MATEMATICA CORSO A III COMPITINO 24 Maggio 2010

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1 MATEMATICA CORSO A III COMPITINO 24 Maggio 21 SOLUZIONI 1. (1) Ricordi tutte le cifre del PIN del tuo bancomat tranne l ultima. Decidi di provare lo stesso scegliendo a caso l ultima cifra, disponi di un massimo di 3 tentativi. Quanti tentativi farai in media? Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di tentativi; tale variabile aleatoria può assumere i valori 1, 2 e 3. Avremo X 1 quando indovineremo la cifra al primo tentativo, X 2 quando sbaglieremo il primo tentativo ed indovineremo al secondo, mentre X 3 lo otterremo quando indovineremo al terzo tentativo oppure sbaglieremo tutti e tre i tentativi. Quindi si ha P(X 1) 1 1 quindi il valor medio è P(X 3) 9 1 P(X 2) E(X) (2) Ricordi tutte le cifre del PIN del tuo bancomat tranne l ultima. Sei certo comunque che l ultima cifra non è né 2 né. Decidi di provare lo stesso a comporre il PIN, scegliendo a caso l ultima cifra, disponi di un massimo di 3 tentativi. Quanti tentativi farai in media? Indichiamo con X la variabile aleatoria discreta che conta il numero di tentativi effettuati; tale variabile aleatoria può assumere i valori 1, 2 e 3. Avremo X 1 quando indovineremo la cifra al primo tentativo, X 2 quando sbaglieremo il primo tentativo ed indovineremo al secondo, mentre X 3 lo otterremo quando indovineremo al terzo tentativo oppure sbaglieremo tutti e tre i tentativi. Quindi si ha P(X 1) 1 P(X 2) P(X 3) quindi il valor medio è E(X)

2 2. (1) Disegna la regione di piano limitata dall asse delle ascisse e dalle curve y x e y x 2. Calcolane poi l area. Indicando con A tr l area del triangolo di vertici (2, ), (4, ) e (4, 2) si ha 4 [ 2 4 A x dx Atr x 3] (2) Disegna la regione di piano limitata dall asse delle ascisse e dalle curve y 2 x e y x 3. Calcolane poi l area. Indicando con A tr l area del triangolo di vertici (3, ), (9, ) e (9, 6) si ha 9 A 2 [ 2 9 x dx A tr 2 x 3] (1 e 2) Sia X una variabile aleatoria continua con legge esponenziale di parametro a >. Indichiamo con V (X) la varianza di X e con E(X) il valor medio di X. Può accadere che V (X) > E(X)? Giustifica la tua risposta! Si ha E(X) 1/a e V (X) 1/a 2, quindi V (X) > E(X) 1 a 2 > 1 a 2 1 a a 2 > < a < 1

3 4. (1) Ai fini di evitare la trasmissione dell epatite virale nelle trasfusioni di sangue, viene controllato il livello ematico di SGPT (transaminasi glutammico piruvica serica) dei donatori. È noto che la variabile X log 1 SGPT è distribuita secondo una gaussiana. Vieni a sapere che il 95% della popolazione sana ha valori di X minori o uguali a 1.448, mentre solo il 2% della popolazione sana ha valori di X al di sotto di Calcola il valor medio di X e la deviazione standard. A quali valori effettivi di SGPT corrispondono? Utilizzando la tabella della funzione di ripartizione della gaussiana standard si trova che P(X 1.65) 95% e che P(X 2.6) 2%, quindi µ 1.28 µ Abbiamo un sistema di due equazioni nelle due incognite valor medio e deviazione standard che ha come soluzione µ log 1 SGPT SGPT log 1 SGPT SGPT (2) Ai fini di evitare la trasmissione dell epatite virale nelle trasfusioni di sangue, viene controllato il livello ematico di SGPT (transaminasi glutammico piruvica serica) dei donatori. È noto che la variabile X log 1 SGPT è distribuita secondo una gaussiana. Vieni a sapere che il 95% della popolazione malata ha valori di X minori o uguali a , mentre solo il 3% della popolazione malata ha valori di X al di sotto di Calcola il valor medio di X e la deviazione standard. A quali valori effettivi di SGPT corrispondono? Utilizzando la tabella della funzione di ripartizione della gaussiana standard si trova che P(X 1.65) 95% e che P(X 1.88) 3%, quindi µ µ 1.88 Abbiamo un sistema di due equazioni nelle due incognite valor medio e deviazione standard che ha come soluzione µ log 1 SGPT SGPT log 1 SGPT SGPT

