ITG A. POZZO CORSO DI ESTIMO CLASSE 4^LB NOZIONI DI MATEMATICA FINANZIARIA

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1 ITG A. POZZO CORSO DI ESTIMO CLASSE 4^LB NOZIONI DI MATEMATICA FINANZIARIA Anno scolastico 2008/09 Prof. Romano Oss

2 Matematica finanziaria è uno strumento di calcolo basato sulla teoria dell interesse, necessario per le valutazioni di fatti economici, come ad esempio la scelta degli investimenti, il riferimento di valori nel tempo, il valore attuale dei beni immobili. Il principio fondamentale consiste nel fatto che per potere sommare, sottrarre o comunque confrontare valori disponibili in epoche diverse occorre prima trasferirli allo stesso momento (epoca di riferimento) e ciò può essere ottenuto solamente con le formule finanziarie basate sui principi dell interesse. Per interesse si intende il prezzo per l uso dei capitali ovvero il compenso per chi fornisce il capitale sia che si tratti di denaro sia che si tratti di capitale materiale, mobile o immobile (macchina, casa, terreno)

3 Elementi dell Interesse e simboli I = interesse espresso in C = capitale espresso in r = saggio, tasso o ragione espresso in % o in formula es: 0,01; 0,12 rappresenta l interesse della unità di capitale 1 nell unità di tempo 1 anno r=1% significa che 1 in 1 anno produce 1 cent. Di interesse n = tempo espresso in giorni (x/365 anno solare; x/360 anno commerciale);mesi (x/12); I saggi possono essere diversi in relazione al tipo di investimento e all utilizzo.

4 Tassi indicativi del mercato per l anno 2008 Operazioni bancarie Tasso medio per depositi 1,7% Tasso medio per prestiti 5,6% Tasso di riferimento 4% ( ex uff. di sconto) Tasso legale 3% Tassi di riferimento EURIBOR 4,5% EURIRS 4,5% Mutui casa Tasso variabile: EURIBOR + 2% Tasso fisso: EURIRS + 2% EURIBOR Euro Interbank Offered Rate EURIRS Euro Interest Rate Swap Tasso di capitalizzazione 0,007 0,025 in relazione a diverse condizioni

5 PRINCIPALI FORME DI INTERESSE Semplice: viene utilizzato per periodi di tempo inferiori all anno, anche in associazione con l interesse composto. Principali applicazioni pratiche Composto: suddiviso in Anticipazione e posticipazione Sconto bancario di cambiali calcolo del Reddito Netto di fabbricati Discontinuo annuo Convertibile Applicazioni diverse

6 I = C 0 r n INTERESSE SEMPLICE Si indica C 0 per intendere che il capitale si trova all inizio di un certo periodo Poiché n è espresso in anni per periodi inferiori di tempo si utilizzeranno le frazioni x/365 o x/360 relativamente all anno solare o all anno commerciale per i giorni e x/12 per i mesi. Esempio: dal 25 aprile al 7 maggio 12/365; generico per 20 giorni 20/360 generico per 5 mesi 5/12

7 APPLICAZIONI Calcolo dell interesse Calcolo del montante o valore futuro di un capitale Calcolo del valore attuale di un capitale futuro Calcolo dello sconto Calcolo del Reddito netto di immobili locati o affittati Interesse I = C 0 r n I I I r = n = C0 = C 0 n C 0 r r n

8 MONTANTE Per montante si intende la somma di capitale e interesse alla fine del periodo considerato. M = C 0 + I Cn = C 0 +I Il simbolo M viene sostituito dal simbolo Cn ovvero valore di un capitale al tempo n sostituendo a I il suo valore C 0 r n Cn = C 0 (1+ r n) formula di posticipazione dei capitali a interesse semplice VALORE ATTUALE Il valore attuale rappresenta il valore del capitale iniziale che impiegato per un certo tempo ha prodotto un determinato capitale. C 0 = Cn 1 1+ r n formula di anticipazione dei capitali a interesse semplice

