1. Statistiche descrittive

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1 1. Statstche descrttve Scale d msurazoe I dat statstc possoo essere rlevat su dverse scale d msurazoe: La scala omale S parla d scala omale quado dat s dfferezao fra d loro per caratterstche emetemete qualtatve; dat possoo coè essere classfcat solo attraverso aggettv o costrutt omal. d esempo: se è sotto esame la scuola d proveeza d ua popolazoe d studet, soggett potrao essere dstt attraverso l ome delle rspettve scuole; se teressa l sesso della popolazoe studetesca essa potrà essere catalogata base a due attrbut M o F; se teressa esamare la selezoe pratcata all tero d u Isttuto scolastco a fe ao, s possoo catalogare soggett co tre attrbut: promosso, promosso co debto, o promosso. I tutt gl esemp la classfcazoe avvee attraverso crter qualtatv, coè categore omal La scala ordale La scala ordale s poe su u dfferete lvello formatvo, quato og categora è espressa attraverso u umero. Tuttava l umero questo caso o msura esattamete l testà dell attrbuto sotto esame (ad esempo l altezza), ma u orde d graduatora (el ostro esempo d altezza). La cosa mportate da compredere è che l ampezza de var grad della graduatora o è sempre costate; altre parole: l tervallo fra l dato poszoe 1 e quello poszoe o ecessaramete è uguale all tervallo fra l dato poszoe e quello poszoe 3, o fra quell poszoe 3 e 4 Isomma, ua scala ordale umer s rferscoo all testà co cu è posseduto u determato attrbuto, ma o seso assoluto, besì solo seso relatvo. d esempo: l essere arrvato quarto ua gara d salto lugo o forma sulla msura effettva del salto, ma solo sul fatto che l salto era d msura ferore d quello terza poszoe e superore a quello quta. S bad bee che cert cas ache ua sere d costrutt omal possoo costture ua scala ordale, se tal costrutt dcao seza equvoc ua scala d graduazoe d testà d u attrbuto; ad esempo le formulazo scolastche: gravemete suffcete, suffcete, suffcete, dscreto, buoo e ottmo; oppure le graduazo d testà d ua rsposta a u questoaro cu vee chesto d esprmere l accordo su ua data affermazoe: per ete, parte, abbastaza, molto S ot che le votazo scolastche soo su scala ordale La scala a tervall E su u lvello formatvo superore rspetto alle precedet. che questo caso abbamo umer che s rferscoo all testà co cu u attrbuto è posseduto; ma pù, questo caso l ampezza de var grad della scala è costate. Coè: l tervallo fra 1 e è lo stesso d quello fra e 3, o fra 3 e 4, e così va. Tuttava occorre precsare che umer d questa scala hao u sgfcato puramete covezoale, e questo è l puto essezale da capre: l fatto è che ua scala ad tervall l umero 0 o dca l macato possesso d u attrbuto, ma solo ua determata testà dell attrbuto, che fuge da puto d rfermeto. L esempo classco è quello della scala cetgrada per la msurazoe della temperatura: lo zero della scala cetgrada esprme solo u lvello covezoale d rfermeto, che fatt o corrspode, ad esempo, al lvello zero della scala Fahrehet, ugualmete utle e valda per la msurazoe delle temperature. Rmaedo al raffroto fra queste due scale, ache la dffereza d temperature fra due grad successv o equvale e due sstem (v è qud ua dffereza elle due utà d msura). L arbtraretà dello zero e dell utà d msura mplca ua cosegueza fodametale: l rapporto fra due msurazo o dca che le corrspodet testà dell attrbuto msurato soo quel rapporto; ad esempo se msuro la temperatura d due oggett e rscotro due valor 10 e 0 (qud u rapporto 1:) o sgfca che l secodo ha ua quattà d calore doppa rspetto al prmo, tato è vero che se msurassmo le stesse temperature co la scala Fahrehet otterremmo u rapporto dfferete. I stes: ua scala ad tervall matee costate l tervallo fra due put cosecutv della scala (e cò e fa la prma scala d msura effettvamete quattatva); tuttava lo zero ha valore puramete covezoale (o esprme asseza dell attrbuto) e rapport fra msure o dcao u effettvo rapporto fra le testà dell attrbuto sotto msurazoe. I putegg grezz d ua prova oggettva soo espress su scala ad tervall La scala d rapport I questa scala gl tervall fra due grad successv è costate (come ella precedete) ed pù lo zero dca esattamete che l attrbuto sotto esame ha testà ulla. Cò mplca che l rapporto fra msure esprme esattamete l rapporto d testà co cu gl attrbut soo possedut. Tutte le scale d msurazoe del sstema metrco decmale soo scale d rapport. d esempo quella per la msurazoe delle lughezze: la lughezza 0 dca effettvamete che l oggetto sotto esame o ha lughezza, e la crcostaza che due aste abbao lughezze rspettvamete d 10 cm e 30 cm dca effettvamete che la secoda è luga come tre aste par alla prma, coè che la secoda msura l trplo della prma (ache cambado utà d msura).

