Soluzione. Si consideri la figura sottostante che raffigura la geometria del problema: = =

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1 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol PROBLEMA Del tringolo ABC si nno le seguenti informzioni: ABcm; ACcm; CAB 60. Si trcci l isettrice di CAB e se ne indici con D lintersezione con il lto BC. ) Si clcoli l lungezz del lto BC e delle prti in cui esso risult diviso dl punto D. ) Si determinino il coseno dellngolo in B, l misur di AD e, disponendo di un clcoltore, le misure pprossimte degli ltri due ngoli interni di vertici B e C. c) Si trovi sul lto AD, internmente esso, un punto P tle ce l somm s dei qudrti delle sue distnze di vertici A, B e C si m essendo m un prmetro rele dto. d) Si discut tle ultim questione rispetto l prmetro m. Si consideri l figur sottostnte ce rffigur l geometri del prolem: ) Il lto BC si può clcolre ttrverso il teorem di Crnot, per cui: 9 cos ( CAˆ ) BC AC AB AC AB cos B ( 60 ) Or per il noto teorem dell isettrice di un ngolo interno d un tringolo, vle l seguente proporzione: AC : AB CD : DB. Ponendo CD, DB 7 l proporzione si scrive: ( 7 ) 7 : : 7 CD, DB 7 ) Per il teorem di Crnot vle l seguente equzione: cos ( C BA ˆ ) AB CB AC AB CB ed ncor per lo stesso teorem si :

2 Sessione suppletiv LS_ORD ( CBˆ ) AD AB DB AB DB cos A di De Ros Nicol 6 Or ) ( CBA ˆ ) 7 ˆ 7 cos CBA rccos BCA ˆ Ponimo AP, 0. Applicndo il teorem di Crnot due volte si : PC PB Si llor: AP AP AC AB AP AC cos AP AB cos e cioè si deve discutere il seguente sistem: ( 0 ) ( 0 ) 9 9 s AP PC PB m 0 m 6 y y m 6 0 L prim equzione y è un prol con concvità rivolt verso l lto e vertice 7 nel punto V,, mentre l second 6 delle scisse. ) Il vlore minimo ce può ssumere l rett y m è l equzione di un rett prllel ll sse y m è in corrispondenz del vertice dell prol e cioè qundo 7 y m ; inoltre gli estremi dell intervllo di nlisi 6 0 i vlori ssunti

3 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol dll rett y m sono Il tutto è sotto rppresentto: y, y 99 0 m m. 6 Il sistem llor mmette le seguenti soluzioni: soluzioni per m m ; soluzione per < m < m.

4 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol Si consideri l figur seguente: ) Le due pirmidi, quell inizile VABCD e quell seziont VA B C D sono simili, per cui i qudrti delle ltezze stnno come le ree di se cioè vle l seguente proporzione: : : ce può essere nce riscritt nel modo seguente: : ) ( :. Or il volume del tronco di pirmide può essere clcolto come differenz tr i volumi delle due pirmidi e cioè ( )( ) ( ) V V V D VA B C VABCD tronco

5 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol ) L pirmide è se qudrt, per cui, vist l prticolre simmetri, il piede dell ltezz dell pirmide VABCD cde nel centro del qudrto di se e l potem è l medin e l ltezz del tringolo isoscele VBC. Quindi HK e VK. Inoltre per ipotesi sppimo ce l superficie lterle vle, e ricordndo ce l superficie lterle si clcol come semiperimetro di se moltiplicto per l potem VK si VK VK d cui. Il volume dell pirmide srà llor: ( ) f ( ) V VABCD. 6 Or l esistenz del volume impone l condizione 0, ed essendo lo spigolo di se un lungezz si deve ulteriormente imporre 0, d cui viene fuori l condizione 0. Studimo llor l crescenz e decrescenz dell funzione volume ( ) f ( ) V VABCD 6 nell intervllo 0. L derivt prim è: f ( ), per cui 6 f ( ) 0, cioè l funzione volume è crescente nell intervllo e decrescente in 0. Cioè il volume è mssimo per e vle V VABCD ( ) f ( ) dm. 6 In tl cso l ltezz dm, l potem vle VK dm, gli spigoli di se vlgono dm e gli spigoli lterli vlgono per il teorem di Pitgor VK KB dm, cioè le fcce lterli sono tringoli equilteri, per cui l pirmide è qudrt e rett nello stesso tempo. VB

