ESERCIZI DI FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE. per chi volesse verificare di averne una conoscenza adeguata

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1 ESERCIZI DI FONDAMENTI DI SEGNALI E TRASMISSIONE Numeri complessi per chi volesse verificare di averne una conoscenza adeguata 1. Siano A = 1 + 2j e B = 3 exp(jπ/4). Si calcoli A B utilizzando per A e B sia la notazione cartesiana a + jb sia quella esponenziale ρ exp(jϑ). Quale risulta più comoda? 2. Siano A = 1 + 2j e B = 3 exp(jπ/4). Si calcoli A + B utilizzando per A e B la notazione cartesiana. E possibile effettuare il calcolo utilizzando la notazione esponenziale? e risulta comodo? 3. Si calcoli (1 + j) 6 utilizzando la notazione cartesiana e l espansione con la formula del binomio (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b a 3 b a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 la notazione cartesiana e (1 + j) 6 = ((1 + j) 3 ) 2 la notazione cartesiana e (1 + j) 6 = ((1 + j) 2 ) 3 la notazione esponenziale Quale metodo risulta più comodo? 4. Si calcoli (1 + j) 5 utilizzando la notazione cartesiana e l espansione con la formula del binomio (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 la notazione esponenziale Quale metodo risulta più comodo? 5. Si calcoli 1 + j utilizzando la rappresentazione esponenziale. La soluzione è unica? Suggerimento: esiste un solo valore di 9? esiste un solo valore di 9? 6. Si potrebbe calcolare 1 + j utilizzando la rappresentazione cartesiana? Suggerimento: cercare a e b in modo che risulti (a + jb) 2 = 1 + j. Il calcolo risulta comodo? 7. Determinare tutti i possibili valori di N 1, cioè tutti i numeri complessi che elevati all N-esima potenza danno 1. Quante soluzioni esistono? Quali sono modulo e argomento delle soluzioni? 8. Calcolare exp(j), dando il risultato in forma cartesiana. 9. Calcolare exp(exp(j)), dando il risultato sia nella forma esponenziale sia in quella cartesiana.

2 10. I numeri complessi A = 3 + 2j e B = 2 + 3j hanno lo stesso modulo? In caso contrario quale ha modulo maggiore? Quale è il modulo di AA, AB, AB e BB? Quale è il modulo di A + B e di A B? 11. Vi viene raccontato che il modulo di exp(j5π/7) è maggiore di 50. Ci credete? 12. Vi viene raccontato che il modulo di exp(j5π/7) è 40. Ci credete? 13. Vi viene raccontato che il modulo di exp(j5π/7) è uguale al modulo di exp(j5π/7). Ci credete? 14. Vi viene raccontato che il modulo di exp(j5π/7) è maggiore del modulo di exp(j5π/7). Ci credete? 15. Il numero ( exp(j5π/7))( exp( j5π/7)) è reale? 16. Calcolare 7+3j, dando il risultato nella forma più comoda. 2+j 17. Calcolare (1 j)3 (1+j) 2, dando il risultato nella forma più comoda. 18. Se a e b sono numeri reali il modulo di a+jb a jb è uno? 19. Se a e b sono numeri complessi il modulo di a+jb a jb è uno? 20. Calcolare 1 (1+j) 2. Analisi nel tempo e nella frequenza 1. Si dica se la forma d onda j 1 + j exp(jπ/2) exp(j2πf 0t) + j 1 j exp(jπ/2) exp( j2πf 0t) è reale (i molti numeri complessi sono stati messi intenzionalmente). 2. La sinusoide sin(πt/2t) è l ingresso di un sistema LTI con risposta all impulso h(t) = δ(t) + δ(t 2T). Si determini l uscita. Si ripeta il calcolo utilizzando la risposta in frequenza. 3. La sinusoide cos(t/t) è l ingresso di un sistema LTI con risposta in frequenza H(f) = 1 (1+j2πfT) 6. Si determini l uscita. 4. La forma d onda A cos(2πf 0 t + ϕ) è l ingresso di un sistema LTI con risposta in frequenza H(f) = exp( jf/f 0 ). Si calcoli la potenza dell uscita. 5. L ingresso di un sistema LTI con risposta all impulso h(t) = δ(t) δ(t T) è A sin(πt/2t). Si calcolino energia, valor medio e potenza dell uscita. 2