4 5. (1 e 2) Fai parte di una spedizione scientifica in Nepal che ha per scopo l avvistamento dello Yeti. Dai dati in tuo possesso sugli avvistamenti precedenti, decidi che il tempo di avvistamento T (misurato in anni) è una variabile aleatoria che ha una funzione di densità di probabilità così definita { f(t) per t < f(t) c/(1 + t 2 ) per t dove c è una costante opportuna da determinare. a) Determina la costante c in modo che f(t) sia effettivamente una funzione di densità di probabilità. b) Determina la funzione di ripartizione di T e calcola la probabilità che tu debba aspettare almeno 2 anni per avvistare lo Yeti. c) Determina la mediana e il valore atteso per l avvistamento. a) Affinché f(t) sia effettivamente una funzione di densità di probabilità deve essere f(t) per ogni t reale ed inoltre f(t)dt 1 Sviluppando la precedente uguaglianza si ha f(t)dt 1 c 1 + t 2 dt 1 c [arctant] + 1 c π 2 1 c 2 π b) La funzione di ripartizione F(t) è data da { per t < F(t) (2/π) arctan t per t La probabilità che tu debba aspettare almeno 2 anni per avvistare lo Yeti è P(X 2) 1 P(X < 2) 1 F(2) 1 2 π arctan 2 c) La mediana m soddisfa la condizione F(m) 1/2 da cui 2 π arctan m 1 2 arctan m π 4 Il valore atteso è dato da E(X) t f(t)dt 1 π 1 π [ln(1 + t2 )] m 1 2 t 1 + t 2

5 6. (1) Sia N(t) il numero di individui di una data popolazione al tempo t. Supponiamo che N(t) cresca nel tempo in accordo alla seguente equazione di Verhulst ( dn dt r N 1 N ) con la condizione N() 1, dove r e sono costanti positive. Uno studio ha mostrato che il numero N(t) tende asintoticamente al valore 1 4 e che la popolazione impiega un tempo t 3 per raggiungere la metà del suo valore asintotico. a) Utilizza queste informazioni per determinare le costanti r e. b) Disegna il grafico di N(t) anche per t <. c) Determina il valore di t per cui N(t) raggiunge il 9% del suo valore asintotico. a) La soluzione dell equazione differenziale è 1 e r t /C dove 1 4 è il valore asintotico, C vale N()/(N() ) e quindi 1/C (1 1 4 )/ /1 99. Imponendo la condizione N(3) 1 4 /2 (la popolazione impiega un tempo t 3 per raggiungere la metà del suo valore asintotico) si ha N(3) e 3 r e 3 r 2 e 3 r r ln99 1 r 1 ln Quindi e ln 99 t/3 b) 5

6 c) e ln 99 t/ e ln 99 t/3 1 e ln 99 t/ t 3 ln891 ln99 6. (2) Sia N(t) il numero di individui di una data popolazione al tempo t. Supponiamo che N(t) cresca nel tempo in accordo alla seguente equazione di Verhulst ( dn dt r N 1 N ) con la condizione N() 2, dove r e sono costanti positive. Uno studio ha mostrato che il numero N(t) tende asintoticamente al valore 1 8 e che la popolazione impiega un tempo t 6 per raggiungere la metà del suo valore asintotico. a) Utilizza queste informazioni per determinare le costanti r e. b) Disegna il grafico di N(t) anche per t <. c) Determina il valore di t per cui N(t) raggiunge il 9% del suo valore asintotico. a) La soluzione dell equazione differenziale è 1 e r t /C dove 1 8 è il valore asintotico, C vale N()/(N() ) e quindi 1/C (2 1 8 )/ / Imponendo la condizione N(6) 1 8 /2 (la popolazione impiega un tempo t 6 per raggiungere la metà del suo valore asintotico) si ha N(6) e 6 r e 6 r 2 e 6 r r ln r 1 ln Quindi e ln t/6 6

7 b) Il grafico è simile al precedente con valore asintotico 1 8 ed intersezione con l asse y nel punto (, 2). c) e ln t/ e ln t/6 1 e ln t/ t 6 ln ln

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