9 SCONTO Si può intendere lo sconto come l inverso dell interesse e cioè il compenso spettante a chi anticipa un pagamento prima della scadenza. L interesse si aggiunge al capitale mentre lo sconto si toglie al capitale. Il creditore che viene a disporre in anticipo della somma dovuta dal debitore concede a quest ultimo una riduzione: lo sconto. Ci sono due tipi di sconto: SCONTO RAZIONALE O MATEMATICO: coincide con la anticipazione dei capitali SCONTO BANCARIO: applicato dalle banche per lo sconto delle cambiali Somma scontata con lo sconto razionale:c 0 = Cn 1 1+ r n Somma scontata con sconto bancario C 0 = Cn (1 - r n)

10 CALCOLO DEL REDDITO NETTO DI IMMOBILI locati o affittati Il Reddito Netto rappresenta il compenso netto per il proprietario di un immobile a fine anno ed è dato dalla differenza tra il reddito lordo costituito dalle rate di affitto più gli interessi meno tutte le spese necessarie alla conservazione del capitale. RN = Rpl - Spese Reddito padronale lordo: si calcola portando le rate a fine anno al saggio di interesse commerciale. Le rate possono essere: mensili, bimestrali, trimestrali, quadrimestrali, semestrali anticipate o posticipate somma mesi il calcolo si ottiene con la formula: Rpl = rata (n rate + r ) 12 la rata si ottiene dividendo il canone annuo per il tipo di rateazione. Esempi e origine della formula. n ±1 Formula semplificata: Rpl = rata (n rate + r ) ( + anticipate, - posticipate) 2

11 SPESE: Le spese che gravano sulla proprietà e le percentuali rispetto al Canone Annuo sono relative a: tipo di spesa % sul canone annuo Q (reint. Ass. man.str.) 6-8% Tributi 23-26% Amm e Svz. 4% Sf e In 2% Interessi calcolati mediamente anticipati sulle spese precedenti TOTALE 35-40% La formula del Reddito Netto rispetto al canone annuo può esprimersi: RN = canone/n rate x (n rate + r x Σmesi/12) - canone x 0,35 (1 + r x 6/12)

12 INTERESSE COMPOSTO Discontinuo annuo: gli interessi maturano una volta all anno C n = C 0 (1 + r) n formula di posticipazione C 0 = C n / (1+ r) n formula di anticipazione Convertibile: gli interessi maturano più volte all anno convertendosi in capitale fruttifero. Si deve tenere conto del numero di convertibilità che può variare da: 12 (mensile), 4 (trimestrale), 3 (quadrimestrale), 2 (semestrale) Le formule dell interesse composto vengono modificate dividendo il saggio e moltiplicando n per il numero di convertibilità. Oltre all interesse sui conti bancari la sua principale applicazione è sui mutui bancari.

13 INTERESSE CONVERTIBILE formula di posticipazione C n = C 0 (1 + r/c) n x c formula di anticipazione C n C 0 = (1+ r/c) n x c

14 ANNUALITA Sono valori periodici che si ripetono a distanza di un anno. Possono essere: posticipate o anticipate limitate o illimitate Formula principale: accumulazione finale di n annualità posticipate limitate A n = a x (1+ r) n -1 r Formula di capitalizzazione: accumulazione iniziale di annualità illimitate posticipate a A 0 = r

15 Altre formule delle annualità Le richieste principali che possono interessare le annualità sono: la accumulazione finale A n la accumulazione iniziale A 0 la accumulazione intermedia A m graficamente si rappresentano: A 0 A m A n m n

16 Rispetto alla scadenza possono essere: posticipate: il loro valore si realizza alla fine dell anno anticipate: il loro valore si realizza all inizio dell anno mediamente anticipate: il loro valore si realizza a metà anno Ognuna di queste può a sua volta essere: limitata nel tempo per un certo numero di anni illimitata nel tempo (durata superiore agli anni) ESEMPI posticipate limitate A 0 1 A n