2 1.. Idc d poszoe (o d tedeza) cetrale La meda artmetca Cascuo sa come s calcol la meda. La formula d calcolo qu presetata ha lo scopo prcpale d trodurre prm e fodametal elemet della smbologa che da qu avat vee adottata questo testo. La formula d calcolo della meda è: Esplctamo le covezo mplctamete adottate. I sgol dat, chamat ache varate, vegoo dcat attraverso lettere late mauscole, avvertedo esplctamete che le lettere late muscole verrao el seguto utlzzate co u dverso sgfcato. Seguedo ua covezoe dffusa, che ha ua gustfcazoe storca, per dcare ua sgola varata usamo geere la lettera fatta segure da u pedce. d esempo l smbolo 3 sta ad dcare la varata umero tre del gruppo d varate cotraddstto dal smbolo. ttraverso l smbolo dchamo la meda artmetca dell seme d varate cotraddstte dalla lettera. Il smbolo 1 sta ad dcare ua somma estesa ad term. La lettera s chama dce perché la sua varazoe apputo dca le sgole varate, a partre dalla umero 1 fo alla umero. Nel seguto adotteremo ache la seguete forma semplfcata del smbolo: o ache semplcemete ma cò a patto che l cotesto coseta d o equvocare quale sa l dce e quale sa l suo campo d varazoe La medaa I dat (umerc) vegoo dspost orde crescete. La medaa, dcata geere col smbolo Md, o è altro che l valore cetrale d tale ordameto. Pù precsamete: se dat soo umero dspar la medaa è l valore cetrale; se vece soo umero par la medaa s calcola come meda artmetca de due valor cetral. Due esemp. Nell seme d dat seguete: (s tratta d 7 varate, qud u umero dspar) la medaa s trova ordado dat: e prededo quello poszoe cetrale: Md 3. Nell seme d valor: (s tratta d 8 varate, qud u umero par) la medaa s trova ordado dat: e calcolado la meda artmetca de due valor cetral: Md La moda La moda d ua sere d varate, geere dcata co la lettera M, è l valore che compare pù frequetemete. d esempo el gruppo d varate 3, 3.5, 3.5, 4, 4.1, 4.1,.3, 3.5, 4.1,,.3, 3.5, 4.3, 3.1, 3.5, l valore 3.5 compare be 5 volte, e duque M 3. 5.Occorre precsare che ua sere d dat omal possoo essere preset pù pcch modal, come verrà llustrato fra breve mbt d applcazoe Partamo da dat msurat su scala omale. I tale caso per cascua delle categore d classfcazoe della popolazoe potremo regstrare l umero d dvdu che possedoo quel dato attrbuto. Rtorado agl esemp fatt per llustrare l cocetto d scala omale, potremmo dvdere membr d ua data popolazoe base alla regoe d proveeza, otteedo ad esempo qualcosa del geere: 5 lombard, 8 tosca, 3 veet e 9 scla. I umer 5, 8, 3 e 9 s chamao frequeze assolute corrspodet alle dfferet rego. I questo caso l dce approprato per esprmere la proveeza prevalete è la moda. Se dat soo msurat su scala ordale l dce d poszoe adeguato è charamete la medaa, che esprme al meglo l valore cetrale dell testà co cu è posseduto l attrbuto sotto esame. Se ad esempo dspoamo d ua graduatora relatva ad ua certa prestazoe atletca fra ragazz d ua classe scolastca, è lecto potzzare che ua stuazoe d ormaltà ch sta a mezza classfca (coè poszoe medaa) abba rspetto alla classe delle prestazo mede. Se fe abbamo dat su scala almeo ad tervall (qud ache a rapport) l dce d poszoe cetrale pù adatto a rappresetare u lvello medo d testà d possesso dell attrbuto sotto esame è apputo la meda artmetca. Tuttava è possble calcolare e rcavare formazo ache dalla medaa e dalla moda. Per esemplfcare, toramo all esempo (1.1)