3 6. Una costante x(t) = A è l ingresso di un sistema LTI con risposta impulsiva { 1 t/t 0 t T, h(t) = 0 altrove Si calcoli l uscita, sia come convoluzione di ingresso e risposta all impulso sia mediante la risposta in frequenza (Nota: l ingresso è una sinusoide a frequenza zero!). Si calcolino energia, valor medio e potenza dell ingresso e dell uscita. 7. Una funzione a scalino x(t) = Au(t) è l ingresso di un sistema LTI con risposta all impulso h(t) = exp( αt)u(t). Si calcoli l uscita come convoluzione di ingresso e risposta all impulso. 8. Si calcoli la risposta allo scalino x(t) = Au(t) di un sistema LTI con risposta all impulso h(t) = A per 0 t T e zero altrove. 9. Dato il sistema LTI con risposta all impulso h(t) = 3δ(t T) si calcoli l uscita y(t) con ingresso x(t) = 1 + cos(2πt/t). Quanto vale y(0)? 10. Un sistema LTI con risposta impulsiva { 2 0 t 2T, h(t) = 0 altrove ha in ingresso 1 0 t T, x(t) = 1 T < t 2T, 0 altrove Si calcoli l uscita y(t). Quanto valgono, in particolare, y(0), y(t) e y(2t)? Si calcolino anche energia, valor medio e potenza dell ingresso, della risposta all impulso e dell uscita. 11. Un sistema LTI con risposta all impulso 1/T 0 t T, h(t) = 1/T T < t 2T, 0 altrove ha in ingresso la sinusoide x(t) = 3 cos(2πt/t). Si calcoli la risposta in frequenza H(f). Si calcoli l uscita y(t). 12. Il sistema LTI dell esercizio precedente ha in ingresso lo scalino unitario u(t). Si calcoli l uscita y(t). Di y(t) si calcolino energia, valor medio e potenza. 13. E possibile estrarre con un filtro una sola delle due sinusoidi sovrapposte 3 cos(πt/t)+ 5 sin(2πt/t)? Quali filtri si possono scegliere per estrarre l una o l altra delle due sinusoidi? 3

4 14. Si mostri che se x(t) y(t) = z(t) si ha anche [x(t) exp(j2πf 0 t)] [y(t) exp(j2πf 0 t)] = z(t) exp(j2πf 0 t). 15. Si mostri che se z(t) = x(t) y(t) l area di z(t) è il prodotto delle aree di x(t) e y(t). 16. Si costruiscano esempi di coppie di forme d onda non identicamente nulle la cui convoluzione è identicamente nulla. 17. Si mostri che x(t) y(t) = y(t) x(t) (proprietà commutativa). 18. Se x(t) è un segnale passa basso con banda B quale è la banda di y 1 (t) = dx(t) dt, y 2 (t) = x 2 (t) e y 3 (t) = x(t) cos(2πf 0 t) (con f 0 B)? 19. E possibile estrarre con un filtro una sola delle due sinusoidi contenute nella forma d onda x(t) = cos(200πt/t) + 5 sin(200πt/t)? 20. Se x(t) e y(t) sono segnali passa basso con banda di 100 khz e 200 khz, quale è la banda di x(t) y(t) e di x(t)y(t)? Campionamento 1. Un segnale vocale, filtrato con banda di 5 khz, è campionato a frequenza f c = 15 khz. Cosa si può dire della risposta in frequenza del filtro, per una ricostruzione senza errori? 2. La sequenza (periodica) di campioni, con passo T, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,... entra in un filtro di ricostruzione passa basso ideale con banda 1/2T (e guadagno T). Quale è la forma d onda ricostruita? 3. Una sinusoide con frequenza di 800 Hz è campionata con frequenza f c = 1 khz. I campioni sono inviati in un filtro passa basso ideale con banda di 500 Hz. Cosa si può dire del segnale ricostruito? 4. E disponibile il progetto di un filtro passa basso con guadagno costante (e fase non distorta) fino alla frequenza 0.8f 0 e guadagno nullo oltre la frequenza 1.2f 0. La frequenza f 0 può essere scelta arbitrariamente. Volendo utilizzare questo filtro per la ricostruzione (senza errore) di un segnale di banda B, campionato, quale valore di f 0 si deve scegliere? Quale deve essere (almeno) la frequenza f c di campionamento? Quale deve essere (almeno) il rapporto tra frequenza di campionamento f c e banda B del segnale? 5. La forma d onda ( ) sin πt/t 2 πt/t viene campionata con frequenza fc = 3/T. Si disegni la trasformata del segnale campionato. E possibile la ricostruzione senza errori? Si ripeta con frequenza di campionamento f c = 1/T. 4

