Complementi di Matematica - Ingegneria Energetica/Elettrica/Sicurezza Prova scritta intermedia del 7 dicembre nx 1 + n α x 2.

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1 Complementi di Matematica - Ingegneria Energetica/Elettrica/Sicurezza Prova scritta intermedia del 7 dicembre 7. Si consideri la successione di funzioni f n, dove f n : [, [ R è definita da e dove α > è un parametro. f n x : n α x. a Si trovino i valori di α per cui f n converge in L [, [. b Si trovino i valori di α per cui f n converge in L [, [. c facoltativo Si trovino i valori di α per cui la serie n f n converge in L [, [. Svolgimento. A causa di una svista nel trascrivere l esercizio il primo e il terzo punto sono BANALI e quindi piì facili: si veda alla fine qual era il testo pensato in origine. Infatti nessuna f n è in L [, [ dato che per ogni n f n x per x. Dunque x le funzioni, e quindi la serie, non convergono per nessun α. Consideriamo la convergenza L. Dato che α > si ha, per x >, se < α <, lim f se α, n x se α >, si deduce che, se esiste f in L tale che f n f in L, deve essere, per quasi ogni x, nel caso < α <, fx nel caso α, x nel caso α >. perchè la convergenza puntuale individua il limite L. Dato che né la funzione fx /x né tantomeno fx sono in L [, [, la successione non converge se α. Inoltre se α > la successione, se converge, converge a zero. Vediamo per quali α > la successione converge a zero in L. Si ha: f n L f n x dx n x y dx n α x n 3α/ y dy usando la sostituzione y n α/ x x n α/ y dx n α/ dy; notiamo che non serve calcolare l integrale. Dato che n 3α/ se e solo se α > /3, la successione converge se e solo se α > /3.. Si consideri la funzione f : [, R definita da: t se t, ft se t 3, t se 3 t.

2 Dopo aver tracciato il grafico di f, si dica per quali valori di λ > il problema: y λy f in [, ha soluzione. y y Si dica inoltre per quali valori di λ > il problema ha un unica soluzione y e in questo caso si esprima y mediante un opportuna serie di Fourier. Svolgimento. Per risolvere il problema con dati nulli agli estremi sull intervallo [, esprimeremo y ed f in serie di Fourier rispetto alle funzioni s k t sinkt. Se f k f ks k, si ha: f k ft sinkt dt [ t coskt Dunque t sinkt dt 3 sinkt dt 3 coskt dt sinkt dt k k [ t coskt coskt dt k 3 k 3 k cos k [ sinkt k k [ 3 coskt k k cos k 3 [ sinkt k k 3 k cos k k sin k k cos k 3 k cos k k cos k 3 k sin k 3 k sin k sin f k sin k sin k 3 k A quest punto se scriviamo y k y ks k, troviamo la consueta relazione: Quindi si ottiene che: k λy k f k k 3 t sinkt dt k 3 La soluzione esiste unica se e solo se λ non è il quadrato di un intero positivo λ k k ; La soluzione esiste non unica anche se λ k purché f k, cioè se sin k sin k 3.

3 Mettendo k,, 3, si trova: 3 sin sin sin sin 3 3 sin sin sin 3 sin 3 3 sin 3 sin sin sin 3 sin sin 3 e poi la situazione si ripete. Dunque la condizione di compatibilità è verificata se e solo se k è un intero pari; ciò significa che per λ k con k intero positivo pari la soluzione esiste anche se non è unica. La soluzione non esiste negli altri casi, cioè se λ k con k intero dispari. Volendo si può ragionare in maniera più formale per trovare glii f k : k f k Im e ik e ik 3 Im e ik e ik e ik cos k Imi k se k è pari cos h h se k h, h se k è pari h cos h se k h, h se k è pari se k h, h cioè se k è pari, f k se k è dispari. k 3. Si trovi la soluzione del problema y y te t y y y y. in R Svolgimento. Utilizziamo la trasformata di Fourier. Per prima cosa troviamo la trasformata di ft te t. Si ha ˆfω [ te iωt iω te t e iωt dt [ te iωt iω [ e iωt iω te t e iωt dt iω [ e iωt iω e iωt dt iω e iωt dt iω iω 8ωi ω

4 Se allora trasformiamo entrambi i termini dell equazione otteniamo: ω iωŷω 8ωi ω ŷω 8i ω iω Tale funzione ha come poli i semplice e ±i doppi. Allora:, i, i z iz yt z iz, i z iz se t >, se t <. Calcoliamo i residui. [ z iz, i t 8e t e t i i z zi 6 8, [ d z iz, i i dz z iz i zi [ ite 8 z iz i e z i z i e z iz i 3 ite t 8 ii e t i i e t ii 3 z iz, i [ 8 Quindi te t e t i [ d dz 8 e t te t 8, z iz i z i ite z iz i e z i z i e z iz i 3 ite t 8 6i i e t 6i i e t 6i i 3 te t et 7 et tet et 8. yt e t 8 te t te t et 8 se t >, se t <. zi z i. Versione modificata del primo esercizio Si consideri la successione di funzioni f n, dove f n : [, [ R è definita da e dove α > è un parametro. f n x : n α x. a Si trovino i valori di α per cui f n converge in L [, [. b Si trovino i valori di α per cui f n converge in L [, [. c facoltativo Si trovino i valori di α per cui la serie n f n converge in L [, [.

5 Svolgimento. Dato che α > si ha, per x >, se < α <, lim f se α, n x 3 se α >. Da questo si deduce che, se esiste f in L /L tale che f n f in L /L, deve essere, per quasi ogni x, nel caso < α <, fx nel caso α, x 3 nel caso α >. perchè la convergenza puntuale individua il limite L /L. Dato che né la funzione fx /x 3 né tantomeno fx sono in L [, [/L [, [ a causa dell andamento in zero, la successione non converge se α. Inoltre se α > la successione, se converge, converge a zero. Vediamo per quali α > la successione converge a zero in L. Si ha: f n L f n x dx dx n α n α/ x y y dy abbiamo usato la sostituzione y n α/ x x n α/ y dx n α/ dy. Dato che n α/ se e solo se α >, si ottiene che f n converge in L se e solo se α > e il limite è zero. Vediamo per quali α > la successione converge a zero in L. Si ha: f n L f n x dx n x dx n α x n 3α/ y y dy come prima y n α/ x x n α/ y dx n α/ dy. Dato che n 3α/ quando α > 8/3, f n converge in L se e solo se α > 8/3 e il limite è zero. Per la convergenza della serie possiamo innanzitutto studiare la convergenza della serie delle norme: f n L C n α/ < α/ < α > n n dove C y dy. Per il criterio della convergenza assoluta si vede allora che per y α > la serie n f n converge in L. Facciamo vedere che tale condizione è anche necessaria; in effetti se la serie è convergente in L a una somma F x allora si può integrare per serie dato che l integrale è un operatore continuo su L e si ha: F x dx f n x dx n n f n x dx f n L. e quindi la serie delle norme deve essere convergente. In definitiva la serie n f n è convergente in L se e solo se α >. n