6 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol ) Si consideri l seguente figur: Come già evidenzito nel punto precedente, le digonli del qudrto sono il doppio dell ltezz dell pirmide regolre se qudrt, e cioè HD HB, per cui il tringolo VDB è rettngolo in V ed è possiile così inscriverlo in un semicirconferenz; e l sfer circoscritt può essere penst come conseguente ll rotzione di tle semicirconferenz ttorno l dimetro DB. Per cui il rggio dell sfer è ) R HD HB. Il volume dell sfer circoscritt ll pirmide di volume mssimo è: V sfer R π π π dm e ricordndo ce dm litro si V dm sfer π π litri,8096 litri. 6

7 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol Questionrio. Tr i rettngoli venti l stess re di 6m trovre quello di perimetro minimo. Dette > 0, y > 0 le misure dei lti del rettngolo, isogn trovre le misure, y ce minimizzno il perimetro p y spendo ce l re A y 6. L funzione d minimizzre può essere così riscritt: Clcolndone l derivt si : 6 p y p ce risult essere positiv per < >. Scrtndo l soluzione negtiv si ce l funzione perimetro è crescente per > e decrescente ltrimenti; cioè il perimetro è minimo per y cioè qundo il rettngolo è un qudrto di lto.. Cos si intende per "funzione periodic"? Qul è il periodo dell funzione f()sen-cos? Un funzione f : A R R è periodic di periodo T > 0 se A kt A e f ( ) f ( kt) con k intero. Il piu piccolo vlore di T > 0 ce soddisf le due condizioni è detto periodo. Inoltre v ricordto ce il periodo dell somm o differenz di due funzioni periodice è il minimo comune multiplo dei due periodi componenti. Nel cso in esme le funzioni componenti ( sin( ),cos( ) ) nno entrme periodo pri π per cui il periodo dell funzione differenz è esttmente π come sotto presentto: 7

8 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol. Dre un esempio di un solido l cui superficie lterle è π. Un cono circolre retto di potem e rggio di se r superficie lterle pri S l π r, per cui l condizione π r π r ; quindi un cono con potem pri 8 e rggio S l soddisf lle condizioni ricieste. Se l equzione cuic c d 0 due soluzioni coincidenti reli pri k, questo signific ce tutte e tre le soluzioni sono reli, percé d un eventule soluzione compless corrisponderee nce l su compless coniugt ce sommte lle due reli coincidenti freero soluzioni e ciò è in contrsto col ftto ce le soluzioni dell cuic sono. Quindi, essendo tutte reli, il polinomio cuico può essere fttorizzto nel seguente modo: y c d ( k) ( ). L su derivt è ( k) y ( k)( ) ( k) ( k) d cui si evince ce nc esso si nnull in k. L derivt second è invece y ( k) ( k) ( k) ed 8

9 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol y ( k) ( k ), per cui y ( k) ( k ) 0 k ; per cui k è soluzione nce di y 0 se e solo se le tre soluzioni dell cuic sono reli e coincidenti. L formul di ddizione per il coseno si esprime in questo modo: cos( y) cos( )cos( y) sin( )sin( y) per cui ponendo y α si ricv cos( α ) cos( α)cos( α) sin( α)sin( α) cos ( α) sin ( α ) Or ricordndo ce cos ( ) sin ( α ) cos( α ) cos α si ricv lterntivmente ( α ) sin Or ripplicndo le stesse formule si : cos(α ) cos ( α ) cos ( α ) sin ( α ) ( α ) sin ( α ) cos ( α ) [ ( α) ] [ cos ( α) cos ( α) ] cos 8cos ( α) 8cos ( α) L funzione y 0 le seguenti crtteristice: ( 0 ) lim ( 0 ) lim ; ; E sempre crescente, inftti y 0 > 0 R e queste tre crtteristice ci ssicurno ce l equzione y 0 0 un ed un sol rdice rele. Tle rdice è clcolile ttrverso il teorem degli zeri e si trov nell intervllo [-,0]; inftti ( ) 0 < 0, y(0) > 0 y. 9