5 Probabilità e variabili casuali per chi volesse verificare di averne una conoscenza adeguata 1. Lanciando tre volte una moneta non truccata quale è la probabilità di ottenere, nell ordine, la sequenza di risultati testa-testa-croce? 2. Si lancia tre volte una moneta non truccata. Si elenchino tutte le possibili sequenze ordinate di risultati (ad esempio testa-testa-croce dell esercizio precedente) e di ciascuna si calcoli la probabilità. Si verifichi che la somma dia uno. 3. Lanciando tre volte una moneta non truccata quale è la probabilità di ottenere, in qualsiasi ordine, due teste e una croce? 4. Lanciando tre volte una moneta non truccata si calcolino le probabilità di ottenere, in qualsiasi ordine, zero teste, una testa, due teste o tre teste. Si verifichi che la somma delle probabilità sia unitaria. 5. Si ripetano tutti gli esercizi precedenti considerando una moneta truccata, che dà testa con probabilità P = Lanciando quattro volte un dado non truccato quale è la probabilità di ottenere k volte un risultato maggiore o uguale a 4 (k = 0, 1,...,4)? 7. Si lanciano quattro monete di cui una truccata, che dà testa con probabilità 1/4. Quale è la probabilità di ottenere quattro teste? 8. Si lanciano tre monete truccate (che danno testa con probabilità P). Si perde la somma X se non si ottengono teste, si vince la somma Y se si ottengono tre teste. Non si vince né si perde negli altri casi. Per quali valori del rapporto Y/X il gioco è conveniente? 9. Si lancia dieci volte una moneta non truccata. Si calcolino valor medio, valor medio del quadrato e varianza del numero di teste ottenute. 10. Un esperimento casuale ha probabilità di successo p. Si calcoli la probabilità di doverlo eseguire k volte per ottenere (per la prima volta) un successo. Si verifichi (eventualmente con un esempio numerico) che la somma per tutti i possibili valori di k sia unitaria. 11. La variabile casuale x ha densità di probabilità uniforme (cioè costante) nell intervallo tra 0 e 2. Si calcolino P(x = 1) (esattamente uguale a uno!), P(x > 1) e P(x 1). 12. La variabile casuale x può assumere valori compresi tra 2 e 2. In tale intervallo la densità di probabilità è un triangolo simmetrico. Si calcoli P(x > 1). 13. Le variabili casuali x e y hanno densità di probabilità uniforme all interno del cerchio di raggio unitario x 2 + y 2 1 e nulla al di fuori. Quanto vale la ddp congiunta all interno del cerchio? Si calcoli la probabilità P(y > x > 0), evitando calcoli inutili! 5

6 14. Le variabili casuali x e y hanno densità di probabilità uniforme all interno del cerchio di raggio unitario x 2 +y 1 1 e nulla al di fuori. Le variabili casuali sono indipendenti? Suggerimento: quali sono i valori minimi e massimi possibili di x e di y? se x e y fossero variabili casuali indipendenti, potrebbero assumere la coppia di valori x = 0.9, y = 0.9? con la vera ddp, possono assumere congiuntamente tali valori? 15. Se x e y sono variabili casuali indipendenti, come si calcola la varianza di z = x y? Suggerimenti: y è una variabile casuale? è indipendente da x? 16. Si calcolino valor medio e varianza della variabile casuale N z = x k y k k=1 dove le variabili casuali x k hanno valor medio m x e varianza σ 2 x, le variabili casuali y k hanno valor medio m y e varianza σ 2 y e tutte le variabili casuali x k e y k sono statisticamente indipendenti. 