17 anticipate limitate A 0 1 n-1 A n posticipate illimitate A 0 1 anticipate illimitate A 0 1

18 PRINCIPALI APPLICAZIONI DELLE ANNUALITA Accumulazione finale, iniziale, intermedia di valori costanti. Valore di beni che forniscono rendite illimitate (case, terreni). Valutazione dei miglioramenti immobiliari (trattati in apposito capitolo) Rate dei mutui, debito residuo, piano di ammortamento. Accumulazioni: grafici e riferimenti Valore attuale di beni per capitalizzazione del Reddito Netto V 0 = RN/ r cap. Se si considera il Reddito Netto costante e continuativo (1+ r) n -1 V 0 = RNt x + RNp/ r cap. * 1/(1+r) n Quando ci siano dei redditi transitori r

19 Calcolo della quota di ammortamento di un mutuo e relativo debito residuo Il mutuo fondiario (bancario) è un prestito che viene concesso dietro garanzia su immobile e sul quale viene accesa un ipoteca a favore dell ente erogante. (stima cauzionale) Gli elementi del mutuo sono: Importo mutuato; saggio di interesse; anni di durata; rateazione. La rateazione può essere: annuale; semestrale; quadrimestrale; trimestrale; bimestrale; mensile. Per necessità di sintesi si vedranno gli esempi di rateazione annuale e mensile.

20 Quota di ammortamento annua = Importo x r (1+r) n (1+r) n -1 Debito residuo: rappresenta l importo che si deve pagare qualora si voglia estinguere anticipatamente il mutuo. (1+r) n -1 D.R. = quota di ammortamento x r (1+r) n r/c (1+ r/c) nc Quota di ammortamento mensile: Importo x n= anni di mutuo (1+ r/c) nc -1 (1+ r/c) nc -1 Debito residuo con rata mensile: rata mensile x n= anni restanti r/c (1+ r/c) nc

21 Calcolo del Valore del diritto di usufrutto da detrarre al valore dell immobile. Si tratta di un caso pratico abbastanza comune. Un immobile è gravato da usufrutto a favore di una persona diversa dal proprietario che intende vendere l immobile. Al valore dell immobile stimato si dovrà detrarre la capitalizzazione dei redditi percepibili dall usufruttuario per la durata probabile della sua vita. Procedimento: Calcolo del Reddito dell usufruttuario Ru che corrisponde al reddito netto ritraibile dalla locazione meno le spese relative a quote di manutenzione straordinaria, assicurazione, reintegrazione, che gravano sul nudo proprietario. Calcolo di n dalle tavole ISTAT di mortalità della vita probabile dell usufruttuario Il saggio da usare è il saggio commerciale relativo a investimenti di breve/medio periodo Valore del diritto di Usufrutto: Ru x q n - 1 r x q n

22 Per riferire l ammontare di un asse ereditario al giorno 20 maggio 2008 (momento di apertura della successione) il Geometra deve eseguire i seguenti calcoli: Restituzione del prelievo di 2750 fatto dall erede A sul conto del defunto in data 6 febbraio 2008 al saggio del 2,5% Calcolo del valore di un deposito vincolato al saggio del 3,5% dell ammontare di 7900 effettuato in data 8 marzo 2001 Calcolo del valore scontato di un prestito del valore di 6000 sottofirmato da cambiale scadente il 20 novembre 2008 al saggio del 5,5%. Calcolo del reddito lordo a fine anno di un posto macchina affittato a rate mensili anticipate di 70 per la durata di tutto l anno. Il valore dovrà essere riferito al momento di stima. r= 0,025 Calcolo del debito residuo del mutuo acceso all inizio del 1995 di durata ventennale per un ammontare di al saggio del 3,75% con scadenza mensile. Calcolo del valore del diritto di usufrutto a favore della moglie del defunto che al momento della stima ha 65 anni. Il reddito netto dell usufruttuaria è stimato in 8000 annui e il saggio commerciale è del 2,5%. Dalle tavole di mortalità si ricava che la vita probabile è pari a 19 anni.