10 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol 7. Enuncire il teorem del vlor medio o di Lgrnge [d Giuseppe Luigi Lgrnge (76-8)] e mostrrne le impliczioni i fini dell determinzione dell crescenz o decrescenz delle curve. Il teorem di Lgrnge (o del vlor medio) fferm ce se un funzione rele di vriile rele è continu in un intervllo [; ] e derivile in (; ), esiste lmeno un punto interno llintervllo in cui l tngente l grfico dell funzione è prllel ll rett ce congiunge i punti del grfico corrispondenti gli estremi dellintervllo [;]. Quest è l interpretzione geometric del teorem di Lgrnge. In modo più formle: Si f :[, ] R continu in [, ] derivile in (, ) f ( ) f ( ) llor in queste ipotesi c (, ) : f ( c). Il teorem di Lgrnge (o del vlor medio) fornisce un condizione sufficiente per l crescenz o decrescenz di un funzione in un intervllo. Prendimo tl proposito un funzione f () continu in I e derivile nei punti interni d esso. A prtire dl teorem di Lgrnge si possono dimostrre le seguente proposizioni: Se f ( ) > 0 nei punti interni d I llor ess è strettmente crescente in I; Se f ( ) < 0 nei punti interni d I llor ess è strettmente decrescente in I; Se f ( ) 0 nei punti interni d I llor ess è crescente in I; Se f ( ) 0 nei punti interni d I llor ess è decrescente in I. Tutte e quttro si dimostrno in modo nlogo, per cui dimostreremo solo l prim. Dim.) Prendimo un intervllo [ ] I, con <. Per il teorem di Lgrnge si f ( ) f ( ) ce c (, ) : f ( c). Or poicé [, ] I con < e poicé per ipotesi f ( ) > 0 nei punti interni d I, si ce f ( c) > 0 f ( ) > f ( ) e vist l ritrrietà dei punti e scelti, se ne deduce l strett crescenz nell intervllo I. 0

11 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol L soluzione del prolem presentto, non è ltro ce l soluzione del seguente prolem di Cucy per le equzioni differenzili: f ( ) f (0) ln f (0) 0 L equzione f ( ) si risolve integrndo due volte, ed in prticolre: f ( ) f ( ) Il sistem d risolvere è llor: f ( ) d d H ln f ( ) d H d ln ( ln ) H K d cui f ( ) f (0) f (0) 0 ( ln ) ln H K ln ln f ( ) H K. ( ln ) ln ln K H 0 ln Tle funzione è sempre positiv, un sintoto oliquo pri 0,. Il grfico è sotto presentto: ln K 0 H ln y ed un minimo in ln

12 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol 9. Clcolre lre dell prte finit di pino delimitt dll curv dequzione ye - e dgli ssi crtesini. L funzione e y intersec l sse delle scisse in ( ln,0) e quello delle ordinte in (0,). Ess è positiv per > ln, un sintoto orizzontle pri y, è sempre crescente e non flessi. L re d clcolre è sotto rffigurt in grigio: L re è pri A 0 0 ln ( e ) d [ e ] ln e ln ln ln ln

13 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol 0. Definire gli sintoti - orizzontle, oliquo, verticle - di un curv e fornire un esempio di funzione f() il cui grfico presenti un sintoto orizzontle e due sintoti verticli. Asintoto orizzontle: L rett y q si definisce sintoto orizzontle per l funzione y f () se è verifict lmeno un delle seguenti tre condizioni: lim f ( ) 0 ; lim f ( ) 0 ; lim f ( ) 0. ± Asintoto verticle: L rett c si definisce sintoto verticle per l funzione y f () se è verifict lmeno le seguenti tre condizioni: lim f ( ) ± c, cioè il limite destro è pri o o ; lim c f ( ) ±, cioè il limite sinistro è pri o o ; lim f ( ) ± c Asintoto oliquo:, cioè l sintoto è destro e sinistro e vle o o. L rett y m q si definisce sintoto orizzontle per l funzione y f () se è verifict lmeno un delle seguenti tre condizioni: [ f ( ) ( m q) ] 0 lim [ f ( ) ( m q) ] 0 lim [ f ( ) ( m q) ] 0 [ f ( ) ] lim ± ; ;. [ f ( ) m] In tl cso m lim, q lim. ± ± Un esempio di funzione con sintoto orizzontle e verticli è il seguente: y ( ) Le crtteristice di quest funzione sono sotto evidenzite: Dominio: 0 (, ) (,) (, ) ; Intersezione sse delle scisse: y ( ) 0 0 ;

14 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol Intersezione sse delle ordinte: 0 y 0 ; Eventuli simmetrie: l funzione è dispri, inftti y ; Positività: ( ) > 0 (,0) (, ) Asintoti verticli: per cui le rette ± sono sintoti verticli; Asintoti orizzontli : lim 0 ± ( ) ( ) lim, lim lim, lim y( ) y( ) ; per cui l rett y 0 è sintoto orizzontle; Asintoti oliqui: non ce ne sono; inftti, se esistessero vreero equzione m nel nostro cso m lim lim 0 ; ± ± Crescenz e decrescenz: definizione l funzione ( ) ( ) ( ) ( ) y m q, y ( ) per cui nel dominio di y ( ) è sempre decrescente; l derivt second è y ( ) 0 0 per cui (0,0) è un flesso. Il grfico è di seguito presentto:

15 Sessione suppletiv LS_ORD 00 di De Ros Nicol

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