17. Date tre variabili casuali x, y e z indipendenti, con valor medio nullo e varianza unitaria si calcolino la varianza di x 2y e il valor medio di (x y)(y z). 18. Le variabili casuali x i (i = 1,...,1000) hanno densità di probabilità uniforme tra 0 e 1. Quale è il valor medio della somma delle 1000 variabili casuali? E quale è la varianza? 19. Se x e y sono variabili casuali indipendenti con valori medi m x e m y e varianze σ 2 x e σ 2 y come si calcola la varianza di z = xy? Processi casuali 1. Un processo casuale x(t) ha densità di probabilità gaussiana, con valor medio nullo e varianza σ 2 = 4. Quale à la probabilità che x(t 0 ) sia maggiore di zero? Quale è la probabilità che sia maggiore di 4? 2. Se x(t) è un processo casuale stazionario ed ergodico, il processo casuale y(t) = x(t) cos 2πf 0 t (ovviamente con f 0 0) è stazionario? 3. Se x(t) è un processo casuale stazionario a valor medio nullo, con funzione di autocorrelazione R x (τ), quale è il valor medio di x(t 1 )x(t 2 )? Suggerimento: non si dimentichi che il processo è stazionario. 4. Se x(t) è un processo casuale stazionario a valor medio nullo, con funzione di autocorrelazione R x (τ) e densità spettrale di potenza S x (f), come si calcola la potenza del processo casuale y(t) = 2x(t)? 5. Se x(t) è un processo casuale stazionario a valor medio nullo, con funzione di autocorrelazione R x (τ) e densità spettrale di potenza S x (f), quali sono l autocorrelazione e la densità spettrale di potenza di y(t) = x(t T)? Suggerimento: si parta dalla funzione di autocorrelazione R y (τ). Commento al risultato: è una ovvia conseguenza della stazionarietà del processo. 6

7 6. Se x(t) e y(t) sono processi casuali a valor medio nullo, indipendenti (e quindi incorrelati), con funzione di autocorrelazione R x (τ) e R y (τ) e densità spettrali di potenza S x (f) e S y (f) quale è la densità spettrale di potenza della loro somma z(t) = x(t) + y(t)? Suggerimento: si calcoli la funzione di autocorrelazione R z (τ). Commento al risultato: si usa dire che processi incorrelati si sommano in potenza. 7. Se x(t) è un processo casuale stazionario a valor medio nullo, con funzione di autocorrelazione R x (τ) e densità spettrale di potenza S x (f), quali sono l autocorrelazione e la densità spettrale di potenza di y(t) = x(t) + x(t T)? Suggerimento: non si tenti un risultato a caso! si calcoli la funzione di autocorrelazione R y (τ), oppure si individui il sistema LTI che produce y(t) come uscita. Verifica: si ponga T = 0 e si verifichi che R y (0) e R x (0) siano nel giusto rapporto. 8. x(t) è un processo casuale bianco con densità spettrale di potenza (bilatera) N 0 /2. Si calcoli la varianza della variabile casuale y = T x(t)dt. Suggerimento: può essere 0 considerato l integrale del prodotto di x(t) e di un rettangolo di durata T. 9. x(t) è un processo casuale bianco con densità spettrale di potenza (bilatera) N 0 /2. Si calcoli la varianza della variabile casuale y = T x(t)(1 t /T)dt. Suggerimento: T (1 t /T) corrisponde a un triangolo di durata 2T e ampiezza unitaria; la sua energia è 2T/3 (si consiglia di verificare). 10. x(t) è un processo casuale bianco con densità spettrale di potenza (bilatera) N 0 /2. Si calcoli la varianza della variabile casuale y = πt/t x(t)sin dt. Suggerimento: per πt calcolare l energia del seno cardinale si usi il teorema di Parseval. 