ) ˆ i Mg j ˆi ( g) ˆj i ˆ ˆ + + ( Tcosθi+ Tsinθj) + = 3 dove P = Mgj ˆ A è il peso dell asta, P = gj ˆ è il peso della assa, T= Tcosθˆi + Tsinθj la tensione del filo e è la eazione del peno. Svolgendo i podotti vettoiali si ottiene: ˆ PA+ P+ ( Tcosθi+ Tsinθj) + = ˆ ˆ ˆ Mgj gj+ ( Tcosθi+ Tsinθj) + = Mgˆ g k kˆ + Tsinθkˆ g M = T 1.7N 3 = + = sinθ 3 è Sostituendo nella pia equazione si ottiene:

6 = Mg+ g j T i+ T j = T i+ Mg+ g T j= i+ j N T = T i + T j = i + j N ( ) ˆ ( cosθˆ sinθ ) cosθˆ ( sinθ) ˆ ˆ ˆ ( ) cosθˆ sinθ ( 8.98ˆ 8.98 ) I oduli delle due foze isultano: = 17.9N T= 1.7N Una volta spezzata la coda, la tensione del filo non esiste più ed il sistea è soggetto solo alle ianenti 3 foze (dove è stata disegnata a caso). Applichiao la seconda equazione cadinale della eccanica: M = I α dove tot, M è il oento delle foze ene calcolate ispetto ad ; I = I + I è il oento d inezia totale ispetto al punto che è dato tot, A,, dal oento d inezia dell asta ispetto al punto ( I A, ) più quello elativo alla assa sepe ispetto ad ( I, ); α è l acceleazione angolae ichia. Mg g x Calcoliao i vai teini: ˆ ( ) ˆ ˆ ( ) ˆ Mgˆ gˆ g M ( 3 ) ˆ = i Mg j+ i g j= k k= M+ k Itot, = IA, + I, = M M + + = M+ = ( 3 M+ ) Dunque: g ( 3 M k ) ˆ 3g( 3M+ ) 1 ( 3M+ ) ( 3M+ ) M + α= = 6 Itot, = kˆ = 46.5 kad ˆ / s 9