3 delle prestazo atletche de ragazz d ua classe, ma questa volta suppoamo d dsporre o tato delle graduatore d merto, ma delle msure effettve della prestazoe d cascuo. Suppoamo duque che le msure relatve ad u test sul salto alto ( cm) ua classe d 9 ragazz sao rassute ella tabella seguete: msura frequeza Tab. 1.1 Fg. 1.1 La meda s ottee dal calcolo: metre la medaa corrspode alla msura poszoe cetrale (su 9 la poszoe cetrale è la 15); duque: Md 105. I stuazoe d ormaltà valor d meda e medaa tedoo ad essere puttosto sml, cosa che qu o accade. Questo è dovuto alla preseza d u utrto gruppo d msure alte, cotro l rstretto gruppo delle msure pù basse; c è altre parole ua prevaleza d msure alte, che ha determato uo spostameto verso l alto della medaa. Duque questo caso la dstrbuzoe delle msure è asmmetrca. aloga sarebbe la stuazoe se c fosse ua prevaleza d msure basse: tal caso la medaa sarebbe trascata verso l basso scavalcado la meda a sstra. Questo esempo charsce quale sa l formazoe rcavable da u uso combato d meda e medaa: pù due valor soo dstat e pù la dstrbuzoe de valor tede ad essere asmmetrca. Veamo fe alla moda, la msura che compare co maggore frequeza, questo caso è 105 (tale msura rcorre be 8 volte); duque: M 105. Tuttava osservado l stogramma Fg. 1.1 possamo otare oltre al pcco corrspodeza alla msura 105 la preseza d u secodo pcco modale (sebbee o così accetuato come l prmo), corrspodeza alla msura 9. La preseza d due (o pù) pcch modal segala che la popolazoe sotto esame o è omogeea, besì composta dalla mescolaza d due sottopopolazo dfferet. Nel ostro caso s tratta del fatto che la classe sotto esame è msta; l pcco a sstra è quello relatvo alla moda delle prestazo femml, metre quello a destra rappreseta la moda delle prestazo maschl. I geerale duque l aals modale permette d rcavare formazo rguardo all omogeetà della popolazoe sotto esame Idc d varabltà o dspersoe de dat Varabltà Toramo all esempo delle prestazo el salto alto de ragazz d ua classe scolastca, all tero della quale soo state formate due squadre competzoe. Suppoamo d aver raccolto le msure ( cm) del salto alto d cascu ragazzo delle due squadre: Squadra : Squadra : Tab. 1. Vee del tutto spotaeo cofrotare le prestazo delle due squadre attraverso le due mede; co semplc calcol otteamo: 10 e 10. Le prestazo mede de due grupp soo perfettamete ugual; eppure, guardado due grupp d varate o possamo egare d otare ua certa dffereza: dat della squadra soo molto pù omogee d quell della squadra ; coè le prestazo della squadra soo molto sml fra loro, metre ella squadra abbamo ua ampa gamma d msure, da quelle scarse a quelle molto buoe. I altre parole, le varate soo molto vce l ua all altra metre le soo recprocamete pù dstat, sparpaglate. La varabltà o dspersoe d u seme d dat cosste apputo el loro maggore o more grado d dstaza recproca: pù dat soo sparpaglat e maggore è la loro varabltà o dspersoe; meo dat soo sparpaglat e more è la loro varabltà o dspersoe. Rtorado alle due squadre e cocludedo, possamo rassumere dcedo che le loro prestazo mede soo ugual, ma dat della squadra soo pù varabl (o dspers) d quell della squadra. Duque gl atlet della squadra hao prestazo el salto alto molto pù omogeee d quell della squadra.