11. L ingresso di un filtro passa basso ideale con guadagno unitario e banda B = 1/2T è un processo casuale bianco x(t) con densità spettrale di potenza (bilatera) N 0 /2. Si calcoli la varianza dell uscita del filtro. C è qualche relazione tra questo problema e il precedente? Quantizzazione 1. Una sinusoide di ampiezza A viene quantizzata e codificata con 8 cifre binarie. Si calcoli il rapporto segnale-rumore, cioè il rapporto tra la potenza media della sinusoide e la varianza del rumore di quantizzazione. 2. Un segnale musicale ha un fattore di picco (rapporto tra potenza di picco e potenza media) di 20 db. Il segnale viene quantizzato uniformemente (cioè con intervalli di uguale ampiezza) e rappresentato con 16 cifre binarie. Quanti sono gli intervalli di quantizzazione? Se il segnale è compreso tra V e +V, quale è la potenza dell errore di quantizzazione? Quale è, in decibel, il rapporto tra potenza del segnale e potenza dell errore di quantizzazione (che viene chiamato rapporto segnale-rumore)? In un pianissimo in cui la potenza del segnale si riduce di 60 db quale è il valore del rapporto segnale-rumore? Con una frequenza di campionamento di 44.1 khz, quanti bit vengono prodotti ogni secondo? Attenzione: il segnale è stereofonico, cioè composto da due canali distinti. Un Compact Disc (CD) può contenere al massimo circa 7

8 750 MB (non Mb!): si mostri che ciò corrisponde alla durata di un CD. Commento: l attuale standard CD utilizza 16 bit e una frequenza di campionamento di 44.1 khz (ma i fanatici dell alta fedeltà dicono che non bastano e hanno spinto per un nuovo standard a 24 bit, e per una frequenza di campionamento di 96 khz). 3. Per un segnale vocale è sufficiente un rapporto segnale-rumore di 40 db. Inoltre il fattore di picco è circa 9 db. Quanti bit sono necessari per la quantizzazione? Trasmissione numerica 1. Per la trasmissione di una sequenza di cifre binarie (bit), uno ogni T secondi, si utilizzano rettangoli (positivi o negativi) di durata T. Il mezzo trasmissivo aggiunge rumore gaussiano bianco con densità spettrale di potenza (bilatera) N 0 /2. Commento: ogni mezzo trasmissivo comporta un attenuazione, spesso molto elevata. E evidente che ciò che conta è l ampiezza del rettangolo ricevuto, e non di quello trasmesso. Si indichi con A l ampiezza del segnale ricevuto. In ricezione per decidere sul k-esimo bit a k si calcola la media del segnale ricevuto nel relativo intervallo di durata T, con peso rettangolare: y k = kt+t kt r(t) dt Commento: è evidente che il ricevitore deve sapere dove iniziano e terminano gli impulsi rettangolari, cioè deve essere sincronizzato con il trasmettitore. Come si calcola la probabilità di errore nella decisione? Fissata l energia della forma d onda rettangolare, la probabilità d errore è la minima possibile, oppure in ricezione si potrebbe far di meglio? Le decisioni relative a bit diversi sono indipendenti? C è interferenza intersimbolica? Quale è il (grave!) difetto della forma d onda elementare rettangolare? Se invece dei rettangoli si utilizzassero forme d onda progettate per un buon uso della banda, quale potrebbe essere la banda richiesta per trasmettere 10 Mb/s? A parità di energia per bit ricevuta, le prestazioni cambierebbero? Se si desidera una probabilità d errore pari a 10 8 e se N 0 = kt dove k = J/K è la costante di Boltzman e la temperatura complessiva (che include il contributo del rumore degli amplificatori) è T = 1000 K, quale deve essere il valore della potenza ricevuta? 2. Si utilizzano le forme d onda elementari dell esercizio precedente, cioè rettangoli di durata T, per una trasmissione numerica a quattro livelli ( 3A, A, A, 3A) anziché binaria. In ricezione per decidere sul simbolo a k si calcola y k = kt+t kt r(t) dt e si confronta y k con opportune soglie. 8

9 Quali sono i valori delle soglie? Come conviene associare le coppie di bit ai quattro livelli? (si cerchi di individuare più di una soluzione, tra quelle equivalenti). Quanto vale l energia ricevuta per simbolo? Quanto vale l energia ricevuta per bit d informazione? Quale è la probabilità che i simboli decisi siano errati? Nota: chi vuole essere preciso osservi che i livelli interni A e A hanno probabilità d errore doppia di quelli esterni. Come si calcola la probabilità che i bit decisi siano errati? Nota: quando si sbaglia un simbolo uno solo dei due bit è errato. Se invece dei rettangoli si utilizzassero forme d onda progettate per un buon uso della banda, quale potrebbe essere la banda richiesta per trasmettere 10 Mb/s? A parità di energia per bit ricevuta, le prestazioni cambierebbero? 3. La forma d onda elementare utilizzata per una trasmissione binaria in banda base al ritmo di 20 Mb/s è del tipo a radice di Nyquist e occupa una banda di 15 MHz. Si disegni la trasformata di Fourier di tale forma d onda elementare. Come si calcola la probabilità d errore? Con questa forma d onda si ha interferenza intersimbolica? 4. In banda passante si vuol trasmettere al ritmo di 30 Mb/s. Quale è la banda occupata se si utilizza una costellazione 4-QAM? Se la banda è di soli 10 MHz a quale costellazione si deve ricorrere? In cosa si deve pagare per poter ridurre la banda senza diminuire il ritmo di trasmissione? La trasmissione sarebbe teoricamente possibile anche in una banda di 5 MHz o di 2 MHz? e in pratica? gli esercizi che seguono richiedono calcoli numerici (con MATLAB) 5. Si consideri la forma d onda elementare g(t) = sin π(1 α)t πt(1 16α 2 t 2 ) + 4α π cos π(1 + α)t 1 16α 2 t 2 per la trasmissione binaria, al ritmo di un simbolo per unità di tempo (per comodità si è scelto come unità di tempo l intervallo tra i simboli, cioè si è posto T = 1). Il parametro α è compreso tra 0 e 1. Si traccino (con MATLAB) i grafici di g(t) per α = 0, 0.5 e 1 e si confrontino con quelli visti a lezione. Attenzione: in t = 0 e (se α 0) in t = ±1/4α l espressione di g(t) è indeterminata; si deve considerare il limite. Numericamente, un metodo semplice è aggiungere a t una piccola costante (ad es ). Si verifichi numericamente, per ciascun α, che l energia di g(t) è pari a uno. Si valuti poi numericamente la trasformata di g(t) e si mostri che la banda è (1+α)/2. Si ricalcoli l energia nel dominio delle frequenze. Commento: la soluzione con α = 0 è quella teoricamente a banda minima (in questo caso g(t) è un seno cardinale), ma in pratica non viene mai utilizzata perché le code decrescono troppo lentamente. 9

10 In ricezione, per calcolare le correlazioni richieste per le decisioni, si usi un filtro adattato con risposta impulsiva g( t) (ignorando il ritardo t 0 necessario per rendere causale il filtro). A valle del filtro la forma d onda elementare è modificata in f(t) = g(t) h(t) = g(t) g( t) = g(t) g(t). Si calcoli numericamente f(t) per α = 0, 0.5 e 1 e si confronti con i grafici visti a lezione. Verifica: si può dimostrare che l espressione della convoluzione è f(t) = sin πt πt cos απt 1 4α 2 t 2 Si confronti il risultato analitico con quello numerico. Attenzione: anche in questo caso vi sono valori di t per cui l espressione analitica è indeterminata. 