4 L tervallo d varazoe o gamma Il pù semplce dce d dspersoe de dat è l tervallo d varazoe, chamato talvolta ache gamma d varazoe o semplcemete gamma. Il suo calcolo è semplcssmo: dcato co m l dato pù pccolo e co max quello pù grade della sere, l tervallo d varazoe s calcola come dffereza fra due; smbol: IV (1.) max m Torado alle due squadre dell esempo troduttvo abbamo: IV IV S ota faclmete che rsultat della squadra soo soggett a maggore varabltà d quell della squadra Varaza e devazoe stadard Due dc d dspersoe pù raffat del precedete soo la devazoe stadard, dcata col smbolo, e la varaza, dcata col smbolo. Per spegare tutvamete l seso delle relatve formule d calcolo, partamo da u esempo umerco molto semplce; voglamo esprmere la varabltà all tero dell seme d dat seguete: Il progetto geerale è questo: la varabltà esprme l grado d vcaza recproca delle varate; allora, fssamo u puto d rfermeto cetrale, coè la meda, e calcolamo per cascua delle varate la dstaza dalla meda. D tutte queste dstaze calcolamo po ua meda; altre parole: esprmamo l grado d dspersoe de dat attraverso la meda delle dstaze che quest hao da ua poszoe d rfermeto cetrale, coè dalla loro meda artmetca. Se dat soo molto dspers c aspettamo che la loro dstaza meda dal valore cetrale sa grade, metre se soo poco dspers c aspettamo che la dstaza meda dal cetro sa pccola. Il progetto geerale sembra ragoevole e fuzoale; tuttava preseta u grosso dfetto mprevsto, che ora evdezamo eseguedo calcol così come descrtt sopra. Dapprma occorre la meda artmetca de dat, che rsulta essere 6. Successvamete calcolamo la dstaza d cascuo de dat dalla meda artmetca; la dstaza vee calcolata co la semplce dffereza 4 5 come tabella: Ora, per calcolare la meda delle dffereze, occorre sommarle tutte e dvdere per ( questo caso 5), secodo la formula: 1 ( ) ( ) ( 1) Cosa è successo? I pratca le dstaze col sego egatvo s soo aullate co quelle corrspodet d sego postvo; d cosegueza la somma delle dstaze ecessara per fare la meda s è aullata, come se tutt dat avessero dstaza zero dalla poszoe cetrale. I realtà vece sappamo che le cose o stao questo modo. Ecco duque l dfetto fodametale del ostro progetto d calcolo: la somma delle dstaze dal cetro s è aullata come se tutt dat fossero cocetrat esattamete sulla meda, cosa che vece o è. S potrebbe obettare che dat fort per l esempo soo perfettamete smmetrc rspetto alla loro meda, e che questo ha causato l aullameto della somma. S può tuttava dmostrare faclmete che comuque s predao gl vale: 1 ( ) 0 Cò è tutvo se s pesa che la meda sta sempre ua poszoe cetrale. Ma toramo al ostro progetto. Come abbamo vsto, l problema è che la somma delle dffereze dalla meda s aulla a causa della preseza d term sa postv che egatv. Occorre pertato fare modo che tutte le dffereze sao postve. Matematcamete c soo due metod semplcssm: l prmo è quello d cosderare le dffereze valore assoluto, l secodo è quello d elevarle a quadrato (s rcord che quadrat soo sempre postv)

5 Seguedo la prma strada (quella del valore assoluto delle dffereze) s arrva ad u dce statstco d dspersoe detto scarto medo assoluto (scarto sta per dffereza, medo perché è otteuto co ua meda d scart, assoluto perché gl scart soo pres valore assoluto). L dce ora presetato o verrà tuttava utlzzato questo cotesto. Seguedo vece la secoda strada s defsce l dce d dspersoe deomato varaza la cu formula d calcolo è rportata d seguto: ( ) (1.3) L elevameto a quadrato delle dffereze elma l dfetto del progetto orgaro. Per covcerc d questo fatto rpredamo calcol precedetemete avvat e completamol co l elevameto a quadrato: Qud: 1 ( ) ( ) ( 1) ( ) U ultmo passo avat: la varaza esprme l grado d dspersoe d u seme d dat ua utà d msura che o è quella de dat stess. Se ad esempo s tratta d lughezze espresse cm, la dffereza quadrato 1 ( ) è espresso cm, la somma ( ) è espressa cm, l suo ( ) sarà qud cm, così come la meda essedo u umero puro. Duque, dat soo espress cm metre la varaza cm. No ecessaramete questo è u problema; tuttava se v soo motv partcolar per desderare u dce d dspersoe ella stessa utà d msura de dat, basta completare l calcolo co ua semplce operazoe d estrazoe d radce. I tal modo s ottee u dfferete dce d dspersoe de dat, che prede l ome d devazoe stadard. La formula d calcolo è: ( ) 1 (1.4) I pratca la frazoe che esprme la varaza è stata posta sotto radce. Duque la devazoe stadard o è altro che la radce quadrata della varaza, e smmetrcamete la varaza o è altro che l quadrato della devazoe stadard: questo spega la relazoe fra due smbol e. I pratca, come fuzoao quest due dc? S tratta d due semplc umer che assumoo valor tato pù elevat quato pù dat soo dspers. Se dobbamo cofrotare la varabltà d due grupp d dat possamo calcolare la varaza (o la devazoe stadard) de due sem e cofrotare umer otteut. Sarà maggore la varabltà del gruppo d dat co varaza (o devazoe stadard) maggore. Per esemplfcare, toramo alle msure del salto alto delle due squadre e co cu abbamo trodotto l dscorso (dat Tab. 1.). Seguedo la falsa rga dell esempo precedete arrvamo a seguet rsultat ( dettagl d calcolo soo mostrat el ox 1.1, Parte a) Squadre Sa che sceglamo la devazoe stadard che la varaza, la squadra fgura come quella co le msure maggormete dsperse, coè co la maggore varabltà d prestazoe.