6. Il segnale trasmesso dell esercizio precedente può essere scritto come s(t) = a k g(t kt) dove a k = ±1, secondo i bit da trasmettere, e T = 1. Fissato un istante di tempo t si calcoli numericamente il valore di picco di s(t), cioè massimo valore che s(t) può assumere, quando tutti gli a k hanno lo stesso segno di g(t kt). Suggerimento: basta scrivere in un vettore i valori di g(t kt) con ampiezza non trascurabile e sommare i valori assoluti. Attenzione: per α = 0 si incontrano difficoltà numeriche insuperabili (si spieghi perché). Si ripeta per diversi valori di t e si tracci il corrispondente grafico: il risultato è evidentemente periodico, per cui basta esaminare un periodo (anzi basta mezzo periodo, per simmetria). Commento: un altro difetto delle g(t) a banda minima, o prossima alla minima, è il fattore di picco elevato. 7. Si supponga di aver trasmesso la forma d onda numerica dell esercizio precedente. Dopo il filtro adattato, la forma d onda ricevuta è y(t) = a k f(t kt) + n(t) dove f(t) = g(t) g( t) e n(t) è il rumore filtrato. Nota: si è ignorato il ritardo t 0 introdotto dal filtro adattato. All istante kt si ha il campione desiderato y k per la decisione sul bit a k. Ma cosa succede se si sbaglia (di una piccola quantità τ) l istante di lettura? Ad esempio se per determinare il valore di a 0 si campiona all istante τ anziché all istante 0 si ottiene: y(τ) = a 0 f(τ) + k 0 a k f(t kt) + n(t) Il segnale utile a 0 f(τ) è lievemente ridotto rispetto al caso τ = 0 (ma questo effetto è solitamente trascurabile); il secondo termine è l interferenza, indesiderata, degli altri simboli (interferenza intersimbolica). Si fissi un valore di τ e si calcoli numericamente il valore massimo possibile dell interferenza intersimbolica (quanto tutti i contributi hanno lo stesso segno). Si tracci 10

11 un grafico in funzione di τ. Attenzione: per α = 0 si incontrano difficoltà numeriche insormontabili (si spieghi perché). Commento: un altro difetto delle g(t) a banda minima, o prossima alla minima, è l elevata sensibilità all errore τ negli istanti di lettura. Sistemi di trasmissione 1. Per prendere confidenza con i decibel si considerino i seguenti rapporti (arrotondati) tra potenze: 2 = 3 db (si dovrebbe scrivere che 2 corrisponde a 3 db, ma per semplicità si usa l uguale) 4 = 6 db 8 = 9 db 10 = 10 db 1 db = 10 db - 9 db = 10/8 = 1.25 Senza calcolatrice, si dica approssimativamente a quanti db corrispondono i rapporti 3, 5, 6, 7 e 9. Si verifichi con la calcolatrice. Senza calcolatrice, si dica approssimativamente a quali rapporti corrispondono 2, 4, 5, 7 e 8 db. Si verifichi con la calcolatrice. 2. Un segnale vocale s(t) con banda B = 5 khz viene moltiplicato per la sinusoide A cos 2πf 0 t. Quale banda occupa il segnale modulato? Si potrebbe trasmettere un altro segnale nella stessa banda? Quali operazioni si devono fare in ricezione per recuperare il segnale vocale? Si mostri che se si sbaglia di 10 gradi la fase della sinusoide utilizzata per la demodulazione il segnale demodulato è degradato, ma in modo lieve. Commento: ecco una buona occasione per ripassare un po di trigonometria. 3. La frequenza della sinusoide dell esercizio precedente è f 0 = 1 MHz e il segnale modulato viene diffuso (cioè trasmesso a molti ricevitori, sparsi sul territorio) via radio. Quale è la lunghezza d onda? Possono essere utili antenne direttive? e, qualitativamente, con quale diagramma di radiazione? Di quale ordine di grandezza devono essere le dimensioni dell antenna trasmittente per ottenere una (moderata) direttività? Possono essere utili antenne riceventi direttive? e quanto dovrebbero essere estese? si tratta di dimensioni ragionevoli? 4. Si risponda alle domande precedenti supponendo f 0 = 100 MHz. 5. Due segnali vocali s 1 (t) e s 2 (t) con banda B = 5 khz vengono moltiplicati per le sinusoidi A cos 2πf 0 t e A sin 2πf 0 t e poi sommati. Quale banda occupa il segnale cosí ottenuto? Quali operazioni si devono fare in ricezione per recuperare separatamente i due segnali vocali? Cosa succede se si sbaglia di 10 gradi la fase delle due sinusoidi utilizzate per la demodulazione? l errore è tollerabile? Commento: ecco una occasione ancora migliore per un piccolo ripasso di trigonometria. 11

12 6. La potenza disponibile all antenna di un ricevitore per la diffusione commerciale in modulazione di frequenza (FM) deve essere di almeno 106 dbm per una ricezione accettabile e di circa 60 dbm per avere la miglior qualità possibile (in queste condizioni il rumore è trascurabile e prevalgono altre forme di degradazione, come ad esempio le distorsioni del modulatore e del demodulatore). Quanto valgono queste potenze, in mw? Se l impedenza dell antenna è 75 Ω quali sono le corrispondenti tensioni efficaci a vuoto ai morsetti dell antenna? Commento: ecco una buona occasione per ripassare un po di elettrotecnica. Commento: la lotta feroce tra emittenti fa sí che praticamente tutte le stazioni (autorizzate e non) trasmettano potenze enormi e siano ricevute con potenze intorno a 40 dbm o addirittura 30 dbm; in compenso la qualità dei modulatori è spesso pessima, e il rispetto delle normative è cosí trascurato da mettere in grave difficoltà i demodulatori. 7. L antenna trasmittente di una stazione commerciale FM (a frequenza f 0 = 100 MHz) con impedenza di 75 Ω emette una potenza di 10 kw. Quale tensione efficace è applicata ai suoi morsetti, se il rendimento dell antenna è pari al 100%, cioè se l antenna non dissipa potenza? e quale invece se il rendimento è del 90%? Se l antenna trasmittente ha un guadagno di 10 db e l antenna ricevente ha impedenza di 75 Ω, non è direttiva ed è posta a una distanza di 20 km (senza ostacoli alla propagazione delle onde radio) quale è la potenza ricevuta in dbm? 8. Un satellite geostazionario, in orbita equatoriale alla nostra longitudine (circa 10 gradi Est) e a km di distanza dalla superficie della terra, dista km da un ricevitore posto alla nostra latitudine di 45 gradi Nord. L antenna trasmittente è progettata per coprire a terra un area quadrata di 300 km x 300 km (per semplicità di calcolo si supponga un illuminazione uniforme in questa area e nulla al di fuori). Quale è l apertura dell antenna nelle due direzioni? Attenzione: la congiungente terra-satellite è perpendicolare al suolo nella direzione Est-Ovest, ma non nella direzione Nord-Sud! se non si sa fare di meglio si supponga il satellite a distanza infinita e quindi visto con un elevazione di 45 gradi. Quale è il guadagno dell antenna? Se la frequenza è di 12 GHz, quali sono le dimensioni dell antenna trasmittente (supponendo l antenna rettangolare)? Se la potenza trasmessa è 10 W, quale è la densità di potenza a terra in W/m 2? Quanta potenza si riceve con un antenna con area efficace di 0.2 m 2? Quale è la potenza ricevuta se la pioggia attenua il segnale di 6 db? 9. Si trasmette al ritmo di 10 Mb/s a distanza di 50 km con modulazione 16-QAM e potenza di 1 W alla frequenza di 10 GHz. Si vuole una probabilità d errore di L antenna trasmittente ha un area efficace di 1 m 2, la temperatura complessiva di rumore è 2000 K e si deve prevedere una attenuazione supplementare dovuta a pioggia ed altri eventi atmosferici di 30 db. Quale banda è richiesta? Quale deve essere l area efficace dell antenna ricevente? 12