6 Rmae ua questoe aperta: quale de due dc preferre. Per adesso accotetamoc d dre che è dfferete. Pù avat, affrotado problem pù specfc sarà dcato quado rcorrere alla varaza e quado alla devazoe stadard. Per cocludere l paragrafo fssamo ua covezoe el smbolsmo. Nel trattameto statstco de dat assumoo ua grade mportaza le dffereze del tpo : tato per comcare le abbamo utlzzate per l calcolo de due prcpal dc d dspersoe de dat. Queste dffereze soo così mportat da mertare u smbolo specfco: Duque, co ua lettera lata muscola (seguta evetualmete da u pedce) dcheremo da ora avat lo scarto fra ua varata (dcata co la lettera mauscola corrspodete seguta evetualmete dallo stesso pedce) e la meda del gruppo d dat cu appartee. ttraverso questa covezoe possamo rscrvere le due formule d calcolo per la varaza e la devazoe stadard come segue: 1 (1.5) 1 (1.6) che la quattà ha statstca ua mportaza tato specale da mertare u propro smbolo, che è, 1 dall glese Sum of Squares, coè somma de quadrat, sotttededo: degl scart. Il smbolo verrà utlzzato tesvamete Cap. 6. Duque: mbt d applcazoe degl dc Tutt gl dc d varabltà presetat sopra s applcao a dat su scala almeo ad tervall, qud ache a dat su scala a rapport. Cò rsulta evdete se s pesa alla atura emetemete metrca d quest dc, che duque rchedoo dat d tpo quattatvo. Per dat su scale d msurazoe feror o avremo bsogo questo cotesto d aalzzare l grado d dspersoe, e qud o c dlugheremo oltre sull argometo Formule computazoal per l calcolo della devazoe stadard e della varaza Le formule (1.3) e (1.4) per l calcolo della varaza e della devazoe stadard, o le equvalet (1.5) e (1.6), rsultao poco agevol per l calcolo effettvo: fatt esse rchedoo u prevetvo calcolo della meda de dat. Questo o solo è scomodo, ma costrge spesso ad arrotodamet e rsultat parzal che el corso de passagg d calcolo successv propagao l errore e s amplfcao modo talvolta mprevedble, dado delle approssmazo estremamete accurate delle statstche desderate. Per evtare l effetto d dstorsoe de rsultat a causa d ua cotrollata propagazoe d error d arrotodameto, sa el calcolo mauale che quello automatco (calcolatrce tascable o computer) s prefersce adottare formule equvalet ma meo esposte agl effett desderat. Le formule computazoal che vegoo presetate el seguto hao come s è atcpato l prego d o ecesstare del calcolo prevetvo della meda. Le due uove formule s basao su ua dettà fodametale (d cu vee omessa la semplce dmostrazoe) co cu è bee famlarzzare da subto: Dalla (1.8) otteamo per semplce sosttuzoe la versoe computazoalmete doea delle due formule per la varaza e la devazoe stadard: (1.7) 1 1 (1.9) (1.8)

7 1 1 (1.10) dspetto d u appareza puttosto gombrate, l utlzzo delle due formule è semplce, come mostra l esempo el ox 1.1 Parte b. Nel ox s verfca che le formule computazoal (1.9) e (1.10) equvalgoo alle formule (1.3) e (1.4). Nella Parte c l ox mostra ache come le statstche relatve a due grupp d dat possao essere vsualzzate attraverso u semplce dagramma.

8 ox Calcolo e vsualzzazoe d meda, varaza e devazoe stadard Dat da Tab Parte a Calcolo medate le formule (1.3) e (1.4) della varaza e devazoe stadard della squadra alogamete, per la squadra s ottee 16 e 4 Parte b. Calcolo medate le formule (1.9) e (1.10) della varaza e devazoe stadard della squadra Calcol codott modo aalogo a precedet dao la varaza e devazoe stadard delle msure della squadra :. 16 e 4

9 Parte c Per cofrotare ache vsvamete rsultat statstc relatv a due grupp d dat s usa u tpo partcolare d dagramma cu vegoo vsualzzate le mede de grupp (corrspodet alle due tacche cetral) a cu vegoo aggute e tolte le corrspodet devazo stadard, otteedo così tervall attoro alle mede pù o meo amp a secoda del grado d dspersoe de dat. Rf.: ;